Một Số ứng Dụng Của định Lý Rolle - Tài Liệu Text - 123doc

Tải bản đầy đủ (.doc) (63 trang)

1. Trang chủ
>>
2. Khoa học tự nhiên
>>
3. Toán học

Một số ứng dụng của định lý rolle

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (412.75 KB, 63 trang )

iMột số ứng dụng củađịnh lý Rolle(Khóa luận TN)iiMỤC LỤCTrang bìa phụ………………………………………………………………….iLời cảm ơn........................................................................................................iiMục lục………………………………………………….....………………… iiCHƯƠNG 3.........................................................................................................................53BÀI TẬP.............................................................................................................................533.1 Bài tập có lời giải...........................................................................................................533.2 Bài tập không có lời giải................................................................................................58..............................................................................................................................................59Bài 3.2.16. Chứng minh rằng với ........................................................................................59Bài 3.2.17. Chứng minh rằng , với.......................................................................................59Bài 3.2.18. Chứng minh rằng ..............................................................................................59KẾT LUẬN..........................................................................................................................60Tài liệu tham khảo...............................................................................................................611MỞ ĐẦU1. Tính cấp thiết của đề tàiTrong chương trình toán phổ thông, các kỳ thi đại học, cao đẳng, thi họcsinh giỏi cấp quốc gia, quốc tế và các kỳ thi olympic toán sinh viên giữa cáctrường đại học trong nước thì các bài toán liên quan đến tính liên tục, đạohàm của hàm số được xem như là dạng toán khó. Phổ biến là các bài toánchứng minh phương trình có nghiệm, biện luận số nghiệm của phương trình,giải phương trình, bất phương trình, chứng minh bất đẳng thức. Đối với cácdạng bài toán này các định lý về giá trị trung bình đóng vai trò quan trọng,một công cụ hiệu quả trong việc giải quyết các bài toán nêu trên.Định lý Rolle và một số mở rộng của nó là các định lý quan trọng về giá trịtrung bình trong giải tích cổ điển. Ứng dụng của định lý này cũng rất đa dạngvà phong phú trong chương trình toán trung học phổ thông.Tuy nhiên những ứng dụng của định lý Rolle và một số mở rộng của nótrong các bài toán giải phương trình, bài toán biện luận số nghiệm của phươngtrình, bài toán chứng minh bất đẳng thức còn được nêu hạn chế và mờ nhạt.Vì vậy cần cung cấp cho học sinh đặc biệt là các em học sinh khá giỏi có năngkhiếu và yêu thích toán một tài liệu ngoài những kiến thức cơ bản còn có cácbài tập nâng cao để qua đó thấy được ứng dụng phong phú và tinh tế của địnhRolle và một số định lý mở rộng khác.Với những lí do nêu trên chúng tôi chọn đề tài “Một số ứng dụng củađịnh lý Rolle” cho khóa luận của mình nhằm đưa ra hệ thống kiến thức cũngnhư cách vận dụng định lý Rolle và một số mở rộng của nó vào các dạng bàitập về chứng minh phương trình có nghiệm, biện luận số nghiệm của phươngtrình, giải phương trình, bất phương trình, chứng minh bất đẳng thức và cảtrong các bài toán khó.2. Mục tiêu khóa luậnMục tiêu của khóa luận là cung cấp cho học sinh một phương pháp để cóthể xử lý các bài toán về chứng minh phương trình có nghiệm, biện luận sốnghiệm của phương trình, giải phương trình, chứng minh bất đẳng thức. Qua2đó củng cố kiến thức cho học sinh và giúp học sinh vận dụng thành thạo địnhlý Rolle và một số mở rộng của nó.3. Nhiệm vụ nghiên cứu- Nghiên cứu những tài liệu, giáo trình liên quan đến hàm số, đạohàm, phương trình, bất phương trình, bất đẳng thức.- Nghiên cứu ứng dụng của định lý Rolle và một số mở rộng của nó.4. Phương pháp nghiên cứu- Phương pháp nghiên cứu tự luận: Đọc và nghiên cứu tài liệu, giáotrình có liên quan đến ứng dụng của định lý Rolle rồi phân hóa, hệ thống hóacác kiến thức.- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Qua việc nghiên cứu tham khảotài liệu, giáo trình từ đó rút ra kinh nghiệm để áp dụng vào việc nghiên cứu.- Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia: Lấy ý kiến của giảng viên trựctiếp hướng dẫn, các giảng viên khác để hoàn thiện về mặt nội dung và hìnhthức của khóa luận.5. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu- Đối tượng: Định lý Rolle.- Phạm vi: Một số ứng dụng của định lý Rolle.6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễnKhóa luận là tài liệu tham khảo cho học sinh THPT, học sinh tham gia vàocác kỳ thi như đại học cao đẳng, các kỳ thi olympic toán... Và là tài liệu giúpgiáo viên ôn tập bồi dưỡng cho học sinh.7. Bố cục của khóa luậnNgoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, khóa luận được chiathành các chương.Chương 1. Kiến thức cơ bảnNội dung chương này nhằm hệ thống một cách cơ bản các kiến thức vềhàm số, tính liên tục, tính khả vi của hàm số và trình bày một cách cơ bảnnhất định lý Rolle và một số mở rộng của nó cùng một số hệ quả quan trọng.3Đây là phần lí thuyết cơ sở để vận dụng cho các bài toán ứng dụng ở chươngsau.Chương 2. Một số ứng dụng của định lý RolleĐây là nội dung trọng tâm của khóa luận. Chương này trình bày một sốứng dụng của định lý Rolle và các định lý mở rộng của nó để giải quyết cácdạng bài tập về chứng minh phương trình có nghiệm, biện luận số nghiệm củaphương trình, giải phương trình, bất phương trình, chứng minh bất đẳng thứcvà khảo sát tính đồng biến, nghịch biến và tính chất lồi, lõm của hàm số khảvi bậc hai.Chương 3. Bài tậpChương này đưa ra các bài tập gồm các bài tập có lời giải và các bài tậpkhông có lời giải nhằm vận dụng những kiến thức thu được từ hai chươngtrước để nâng cao kỹ năng lập luận và kỹ năng tính toán cụ thể.4CHƯƠNG 1KIẾN THỨC CƠ BẢN1.1. Khái niệm hàm sốĐịnh nghĩa 1.1. Cho hai tập hợp X và Y trong ¡ . Hàm số f là một quy tắccho tương ứng mỗi phần tử x của tập hợp X với một phần tử f ( x ) duy nhấtcủa tập hợp Y.Người ta thường kí hiệu hàm số như sau:f :X → Yx ∈ X a f ( x ) ∈YTrong đó X gọi là tập xác định (hay miền xác định).Y gọi là tập giá trị.x gọi là biến số hay đối số của hàm f .f ( x ) gọi là giá trị của hàm số f tại x.Ví dụ 1.1. Cho X = Z; Y = R khi đó quy tắc sau là hàm số.f : X →Yx a f ( x) =2 x +1.3Ví dụ 1.2. Trích bảng thông báo lãi suất của một ngân hàng:Loại kì hạn(tháng)VND (% / năm)Lĩnh lãi cuối kì,Áp dụng từ 08 – 11 – 201516,6027,5638,2868,5298,88129,00Bảng trên cho ta quy tắc để tìm số phần trăm lãi suất s tùy theo loại kìhạn k tháng. Kí hiệu quy tắc ấy là f , ta có hàm số s = f ( k ) xác định trêntập T={ 1;2;3;6;9;12 } .Định nghĩa 1.2. Giả sử hàm số f ( x) xác định trên tập I (a; b) ⊂ R và thỏa5mãn điều kiện. Với mọi x1 , x2 ∈ I ( a; b ) và x1 < x2 , ta đều có f ( x1 ) ≤ f ( x2 )thì ta nói rằng f ( x) là một hàm đơn điệu tăng trên I (a; b).Đặc biệt, khi ứng với mọi x1 , x2 ∈ I ( a; b ) và x1 < x2 , ta đều cóf ( x1 ) < f ( x2 ) thì ta nói rằng f ( x) là một hàm đơn điệu tăng thực sự trênI (a; b).Ngược lại, nếu với mọi x1 , x2 ∈ I ( a; b ) v à x1 < x2 , t a đều cóf ( x1 ) ≥ f ( x2 ) thì ta nói rằng f ( x) là một hàm đơn điệu giảm trên I(a;b).Đặc biệt, khi ứng với mọi cặp x1 , x2 ∈ I ( a; b ) v à x1 < x2 , t a đều cóf ( x1 ) > f ( x2 ) thì ta nói rằng f ( x) là một hàm đơn điệu giảm thực sự trênI ( a; b ) .Những hàm đơn điệu tăng thực sự trên I (a; b) được gọi là hàm đồngbiến trên I (a; b) và hàm đơn điệu giảm thực sự trên I (a; b) được gọi làhàm nghịch biến trên I (a; b) .Ví dụ 1.3. Xét hàm số f ( x) = x 2 . Gọi x1 và x2 là hai giá trị tùy ý của đối số.Trường hợp 1: Khi x1 và x2 thuộc nửa khoảng [ 0;+ ∞ ) , ta có0 ≤ x1 < x2 ⇒ x12 < x22 ⇒ f ( x1 ) < f ( x2 ) .Suy ra hàm số đã cho đồng biến trên nửa khoảng [ 0;+ ∞ ) .Trường hợp 2: Khi x1 và x2 thuộc nửa khoảng ( −∞ ;0 ] , ta cóx1 < x2 ≤ 0 ⇒ x1 > x2 ⇒ x12 > x22 ⇒ f ( x1 ) > f ( x2 ) .Suy ra hàm số đã cho nghịch biến trên nửa khoảng ( −∞ ;0 ] .1.2. Giới hạn của hàm sốĐịnh nghĩa 1.3. Giả sử ( a; b ) là một khoảng chứa điểm