Mức Tối Thiểu Cục Bộ Của Một Hàm. Cực Trị Cục Bộ Của Các Hàm

Sự định nghĩa:Điểm x0 được gọi là điểm cực đại (hoặc cực tiểu) cục bộ của hàm, nếu trong vùng lân cận nào đó của điểm x0 thì hàm nhận giá trị lớn nhất (hoặc nhỏ nhất), tức là với mọi х từ vùng lân cận nào đó của điểm x0, điều kiện f (x) f (x0) (hoặc f (x) f (x0)) được thỏa mãn.

Điểm cao hoặc điểm thấp cục bộ kết hợp tên gọi chung- điểm cực trị địa phương của hàm số.

Lưu ý rằng tại các điểm có cực trị cục bộ, hàm chỉ đạt giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất trong một số vùng cục bộ. Có những trường hợp, theo giá trị của уmaxуmin.

Một tiêu chí cần thiết cho sự tồn tại của một cực trị cục bộ của một hàm

Định lý . Nếu một hàm liên tục y = f (x) có cực trị cục bộ tại điểm x0, thì tại điểm này đạo hàm cấp một hoặc bằng 0 hoặc không tồn tại, tức là. cực trị cục bộ diễn ra tại các điểm quan trọng thuộc loại đầu tiên.

Tại các điểm cực trị tại chỗ, hoặc tiếp tuyến song song với trục 0x hoặc có hai tiếp tuyến (xem hình vẽ). Lưu ý rằng các điểm tới hạn là điều kiện cần nhưng không đủ cho một điểm cực trị cục bộ. Cực trị cục bộ chỉ diễn ra tại các điểm tới hạn thuộc loại đầu tiên, nhưng không phải tất cả các điểm tới hạn đều có cực trị cục bộ.

Ví dụ: một parabol bậc ba y = x3, có điểm tới hạn x0 = 0, tại đó đạo hàm y / (0) = 0, nhưng điểm tới hạn x0 = 0 không phải là điểm cực trị, nhưng có một điểm uốn trong đó (xem bên dưới).

Một tiêu chí đủ cho sự tồn tại của một cực trị cục bộ của một hàm

Định lý . Nếu, khi đối số đi qua điểm tới hạn thuộc loại đầu tiên, từ trái sang phải, thì đạo hàm cấp một y / (x)

thay đổi dấu từ “+” thành “-” thì hàm liên tục y (x) tại điểm tới hạn này có tối đa địa phương;

thay đổi dấu từ “-” thành “+”, khi đó hàm liên tục y (x) có cực tiểu cục bộ tại điểm tới hạn này

không đổi dấu thì tại điểm tới hạn này không có cực trị cục bộ, có điểm uốn.

Đối với cực đại cục bộ, vùng của hàm tăng (y / 0) được thay thế bằng vùng của hàm giảm (y / 0). Đối với cực tiểu cục bộ, vùng của hàm giảm (y / 0) được thay thế bằng vùng của hàm tăng (y / 0).

Ví dụ: Khảo sát hàm số y \ u003d x3 + 9x2 + 15x - 9 về tính đơn điệu, cực trị và dựng đồ thị của hàm số.

Chúng ta hãy tìm các điểm tới hạn của loại đầu tiên bằng cách xác định đạo hàm (y /) và cân bằng nó bằng không: y / = 3x2 + 18x + 15 = 3 (x2 + 6x + 5) = 0

Chúng tôi sẽ quyết định tam thức vuông sử dụng từ phân biệt:

x2 + 6x + 5 = 0 (a = 1, b = 6, c = 5) D =, x1k = -5, x2k = -1.

2) Chúng ta hãy chia trục số theo các điểm tới hạn thành 3 vùng và xác định các dấu của đạo hàm (y /) trong chúng. Sử dụng các dấu hiệu này, chúng ta sẽ tìm thấy các vùng đơn điệu (tăng và giảm) của các hàm số, và bằng cách thay đổi các dấu hiệu, chúng ta sẽ xác định được các điểm có cực trị địa phương (cực đại và cực tiểu).

