Nghiệm Và Khoảng Phân Ly Nghiệm - Tài Liệu Text - 123doc

1. Trang chủ >
2. Công nghệ thông tin >
3. Mã hóa - Giải mã và thuật toán >

Nghiệm và khoảng phân ly nghiệm

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.7 MB, 140 trang )

Chương 4. PHƯƠNG PHÁP TÍNHHình 4.1: Ý nghĩa hình học của nghiệmTrước khi vẽ đồ thị ta cũng có thể thay phương trình (4.1) bằng phương trìnhtương đươngg(x) = h(x)(4.4)rồi vẽ đồ thị hai hàm số trên cùng hệ trục tọa độy = g(x)vày = h(x)(4.5)Giả sử hai đồ thị ấy cắt nhau tại điểm M có hoành độ α thì ta cóg(α) = f (α)Hình 4.2: Giao của hai đồ thịVậy hoành độ α của giao điểm M của hai đồ thị (4.5) chính là 1 nghiệm của(4.4) cũng tức là của phương trình (4.1).Trước khi tìm cách tìm gần đúng nghiệm của phương trình (4.1) ta tự hỏi nghiệm782. Giải gần đúng các phương trìnhthực ấy có tồn tại hay không. ta có thể dùng phương pháp đồ thị, hoặc bằng Địnhlý sauĐịnh lý 4.2.3 Nếu có hai số thực a và b với a < b sao cho f (a) và f (b) trái dấutức làf (a) f (b) < 0(4.6)đồng thời f (x) liên tục trên [a, b] thì ở trong khoảng (a, b) có ít nhất một nghiệmthực của phương trình (4.1).hHình 4.3: Hình minh họa định lý (4.2.3)Giải phương trình là tìm tất cả các nghiệm của phương trình đó, nhưng đôi khi tachỉ cần tìm gần đúng 1 nghiệm nằm trong khoảng nào đó.Định nghĩa 4.2.4 Khoảng (a, b) nào đó gọi là khoảng phân ly nghiệm của phươngtrình (4.1) nếu chứa một và chỉ một nghiệm của phương trình đó.Trong thực hành tính toán thì khoảng phân ly này càng nhỏ càng tốt. Khoảngphân ly nhỏ thì việc tìm nghiệm gần đúng sẽ cho độ chình xác cao và rút gọnđược quá trình tính toán. Trong hình 4.3 phương trình f (x) = 0 có hai khoảngphân ly nghiệm là (a, c) và (c, b).Định lý 4.2.5 Nếu [a, b] là một khoảng đóng trong đó hàm f (x) liên tục, đạohàm f ′ (x) không đổi dấu, không bằng 0 trên một khoảng và f (a), f (b) trái dấuthì (a, b) là một khoảng phân ly nghiệm của phương trình (4.1).hMuốn tìm các khoảng phân ly nghiệm của phương trình (4.1) người ta khảo sáthàm số y = f (x) rồi áp dụng Định lý 4.2.5.79Chương 4. PHƯƠNG PHÁP TÍNHVí dụ 4.2.6 Cho phương trìnhf (x) = x3 − x − 1 = 0(4.7)Hãy chứng tỏ phương trình này có nghiệm thực và tìm khoảng phân ly nghiệm.Giải Trước hết ta xét sự biến thiên của hàm số f (x). Nó xác định và liên tục tạimọi x đồng thờif ′ (x) = 3x2 − 1 = 0và1x = ±√3Ta suy ra bảng biến thiênx −∞f ′ (x)f (x)√33√− 33+−∞0√3−1 + 29−0√3−1 − 29+∞++∞√√33Ta có f −·f< 0. Vậy đồ thị cắt trục hoành tại 1 điểm duy nhất,33do đó phương trình 4.7 có 1 nghiệm thực duy nhất, kí hiệu là α. Ta tính thêm∙ f (1) = 13 − 1 − 1 < 0∙ f (2) = 23 − 2 − 1 > 0802. Giải gần đúng các phương trìnhVậy khoảng (1, 2) chứa nghiệm của phương trình (4.7). Nhưng vì phương trìnhnày chỉ có 1 nghiệm nên chính nghiệm ấy phân ly trong (1, 2).Tóm lại, phương trình (4.7) có 1 nghiệm thực duy