x0 và f là một hàmsố xác định trên tập hợp ( a; b ) \ { x0 } . Ta nói rằng hàm số f có giới hạn là sốthực L khi x dần đến x0 ( hoặc tại điểm x0 ) nếu với mọi dãy số ( xn ) trong6tập hợp ( a; b ) \ { x0 } ( tức là ( xn ) ∈ ( a; b ) và xn ≠ x0 với mọi n ) mà lim xn = x0ta đều có lim f ( xn ) = L .f ( x ) = L hoặc f ( x ) → L khi x → x0 .Khi đó ta viết xlim→ x01xcos ÷.Ví dụ 1.4. Tìm limx →0xLời giải1Xét hàm số f ( x ) = xcos . Với mọi dãy số ( xn ) mà xn ≠ 0 với mọi n và limxxn = 0, ta có f ( xn ) = xncos11. Vì f ( xn ) = xn cos ≤ xn và lim xn = 0.xnxn1f ( x ) = lim  x cos ÷ = 0 .nên lim f ( xn ) = 0 . Do đó limx →0x →0xĐịnh nghĩa 1.4. Giả sử hàm số f xác định trên khoảng ( x0 ; b )( x0 ∈ R) . Tanói hàm số f có giới hạn bên phải là số thực L khi x dần đến x0 ( hoặc tạiđiểm x0 ) nếu với mọi dãy số ( xn ) trong khoảng ( x0 ; b ) mà lim xn = x0 , ta đềucó lim f ( xn ) = L .f ( x ) = L hoặc f ( x ) → L khi x → x + .Khi đó ta viết: xlim0→ x0+Định nghĩa giới hạn bên trái của hàm số được định nghĩa tương tự.Định nghĩa 1.5. Giả sử hàm số f xác định trên khoảng ( a; x0 )( x0 ∈ R) . Tanói hàm số f có giới hạn bên trái là số thực L khi x dần đến x0 (hoặc tạiđiểm x0 ) nếu với mọi dãy số ( xn ) trong khoảng ( a; x0 ) mà lim xn = x0 , ta đềucó lim f ( xn ) = L .f ( x) = L hoặc f ( x ) → L khi x → x − .Khi đó ta viết: xlim0→ x0−Nhận xét 1.1.7f ( x) = L thì hàm số f có giới hạn bên phải và giớii) Hiển nhiên nếu xlim→ x0f ( x) = lim+ f ( x) = L .hạn bên trái tại x0 và xlim→ x0−x → x0f ( x) = lim+ f ( x) = L thì hàmii) Điều ngược lại cũng đúng, nghĩa là: Nếu xlim→ x0−x → x0f ( x) = L .số f có giới tại tại điểm x0 và xlim→ x0Ví dụ 1.5. Gọi d là hàm dấu−1 , x < 0.d( x) = 0 , x = 0.1 , x > 0.d ( x) , lim+ d ( x) và lim d ( x) ( nếu có ).Tìm xlimx →0→0 −x →0Lời giảiVới x < 0 ta có d( x) = −1 . Do đólim d ( x) = lim(−1) = −1x →0 −x →0 −d ( x) = lim1= 1.Tương tự, ta có xlim→0 +x →0+d ( x) ≠ lim− d ( x) nên không tồn tại lim d ( x) .Vì xlimx →0→0 +x →01.3. Tính liên tục của hàm số1.3.1. Định nghĩa và ví dụĐịnh nghĩa 1.6. Giả sử hàm số f xác định trên khoảng ( a ; b ) và x0 ∈ ( a ; b ) .f ( x) = f ( x0 ) .Hàm số f được gọi là liên tục tại điểm x0 nếu xlim→ x0Ta có thể định nghĩa hàm số liên tục tại một điểm như sau :Định nghĩa 1.7. Cho tập X ⊂ R, hàm số f : X → R và điểm x0 ∈ X . Nếuvới mọi ε > 0 cho trước bao giờ cũng tồn tại δ > 0 ( phụ thuộc vào ε ) saocho với mọi x ∈ A mà x − x0 < δ ta đều có f ( x ) − f ( x0 ) < ε thì ta nói hàmf liên tục tại điểm x0 .Nếu f liên tục tại mọi điểm x ∈ X thì ta nói f liên tục trên X .8Nếu f không liên tục tại x0 được gọi là gián đoạn tại điểm x0 hay x0là điểm gián đoạn của hàm f .Ví dụ 1.6.a) Hàm số f ( x) = x 2 liên tục tại mọi điểmf ( x) = x02 = f ( x0 ).x0 ∈ R vì xlim→ x01, x ≠ 0.b) Hàm số f ( x) =  x0 , x = 0.Gián đoạn tại điểm x = 0 vì không tồn tại1(hình 1.1).x →0 xlim f ( x) = limx →0Ví dụ 1.7. Xét tính liên tục của hàm sốy x 2 +1f ( x) = 122, x ≠ −1.y = x2 + 1, x = −1.1tại điểm x = −1 .Lời giải−1 Of ( x ) = lim ( x 2 + 1) = 2 và f ( −1) = 2 .Ta có xlim→−1x →−1121xHình 1.2f ( x ) ≠ f ( −1) nên hàm số gián đoạn tại điểm x = −1 (hình 1.2).Vì xlim→−1Định nghĩa 1.7.1. Giả sử hàm số f xác định trên tập hợp J, trong đó J là một khoảng hoặchợp của nhiều khoảng. Ta nói rằng hàm số f liên tục trên J nếu nó liên tục tạimọi điểm thuộc tập hợp đó.2. Hàm số f xác định trên đoạn [ a; b ] được gọi là liên tục trên đoạn nếu nóf ( x) = f (a) ,liên tục trên khoảng ( a; b ) và xlim→a +lim f ( x) = f (b) .x →b −Ví dụ 1.8. Xét tính liên tục của hàm số f ( x ) = 1 − x 2trên đoạn [ −1;1] .9Lời giảiHàm số đã cho xác định trên đoạn [ −1;1] .Vì với mọi x0 ∈( −1;1) ta cólim f ( x ) = lim 1 − x 2 = 1 − x02 = f ( x0 ) ,x → x0x → x0nên hàm số f liên tục trên khoảng ( −1;1) .Ngoài ra ta cóHình 1.3lim + f ( x ) = lim + 1 − x = 0 = f ( −1) .2x →( −1)x →( −1)lim − f ( x ) = lim − 1 − x 2 = 0 = f ( 1) .vàx →( −1)x →( −1)do đó hàm số đã cho liên tục trên đoạn [ −1;1] (hình 1.3)Chú ý 1.1.i) Tính liên tục của hàm số trên các nửa khoảng( −∞;b][ a; b ) , ( a; b] , [ a; +∞ )vàđược định nghĩa tương tự như tính liên tục trên một đoạn.ii) Hàm sơ cấp liên tục trên tập xác định