Thứ hai - 18/04/2016 19:40 Một vài tính chất cơ bản của môđun và argument. Công thức Euler cho số phức. Công thức Moirve. Một vài tính chất quan trọng của môđun và argument. Nhắc lại rằng số phức $ z = a + bi $ được biểu diễn bởi điểm $M\left( {a;b} \right)$ trong mặt phẳng phức $Oxy$. Mô-đun hay còn gọi là độ lớn của $z$ là đại lượng $\sqrt {{a^2} + {b^2}} $, và đây cũng chính là độ dài của vector $\overrightarrow {OM} $. Góc hợp bởi $\overrightarrow {OM} $ và chiều dương của trục $Ox$ được gọi là argument của $z$, ký hiệu $\arg \left( z \right)$. $\left( a \right)$ Vì số phức $ z = a + bi $ và liên hợp của nó là ${\bar z} = a - bi$ được biểu diễn bởi hai điểm $M\left( {a;b} \right)$ và $M'\left( {a;-b} \right)$ đối xứng nhau qua trục thực $Ox$ nên ta có $$\left| z \right| = \left| {\bar z} \right|;\;\;\;\;\arg \left( {\bar z} \right) = - \arg \left( z \right).$$ Ví dụ 1. Số phức $z = 1 + \sqrt 3 i$ và liên hợp của nó là $\bar z = 1 - \sqrt 3 i$ lần lượt được biểu diễn bởi $M$ và điểm $M'$. Ta cũng có $$ \begin{gathered} \left| z \right| = \sqrt {{1^2} + {{\sqrt 3 }^2}} = 2 = \sqrt {{1^2} + {{\left( { - \sqrt 3 } \right)}^2}} = \left| {\bar z} \right|. \\ \arg \left( z \right) = \alpha = {60^o};\;\;\; \arg \left( {\bar z} \right) = - \alpha = - {60^o}. \\ \end{gathered} $$ Dạng lượng giác là $$\begin{gathered} z = 1 + \sqrt 3 i = 2\left( {\frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i} \right) = 2\left( {\cos {{60}^o} + i\sin {{60}^o}} \right). \hfill \\ \bar z = 1 - \sqrt 3 i = 2\left( {\frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}i} \right) = 2\left( {\cos {{60}^o} - i\sin {{60}^o}} \right) = 2\left[ {\cos \left( { - {{60}^o}} \right) + i\sin \left( { - {{60}^o}} \right)} \right]. \hfill \\ \end{gathered} $$ $\left( b \right)$ Với hai số phức ${z_1} = {r_1}\left( {\cos {\alpha _1} + i\sin {\alpha _1}} \right)$ và ${z_2} = {r_2}\left( {\cos {\alpha _2} + i\sin {\alpha _2}} \right)$ ta có $$\left| {{z_1} \cdot {z_2}} \right| = \left| {{z_1}} \right| \cdot \left| {{z_2}} \right|;\;\;\;\; \;\;\;\; \arg \left( {{z_1} \cdot {z_2}} \right) = \arg \left( {{z_1}} \right) + \arg \left( {{z_2}} \right).$$ Ví dụ 2. Xét hai số phức ${z_1} = \sqrt 3 - i$ và ${z_2} = 1 + \sqrt 3 i$. Ta kiểm chứng tính chất $\left( b \right)$ cho hai số phức này. Dạng lượng giác của hai số phức này như sau $$\eqalign{ & {z_1} = \sqrt 3 - i = 2\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2} - \frac{1}{2}i} \right) = 2\left[ {\cos \left( { - {{30}^o}} \right) + i\sin \left( { - {{30}^o}} \right)} \right] \cr & {z_2} = 1 + \sqrt 3 i = 2\left( {\frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i} \right) = 2\left( {\cos {{60}^o} + i\sin {{60}^o}} \right). \cr} $$ Như vậy $\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| = 2$ và $\arg \left( {{z_1}} \right) = - {30^o},\arg \left( {{z_2}} \right) = {60^o}.