Kết quả nghiên cứu được trình bày dưới dạng bảng, từ đó có thể rút ra các kết luận sau:

• 1. Trên khoảng y / (- 10) 0, hàm số tăng đơn điệu (dấu của đạo hàm y được ước lượng từ điểm đối chứng x = -10 lấy trong khoảng này);
• 2. Trên khoảng (-5; -1) y / (- 2) 0, hàm số giảm đơn điệu (dấu của đạo hàm y được ước lượng từ điểm đối chứng x = -2 lấy trong khoảng này);
• 3. Trên khoảng y / (0) 0, hàm số tăng đơn điệu (dấu của đạo hàm y được ước lượng từ điểm đối chứng x = 0 lấy trong khoảng này);
• 4. Khi đi qua điểm tới hạn x1k \ u003d -5, đạo hàm đổi dấu từ "+" thành "-", do đó điểm này là điểm cực đại cục bộ
• (ymax (-5) = (-5) 3 + 9 (-5) 2 +15 (-5) -9 = -125 + 225 - 75 - 9 = 16);
• 5. Khi đi qua điểm tới hạn x2k \ u003d -1, đạo hàm đổi dấu từ "-" thành "+", do đó điểm này là điểm cực tiểu cục bộ
• (ymin (-1) = -1 + 9 - 15 - 9 = - 16).

x -5 (-5; -1) -1

3) Chúng tôi sẽ xây dựng một đồ thị dựa trên kết quả của nghiên cứu với sự tham gia của các tính toán bổ sung các giá trị của hàm tại các điểm kiểm soát:

Tòa nhà hệ thống hình chữ nhật Hệ tọa độ Oxy;

hiển thị tọa độ của điểm cực đại (-5; 16) và điểm cực tiểu (-1; -16);

để tinh chỉnh biểu đồ, chúng tôi tính toán giá trị của hàm tại các điểm kiểm soát, chọn chúng ở bên trái và bên phải của các điểm cực đại và cực tiểu và bên trong khoảng giữa, ví dụ: y (-6) = (- 6) 3 + 9 (-6) 2 + 15 (-6) -9 = 9; y (-3) = (- 3) 3 + 9 (-3) 2 + 15 (-3) -9 = 0;

y (0) = -9 (-6; 9); (-3; 0) và (0; -9) - các điểm kiểm soát được tính toán, được vẽ để xây dựng một biểu đồ;

chúng tôi biểu diễn đồ thị dưới dạng một đường cong với phần lồi lên ở điểm cực đại và phần phình ra ở điểm cực tiểu và đi qua các điểm kiểm soát được tính toán.

ĐIỂM TỐI ĐA VÀ TỐI THIỂU

tại đó điểm lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất trên miền định nghĩa; những điểm như vậy được gọi là cũng là điểm tối đa tuyệt đối hoặc tối thiểu tuyệt đối. Nếu f được xác định trên một cấu trúc liên kết không gian X, sau đó là điểm x 0 triệu tập điểm tối đa cục bộ (cục bộ tối thiểu), nếu điểm như vậy tồn tại x 0, rằng đối với sự hạn chế của chức năng đang được xem xét đối với vùng lân cận này, điểm x 0 là điểm tối đa (cực tiểu) tuyệt đối. Phân biệt điểm cực đại nghiêm ngặt và không nghiêm ngặt (cực tiểu m u m a) (cả tuyệt đối và cục bộ). Ví dụ, một điểm được gọi là điểm của một cực đại cục bộ không nghiêm ngặt (nghiêm ngặt) của hàm f, nếu tồn tại một vùng lân cận như vậy của điểm x 0, cái nào phù hợp với tất cả (tương ứng, f (x) 0 khi x> x 0). Tuy nhiên, không phải đối với mọi chức năng đều có thể phân biệt được trong vùng lân cận của một điểm x 0, người ta có thể nói về một sự thay đổi trong dấu của đạo hàm tại điểm này. . "

Nếu hàm f có tại điểm x 0 t dẫn xuất, hơn nữa, để x 0 là điểm cực đại cục bộ nghiêm ngặt, cần và đủ để τ là chẵn và f (m) ( x0)0.