của chúng ( tức là liên tục tại mọiđiểm thuộc tập xác định của chúng).Ví dụ 1.9. a) Các hàm y = sin x , y = cos x xác định và liên tục trên R .43b) Hàm f ( x ) = x + 2 x + 1 xác định và liên tục trên R .1.3.2. Tính chất của một hàm số liên tục trên một đoạnĐịnh lý 1.1. Nếu f và g là hai hàm số cùng xác định trên tập X ⊂ R và liêntục tại điểm x0 ∈ X thì α f + β g (với α và β là những hằng số), f − g ,f .g đều là những hàm số liên tục tại x0 . Nếu g ( x0 ) ≠ 0 thìfcũng là hàmgliên tục tại x0 .Ví dụ 1.10. Cho hai hàm số f ( x) = 2 x 2 + 1 và g ( x) = x − 1 là hai hàm số xácđịnh và liên tục trên R . Khi đó tại x0 = 2 thì f và g cũng liên tục.Dễ thấy các hàm f + g = 2 x 2 + x ; f − g = 2 x 2 − x + 2 và hàm10f .g = 2 x 3 − 2 x 2 + x − 1 là các hàm số xác định và liên tục trên R nên cũngliên tục tại x0 = 2 .f 2 x2 + 1Ta có g ( 2 ) = 1 ≠ 0 nên hàm số =xác định và liên tục trên R \ { 1} ,gx −1vậyfcũng liên tục tại x0 = 2 .gĐịnh lý 1.2. Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [ a ; b ] thì nó bị chặn trên đoạnđó.Chứng minhGiả sử phản chứng f liên tục trên ( a; b ) nhưng không bị chặn trênđoạn đó. Khi đó, với ∀n ∈ ¥ * tồn tại xn ∈ [ a; b ] sao cho f ( xn ) > n . Dãy{ xn } nlà dãy bị chặn, theo nguyên lí Bolzano – Weierstrass nó chứa có một{ }dãy con xnkkhội tụ đến x0 . Vì a ≤ xnk ≤ b với mọi k, nên cho k → ∞ ta suyra a ≤ x0 ≤ b . Dof ( xnk ) → f ( x0 )fliên tục tại x0 ta có( )f xnk → f ( x0 )( )từ đó( )(k → ∞) . Mặt khác f xnk ≥ nk , vì thế f xnk → +∞( k → ∞ ) , ta đi đến mâu thuẫn. Vậy hàmf phải bị chặn trên [a;b].Ví dụ 1.11. Xét hàm số f ( x ) = 1 − x 2 . Dễ thấy đây là hàm số liên tục trênđoạn [ 0;1] . Mặt khác ta có 0 ≤ f ( x ) ≤ 1 với ∀x ∈ [ 0;1] .Vậy f là hàm bị chặn trên [ 0;1] .Định lý 1.3. Nếu hàm f liên tục trên [ a; b ] thì nó đạt cận trên đúng và cậndưới đúng trên đó, tức là tồn tại hai sốf ( x0 ) = sup f ( x ) , f ( x0' ) = inf f ( x) .x∈[ a ;b ]x∈[ a ;b ]Chứng minhx0 , x0' ∈ [ a, b ]sao cho11Theo định lý trên hàm f bị chặn trên [ a; b ] vì thế tồn tạisup f ( x) = M , M < +∞ và inf f ( x) = m , m > −∞ . Theo định nghĩa cậnx∈[ a ;b ]x∈[ a ;b ]f ( xn ) = M . Dãy { xn } là dãytrên đúng, tồn tại dãy { xn } n ⊂ [ a; b ] sao cho limnn →∞{ }bị chặn nên có chứa một dãy con xnkk, xnk → x0 ∈ [ a; b ] .f ( xn ) = lim f ( xnk ) = f ( x0 ) .Khi đó, do f liên tục, ta có M = limn→∞k →∞1.4. Tính khả vi của hàm sốĐịnh nghĩa 1.8. Cho hàm số y = f ( x ) xác định trên khoảng ( a ; b ) và điểmx0 thuộc đoạn đó. Giới hạn hữu hạn (nếu có ) của tỉ sốf ( x) − f ( x0 )khi xx − x0dần đến x0 được gọi là đạo hàm của hàm số đã cho tại điểm x0 kí hiệu làf '( x0 ) hoặc y '( x0 ) , nghĩa là f '( x0 ) = limx→ x0f ( x) − f ( x0 ).x − x0Nếu đặt ∆x = x − x0 và ∆y = f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) thì ta cóf ' ( x0 ) = lim∆x →0f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 )∆y= lim.∆x →0 ∆x∆xKhi đó ta nói hàm f khả vi tại điểm x0 .Chú ý 1.2.i) Số ∆x = x − x0 được gọi là số gia của biến số tại điểm x0 ; số∆y = f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) được gọi là số gia của hàm số ứng với số gia ∆x tạiđiểm x0 .ii) Số ∆x không nhất thiết phải mang dấu dương.iii) ∆x và ∆y là các kí hiệu, không nên nhầm lẫn rằng: ∆x là tích của số ∆với x , ∆y là tích của ∆ với y .Ví dụ 1.12. Tính đạo hàm của hàm số y = 2 x + 1 tại điểm x0 = 2 .Lời giải12Đặt f ( x ) = 2 x + 1, khi đó∆y = f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) = 2 ( 2 + ∆x ) − (2.2 + 1) = 2∆x − 1 .Và ∆limx →0∆y2 ∆x − 1= lim= 2 . Vậy f '(2) = 2 .∆x ∆x→0 ∆xĐịnh nghĩa 1.9. Cho hàm số f : [ x0 ; b ) → R . Nếu tồn tại giới hạn hữu hạnlim+∆x →0f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 )thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm bên phải của f∆x+tại x0 kí hiệu là f ' ( x0 ) .Tương tự, xét hàm số f : ( a ; x0 ] → R . Nếu tồn tại giới hạn hữu hạnlim−∆x →0f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 )thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm bên trái của f∆x−tại x0 kí hiệu là f ' ( x0 ) .Nhận xét 1.2.i) Nếu hàm số f xác định trên khoảng ( a ; b ) có đạo hàm tại điểm x0 thuộckhoảng đó thì nó cũng có đạo hàm bên phải và đạo