Một Số Tính Chất Của Hàm Lồi Và ứng Dụng - Tài Liệu đại Học

Tài liệu đại học Toggle navigation

• Miễn phí (current)
• Danh mục
  • Khoa học kỹ thuật
  • Công nghệ thông tin
  • Kinh tế, Tài chính, Kế toán
  • Văn hóa, Xã hội
  • Ngoại ngữ
  • Văn học, Báo chí
  • Kiến trúc, xây dựng
  • Sư phạm
  • Khoa học Tự nhiên
  • Luật
  • Y Dược, Công nghệ thực phẩm
  • Nông Lâm Thủy sản
  • Ôn thi Đại học, THPT
  • Đại cương
  • Tài liệu khác
  • Luận văn tổng hợp
  • Nông Lâm
  • Nông nghiệp
  • Luận văn luận án
  • Văn mẫu
• Luận văn tổng hợp

1. Home
2. Luận văn tổng hợp
3. Một số tính chất của hàm lồi và ứng dụng

Trich dan Một số tính chất của hàm lồi và ứng dụng - Pdf 19

ĐẠI HỌC HUẾTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM    TRẦN NGỌC ĐỨC TOÀNMỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA HÀM LỒIVÀ ỨNG DỤNGChuyên ngành: Giải tíchKHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆPCán bộ hướng dẫnTS. TRƯƠNG VĂN THƯƠNGHuế, tháng 5 năm 2011iLỜI CẢM ƠNKhóa luận này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn nhiệt tình, chuđáo của TS Trương Văn Thương. Tôi xin phép được gửi đến Thầy sự kínhtrọng và lòng biết ơn sâu sắc về sự tận tâm của Thầy đối với bản thân tôikhông những trong thời gian làm khóa luận mà còn trong suốt quá trìnhhọc tập.Tôi cũng xin phép được gửi lời cám ơn chân thành đến quý Thầy côđã giảng dạy lớp Toán B trường ĐHSP Huế cũng như toàn thể quý thầycô Khoa Toán trường ĐHSP Huế, những người đã cho tôi kiến thức, quantâm động viên, nhiệt tình giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập cũngnhư trong thời gian thực hiện đề tài.Cuối cùng, tôi xin phép được gửi lời cảm ơn đến những người thân,bạn bè đã quan tâm động viên giúp đỡ tôi trong suốt quãng đường họctập vừa qua.Huế, tháng 5 năm 2011Trần Ngọc Đức ToàniiMỤC LỤCTrang phụ bìa iCó sự tác động qua lại giữa giải tích và hình học trong việc nghiên cứu các hàmlồi. Hiện nay, người ta còn nghiên cứu một số lớp hàm liên quan như hàm loga-lồi,hàm lồi nhân tính, hàm siêu điều hòa và các hàm lồi theo nghĩa nhóm con của nhómtuyến tính.Có thể nói, nghiên cứu về tập lồi và các hàm lồi là một đề tài thú vị, nhậnđược sự quan tâm của nhiều nhà toán học. Các vấn đề liên quan đến hàm lồi khôngngừng nảy sinh và có nhiều kết quả đẹp, nhiều kết quả của hàm lồi được ứng dụngtrong toán học và trong thực tế. Khóa luận hướng đến việc trình bày một số vấn đềlý thuyết liên quan đến hàm lồi, khảo sát các ứng dụng của hàm lồi trong việc tìmgiá trị lớn nhất và nhỏ nhất, tìm hiểu một số kết quả mới về một số hàm lồi đặc biệtnhư hàm gamma, hàm zeta Riemann và