nhất α, phân ly trong khoảng(1, 2).g2.22.2.1Phương pháp chia đôiMô tả phương phápXét phương trình f (x) = 0 với giả thiết nó có nghiệm thực là α đã phân lytrong khoảng (a, b). Lấy x ∈ [a, b] làm giá trị gần đúng cho α thì sai số tuyệtđối |x − α| ≤ b − a. Để có sai số nhỏ ta tìm cách thu nhỏ dần khoảng phân lynghiệm bằng cách chia đôi liên tiếp các khoảng phân ly nghiệm đã tìm ra.a+b∙ Trước hết ta chia đôi đoạn [a, b], điểm chia là c =. Ta tính f (c). Nếu2f (c) = 0 thì c chính là nghiệm của đúng α. Thường thì f (c) ̸= 0. Khi ấykhoảng phân ly nghiệm mới là (a, c) hoặc (c, b).∙ Để xác định khoảng phân ly mới ta tính f (c) và so sánh dấu của f (c) vớif (a)– Nếu f (c) trái dấu f (a) thì khoảng phân ly mới là (a, c).– Nếu f (c) cùng dấu f (a) thì khoảng phân ly mới là (c, b).Như vậy sau khi chia đôi đoạn [a, b] ta được khoảng phân ly mới thu nhỏ là(a, c) hay (c, b), ký hiệu (a1 , b1 ). Đoạn [a1 , b1 ] nằm trong đoạn [a, b] và chỉdài bằng nửa [a, b] tức làb−ab1 − a1 =2a1 + b1không là nghiệm∙ Tiếp tục chia đôi đoạn [a1 , b1 ] và làm như trên. Nếu2đúng α, ta sẽ được khoảng phân ly nghiệm thu nhỏ mới, ký hiệu là (a2 , b2 ),nó nằm trong [a1 , b1 ] tức là trong [a, b] và chỉ dài bằng nửa đoạn [a1 , b1 ]b2 − a2 =b1 − a1 b − a= 222∙ Lặp lạiviệc làm trên đến lần thứ n mà ta vẫn không thu được nghiệm đúngα thì ta sẽ được khoảng phân ly nghiệm thu nhỏ thứ n, ký hiệu (an , bn ), nó1nằm trong [a, b] và dài bằng n của [a, b]2b−abn − an = nvà α ∈ (an , bn )281Chương 4. PHƯƠNG PHÁP TÍNHCó thể lấy an làm giá trị gần đúng của α, lúc đó sai số là|α − an | ≤ bn − an =b−a2nCũng có thể lấy bn làm giá trị gần đúng của α, lúc đó sai số là|α − bn | ≤ bn − an =Cũng có thể lấyb−a2nan + bnlàm giá trị gần đúng của α, lúc đó sai số là2α−an + bnb−a≤ bn − an = n+122Do đó với n đủ lớn, an hay bn đều đủ gần α. Khi n → ∞ thì an → α và bn α. Nênta nói phương pháp chia đôi hội tụ.Ví dụ 4.2.7 Tìm nghiệm gần đúng của phương trình x3 − x − 1 = 0 trong khoảngphân ly nghiệm (1, 2).Giải Ta có: f (1) = −1 < 0, f (2) = 5 > 03Ta chia đôi đoạn [1, 2] với điểm chia là 2 . Ta có: f ( 3 ) = 7 trái dấu f (1). Vậy283α ∈ 1, 2 .19Ta chia đôi đoạn 1, 3 , điểm chia là 5 . Ta có f ( 5 ) = − 64 < 0 cùng dấu f (1).244Vậy α ∈ 5 , 3 .4 2Ta chia đôi đoạn 5 , 3 , điểm chia là 11 . Ta có f ( 11 ) = − 115 < 0 cùng dấu f ( 5 ).4 2885124Vậy α ∈ 5 , 11 .4 8212115Ta chia đôi đoạn 4 , 11 , điểm chia là 21 . Ta có f ( 16 ) = − 4096 < 0 cùng dấu8165f ( 4 ). Vậy α ∈ 21 , 11 .16 82121Ta chia đôi đoạn 16 , 11 , điểm chia là 43 . Ta có f ( 43 ) > 0 cùng dấu f ( 16 ). Vậy83232α ∈ 21 , 43 .16 3221Ta dừng quá trình chia đôi tại đây và lấy 16 = 1.3125 hay 43 = 1.34375 làm giá3211trị gần đúng của α thì sai số không vượt quá 25 = 32 = 0.03125. Nếu ta lấy8564 = 1.328125 làm giá trị gần đúng của α thì sai số không vượt quá164 = 0.015625.82