$ Với lưu ý $ i^2 = -1$ ta có $$\eqalign{ & {z_1} \cdot {z_2} = 2\left[ {\cos \left( { - {{30}^o}} \right) + i\sin \left( { - {{30}^o}} \right)} \right] \cdot 2\left( {\cos {{60}^o} + i\sin {{60}^o}} \right) \cr & \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;= 4\left\{ {\left[ {\cos {{60}^o}\cos \left( { - {{30}^o}} \right) - \sin \left( { - {{30}^o}} \right)\sin {{60}^o}} \right] + \left[ {\sin {{60}^o}\cos \left( { - {{30}^o}} \right) + \cos {{60}^o}\sin \left( { - {{30}^o}} \right)} \right]i} \right\} \cr & \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;= 4\left[ {\cos \left( {{{60}^o} - {{30}^o}} \right) + i\sin \left( {{{60}^o} - {{30}^o}} \right)} \right] \cr & \;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = 4\left( {\cos {{30}^0} + i\sin {{30}^o}} \right). \cr} $$ Rõ ràng $\left| {{z_1} \cdot {z_2}} \right| = 4 = \left| {{z_1}} \right| \cdot \left| {{z_2}} \right|;\;\;\;\arg \left( {{z_1} \cdot {z_2}} \right) = {30^o} = \arg \left( {{z_1}} \right) + \arg \left( {{z_2}} \right).$ Hoặc một cách khác là thao tác trực tiếp trên dạng đại số của $z_1$ và $z_2$ như sau $${z_1} \cdot {z_2} = \left( {\sqrt 3 - i} \right)\left( {1 + \sqrt 3 i} \right) = 2\sqrt 3 + 2i = 4\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{1}{2}i} \right) = 4\left( {\cos {{30}^o} + i\sin {{30}^o}} \right).$$ Một hệ quả quan trọng của tính chất $\left( b \right)$ là $$\left| {{z^n}} \right| = {\left| z \right|^n};\;\;\;\;\arg \left( {{z^n}} \right) = n\arg z.$$ Ví dụ 3. Xét số phức ${z} = \sqrt 3 + i$. Dạng lượng giác của nó là $$z = \sqrt 3 + i = 2\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{1}{2}i} \right) = 2\left( {\cos {{30}^o} + i\sin {{30}^o}} \right).$$ Ta có $$\eqalign{ & {z^2} = {2^2}\left[ {\cos \left( {2 \cdot {{30}^o}} \right) + i\sin \left( {2 \cdot {{30}^o}} \right)} \right] = 4\left( {\cos {{60}^o} + i\sin {{60}^o}} \right) = 2 + 2\sqrt 3 i; \cr & {z^3} = {2^3}\left[ {\cos \left( {3 \cdot {{30}^o}} \right) + i\sin \left( {3 \cdot {{30}^o}} \right)} \right] = 8\left( {\cos {{90}^o} + i\sin {{90}^o}} \right) = 8i; \cr & {z^4} = {2^4}\left[ {\cos \left( {4 \cdot {{30}^o}} \right) + i\sin \left( {4 \cdot {{30}^o}} \right)} \right] = 16\left( {\cos {{120}^o} + i\sin {{120}^o}} \right) = -8 + 8\sqrt 3 i. \cr} $$ Hệ quả trên có ứng dụng mạnh trong chuyện xây dựng công thức tìm căn của số phức. Học sinh xem vấn đề này ở đây. Công thức Euler cho số phức. Người ta chứng minh được rằng với mọi số thực $ \varphi $ ta có $${e^{\varphi i}} = \cos \varphi + i\sin \varphi, $$ trong đó $e = \lim {\left( {1 + \frac{1}{n}} \right)^n} \approx 2,71828...$ còn gọi là hằng số Euler. Từ công thức này, dùng quy tắc tính luỹ thừa ta có $${\left( {\cos \varphi + i\sin \varphi } \right)^n} = {\left( {{e^{\varphi i}}} \right)^n} = {e^{n\varphi i}} = \cos n\varphi + i\sin n\varphi .