hàm bên trái tại x0 vàf ' ( x0+ ) = f ' ( x0− ) = f ' ( x0 ) .ii) Ngược lại nếu hàm số f xác định trên khoảng ( a ; b ) có đạo hàm bên phải+−và đạo hàm bên trái tại x0 sao cho f ' ( x0 ) = f ' ( x0 ) = f ' ( x0 ) thì nó cũng cóđạo hàm tại điểm x0 .Ví dụ 1.13. Xét hàm số f ( x) = x 2 ta thấy hàm số có đạo hàm tại x = 3 , do đónó có đạo hàm bên phải, đạo hàm bên trái tại x = 3 vàf ' ( 3+ ) = f ' ( 3− ) = f ' ( 3) = 6 .Ví dụ 1.14. Xét hàm f ( x ) = x . Tại điểm x0 = 0 ta cólim+∆x →0∆f∆x= lim+= 1 hay f ' ( 0+ ) = 1 và∆x→0∆x∆xf ' ( 0− ) = −1lim−∆x →0∆f∆x= lim− −= −1 ,∆x ∆x→0 ∆xhay13Như vậy không tồn tại đạo hàm của hàm số f tại x0 = 0 .1.5. Định lý RolleĐịnh nghĩa 1.10. Cho tập mở U ⊂ R và hàm số f : U → R . Ta nói rằng hàmđạt cực đại địa phương (tương ứng cực tiểu địa phương) tại x0 ∈U nếu tồn tạimột số δ > 0 sao cho ( x0 − δ , x0 + δ ) ⊂ U và f ( x) ≤ f ( x0 ) (tương ứngf ( x ) ≥ f ( x0 ) ) với mọi x ∈ ( x0 − δ , x0 + δ ) .Điểm x0 mà tại đó hàm f đạt cực đại địa phương hoặc cực tiểu địaphương được gọi chung là điểm cực trị của hàm f .Định lý 1.4. (Định lý Fermat) Cho tập mở U ⊂ R và hàm f : U → R . Nếuđiểm c ∈U là điểm cực trị của hàm f và nếu tồn tại f '(c) thì f '(c) = 0 .Định lý 1.5. (Định lý Rolle) Giả sử hàm số f : [ a; b ] → R có các tính chất:a) f liên tục trên [ a; b ] ;b) f khả vi trong ( a; b ) ;c) f ( a ) = f ( b ) .Khi đó, tồn tại ít nhất một điểm c ∈ ( a; b ) sao cho f '(c) = 0 .Chứng minhHai trường hợp có thể xảy ra là:1) Hàm f là hằng số trên [ a; b ] tức là f ( x ) = f ( a ) = f ( b ) = hằng số. Khiđó f ' ( x ) = 0 với mọi x ∈ ( a; b ) .2) Hàm f ( x ) không phải là hằng số trên [ a; b ] . Vì là hàm liên tục trên [ a; b ]nên đạt giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên [ a; b ] và ít nhất một trong haigiá trị này đạt được tại điểm c trong khoảng ( a; b ) vì f ( a ) = f ( b ) . Theo giảthiết đạo hàm tồn tại ở mọi điểm trong ( a; b ) và vì thế tại điểm c trongkhoảng này tại đó f đạt cực trị ta có f ' ( c ) = 0 theo định lý Fermat.Nhận xét 1.3.14i) Định lý Rolle nói chung sẽ không còn đúng nếu trong khoảng ( a ; b ) cóđiểm c mà tại đó f '(c) không tồn tại. Chẳng hạn, xét hàm f ( x) = 2 − 3 x 2 ,x ∈ [ −1;1] . Thật vậy f ( x ) thỏa mãn các điều kiện: f ( x ) liên tục trên ( −1; 1)và f ( −1) = f ( 1) . Ta xét đạo hàm f '( x) = 3 22, ta thấy tại x0 = 0 ∈ (−1;1)xđạo hàm không tồn tại, nên hàm số không thoả mãn đủ các điều kiện của địnhlý Rolle.ii) Điều kiện liên tục trên đoạn [ a; b ] đối với hàm f ( x ) cũng không thể thaybởi điều kiện f ( x ) liên tục trong khoảng ( a ; b ) . Chẳng hạn, xét hàm1f ( x) = 0, x=0, 0 < x ≤1Ở đây x = 0 là điểm gián đoạn. Khi đó, rõ ràng không tồn tại x0 ∈ (0;1) đểf ( x0 ) = 0 .Ý nghĩa hình học: Nếu hàm số f : [ a; b ] → R liên tục trên [ a; b ] , có đạo hàmtrong ( a; b ) và f ( a ) = f ( b ) thì tồn tại một điểm c ∈ ( a; b ) sao cho tiếp tuyếncủa đường cong y = f ( x ) tại điểm M ( c; f ( c ) ) song song với trục hoànhOx (tức là song song với đường thẳng đi qua hai điểm ( a; f ( a ) ) và ( b; f ( b ) ).(hình 1.4)yMf ( c)f ( a) = f ( b)Oacbx15Hình 1.4Hệ quả 1.1. Nếu hàm số f ( x ) có đạo hàm trên khoảng ( a ; b ) và phươngtrình f ( x ) = 0 có n nghiệm phân biệt thuộc khoảng ( a ; b ) thì phương trìnhf ' ( x ) = 0 có ít nhất n − 1 nghiệm phân biệt thuộc khoảng ( a ; b ) ( Phươngtrình f ( k ) ( x) = 0 có ít nhất n − k nghiệm phân biệt thuộc khoảng ( a ; b ) , vớik=1,2,…,n).Chứng minhGiả sử phương trình f ( x ) = 0 có n nghiệm phân biệt thuộc khoảng( a ;b )đã được sắp thứ tự x1 < x2 < ... < xn . Khi đó áp dụng định lý Rolle chon − 1 đoạn [x1; x2 ] [x2 ; x3 ] ... [xn−1; xn ] thì phương trình f ' ( x ) = 0 có ít nhất( x1; x2 ) , ( x1; x2 ) ,..., ( xn−1; xn ) .n − 1 nghiệm thuộc n − 1 khoảngGọi n − 1nghiệm đó là ξ1 , ξ 2 ,..., ξ n−1 thì ta có f '(ξ1 ) = f '(ξ 2 ) = ... = f '(ξ n−1 ) = 0 .Tiếptụcápdụng(ξ1;ξ 2 ), (ξ 2 ; ξ3 ),..., (ξ n−2 ;ξ n−1 )địnhlýRollechon−2khoảngthì phương trình f "( x ) = 0 có ít nhất n − 2nghiệm trên khoảng ( a ; b ) .Tiếp tục lý luận trên, sau k bước phương trình f ( k ) ( x) = 0 có ít nhấtn − k nghiệm phân biệt trên khoảng ( a ; b ) .Hệ quả 1.2. Giả sử hàm số f ( x) liên tục