tích phân elliptic, từ đó làm rõ thêm về đềtài thú vị này.Nội dung của khóa luận chia làm ba chương:Chương một đưa ra một số thuật ngữ và ký hiệu sẽ được dùng trong suốt khóaluận, nhắc lại một số kiến thức mở đầu để độc giả có thể theo dõi dễ dàng hơn trongphần sau. Định nghĩa và tính chất của tập lồi, định nghĩa của hàm lồi, hàm loga-lồivà ý nghĩa hình học của tính lồi cũng được giới thiệu.Chương hai trình bày một số vấn đề lý thuyết liên quan đến hàm lồi, từ cácphép toán đối với các hàm lồi đến tính liên tục, khả vi cấp một và cấp hai, giá trịnhỏ nhất và lớn nhất của hàm lồi. Phần cuối của chương được dành để nói về các bấtđẳng thức liên quan đến hàm lồi, đồng thời giới thiệu một số bất đẳng thức mới vềcác hàm lồi.Chương ba khảo sát một số ứng dụng của hàm lồi như việc tìm giá trị nhỏ nhất2- lớn nhất, khảo sát lớp hàm loga-lồi. Thông qua việc tìm hiểu các hàm loga-lồi đặcbiệt, ta cũng sẽ tìm hiểu và thiết lập một vài bất đẳng thức liên quan đến lớp hàmnày.3Chương 1KIẾN THỨC MỞ ĐẦU - HÀM LỒI VÀZ : Tập hợp các số nguyên.Q : Tập hợp các số hữu tỉ.R : Tập hợp các số thực.R+: Tập hợp các số thực không âm.R>: Tập hợp các số thực dương.C : Tập hợp các số phức.Để người đọc theo dõi khóa luận một cách thuận tiện, tôi xin đưa ra một số kháiniệm, định lý và tính chất sau. Bạn đọc có thể dễ dàng tìm thấy hoặc xem chứngminh một cách đầy đủ trong nhiều tài liệu giải tích hiện nay.1.1.1. Sự đồng phôi giữa các không gian định chuẩn.Định nghĩa 1.1.1. [2] Cho X và Y là hai không gian tuyến tính định chuẩn. Một ánhxạ A: X → Y được gọi là một phép đồng phôi tuyến tính từ X lên Y nếu A là songánh tuyến tính, A liên tục và toán tử ngược A−1cũng liên tục.Khi đó người ta nói hai không gian tuyến tính định chuẩn X và Y là đồng phôi tuyếntính với nhau.Định nghĩa 1.1.2. [2] Cho (X,.1) và (X,.2) là hai không gian tuyến tính địnhchuẩn. Ta gọi hai chuẩn này là tương đương nếu ánh xạ đồng nhất id: (X,.1) →(X,.y − z (1.1.1)đúng với mọi y, z ∈ B(x, ). Nếu bất đẳng thức (1.1.1) đúng với mọi phần tử của tậpV ⊆ U và K độc lập với x, ta nói f Lipschitz trên V .Nhận xét 1.1.2. Từ (1.1.1) ta suy ra f Lipschitz địa phương trên U thì hàm f liêntục trên U.1.1.3. Ánh xạ khả vi.Định nghĩa 1.1.5. [6] Cho X, Y là hai không gian tuyến tính định chuẩn, U là tập mởtrong X và ánh xạ f : U → Y . Khi đó f được gọi là khả vi tại x0nếu có một ánh xạtuyến tính A: X → Y sao cho với h đủ gần điểm 0 ta cóf(x0+ h) = f(x0) + Ah +h (x0, h),trong đó (x0, h) → 0 khi h → 0.Ánh xạ tuyến tính A được gọi là đạo hàm của ánh xạ f tại điểm x0và được ký hiệulà f(x0).Nếu ánh xạ f khả vi tại mọi x ∈ U thì ta nói hàm f khả vi trên U.t.