Cho hàm f ( x 1 ..., x p] được xác định trong vùng lân cận n chiều của một điểm và có thể phân biệt được tại điểm này. Nếu x (0) là điểm cực đại (cực tiểu) địa phương không nghiêm ngặt thì hàm f tại điểm này bằng không. Điều kiện này tương đương với bằng không tại điểm này của tất cả các đạo hàm riêng bậc 1 của hàm f. Nếu một hàm số có các đạo hàm riêng liên tục cấp 2 tại x (0), tất cả các đạo hàm cấp 1 của nó biến mất tại x (0) và vi phân bậc 2 tại x (0) là một hình dạng bậc hai âm (dương), thì x (0) là một điểm của địa phương nghiêm ngặt tối đa (tối thiểu). Các điều kiện được biết đến đối với các hàm phân biệt M. và M. T., khi các hạn chế nhất định được áp đặt đối với các thay đổi trong đối số: các phương trình ràng buộc được thỏa mãn. Điều kiện cần và đủ để đạt được cực đại (tối thiểu) của một hàm thực, có nhiều hơn cấu trúc phức tạp, được nghiên cứu trong các nhánh đặc biệt của toán học: ví dụ, trong phân tích lồi, lập trình toán học (Xem thêm Tối đa hóa và chức năng tối thiểu hóa). Các hàm M. và m.t. được xác định trên đa tạp được nghiên cứu trong tính toán của các biến thể nói chung, và M. và m.t. cho các hàm được xác định trên không gian hàm, tức là cho hàm, trong phép tính biến phân. Cũng có Các phương pháp khác nhau tìm gần đúng số của M. và m. t.

Lít: I l và n V. A., Poznya to E. G., Khái niệm cơ bản phân tích toán học, Xuất bản lần thứ 3, phần 1, M., 1971; KudryavtsevL. L. D. Kudryavtsev.

Từ điển bách khoa toán học. - M.: Bách khoa toàn thư Liên Xô. I. M. Vinogradov. Năm 1977-1985.

Xem "ĐIỂM TỐI ĐA VÀ TỐI THIỂU" là gì trong các từ điển khác:

Nguyên tắc tối đa Pontryagin rời rạc cho các quá trình điều khiển rời rạc theo thời gian. Đối với quá trình như vậy, M. p. Có thể không được thỏa mãn, mặc dù đối với tương tự liên tục của nó, thu được bằng cách thay thế toán tử sai phân hữu hạn bằng toán tử vi phân ... ... Bách khoa toàn thư toán học

Định lý thể hiện một trong những Các tính chất cơ bản phân hệ phân tích. chức năng. Gọi f (z) là một hàm giải tích thông thường, hoặc hàm phân hình, của các biến phức p trong miền D của không gian số phức khác với hằng số, M. m. S. In ... ... Bách khoa toàn thư toán học

Giá trị lớn nhất và theo đó là giá trị nhỏ nhất của một hàm nhận giá trị thực. Điểm của miền xác định của hàm được đề cập, trong đó nó nhận cực đại hoặc cực tiểu, được gọi. tương ứng là điểm cực đại hoặc điểm cực tiểu ... ... Bách khoa toàn thư toán học

Xem Tối đa và tối thiểu của một hàm, Tối đa và tối thiểu của một điểm ... Bách khoa toàn thư toán học

Nghĩa chức năng liên tục, là mức tối đa hoặc tối thiểu (xem Điểm tối đa và tối thiểu). Thuật ngữ LE ... Bách khoa toàn thư toán học

Chỉ báo- (Chỉ báo) Chỉ báo là Hệ thống thông tin, chất, thiết bị, thiết bị hiển thị những thay đổi trong bất kỳ thông số nào Các chỉ số của biểu đồ thị trường tiền tệ Forex, chúng là gì và có thể tải chúng ở đâu? Mô tả các chỉ báo MACD, ... ... Bách khoa toàn thư của chủ đầu tư

Thuật ngữ này có các nghĩa khác, xem Cực (nghĩa). Cực trị (cực trị Latinh) trong toán học là cực đại hoặc giá trị tối thiểu hàm trên một tập hợp nhất định. Điểm cực đại đạt được là ... ... Wikipedia

Phép tính vi phân một phần của phân tích toán học nghiên cứu các khái niệm về đạo hàm và vi phân và cách chúng có thể được áp dụng vào việc nghiên cứu các hàm số. Nội dung 1 Phép tính vi phân của các hàm một biến ... Wikipedia

Bổ đề và các thủ thuật của nó Bổ sung của Bernoulli là một đường cong đại số phẳng. Định nghĩa là địa điểm hình họcđiểm, sản phẩm ... Wikipedia

Phân kỳ- (Phân kỳ) Phân kỳ như một chỉ báo Chiến lược giao dịch với phân kỳ MACD Nội dung Mục 1. trên. Mục 2. Phân kỳ như thế nào. Sự phân kỳ là một thuật ngữ được sử dụng trong kinh tế học để chỉ sự chuyển động dọc theo sự phân kỳ ... ... Bách khoa toàn thư của chủ đầu tư

Thay đổi chức năng trong điểm nhất định và được định nghĩa là giới hạn của gia số của hàm đối với gia số của đối số, có xu hướng bằng không. Để tìm nó, hãy sử dụng bảng các dẫn xuất. Ví dụ, đạo hàm của hàm số y = x3 sẽ bằng y ’= x2.