trên đoạn [a ; b] và có đạo hàm trênkhoảng( a ;b ) .Khi đó, nếu phương trình f '( x) = 0 có không quá n − 1nghiệm phân biệt trên khoảng ( a ; b ) thì phương trình f ( x) = 0 có không quán nghiệm phân biệt trên khoảng đó.Chứng minhGiả sử phương trình f ( x) = 0 có nhiều hơn n nghiệm phân biệt trênkhoảng ( a ; b ) , chẳng hạn là n + 1 nghiệm, thế thì theo hệ quả 1.1 phương16trình f '( x) = 0 có ít nhất n nghiệm thuộc khoảng ( a ; b ) . Điều này trái vớigiả thiết. Vậy phương trình f ( x) = 0 có không quá n nghiệm trên khoảng( a ;b ) .Hệ quả 1.3. Cho hàm số f ( x) thoả mãn đồng thời các tính chất sau đây:i ) f ( x) xác định và có đạo hàm cấp n ( n ≥ 1) liên tục trên đoạn [a;b];i i ) f ( x) có đạo hàm cấp n + 1 trong khoảng (a; b);iii) f ( a) = f '(a ) = ... = f n ( a) = 0 , f (b) =0.Khi đó tồn tại dãy điểm b 1 ,b 2 ,..,bn +1 phân biệt thuộc khoảng ( a ; b ) sao chof ( k ) (bk ) = 0, k = 1,2,..., n + 1 .Chứng minhTừ giả thiết f ' ( a ) = f ' ( b ) = 0 , theo định lý Rolle tồn tại b1 ∈ (a; b) saocho f '(b1 ) = 0, kết hợp với điều kiện f '(a) = 0, suy ra tồn tại b2 ∈ (a; b1 )⊂ (a; b) sao cho f '(b2 ) = 0. Lại kết hợp với điều kiện f "( a ) = 0 và tiếp tụcáp dụng định lý Rolle ta có f '''(b3 ) = 0 với b3 ∈ (a; b2 ) ⊂ (a; b) .Tiếp tục như vậy, đến bước thứ n, tồn tại bn ∈ (a; bn−1 ) ⊂ (a; b) sao chof ( n ) (bn ) = 0, kết hợp với điều kiện f n (a ) = 0 , suy ra tồn tại bn+1 ∈ (a; bn )⊂ (a; b) sao cho f n+1 (bn+1 ) = 0.Như vậy tồn tại dãy điểm phân biệt b1 , b2 ,..., bn +1 trong khoảng ( a ; b )sao cho f ( k ) (bk ) = 0, k = 1 , 2 , . . . , n + l .Nhờ những hệ quả này mà định lý Rolle trở thành một công cụ rấtmạnh để giải toán, đặc biệt là đối với dạng toán về giải phương trình và kiểmchứng số nghiệm của phương trình trong một khoảng nào đó. Các ứng dụngnày sẽ được trình bày chi tiết trong chương sau.1.6. Một số mở rộng của định lý RolleĐịnh lý 1.6. (Định lý Lagrange) Giả sử hàm số f : [ a; b ] → R có các tínhchất.171) f liên tục trên [ a; b ] ;2) f khả vi trong ( a; b ) .Khi đó tồn tại ít nhất một điểm c ∈ ( a; b ) sao cho f ( b ) − f ( a ) = f ' ( c ) ( b − a ).Chứng minhXét hàm số F : [ a; b ] → R xác định bởiF ( x) = f ( x ) − f (a ) −f ( b) − f ( a)( x − a) .b−aHàm F liên tục trên [ a; b ] khả vi trong ( a; b ) và F ( b ) = F ( a ) = 0. Theođịnh lý Rolle tồn tại c ∈ ( a; b ) sao cho F ' ( c ) = f '(c) −f (b) − f (a)= 0 từ đób−asuy ra điều phải chứng minh.Nhận xét 1.4. Từ định lý Rolle ta có thể chứng minh định lý Lagrange hayđịnh lý Lagrange là một hệ quả của định lý Rolle. Thế nhưng chính định lýRolle (về dạng biểu thức) lại là một trường hợp riêng của định lý Lagrange,trường hợp f ( a ) = f ( b ) .Ý nghĩa hình họcCho hàm số f : [ a; b ] → R liên tục trên [ a; b ] , khả vi trong ( a; b ) , có đồ thị(C), A ( a; f ( a ) ) , B ( b; f ( b ) ) . Khi đó trên (C) tồn tại điểm C ( c; f ( c ) ) ,c ∈ ( a ; b ) mà tiếp tuyến của ( C ) tại C song song với đường thẳng AB(hình 1.5).yf (b)BCf (c )f (a)A18aOcbHình 1.5xHệ quả 1.4. Giả sử hàm số f :[a; b] → R liên tục trên đoạn [a;b] và khả vitrong khoảng ( a; b ) . Khi đó :a) Nếu f '( x) = 0 với mọi x ∈ (a; b) thì f là một hằng số trên [ a; b ] ;b) Nếu f '( x) > 0 ( f '( x) < 0 ) với mọi x ∈ (a; b) thì f tăng ( giảm ) thực sựtrên [a;b].Chứng minha) Giả sử a ≤ x1 < x2 ≤ b . Theo định lý Lagrange tồn tại c ∈ ( x1; x2 ) sao chof ( x2 ) − f ( x1 ) = f '(c)( x2 − x1 ).(1.1)Do f '( x) = 0 với mọi x ∈ (a; b) nên f '(c) = 0 , từ đó suy ra f ( x1 ) = f ( x2 ) .x1 , x2Vìlànhữnggiátrịbấtkìx1 , x2 ∈ [ a; b ]nênsuyraf ( x1 ) = f ( x2 ) = f ( x ) , ∀x ∈ [ a; b ] . Vậy hàm f là một hằng số.b) Nếu f '( x) > 0 ( f '( x) < 0 ) với mọi x ∈ ( a; b) , giả sử a ≤ x1 < x2 ≤ b từ 1.1ta có x2 − x1 > 0 và f ' ( c ) > 0 ( f ' ( c ) < 0 ) .Suy ra f ( x2 ) − f ( x1 ) > 0 ( f ( x2 ) − f ( x1 ) < 0 ) . Vậy f là hàm tăng (giảm) trên[ a; b] .Định lý 1.7. (Định lý Cauchy) Giả sử các hàm f , g : [ a; b ] → R có các tínhchất.1) f , g liên tục trên [ a; b ] ;2) f , g khả vi trong ( a; b ) .Khi đó tồn tại c ∈ ( a; b ) sao cho[ f (b) − f (a)] g '(c) = [g ( b ) − g ( a ) ] f '(c).