Xem Thêm

Tài liệu liên quan

• Giáo trình Toán ứng dụng
  • 140
  • 7,592
  • 2
• Công văn số 4256/VPCP-KG ngày 02/08/2002 của Văn phòng Chính phủ về việc xây dựng Đề án quản lý lưu học sinh
  • 1
  • 0
  • 0
• Công văn ngày 3003/TCHQ-GSQL của Tổng cục Hải quan về việc đưa hàng chưa làm thủ tục hải quan về kho doanh nghiệp để sửa chữa, phục hồi
  • 1
  • 0
  • 0
• Thông tư 37/2009/TT-BGDĐT ban hành Bộ chương trình khung giáo dục đại học khối ngành Công nghệ trình độ đại học và cao đẳng do Bộ Giáo dục và Đào tạo ban hành
  • 73
  • 0
  • 0
• Công văn số 107/TCHQ-KTTT của Tổng cục Hải quan về việc trị giá tính thuế các mặt hàng nhập khẩu
  • 1
  • 0
  • 0
• Quyết định 343-CP năm 1979 về việc thành lập Viện tư liệu phim Việt Nam thuộc Bộ Văn hóa và thông tin do Hội đồng Chính phủ ban hành
  • 1
  • 0
  • 0
• Công văn số 487/BXD-KTTC về việc hướng dẫn điều chỉnh giá và hợp đồng xây dựng theo Thông tư số 05/2008/TT-BXD do Bộ Xây dựng ban hành
  • 1
  • 0
  • 0
• Công văn số 318/SHTT-HTTV của cục sở hữu trí tuệ Bộ Khoa học và Công nghệ về việc hướng dẫn tham gia Chương trình hỗ trợ phát triển tài sản trí tuệ của doanh nghiệp
  • 11
  • 0
  • 0
• Quyết định 22/2000/QĐ-BNN-TCCB chuyển Công ty Vật tư, thiết bị và xây dựng thành Công ty cổ phần Xây dựng và vật tư thiết bị do Bộ trưởng Bộ Nông nghiệp và Phát triển nông thôn ban hành
  • 2
  • 0
  • 0
• Thông tư 20/2009/TT-NHNN quy định thời hạn bảo quản hồ sơ, tài liệu trong ngành ngân hàng do Ngân hàng Nhà nước Việt Nam ban hành
  • 59
  • 0
  • 0
• Công văn số 4200 TCT/XNK ngày 24/11/2003 của Tổng cục Thuế về việc quyết toán thuế theo tỷ lệ nội địa hoá xe máy 2002
  • 1
  • 0
  • 0

Tải bản đầy đủ (.pdf) (140 trang)

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

(1.7 MB) - Giáo trình Toán ứng dụng-140 (trang) Tải bản đầy đủ ngay ×