Công bằng đạo hàm này bằng 0 (trong trường hợp này x2 = 0).

Tìm giá trị của biến đã cho. Đây sẽ là các giá trị khi đạo hàm này sẽ bằng 0. Để làm điều này, hãy thay các số tùy ý trong biểu thức thay vì x, tại đó toàn bộ biểu thức sẽ trở thành 0. Ví dụ:

2-2x2 = 0 (1-x) (1 + x) = 0 x1 = 1, x2 = -1

Áp dụng các giá trị thu được trên đường tọa độ và tính dấu của đạo hàm cho mỗi giá trị thu được. Các điểm được đánh dấu trên đường tọa độ, được lấy làm điểm gốc. Để tính toán giá trị trong khoảng thời gian, hãy thay thế các giá trị tùy ý phù hợp với tiêu chí. Ví dụ, đối với hàm trước đó lên đến khoảng -1, bạn có thể chọn giá trị -2. Đối với -1 đến 1, bạn có thể chọn 0, và đối với các giá trị lớn hơn 1, chọn 2. Thay các số này vào đạo hàm và tìm ra dấu của đạo hàm. Trong trường hợp này, đạo hàm với x = -2 sẽ bằng -0,24, tức là âm và sẽ có một dấu trừ trên khoảng này. Nếu x = 0, thì giá trị sẽ bằng 2 và một dấu được đặt trên khoảng này. Nếu x = 1, thì đạo hàm cũng sẽ bằng -0,24 và đặt một số trừ.

Nếu khi đi qua một điểm trên đường tọa độ, đạo hàm đổi dấu từ trừ sang cộng thì đây là điểm cực tiểu, còn nếu từ cộng sang trừ thì đây là điểm cực đại.

Các video liên quan

Lời khuyên hữu ích

Để tìm đạo hàm, có các dịch vụ trực tuyến tính toán giá trị mong muốn và xuất ra kết quả. Trên các trang web như vậy, bạn có thể tìm thấy một phái sinh của tối đa 5 đơn đặt hàng.

Nguồn:

• Một trong những dịch vụ tính toán các công cụ phái sinh
• điểm tối đa của chức năng

Các điểm cực đại của hàm số cùng với các điểm cực tiểu được gọi là điểm cực trị. Tại những điểm này, chức năng thay đổi hành vi của nó. Các cực trị được xác định trên giới hạn khoảng số và luôn mang tính địa phương.

Hướng dẫn

Quá trình tìm cực trị địa phương được gọi là một hàm và được thực hiện bằng cách phân tích các đạo hàm cấp một và cấp hai của hàm. Trước khi bắt đầu nghiên cứu, hãy đảm bảo rằng khoảng thời gian xác định giá trị đối số thuộc về giá trị cho phép. Ví dụ, đối với hàm F = 1 / x, giá trị của đối số x = 0 là không hợp lệ. Hoặc đối với hàm Y = tg (x), đối số không được có giá trị x = 90 °.

Đảm bảo rằng chức năng Y có thể phân biệt được trên mọi thứ phân đoạn nhất định. Tìm đạo hàm bậc nhất của Y ". Rõ ràng, trước khi đạt điểm cực đại tại địa phương, hàm số tăng, và khi đi qua điểm cực đại, hàm số giảm dần. Đạo hàm cấp một theo cách riêng của nó ý nghĩa vật lýđặc trưng cho tốc độ thay đổi của hàm. Miễn là chức năng đang tăng lên, tỷ lệ của quá trình này là một giá trị dương. Khi đi qua một cực đại cục bộ, hàm bắt đầu giảm và tốc độ của quá trình thay đổi hàm trở thành âm. Quá trình chuyển đổi tốc độ thay đổi của hàm qua 0 xảy ra tại điểm có cực đại cục bộ.