Đạo hàm của hàm f tại x0theo hướng h được ký hiệu là Df(x0, h).Nhận xét 1.1.4. Cho f : U → R là hàm khả vi trên một tập mở U của không giantuyến tính định chuẩn X. Khi đó, với mọi x ∈ U ta luôn có Df(x, h) = f(x)(h).6Thật vậy, cố định h ∈ X, h = 0. Do f khả vi tại x ∈ U nên ta cóf(x + th)− f(x) = f(x)(th) +◦(||th||),trong đó ◦(||th||) → 0 khi ||th|| → 0.Do đóf(x + th) − f(x)t= f(x)(h) +◦(||th||)t.Chuyển qua giới hạn, cho t → 0 ta được Df(x, h) = f(x)(h).Đặc biệt, khi X ≡ R(x1, . . . , xn) −→ (f1(x1, . . . , xn), . . . , fm(x1, . . . , xn))khả vi tại x ∈ U thì tất cả các đạo hàm riêng của hàm f đều tồn tại và[f(x)] =∂f1∂xn.Ánh xạ f : U → Rmcó các đạo hàm riêng theo hướng liên tục trên U. Khi đó f(x)tồn tại và được xác định như trong Định lý 1.1.5.Bây giờ, cho U là tập mở trong không gian tuyến tính định chuẩn thực X. Nếuhàm f : U → R có đạo hàm trên U thì ta có ánh xạ đạo hàm f.Nếu ánh xạ đạo hàm fcó đạo hàm tại x ∈ U thì ta cũng nói hàm f có đạo hàm cấphai tại x và ký hiệu là f(x).Với h ∈ X ta có f(x)(h) là ánh xạ tuyến tính đi từ X → R. Ta suy ra [f(x)(h)](k)là một phần tử của R (k ∈ X). Ta có [f(x)(h)](k) tuyến tính theo cả h và k. Vìvậy, ta xem f(x) là một ánh xạ song tuyến tính từ X × X vào R và [f(b − a)k+f(n+1)(c)(n + 1)!(b − a)n+1.1.1.4. Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu.Định nghĩa 1.1.8. Cho U là một tập con của không gian tuyến tính định chuẩn X.Hàm f : U → R được gọi là đạt cực đại (cực tiểu) địa phương tại x0∈ U nếu có mộthình cầu mở B(x0, ) ⊂ U để f(x) ≤ f(x0) (f(x) ≥ f(x0)) với mọi x ∈ B(x0, ).Nếu f(x) ≤ f(x0) (f(x) ≥ f(x0)) với mọi x ∈ U thì f được gọi là đạt cực đại (cựctiểu) trên U.fλ.g1−λdµ ≤EfdµλEgdµ1−λ.8Nếu λ ∈ {0, 1} vàEfdµ > 0,Egdµ > 0 thì bất đẳng thức trên vẫn đúng. Ta có hệquả:Hệ quả 1.1.10. Cho E là một tập khác trống và (E, F, µ) là một không gian độ đo.Giả sử f, g là các hàm số thực dương đo được trên E,)trong đó 0 ≤ fnlà các hàm số thực đo được trên E đơn điệu tăng và dần về hàm fthìlimn→∞Efndµ =Efdµ.Từ Định lý 1.1.11 ta có hệ quả sau:Hệ quả 1.1.12. [1] Cho E là một tập khác trống và (E, F, µ) là một không gian độđo. Nếu fnlà các hàm số thực không âm đo được trên E với mọi n ∈ N∗thìE∞n=1fndµ =i=1αixiđược gọi là một tổ hợp lồi của x1, . . . , xn.Định lý 1.1.13. [6] Một tập U ⊂ X là tập lồi nếu và chỉ nếu mọi tổ hợp lồi của cácđiểm của U đều nằm trong U.9Định lý 1.1.14. [6] Nếu {Ui}, i ∈ J là một họ các tập lồi thì U = ∩i∈JUilà một tậplồi.Định nghĩa 1.1.10. Cho U là một tập con của X. Khi đó, bao lồi của U ký hiệu làco(U), là giao của tất cả các tập lồi chứa U.Bao lồi của U là một tập lồi.