NGUYÊN HÀM ĐỔI BIẾN SỐ (VÍ DỤ LỜI GIẢI CHI TIẾT) - CaolacVC

PHƯƠNG PHÁP NGUYÊN HÀM ĐỔI BIẾN SỐ

Trong bài viết nhỏ này thì chúng ta cùng nhau đi tìm hiểu về cách tìm nguyên hàm bằng cách sử dụng phương pháp đổi biến số

Để mà nói đầy đủ lý thuyết ra là đổi biến số loại 1, loại 2, đặt thế này thế kia là khá lằng nhằng, điều đó sẽ cực kỳ có ích khi ta đã hiểu cách làm, biết được một số bài toán cơ bản, sau đó đọc kỹ để trau dồi thêm kinh nghiệm cũng như dạng bài tập. Còn trong bài viết này ta sẽ dần hiểu cách làm cũng như ý tưởng phương pháp đổi biến số nguyên hàm thông qua các ví dụ, bài tập có lời giải trực tiếp

Dưới đây là các bài tập có lời giải chi tiết về phương pháp nguyên hàm đổi biến số

1.Nguyên hàm đổi biến số các hàm đa thức

Ví dụ 1.1 Tìm nguyên hàm $\displaystyle I=\int{{{(2x+1)}^{5}}dx}$

Giải.

Ta đặt $u=2x+1\Rightarrow du=2dx$ hay $\displaystyle dx=\frac{du}{2}$. Khi đó nguyên hàm $I$ được viết lại

$\displaystyle I=\int{{{u}^{5}}\frac{du}{2}}=\frac{1}{2}\int{{{u}^{5}}du}=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{6}{{u}^{6}}+C=\frac{{{u}^{6}}}{12}+C$

$\displaystyle I=\frac{{{(2x+1)}^{6}}}{12}+C$

Ví dụ 1.2 Tìm nguyên hàm $\displaystyle I=\int{x{{({{x}^{2}}+1)}^{4}}dx}$

Giải.

Ta đặt $u={{x}^{2}}+1\Rightarrow du=2xdx$ hay $\displaystyle xdx=\frac{du}{2}$. Khi đó nguyên hàm $I$ được viết lại

$\displaystyle I=\int{{{u}^{4}}\frac{du}{2}}=\frac{1}{2}\int{{{u}^{4}}du}=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{5}{{u}^{5}}+C=\frac{{{u}^{5}}}{10}+C$

$\displaystyle I=\frac{{{({{x}^{2}}+1)}^{5}}}{10}+C$

2. Nguyên hàm đổi biến số các hàm có chứa căn

Thêm một ví dụ có chứa căn

Ví dụ 2.1 Tìm nguyên hàm $\displaystyle I=\int{x\sqrt{5-3{{x}^{2}}}dx}$

Giải.

Ta đặt $u=5-3{{x}^{2}}\Rightarrow du=-6xdx$ hay $\displaystyle xdx=\frac{du}{-6}$. Khi đó nguyên hàm $I$ được viết lại

$\displaystyle I=\int{\sqrt{u}\frac{du}{-6}}=-\frac{1}{6}\int{\sqrt{u}du}=-\frac{1}{6}\int{{{u}^{\frac{1}{2}}}du}=-\frac{1}{6}\frac{{{u}^{\frac{3}{2}}}}{\frac{3}{2}}+C=-\frac{1}{9}{{u}^{\frac{3}{2}}}+C$

$\displaystyle I=-\frac{1}{9}{{(5-3x)}^{\frac{3}{2}}}+C$

Nếu xuất hiện $\sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}\xrightarrow{{}}$Đặt $x=a\sin t$ hoặc $x=a\cos t$

Ví dụ 2.2 Tìm $\displaystyle \int{\sqrt{4-{{x}^{2}}}dx}$

Đặt $\displaystyle x=2\sin t,t\in \left[ -\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2} \right]$

$ \displaystyle \Rightarrow \left\{ \begin{align} & t=\arcsin \frac{x}{2} \\ & dx=2\cos tdt \\ \end{align} \right.$

Khi đó $\int{\sqrt{4-{{\left( 2\sin t \right)}^{2}}}}2\cos tdt=2\int{\sqrt{4\left( 1-{{\sin }^{2}}t \right)}}\cos tdt$

$\displaystyle =2.2\int{\sqrt{1-{{\sin }^{2}}t}}\cos tdt=4\int{\cos t.\cos tdt}=4\int{{{\cos }^{2}}t}dt$

$\displaystyle =4\int{\frac{1+\cos 2t}{2}dt=2\int{\left( 1+\cos 2t \right)dt}}=2\left( t+\frac{\sin 2t}{2} \right)+C$

$\displaystyle 2t+\sin 2t+C=2\arcsin \frac{x}{2}+\sin \left( 2\arcsin \frac{x}{2} \right)+C$

3 Nguyên hàm đổi biến số của các hàm số lượng giác

Thêm một ví dụ về lượng giác

Ví dụ 3.1 Tìm nguyên hàm $\displaystyle I=\int{\cos (3x+1)dx}$

Giải.