>> Cực trị

Hàm cực trị

Định nghĩa của cực trị

Hàm số y = f (x) được gọi là tăng dần (suy tàn) trong một khoảng nào đó nếu với x 1< x 2 выполняется неравенство (f (x 1) < f (x 2) (f (x 1) >f (x2)).

Nếu một hàm phân biệt y \ u003d f (x) trên một đoạn tăng (giảm), thì đạo hàm của nó trên đoạn f này " (x)> 0

(f "(x)< 0).

Chấm x Về triệu tập điểm tối đa cục bộ (tối thiểu) của hàm f (x) nếu có lân cận của điểm x o, với tất cả các điểm mà bất đẳng thức f (x)≤ f (x o) (f (x)≥ f (x o)).

Điểm tối đa và điểm tối thiểu được gọi là điểm cực trị và các giá trị của hàm tại những điểm này là cực đoan.

điểm cực trị

Các điều kiện cần thiết cho một điểm cực trị . Nếu điểm x Về là một điểm cực trị của hàm f (x) thì f " (x o) = 0 hoặc f(x o) không tồn tại. Những điểm như vậy được gọi là phê bình, trong đó bản thân chức năng được xác định tại điểm tới hạn. Cực trị của một hàm nên được tìm kiếm trong số các điểm tới hạn của nó.

Ngày thứ nhất đủ điều kiện. Để cho được x Về - Điểm cốt lõi. Nếu f " (x) khi đi qua điểm x Về thay đổi dấu cộng thành dấu trừ, sau đó tại điểm x o hàm có giá trị tối đa, nếu không thì nó có giá trị nhỏ nhất. Nếu đạo hàm không đổi dấu khi đi qua điểm tới hạn thì tại điểm x Về không có cực đoan.

Điều kiện đủ thứ hai. Cho hàm số f (x) có f " (x) trong vùng lân cận của điểm x Về và đạo hàm thứ hai tại chính điểm x o. Nếu f "(x o) = 0, >0 ( 0, trong khi x> a / 4 S " < 0, значит, в точке x=a /4 функция S имеет максимум. Значение chức năng S (a / 4) = a / 4 (a - a / 2) = a 2/8 (sq.. các đơn vị). Vì S liên tục trên và các giá trị của nó ở hai đầu S (0) và S (a / 2) bằng 0, nên giá trị tìm được sẽ là giá trị cao nhất chức năng. Vì vậy, tỷ lệ co thuận lợi nhất của trang web trong các điều kiện cho trước của bài toán là y = 2x.

Ví dụ 3.24.Yêu cầu làm một bình kín hình trụ có dung tích V = 16. p ≈ 50 m 3. Kích thước của bể (bán kính R và chiều cao H) phải như thế nào để sử dụng ít nguyên liệu nhất cho việc sản xuất nó?

Quyết định.Vuông bề mặt đầy đủ hình trụ là S = 2 P R (R + H). Ta biết thể tích của khối trụ V = p R 2 N Þ N \ u003d V / p R 2 \ u003d 16 p / p R 2 \ u003d 16 / R 2. Vậy S (R) = 2 P (R2 + 16 / R). Chúng tôi tìm đạo hàm của hàm này: S"(R) \ u003d 2 p (2R- 16 / R 2) \ u003d 4 p (R- 8 / R 2). S" (R) = 0 cho R 3 = 8, do đó, R = 2, H = 16/4 = 4.

$ E \ tập con \ mathbb (R) ^ (n) $. Người ta nói rằng $ f $ có tối đa địa phương tại điểm $ x_ (0) \ trong E $ nếu tồn tại một vùng lân cận $ U $ của điểm $ x_ (0) $ sao cho mọi $ x \ in U $ bất đẳng thức $ f \ left (x \ right) \ leqslant f \ left (x_ (0) \ right) $.

Mức tối đa cục bộ được gọi là khắt khe , nếu vùng lân cận $ U $ có thể được chọn theo cách sao cho tất cả $ x \ in U $ khác với $ x_ (0) $ thì có $ f \ left (x \ right)< f\left(x_{0}\right)$.

Sự định nghĩa Hãy để $ f $ là chức năng thực tế trên tập hợp đang mở $ E \ subset \ mathbb (R) ^ (n) $. Người ta nói rằng $ f $ có địa phương tối thiểu tại điểm $ x_ (0) \ trong E $ nếu tồn tại một vùng lân cận $ U $ của điểm $ x_ (0) $ sao cho mọi $ x \ in U $ bất đẳng thức $ f \ left (x \ right) \ geqslant f \ left (x_ (0) \ right) $.