Định lý 1.1.15. [6] Cho U là một tập con của X. Khi đó bao lồi của U là tập tấtcả các tổ hợp lồi của các phần tử của U.Định nghĩa 1.1.11. [6] Một điểm x0của tập lồi U được gọi là điểm cực biên nếu x0chuẩn thực X. Một hàm f : U → R được gọi là lồi nếuf(λx + (1 − λ)y) ≤ λf(x) + (1 − λ)f(y)10với mọi x, y ∈ U và với mọi λ ∈ [0; 1].Các khái niệm hàm lồi thực sự, hàm lõm, lõm thực sự cũng được định nghĩa tươngtự như trong Định nghĩa 1.2.1.Định nghĩa 1.2.2. Cho I là một khoảng của tập số thực và f : I → (0,∞). Khi đó1. f được gọi là hàm loga-lồi nếu ln f là hàm lồi. Nói cách khácf(λx + (1 − λ)y) ≤ f(x)λf(y)1−λ∀x, y ∈ I, λ ∈ [0, 1].2. f được gọi là hàm loga-lõm nếu ln f là hàm lõm. Nói cách khácf(λx + (1 − λ)y) ≥ f(x)λf(y)1−λ∀x, y ∈ I, λ ∈ [0, 1].Trong phần cuối của chương 2 ta sẽ chỉ ra rằng hàm loga-lồi cũng là một hàm lồi.Ví dụ 1.2.1. Các hàm sau đây là hàm lồi:1. f : R → R, f(x) = ax + b với a, b là các số thực bất kỳ.Thật vậy, với bất kỳ a, b ∈ R, x, y ∈ R, λ ∈ [0, 1], ta cóf(λx + (1 − λ)y) = a(λx + (1 − λ)y) + b = λ(ax + b) + (1 − λ)(ay + b)thỏa mãn định nghĩa của hàm lồi.2. Ánh xạ chuẩn . : X → R với X là một không gian tuyến tính định chuẩnthực.Thật vậy, với x, y ∈ X, λ ∈ [0; 1] ta cóλx + (1 − λy) ≤ λx + (1 − λ)y ≤ λx + (1 − λ)ythỏa mãn định nghĩa của hàm lồi.≤ λ infz∈Ux− z + (1 − λ) infz∈Uy − z= λdU(x) + (1 − λ)du(y).11Các tính chất của hàm lồi và tiêu chuẩn đạo hàm cấp hai trong chương 2 sẽ chota nhiều công cụ hơn để chứng minh một hàm nào đó là hàm lồi.Bây giờ, cho f : I → R là một hàm lồi trên mộtkhoảng I ⊂ R. Với u, v ∈ I phân biệt và x ∈ [u; v].Khi đó tồn tại một số λ ∈ [0; 1] đểx = λu + (1 − λ)v.Ta cóx − uv − u=λu + (1 − λ)v − uv − u=(1− λ)(v − u)v − u= 1 − λ. (1.2.2)(u,f(u))(v,f(v))xO2.1 Một số tính chất cơ bản của hàm lồi.Định lý 2.1.1. (Các phép toán với các hàm lồi)Cho U là một tập lồi trong không gian tuyến tính định chuẩn thực X. Khi đó1. Nếu f và g là các hàm lồi trên U thì f + g cũng là hàm lồi trên U. Nếu f hoặcg là hàm lồi thực sự thì tổng f + g cũng là hàm lồi thực sự.2. Nếu f là hàm lồi (lồi thực sự) trên U và µ là một số thực dương thì µf là mộthàm lồi (lồi thực sự) trên U.3. Nếu f là một hàm lồi (lồi thực sự) trên U và V là tập con lồi của U. Khi đóhạn chế f|Vcủa hàm f lên V cũng là một hàm lồi (lồi thực sự) trên V .Chứng minh định lý này khá đơn giản. Ta sẽ không chứng minh định lý này.Nhận xét 2.1.2. Từ Định lý 2.1.1 ta có nhận xét sau:131. Cho ϕ là hàm lồi (lồi thực sự) trên R thì hàm f(x1, . . . , xn) =nk=1ϕ(xk) là hàmlồi (lồi thực sự) trên Rn.2. Một hàm nhiều biến có thể là hàm lồi theo mỗi biến khi cố định