(1.2)Nếu hơn nữa g ' ( x ) ≠ 0 với mọi x ∈ ( a; b ) thì công thức trên có thể viết là19f [ b ] − f ( a ) f '(c)=.g ( b ) − g ( a ) g '(c )(1.3)Chứng minhXét hàm h : [ a; b ] → R xác định bởih ( x ) =  f ( b ) − f (a )  g ( x ) − [ g (b) − g (a ) ] f ( x ).Hàm h liên tục trên [a; b] , khả vi trong (a;b) vàh(a ) = f (b) g (a) − g (b) f (a) = h(b).Theo định lý Rolle tồn tại c ∈ ( a; b ) sao choh '(c) = [f ( b ) − f ( a ) ]g '(c ) − [g (b) − g (a )] f '(c) = 0 .từ đó suy ra (1.2).Nếu hơn nữa g '( x) ≠ 0 với mọi x ∈ (a; b) thì g (b) − g (a) ≠ 0 vì nếukhông sẽ tồn tại ξ ∈ (a; b) sao cho g '(ξ ) = 0 , trái với giả thiết. Khi đó từ (1.2)ta suy ra (1.3).N h ận x é t 1.5. Định lý Lagrange là trường hợp riêng của định lý Cauchyvới giả thiết g ( x) = x .Định lý 1.8. (Định lý rolle trên khoảng vô hạn)Giả sử hàm số f ( x ) liên tục trên [ a; +∞ ) có đạo hàm trong khoảng ( a; +∞ )f ( x) = f ( a) . Khi đó ∃c ∈ ( a; +∞ ) sao cho f ' ( c ) = 0 .và xlim→+∞Chứng minhNếu f ( x ) = f ( a ) với mọi x > a thì lấy c là một số bất kỳ lớn hơn a.Giả sử tồn tại b > a sao cho f ( b ) ≠ f (a ) chẳng hạn f ( b ) > f (a ) . Gọi µ làmột số thực bất kỳ thuộc(f (a ); f (b) ) , theo định lý Bolzano-Cauchy, tồn tạif ( x ) = f ( a ) < μ nên tồn tại d > b saoα ∈ ( a; b ) sao cho f ( α ) = µ . Vì limx →∞cho f ( d ) < μ. Do f ( x ) liên tục trên [ a; +∞ ) nên theo định lý BolzanoCauchy tồn tại β ∈ ( b; d ) sao cho f ( β ) = µ = f (α ) , do đó theo định lý Rolle,tồn tại c ∈ (α ; β ) sao cho f ' ( c ) = 0 .20CHƯƠNG 2MỘT SỐ ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ ROLLE2.1 Chứng minh sự tồn tại và biện luận số nghiệm của phương trìnhĐể chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình, ta có thể sử dụngcác định lý sau.Định lý 2.1. Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và F ( x) là mộtnguyên hàm của f ( x) trong đoạn đó. Nếu tồn tại các số thực x1; x2 ∈ [ a; b ]với x1 < x2 sao cho F ( x1 ) = F ( x2 ) thì phương trình f ( x ) = 0 có nghiệm trongđoạn [ x1; x2 ] (hay có nghiệm trong đoạn [a; b] ).Chứng minhGiả sử phương trình f ( x) = 0 vô nghiệm trên đoạn [ x1; x2 ] . Vì f ( x)liên tục nên suy ra hoặc f ( x) < 0, ∀x ∈ [ x1; x2 ] hoặc f ( x) > 0, ∀x ∈ [ x1; x2 ] .N ế uf ( x) < 0, ∀x ∈ [ x1; x2 ] t h ì F ( x) là hàm số nghịch biến trên đoạn[ x1; x2 ]nên F ( x1 ) > F ( x2 ) .N ế u f ( x) > 0, ∀x ∈ [ x1; x2 ] t h ì F ( x) là hàm số đồng biến biến trên đoạn[ x1; x2 ]nên F ( x1 ) < F ( x2 ) .Như vậy trong cả hai trường hợp ta đều có F ( x1 ) ≠ F ( x2 ) điều này tráivới giả thiết. Vậy phương trình có nghiệm trong đoạn [ x1; x2 ] .Kết quả trên được phát biểu dưới dạng định lý tương đương sau đây.Định lý 2.2. Giả sử hàm số y = f ( x ) liên tục trên đoạn [a;b]. Nếu tồn tại cácsố thực x1; x2 ∈ [ a; b ] màx2∫ f ( x ) dx = 0thì phương trình f ( x) = 0 có nghiệmx1trong đoạn [ x1; x2 ].Để giải quyết dạng toán này ta cần chọn hàm số thỏa mãn điều kiện củacác định lý dựa trên giả thiết của bài toán.Dưới đây là một số ví dụ minh họa cho dạng bài tập này.21Ví dụ 2.1. Cho f là một hàm liên tục trên [0;1], khả vi trên (0;1), f ( 1) = 0 .Chứng minh rằng tồn tại c ∈ ( 0;1) sao cho f ( c ) +1c f '( c ) = 0 .2002Lời giải2002Xét hàm g ( x ) = x . f ( x ) .Dễ thấy g ( x) là hàm liên tục trên [0;1] và khả vi trên (0;1) vàg ( 0 ) = g ( 1) = 0 . Khi đó theo định lý Rolle ∃c ∈ ( a; b ) sao cho g ' ( c ) = 0 hay2002 c 2001 f ( c ) + c 2002 f ' ( c ) = 0 .⇔ f ( c) +1c f ( c) = 0 .2002Vậy ta có điều phải chứng minh.Nhận xét 2.1: Với giả thiết trên ta có thể chứng minh được bài toán tương tự:cho f là một hàm liên tục trên [0;1], khả vi trên (0;1), f ( 1) = 0 . Chứng minhrằng tồn tại c ∈ ( 0;1) sao cho f ( c ) +1.c. f ' ( c ) = 0 , α là số thực bất kì.