Mức tối thiểu cục bộ được cho là nghiêm ngặt nếu vùng lân cận $ U $ có thể được chọn để cho tất cả $ x \ in U $ khác với $ x_ (0) $ $ f \ left (x \ right)> f \ left (x_ (0) \ right) $.

Cực trị cục bộ kết hợp các khái niệm về cực tiểu cục bộ và cực đại cục bộ.

Định lý ( Điều kiện cần thiết cực đại của một chức năng có thể phân biệt)Cho $ f $ là một hàm thực trên một tập mở $ E \ subset \ mathbb (R) ^ (n) $. Nếu tại điểm $ x_ (0) \ trong E $, hàm $ f $ cũng có cực trị cục bộ tại điểm này, thì $$ \ text (d) f \ left (x_ (0) \ right) = 0. $$ Bằng không vi phân tương đương với thực tế là tất cả đều bằng 0, tức là $$ \ displaystyle \ frac (\ part f) (\ một phần x_ (i)) \ left (x_ (0) \ right) = 0. $$

Trong trường hợp một chiều, đây là. Ký hiệu $ \ phi \ left (t \ right) = f \ left (x_ (0) + th \ right) $, trong đó $ h $ là vectơ tùy ý. Hàm $ \ phi $ được xác định cho các giá trị modulo đủ nhỏ là $ t $. Hơn nữa, đối với, nó có thể phân biệt được và $ (\ phi) ’\ left (t \ right) = \ text (d) f \ left (x_ (0) + th \ right) h $. Cho $ f $ có giá trị cực đại cục bộ là x $ 0 $. Do đó, hàm $ \ phi $ tại $ t = 0 $ có cực đại cục bộ và theo định lý Fermat, $ (\ phi) '\ left (0 \ right) = 0 $. Vì vậy, chúng tôi có $ df \ left (x_ (0) \ right) = 0 $, tức là hàm $ f $ tại điểm $ x_ (0) $ bằng 0 trên bất kỳ vectơ nào $ h $.

Sự định nghĩa Các điểm mà tại đó vi phân bằng 0, tức là những cái mà trong đó tất cả các đạo hàm riêng bằng 0 được gọi là tĩnh. điểm quan trọng các hàm $ f $ là những điểm mà tại đó $ f $ không thể phân biệt được hoặc bằng không. Nếu chất điểm đứng yên thì nó chưa theo đó mà hàm số có cực trị tại điểm này.

ví dụ 1 Cho $ f \ left (x, y \ right) = x ^ (3) + y ^ (3) $. Sau đó, $ \ displaystyle \ frac (\ một phần f) (\ một phần x) = 3 \ cdot x ^ (2) $, $ \ displaystyle \ frac (\ một phần f) (\ một phần y) = 3 \ cdot y ^ (2 ) $, sao cho $ \ left (0,0 \ right) $ là điểm dừng, nhưng tại thời điểm này, hàm không có cực trị. Thật vậy, $ f \ left (0,0 \ right) = 0 $, nhưng dễ dàng thấy rằng trong bất kỳ vùng lân cận nào của điểm $ \ left (0,0 \ right) $ hàm nhận cả giá trị dương và âm.

Ví dụ 2 Hàm $ f \ left (x, y \ right) = x ^ (2) - y ^ (2) $ có gốc tọa độ là một điểm đứng yên, nhưng rõ ràng là không có cực trị tại điểm này.

Định lý (điều kiện đủ để có cực trị).Cho một hàm $ f $ phân biệt liên tục hai lần trên một tập mở $ E \ subset \ mathbb (R) ^ (n) $. Gọi $ x_ (0) \ in E $ là điểm đứng yên và $$ \ displaystyle Q_ (x_ (0)) \ left (h \ right) \ equiv \ sum_ (i = 1) ^ n \ sum_ (j = 1 ) ^ n \ frac (\ một phần ^ (2) f) (\ một phần x_ (i) \ một phần x_ (j)) \ left (x_ (0) \ right) h ^ (i) h ^ (j). $ $ Sau đó

1. nếu là $ Q_ (x_ (0)) $ thì hàm $ f $ tại điểm $ x_ (0) $ có cực trị cục bộ, cụ thể là giá trị nhỏ nhất nếu dạng là xác định dương và giá trị lớn nhất nếu dạng là phủ định-xác định;
2. nếu dạng bậc hai$ Q_ (x_ (0)) $ không xác định thì hàm $ f $ tại điểm $ x_ (0) $ không có cực trị.