các biến còn lạinhưng không phải là hàm lồi. Chẳng hạn như hàm f(x, y) = xy, (x, y) ∈ Rx,y(v),hay ϕx,ylà hàm lồi.Nếu f là hàm lồi thực sự thì theo trên, với u = v và λ ∈ (0; 1) ta thu được bất đẳngthức ngặt, ϕx,ylà hàm lồi thực sự.14⇐) Giả sử các hàm ϕx,ylà các hàm lồi (x, y∈ U).Với mọi x, y ∈ U, với mọi λ ∈ [0; 1] ta cóf(λx + (1 − λ)y) = ϕx,y(λ) = ϕx,y(λ.1 + (1 − λ)0)≤ λϕx,y(1) + (1 − λ)ϕx,yBổ đề 2.1.6. Cho X là một không gian tuyến tính định chuẩn, B(x0, ) là hình cầumở tâm x0bán kính . Khi đó:1. αB(x0, ) = {αx|x ∈ B(x0, )} là hình cầu mở B(αx0, α) với α là số thựcdương.2. B(x0, ) + y = {x + y|x ∈ B(x0, )} là hình cầu mở B(x0+ y, ) với y là mộtđiểm bất kỳ của X.3. Tồn tại một số µ > 1 sao cho z = µx0∈ B(x0, ).Chứng minh. 1. Lấy z = αx ∈ αB(x0, ) (x ∈ B(x=αzα− x0< αhayzα− x0Ta cóz − (x0+ y) = x + y − (x0+ y) = x − x0 < .Suy ra z ∈ B(x0+ y, ).Do đó, B(x0, ) + y ⊂ B(x0+ y, ).Ngược lại, với z∈ B(x0+ y, ) ta cóz− (x0+ y)3. Với z = µx0ta có z − x0 = µx0− x0 = (µ − 1)x0.Chọn µ > 1 sao cho µ − 1 đủ nhỏ, ta có z − x0 = (µ − 1)x0 <  hayz ∈ B(x0, ).Bổ đề được chứng minh.Bây giờ, cho f là hàm lồi trên một tập lồi mở U của không gian tuyến tính địnhchuẩn X và x0∈ U.Đặt V = {x ∈ X : (x + x0) ∈ U}. Suy ra 0 ∈ V .Khi đó, với mọi x, y ∈ V , với mọi λ ∈ [0; 1] ta có x + x0, y + xVậy, V là tập lồi mở trong X.Ta xét hàm g : V → R xác định bởi g(x) = f(x + x0). Ta có g là một hàm lồi trên V .Thật vậy, với mọi x, y ∈ V , với mọi λ ∈ [0; 1] ta cóg(λx + (1 − λ)y) = f(λx + (1 − λ)y + x0)= f(λ(x + x0) + (1 − λ)(y + x0))≤ λf(x + x0) + (1 − λ)f(y + x0)= λg(x) + (1 − λ)g(y).Nhận xét 2.1.7. Với hàm f và hàm g xác định như trên, ta có các nhận xét sau:1. Hàm f bị chặn trên trong hình cầu mở B(x0, ) ⊂ U tương đương với hàm g bịchặn trên trong hình cầu mở B(0, ) ⊂ V .Thật vậy, f bị chặn trên trong B(x0, ) khi và chỉ khi tồn tại số M sao chof(x) ≤ M, ∀ x ∈ B(x0, ).2. Nếu hàm f bị chặn dưới ta cũng có kết quả tương tự.Ta suy ra hàm f bị chặn trong hình cầu mở B(x0, ) ⊂ U tương đương với hàmg bị chặn trong hình cầu B(0, ) ⊂ V .173. Tương tự, hàm f liên tục tại x0∈ U tương đương với hàm g liên tục tại 0.Thật vậy, giả sử hàm f liên tục tại x0. Khi đó với mọi  > 0, tồn tại δ > 0 saocho với mọi x ∈ U, x − x0 < δ ta suy ra f(x) − f(x0) < .Suy rag(x − x0) − g(0) = f(x) − f(x0) <  với mọi x ∈ U,x − x0 < δ.(2.1.2)Đặt y = x − x0. Vì x ∈ U nên y = x − x00, ) ⊂ U thì không mất tính tổng quát, ta cóthể giả sử 0 ∈ U và f bị chặn trên (bị chặn) trong hình cầu B(0, ).Tương tự, f liên tục (khả vi) tại điểm x0∈ U, không mất tính tổng quát, ta có thểgiả sử 0 ∈ U và hàm f liên tục (khả vi) tại điểm 0.