αVí dụ 2.2. Chứng minh rằng với a, b, c tùy ý, phương trìnha cos3 x +b cos 2 x +c cos x +sin x = 0 luôn có nghiệm thuộc đoạn [0;2π].Lời giải11Xét hàm số f ( x) = a sin 3x + b sin 2 x + c sin x − cos x .32Ta thấy f ( x) liên tục có đạo hàm trên R vàf '( x) = a cos3x +b cos 2 x +c cos x +sin x .Ta có f (0) = a + b + c .f (2π ) = a + b + c .Khi đó theo định lý Rolle ∃x0 ∈ [ 0;2π ] sao cho f '(0) = 0 haya cos3 x0 +b cos 2 x0 +c cos x0 +sin x0 =0 .Vậy phương trình có nghiệm trong đoạn [ 0;2π ] .22Nhận xét 2.2: Bài toán trên có dạng tổng quátCho hàm số f ( x ) liên tục trên [ a; b ] . Chứng minh rằng phương trìnhf ( x ) = 0 luôn có nghiệm trên ( a; b ) .Phương pháp giải:Xét hàm số F ( x ) thỏa mãn: F ( x ) liên tục trên [ a; b ] , F ' ( x ) = f ( x ) .g ( x )với mọi x thuộc ( a; b ) , g ( x ) vô nghiệm trên ( a; b ) và F ( a ) = F ( b ) . Ápdụng định lý Rolle suy ra điều phải chứng minh. π πVí dụ 2.3. Cho f ( x ) liên tục trên đoạn  0;  , khả vi trên khoảng  0; ÷ 2 22π  π2sao cho f ( 0 ) = f  ÷ = 0 và f ( x ) + ( f ' ( x ) ) ≠ 0, ∀x ∈  0; ÷. Chứng minh2 2f ( c ) + f '( c ) π.rằng tồn tại c ∈  0; ÷ để tan c =f ( c ) − f '( c ) 2( 2.1)Lời giải πXét hàm g ( x ) = f ( x ) ( sin x + cos x ) liên tục trên đoạn  0;  , khả vi 2 ππ  πtrên  0; ÷, g ( 0 ) = g  ÷ = 0 . Theo định lý Rolle, ∃c ∈  0; ÷: g ' ( c ) = 0 . 22 2Ta có g ' ( x ) = f ' ( x ) ( sin x + cos x ) + f ( x ) ( cos x − sin x ) .Vậy g ' ( c ) = 0 ⇔ ( f ' ( c ) + f ( c ) ) .cos c = ( f ( c ) − f ' ( c ) ) .sin c.( 2.2 )Nếu f ( c ) − f ' ( c ) = 0 thì từ (2.2) suy ra f ' ( c ) + f ( c ) = 0.Vậy f ' ( c ) = f ( c ) = 0, mâu thuẫn.Chia cả 2 vế của (2.2) cho ( f ( c ) − f ' ( c ) ) cos c ≠ 0 ta được (2.1).Ví dụ 2.4. Cho f ( x ) liên tục trên đoạn [ 0;1] , khả vi trên khoảng ( 0;1) saocho f ( 0 ) = f ( 1) = 0. Chứng minh rằng tồn tại c ∈ ( 0;1) để f ' ( c ) = f ( c ) .Lời giải23−xXét hàm g ( x ) = f ( x ) e , ∀x ∈ [ 0;1] .Hàm g ( x ) liên tục trên đoạn [ 0;1] , khả vi trên ( 0;1) và g ( 0 ) = g ( 1) = 0 .−x−xTheo định lý Rolle ∃c ∈ ( 0;1) : g ' ( c ) = 0. Mà g ' ( x ) = f ' ( x ) .e − f ( x ) e .−c−cVậy g ' ( c ) = f ' ( c ) .e − f ( c ) e ⇔ f ' ( c ) = f ( c ) .Vậy ta có điều phải chứng minh.Ví dụ 2.5. Chứng minh rằng tồn tại số thực x ∈ ( 0;1) sao cho1t 2000dtx 2001∫x ( 1 + t ) ( 1 + t 2 ) ...( 1 + t 2001 ) = ( 1 + x ) ( 1 + x 2 ) ...( 1 + x 2001 ) .Lời giảiĐặt h ( t ) =t 2000[ 0;1] .( 1 + t ) ( 1 + t 2 ) ...( 1 + t 2001 ) là hàm liên tục trênViết phương trình đã cho dưới dạng'1 1htdt−xhx=0⇔xhtdt()()() ∫÷ = 0.∫x x1Xét hàm g ( x ) = x ∫ h ( t ) dt . Hàm g ( x ) khả vi trên ( 0;1) , liên tục trên đoạnx[ 0;1] ,và g ( 0 ) = g ( 1) = 0 . Theo định lý Rolle, ∃c ∈ ( 0;1) : g ' ( c ) = 0 hay1∫ h ( t ) dt − ch ( xc ) = 0cSuy ra điều phải chứng minh.Ví dụ 2.6. Cho a, b, c tùy ý và m là số dương thỏa mãn biểu thứcabc++ = 0.m + 2 m +1 m(2.3)Chứng minh rằng phương trình ax 2 + bx + c = 0 có nghiệm thuộc khoảng(0;1).Lời giảiCách 1. Xét hàm số f ( x) =ab m+1 c mx m+2 +x + x .m+2m +1m

Tài liệu liên quan

• ảnh hưởng của liều lượng đạm đến sinh trưởng,phát triển và năng suất của một số giống lúa tại gia lâm hà nội và nghĩa hưng nam định
  • 96
  • 735
  • 0
• Nghiên cứu đặc điểm nông sinh học của một số giống lúa mới tại đăk lăk
  • 101
  • 3
  • 20
• Nghiên cứu tác dụng của dầu gấc và khổ bã gấc đến một số chỉ tiêu chăn nuôi của gà mái đẻ và lợn nuôi thịt
  • 88
  • 802
  • 2
• Nghiên cứu đặc tính nông sinh học và các biện pháp kỹ thuật nâng cao năng suất, phẩm chất của một số giống cúc ở vùng trồng hoa thanh hóa
  • 104
  • 592
  • 0
• Ứng dụng của kỹ thuật gen - MỘT SỐ ỨNG DỤNG CHỦ YẾU CỦA CÔNG NGHỆ GEN
  • 60
  • 3
  • 7
• Báo cáo " Những giải pháp cho tỉnh Bà Ria – Vũng Tàu để thực hiện Đề án “Bổ sung một số khu công nghiệp của Tỉnh vào Quy Hoạch phát triển của các khu công nghiệp ở Việt Nam” " pptx
  • 3
  • 618
  • 0
• Nghiên cứu đặc điểm hình thái, hóa sinh và sự đa dạng di truyền của một số giống lúa cạn địa phương
  • 63
  • 516
  • 0
• nghiên cứu biến đổi một số cytokine và vai trò của glucocorticoid trong pha đáp ứng viêm toàn thân ở bệnh nhân tứ chứng fallot sau phẫu thuật sửa chữa toàn thân
  • 58
  • 545
  • 0
• tóm tắt luận án nghiên cứu biến đổi một số cytokine và vai trò của glucocorticoid trong pha đáp ứng viêm toàn thân ở bệnh nhân tứ chứng fallot sau phẫu thuật sửa chữa toàn thân
  • 58
  • 427
  • 0
• Nghiên cứu biến đổi một số cytokine và vai trò của glucocorticoid trong pha đáp ứng viêm toàn thân ở bệnh nhân tứ chứng fallot sau phẫu thuật sửa chữa toàn thân
  • 166
  • 434
  • 0

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

(5.55 MB - 63 trang) - Một số ứng dụng của định lý rolle Tải bản đầy đủ ngay ×