Hãy sử dụng khai triển theo công thức Taylor (12,7 trang 292). Có tính đến rằng các đạo hàm riêng bậc nhất tại điểm $ x_ (0) $ bằng 0, chúng ta nhận được $$ \ displaystyle f \ left (x_ (0) + h \ right) −f \ left (x_ (0 ) \ right) = \ frac (1) (2) \ sum_ (i = 1) ^ n \ sum_ (j = 1) ^ n \ frac (\ một phần ^ (2) f) (\ một phần x_ (i) \ một phần x_ (j)) \ left (x_ (0) + \ theta h \ right) h ^ (i) h ^ (j), $$ trong đó $ 0 f \ left (x_ (0) \ right) $ được thỏa mãn nếu chỉ $ x \ neq x_ (0) $ (chúng ta đặt $ x = x_ (0) + h $ \ right). Điều này có nghĩa là tại điểm $ x_ (0) $ hàm có cực tiểu cục bộ nghiêm ngặt, và do đó phần đầu tiên của định lý của chúng ta đã được chứng minh. Giả sử bây giờ $ Q_ (x_ (0)) $ là hình thức vô thời hạn. Khi đó có các vectơ $ h_ (1) $, $ h_ (2) $ sao cho $ Q_ (x_ (0)) \ left (h_ (1) \ right) = \ lambda_ (1)> 0 $, $ Q_ ( x_ (0)) \ left (h_ (2) \ right) = \ lambda_ (2)0 $. Sau đó, chúng ta nhận được $$ f \ left (x_ (0) + th_ (1) \ right) −f \ left (x_ (0) \ right) = \ frac (1) (2) \ left [t ^ (2) \ lambda_ (1) + t ^ (2) | h_ (1) | ^ (2) \ epsilon \ left (th_ (1) \ right) \ right] = \ frac (1) (2) t ^ (2) \ left [\ lambda_ (1) + | h_ (1) | ^ (2) \ epsilon \ left (th_ (1) \ right) \ right]. $$ Đối với $ t> 0 $ đủ nhỏ, cạnh phải là tích cực. Điều này có nghĩa là trong bất kỳ vùng lân cận nào của điểm $ x_ (0) $, hàm $ f $ nhận các giá trị $ f \ left (x \ right) $ lớn hơn $ f \ left (x_ (0) \ right) $. Tương tự, chúng ta nhận được rằng trong bất kỳ vùng lân cận nào của điểm $ x_ (0) $, hàm $ f $ nhận các giá trị nhỏ hơn $ f \ left (x_ (0) \ right) $. Điều này, cùng với điều trước đó, có nghĩa là hàm $ f $ không có cực trị tại điểm $ x_ (0) $.

Coi như trương hợp đặc biệt của định lý này cho một hàm $ f \ left (x, y \ right) $ của hai biến được xác định trong một số vùng lân cận của điểm $ \ left (x_ (0), y_ (0) \ right) $ và có đạo hàm riêng liên tục của đơn đặt hàng đầu tiên và thứ hai. Gọi $ \ left (x_ (0), y_ (0) \ right) $ là một điểm đứng yên và đặt $$ \ displaystyle a_ (11) = \ frac (\ part ^ (2) f) (\ một phần x ^ ( 2)) \ left (x_ (0), y_ (0) \ right), a_ (12) = \ frac (\ một phần ^ (2) f) (\ một phần x \ một phần y) \ left (x_ (0) , y_ (0) \ phải), a_ (22) = \ frac (\ một phần ^ (2) f) (\ một phần y ^ (2)) \ left (x_ (0), y_ (0) \ phải). $$ Khi đó định lý trước có dạng sau.

Định lý Cho $ \ Delta = a_ (11) \ cdot a_ (22) - a_ (12) ^ 2 $. Sau đó:

1. nếu $ \ Delta> 0 $, thì hàm $ f $ có cực trị cục bộ tại điểm $ \ left (x_ (0), y_ (0) \ right) $, cụ thể là, cực tiểu nếu $ a_ (11)> 0 $ và tối đa nếu $ a_ (11)