Định lý 2.1.8. [6] Cho f là hàm lồi trên một tập lồi mở U của không gian tuyếntính định chuẩn X. Nếu f bị chặn trên trong một lân cận của điểm x0∈ U thì f bịchặn địa phương, tức là mỗi x ∈ U có một lân cận mà trên đó f bị chặn.Chứng minh. Định lý được chứng minh theo hai bước:Bước 1: Giả sử f bị chặn trên trong một lân cận của điểm x0∈ U. Ta chứng minh fbị chặn trong lân cận đó.18Theo Nhận xét 2.1.7, ta có thể xem 0 ∈ U và f bị chặn trên tại điểm 0.Khi đó tồn tại một hình cầu mở B(0, ) ⊂ U và một số N sao chof(x) ≤ N, ∀ x ∈ B(0, ).Bây giờ, ta chứng minh f bị chặn trong B(0, ).Với x ∈ B(0, ), vì 0 =12x +12(−x) nên ta cóf(0) ≤Định lý 2.1.9. [6] Cho f là một hàm lồi trên tập lồi mở U ⊆ X. Nếu f bị chặn trêntrong một lân cận của một điểm thuộc U, thì f là Lipschitz địa phương trên U.Chứng minh. Theo Định lý 2.1.8 ta suy ra f bị chặn địa phương trong U.Do đó, với x0∈ U ta có thể tìm được một lân cận B(x0, 2) ⊆ U và một số M > 0sao cho|f(x)| ≤ M, ∀x ∈ B(x0, 2).19Giả sử f không thỏa mãn điều kiện Lipschitz trên B(x0, ).Khi đó tồn tại x1, x2∈ B(x0, ), x1= x2đểf(x2) − f(x− x2 > 0, ta chọn α > 0 sao cho α(x1− x2) =  và đặtx3= x2+ α(x2− x1).Suy rax3− x2 = α(x2− x1) =  (2.1.5)vàx3− x1) ta cóx2=α1 + αx1+11 + αx3.Do f là hàm lồi nênf(x2) ≤α1 + αf(x1) +11 + αf(x3) hay (1 + α)f(x22)α(x2− x1)≥α(f(x2) − f(x1))α(x2− x1)=f(x2) − f(x1)x2− x1>1, ..., αen}) ⊆ U.Trước hết ta chứng minh V có phần trong◦V khác rỗng.Thật vậy, lấy một phần tử x ∈ V bất kỳ. Khi đó x được biểu diễn dưới dạngx = λ0.0 + λ1.αe1+ . . . + λn.αen(λ0+ λ1+ . . . + λn= 1) (2.1.7)Đặt x0=0 + αe10, n) phụ thuộc liên tục vào các thành phần tọa độ của x nên tồn tạisố δ > 0 sao cho nếu x ∈ B(x0, δ) thì các λi> 0 ∀ i = 0, n.Suy ra B(x0, δ) ⊂ co({0, αe1, ..., αen}) là một lân cận của x0.Vậy,◦V = ∅.Với x ∈ V bất kỳ ta có biểu diễnx = λ00 + λ1(αe1) + ... + λn(αen)Định lý 2.1.12. [6] Giả sử hàm f xác định trên một tập lồi mở U ⊆ X. Nếu f làhàm lồi trên U và khả vi tại x0, thì với x ∈ U, ta cóf(x) − f(x0) ≥ f(x0)(x − x0) (2.1.8)Nếu f khả vi trên U, thì f là hàm lồi nếu và chỉ nếu f thỏa (2.1.8) với mọi x, x0∈ U.Hơn nữa, f lồi thực sự nếu và chỉ nếu bất đẳng thức (2.1.8) là bất đẳng thức ngặt.21Chứng minh. Nếu f là hàm lồi thì với mọi t ∈ (0; 1),f(x0+ t(x − x0)) = f((1 − t)x0+ tx) ≤ (1 − t)f(x0) + tf(x)Đặt h = x − x0) là ánh xạ tuyến tính) ta đượcf(x0+ th) − f(x0) − f(x0)(th)t≤ f(x0+ h) − f(x0) − f(x0)(h)Cho t → 0, vế trái của biểu thức trên dần đến 0, vế phải độc lập với t vẫn không đổi.Ta suy ra (2.1.8) đúng.Nếu f lồi thực sự, (2.1.9) là bất đẳng thức ngặt, kết hợp với (2.1.8) trong đó x = x0+thta cót[f(x0+ h) − f(x02.Ta có t(x1− x0) + (1 − t)(x2− x0) = tx1+ (1 − t)x2− x0= x0− x0= 0.Khi đóf(x0) = f(x0) + f(x0Bất đẳng thức (2.1.8) đúng với x = x1và x = x2, vì vậyf(x0) ≤ tf(x1) + (1 − t)f(x2) (2.1.10)Điều này chứng tỏ f là hàm lồi trên U.Nếu (2.1.8) là bất đẳng thức ngặt thì (2.1.10) là bất đẳng thức ngặt, f là hàm lồithực sự trên U.