$$ Và công thức $${\left( {\cos \varphi + i\sin \varphi } \right)^n} = \cos n\varphi + i\sin n\varphi $$ được gọi là công thức Moivre. Ví dụ 4. Số phức ${z_2} = 1 + \sqrt 3 i$ được chuyển đổi về dạng Euler như sau $$z = \sqrt 3 + i = 2\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{1}{2}i} \right) = 2\left( {\cos {{30}^o} + i\sin {{30}^o}} \right) = 2 \cdot {e^{i \cdot {{30}^o}}}.$$ Từ đây, ta có $$\eqalign{ & {z^2} = {\left( {2{e^{i \cdot 30}}} \right)^2} = 4{e^{i \cdot 60}} = 4\left( {\cos {{60}^o} + i\sin {{60}^o}} \right) = 2 + 2\sqrt 3 i; \cr & {z^3} = {\left( {2{e^{i \cdot 30}}} \right)^3} = 8{e^{i \cdot 90}} = 8\left( {\cos {{90}^o} + i\sin {{90}^o}} \right) = 8i; \cr & {z^4} = {\left( {2{e^{i \cdot 30}}} \right)^4} = 16{e^{i \cdot 120}} = 16\left( {\cos {{120}^o} + i\sin {{120}^o}} \right) = 8 + 8\sqrt 3 i. \cr} $$
Tác giả bài viết: Cùng Học Toán
Tổng số điểm của bài viết là: 11 trong 6 đánh giá
Xếp hạng: 1.8 - 6 phiếu bầu Click để đánh giá bài viết Tweet
Góp ý hoặc một bài toán của Quý học viên hoặc Quý Phụ Huynh
Sắp xếp theo bình luận mới Sắp xếp theo bình luận cũ Sắp xếp theo số lượt thích Mã an toàn
Những tin mới hơn
Nghiệm của phương trình bậc hai (21/04/2016)
Căn của số phức (19/04/2016)
Bài viết cùng chuyên mục
Sự biểu diễn của số phức (05/04/2016)
Số phức (31/03/2016)
Chương trình
Đại số tổ hợp & Xác suất
Hình học giải tích không gian
Bất đẳng thức
Lượng giác
Tích phân
Hàm mũ & logarit
Khảo sát hàm số
Hình học không gian
Dãy số - Giới hạn của dãy số - Đạo hàm
Phép biến hình trong mặt phẳng
Hình học giải tích phẳng
Số phức
Toán chuyên đề
Đại số
Thư viện trực tuyến
Đề thi - Đáp án đại học
Sách giáo khoa toán
Tạp chí Toán học & Tuổi trẻ
Đề thi thử THPT Quốc Gia 2016
Kiến thức mới
06 02.2016
Hình chiếu vuông góc của đường thẳng lên mặt phẳng
Hình chiếu vuông góc của đường thẳng lên mặt phẳng trong...
25 08.2016
Phương trình tiếp tuyến song song với một đường thẳng
Viết phương trình tiếp tuyến song song với một đường thẳng...
06 02.2016
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Công thức tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau....
05 02.2016
Hình chiếu vuông góc của điểm lên mặt phẳng
Hình chiếu vuông góc của điểm lên mặt phẳng. Tìm toạ độ hình...
05 02.2016
Đối xứng của một điểm qua mặt phẳng
Đối xứng một điểm qua một mặt. Tìm toạ điểm đối xứng của một...
Thư viện trực tuyến
28 02.2016
Đề thi và đáp án tuyển sinh đại học, cao đẳng năm 2007
Đề thi và đáp án tuyển sinh đại học, cao đẳng năm 2007
28 02.2016
Đề thi và đáp án tuyển sinh đại học, cao đẳng năm 2006
Đề thi và đáp án tuyển sinh đại học, cao đẳng năm 2006
10 03.2016
Sách giáo khoa toán lớp 12
Sách giáo khoa môn toán lớp 12. Sách bài tập môn toán lớp...
09 03.2016
Sách giáo khoa toán lớp 11
Sách giáo khoa toán lớp 11. Sách bài tập toán lớp 11.
09 03.2016
Sách giáo khoa toán lớp 6
Sách giáo khoa toán lớp 6. Sách bài tập toán lớp 6.