Ta đặt $u=3x+1\Rightarrow du=3dx$ hay $\displaystyle dx=\frac{du}{3}$. Khi đó nguyên hàm $I$ được viết lại

$\displaystyle I=\int{\cos u}\frac{du}{3}=\frac{1}{3}\int{\cos udu}=\frac{1}{3}\sin u+C$

$\displaystyle I=\frac{1}{3}\sin (3x+1)+C$

Thêm một ví dụ về lượng giác nữa

Ví dụ 3.2 Tìm nguyên hàm $\displaystyle I=\int{{{\sin }^{3}}x\cos xdx}$

Giải.

Ta đặt $u=\sin x\Rightarrow du=\cos xdx$. Khi đó nguyên hàm $I$ được viết lại

$\displaystyle I=\int{{{u}^{3}}du}=\frac{{{u}^{4}}}{4}+C$

$\displaystyle I=\frac{{{\sin }^{4}}x}{4}+C$

Ví dụ 3.3Tìm nguyên hàm $\displaystyle \int{\frac{2\sin x}{1+\cos x}dx}$

Giải.

Đặt $u=1+\cos x\Rightarrow du=-\sin xdx$ hay $\sin xdx=-du$. Khi đó nguyên hàm được viết lại

$\displaystyle \int{\frac{-2\text{d}u}{u}=-2\int{\frac{1}{u}du}=-2\ln \left| u \right|+C=-\frac{1}{2}}\ln \left| 1+\cos x \right|+C$

4 Nguyên hàm đổi biến số các hàm phân thức hữu tỷ

Ít nhất là phải làm được các dạng bài tập như ở đây nha!

Ví dụ 4.1Tìm nguyên hàm $\displaystyle \int{\frac{{{x}^{3}}}{1+{{x}^{2}}}dx}$

Giải.

Đặt $u=1+{{x}^{2}}\Rightarrow du=2xdx$ hay $\displaystyle xdx=\frac{du}{2}$

Dễ thấy $u=1+{{x}^{2}}\Rightarrow {{x}^{2}}=u-1$

Khi đó nguyên hàm đã cho được viết lại thành

$\displaystyle \int{\frac{{{x}^{3}}}{1+{{x}^{2}}}dx}=\int{\frac{{{x}^{2}}.xdx}{1+{{x}^{2}}}}=\int{\frac{\left( u-1 \right)du}{u}}$

$\displaystyle =\int{\left( 1-\frac{1}{u} \right)du}=u-\ln \left| u \right|+C=\left( 1+{{x}^{2}} \right)-\ln \left( 1+{{x}^{2}} \right)+C$

Đố. Đố các bạn tại sao lại là $\ln \left( 1+{{x}^{2}} \right)$, đáng lẽ phải là $\ln \left| 1+{{x}^{2}} \right|$ chứ???

Thêm một ví dụ nâng cấp cho dạng nguyên hàm đổi biến số của hàm hữu tỷ

Ví dụ 4.2 Tìm nguyên hàm $\displaystyle \int{\frac{{{\left( x+1 \right)}^{3}}}{{{x}^{2}}+2x-3}dx}$

Giải.

Đặt $u={{x}^{2}}+2x-3\Rightarrow du=2(x+1)dx$ hay $\displaystyle (x+1)dx=\frac{du}{2}$

Dễ thấy $u={{x}^{2}}+2x-3=\left( {{x}^{2}}+2x+1 \right)-4={{(x+1)}^{2}}-4$ hay ${{(x+1)}^{2}}=u+4$

Khi đó nguyên hàm đã cho được viết lại thành

$\displaystyle \int{\frac{{{\left( x+1 \right)}^{2}}\left( x+1 \right)}{{{x}^{2}}+2x-3}dx}=\int{\frac{u+4}{u}\cdot \frac{du}{2}}=\frac{1}{2}\int{\left( 1+\frac{4}{u} \right)du}$

$\displaystyle =\frac{1}{2}\left( u+4\ln \left| u \right| \right)+C=\frac{1}{2}\left[ \left( {{x}^{2}}+2x-3 \right)+4\ln \left| {{x}^{2}}+2x-3 \right| \right]+C$

Cũng không khó lắm đúng không nào? Tuy nhiên cũng sẽ lấy đi kha khá chất xám của các bạn đấy kakaka...