Định nghĩa 2.1.1. [6] Cho I ⊂ R là một khoảng và hàm f : I → R là hàm khả vi trênI. Khi đó, f(x) được gọi là đơn điệu tăng nếu(f(x) − f(y))(x − y) ≥ 0, ∀ x, y ∈ I.22Nếu với mọi x, y ∈ I, x = y, (f(x)− f(y))(x− y) > 0 thì f2∈ I),ta cóx2− xx2− x1> 0,x − x1x2− x1> 0,x2− xx2− x1+x − x1x22− x1+x − x1x2− x1f(x) ≤x2− xx2− x1f(x1) +x − x1x2− x1f(x2− x1. (2.1.13)Tương tự, trong (2.1.12), cho x → x2ta thu đượcf(x2) − f(x1)x2− x1≤ f(x2). (2.1.14)Từ (2.1.13) và (2.1.14) ta nhận được f(x1) ≤ f(x2) tức f= f(x3),f(x2) − f(x)x2− x= f(x4).Vì f(x) là hàm đơn điệu tăng nên f(x3) ≤ f(x4), ta suy raf(x) − f(x1) Tải File Word Nhờ tải bản gốc Tài liệu, ebook tham khảo khác

• Một số tính chất của hàm tựa lồi
• Một số tính chất của hàm tựa lồi
• Một số tính chất của hàm lồi và ứng dụng
• Một số tính chất của mạng petri và ứng dụng
• hàm đơn diệp và một số tính chất của hàm đơn diệp
• luận văn: MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA HÀM TỰACHẤT MỘT SỐ TÍNH LỒI CỦA HÀM TỰA LỒI
• Bước đầu nghiên cứu một số tính chất của hàm điều hòa và đa điều hòa dưới
• Luận văn: MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA HÀM TỰACHẤT MỘT SỐ TÍNH LỒI CỦA HÀM TỰA LỒI
• Nghiên cứu một số tính chất của muối magie hydroxycitrat, ứng dụng chế biến bột giảm béo hòa tan
• Báo cáo khoa học:
• Tiểu luận: ý tưởng kinh doanh đồ chơi trẻ em
• Hoàn thiện công tác Lập kế hoạch kiểm toán trong Kiểm toán Báo cáo tài chính tại Công ty TNHH Dịch vụ Tư vấn Tài chính Kế toán và Kiểm toán
• Giải pháp nâng cao hiệu quả sử dụng vốn kinh doanh tại Công ty cổ phần xây dựng số 4 Thăng Long
• Giáo trình Đo lường và điều khiển bằng máy tính - Lập trình giao tiếp nối tiếp
• Giáo trình Đo lường và điều khiển bằng máy tính - Bộ điều khiển logic lập trình được
• Bài giảng Thiết kế hệ thống điều khiển liên tục
• Hướng dẫn phần mềm vẽ mạch altium
• Mạch từ trong các thiết bị kỹ thuật điện
• Báo cáo Thí ngiệm điện tử tương tự 1
• Báo cáo Thí ngiệm điện tử tương tự 2

Hệ thống tự động tổng hợp link tải tài liệu, ebook miễn phí cho các bạn sinh viên tham khảo.

Học thêm

• Nhờ tải tài liệu
• Từ điển Nhật Việt online
• Từ điển Hàn Việt online
• Văn mẫu tuyển chọn
• Tài liệu Cao học
• Tài liệu tham khảo
• Truyện Tiếng Anh

Music ♫

Copyright: Tài liệu đại học ©

Top