NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG - Tài Liệu Text - 123doc

Có thể bạn quan tâm

Tải bản đầy đủ (.pdf) (6 trang)

Trang chủ

Lớp 11

Toán học

NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (840.06 KB, 6 trang )

Trường THPT Lấp Vò 2Ths: Quang Minh – Thùy TrangChủ đề: NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNGA. NGUYÊN HÀMI. Bảng các nguyên hàm. Với a là hằng số khác 0Nguyên hàm của những hàm số sơ cấpNguyên hàm của những hàm số hợp đơn giảnthường gặp1dx  x  C kdx  kx  C 1x x dx    1  C   11 xdx  ln x  C  x  01x21dx    C  x  0 x e dx  exxax a dx  ln a  C  0  a  1x cos xdx  sin x  C sin xdx   cos x  C2xdx  tan x  C1dx   cot x  Csin 2 x1dx  2 x  C  x  0 xx211xadx ln C  a  02a2a x  aC1b111b (ax  b) dx   a ax  b  C  x   a 21 axbeCaa mxnmx  na dx  C  0  a  1m ln a1cosaxbdxsin  ax  b   Ca1sin  ax  b  dx   cos  ax  b   Ca11dx  tan  ax  b   C2cos  ax  b aax bdx 11 sin  ax  b  dx   a cot  ax  b   C212dx ax  b  Caax  b11b x a xa ( x  a)( x  b) dx  b  a ln x  b  C  a.b  0 Các công thức lượng giác cần thiết1. Công thức nhân đôi:* sin2a = 2sina.cosa ;* cos2a = cos2a – sin2a = 2cos2a – 1 = 1 – 2sin2a2 tan * tan 2 1  tan 2 2 . Công thức hạ bậc:1  cos 2a1  cos 2a* sin2a =* cos2a =224. Công thức lượng giác cơ bản1222* sin   cos   1* 1  tan  cos 2 Nguyên hàm - Tích phân 11 (1+tan x)dx   cos2 (1+cot x)dx 11  ax  b dx a  1  1 ax  bdx  a ln ax  b  C  x   a eC2  ax  b 3. Công thức biến đổi tích thành tổng:1* cos a.cos b  cos(a  b)  cos(a  b) 21* sin a.cos b  sin(a  b)  sin(a  b) 21* sin a.sin b   cos(a  b)  cos(a  b) 2* 1  cot121sin 2 Trường THPT Lấp Vò 2Ths: Quang Minh – Thùy TrangNHẮC LẠI ĐẠO HÀM1. Các quy tắc tính đạo hàm:Hàm sốPhép tính: Đạo hàm của hàm sốHàm số tổng, hiệu: u  v(u  v) '   u  '  v  'Hàm số tích: u.v u.v  '   u  '.v   v  '.u k.u  '  k. u  'Đặc biệt: v = k (k: hằng số)Hàm số thương:uv' u  (u )'.v  (v)'.u  v2v'(v)'1    2 ; (v  0)vvĐặc biệt: u = 12. Các công thức tính đạo hàmĐạo hàm của các hàm số hợpĐạo hàm các hàm số cơ bản.C  ' 0[ u = u(x) ]'( x ) '   .x – 111    2 x  (u )x'   .u – 1.u ''11   2x xu'1   2uu x   21x u   2u 'u sin x  '  cos x sin u  '  u '.cos u cos x  '  – sin x cos u  '  –u '.sin u'' tan x  ' 1cos 2 x cot x  '  1sin 2 xe  '  e a  '  a .ln axxxx ln | x | ' 1x1x.ln aII. Các tính chất nguyên hàm.a)  [ f ( x)  g ( x)]dx   f ( x)dx   g ( x)dx ; log a | x | ' ' tan u  '  cot u  '  u'sin 2 u e  '  u '.e a  '  u '.a .ln auu ln | u | ' uuu'u log a | u | ' u'u. ln ab)  k. f ( x)dx  k  f ( x)dx (k  0)III. Các phương pháp tìm nguyên hàm1) Phương pháp 1. Dựa vào bảng nguyên hàm cơ bảnVí dụ 1. Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:Nguyên hàm - Tích phânu'cos 2 u2Trường THPT Lấp Vò 2Ths: Quang Minh – Thùy Trangb) f ( x) a) f ( x)  x( x  1)( x  2)113xxGiảic) f ( x)  (2 x  3)3a) F ( x)   f ( x)dx   ( x 3  3x 2  2 x)dx   x 3dx   3x 2dx   2 xdxx 4 3x3 2 x 2x4 C   x3  x 2  C4324x1/ 2 x 2/33b) F ( x)   f ( x)dx   ( x 1/2  x 1/3 )dx  C  2 x  3 x2  C .1/ 2 2 / 32438 x 36 x 54 x 2c) F ( x)   f ( x)dx   (8x3  36 x 2  54 x  27)dx  27 x  C  2 x 4  12 x3  27 x 2  C432Ví dụ 2. Tìm nguyên hàm:x3  3x 2  x  1x 2  3x  24x  3a) b) d)  2 x1.5x dx .dxdxdx c) 2x2x 12x 1Giải322x  3x  x  11 1x1a)dx   x  3   2  dx   3x  ln x   C .2xx x 2x4x  31 1b) dx    2  dx  2 x  ln 2 x  1  C .2x 12x 1 2c)x 2  3x  2x2 71 x 7 1/ 4 dxdx 2x 1  2 4 2 x 1  4  4 x  8 ln 2 x 1  C .10 xd)  2 .5 dx  2 2 .5 dx  210 dx  2C .ln10Ví dụ 3. Tìm nguyên hàm:x1xxa)  sin(2x  1)dxxx; b)  sin x.cos 2 xdx; c)  (x  cos2 x)dx; d)  e3 x4dx .Giải1a)  sin(2x  1)dx   cos(2 x 1)  C .21111 1b)  sin x.cos 2 xdx   (sin3x  sin x)dx    cos3x  cos x   C   cos3x  cos x22 362x2 11 1  cos2 x c) (x  cos2 x)dx   x dx x  sin2x  C .22 241d)  e3 x4dx  e3 x4  C .3x2  2x  3Ví dụ 4. Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f ( x) biết F 1  3 .xGiải2x  2x  33x2dx   x  2   dx   2 x  3ln x  CTa có F ( x)  f  x  dx xx212 2.1  3ln1  C  3  C  1/ 22x2Vậy nguyên hàm cần tìm là: F ( x)   2 x  3ln x  1/ 22Ví dụ 5. Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f ( x)  1  sin 3x biết F  / 6   0 .Do F 1  3 nênGiảiNguyên hàm - Tích phân3Trường THPT Lấp Vò 2Ths: Quang Minh – Thùy Trang1Ta có F ( x)   f  x  dx   1  sin3x  dx  x  cos3x  C3 1 Do F    0 nên  cos  C  0  C  6 32661Vậy nguyên hàm cần tìm là: F ( x)  x  cos3x  .361Ví dụ 6. Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f ( x)  3x 2   4e x biết F 1  1 .xGiải1Ta có F ( x)   f  x  dx    3x 2   4e x  dx  x3  ln x  4e x  Cx31Do F 1  1 nên 1  ln 1  4e  C  1  C  4eVậy nguyên hàm cần tìm là: F ( x)  x3  ln x  4e x  4e .Bài tập rèn luyệnBài tập 1. Tính nguyên hàm các hàm số sau: (sử dụng trực tiếp công thức)2 x4  31x 1a) f ( x)  x 2 – 3x b) f ( x) c) f ( x)  22xxx22( x  1)12d) f ( x) e) f ( x)  x  3 x  4 xf) f ( x) 32xxxxg) f ( x)  2sin 2h) f ( x)  tan 2 xi) f ( x)  cos2 x21cos 2 xk) f ( x) l) f ( x) m) f ( x)  2sin3x cos 2 x22sin x.cos xsin 2 x.cos 2 xe x xx xn) f ( x)  e e – 1o) f ( x)  e  2 p) f ( x)  e3 x1 .2 cos x Bài tập 2. Tính nguyên hàm các hàm số sau (tách mẫu)x2  1dxdxa) b) c)  2 dxx 1x( x  1)( x  1)(2 x  3)dxdxdxd)  2e)  2f)  2x  7 x  10x  6x  9x 4x3xxdxg) h)  2i)  2dxdxx  3x  22 x  3x  2( x  1)(2 x  1)Bài tập 3. Tính nguyên hàm các hàm số sau (công thức lượng giác)a)  sin 2 x sin 5x.dxb)  cos x sin 3xdxc)  (tan 2 x  tan 4 x)dxxf)  cos 2 dx21g)  sin 2 x.cos 2 xdxh)  sin 3x cos5 xdxi) dx2 sin x  cos x Bài tập 4. Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) thoả điều kiện cho trước:F (1)  3a) f ( x)  x3  4 x  5;b) f ( x)  3  5cos x;F ( )  2d)cos 2 xe)  sin 2 xdx 1  sin x cos xdx3  5x2;xx3  1e) f (x)= 2 ;xc) f ( x) g) f ( x)  sin 2 x.cos x;Nguyên hàm - Tích phânx2  1;xF (e)  1d) f ( x) F (2)  0f) f ( x)  x x  F 03F (1) 321;F (1)  2x3x 4  2 x3  5; F (1)  2h) f ( x) x24Trường THPT Lấp Vò 2Ths: Quang Minh – Thùy Trangx  k) f ( x)  sin 2 ; F   22 4x3  3x3  3x  7i) f ( x) ; F (0)  8( x  1)2Câu hỏi trắc nghiệm tự luyệnCâu 1. Một nguyên hàm F(x) của hàm số f ( x) 1là:2x  51A. F ( x)  ln 2 x  5  2017 B. F ( x)  ln 2 x  52C. F ( x)  2 2 x  5D. F ( x)  21Câu 2. Một nguyên hàm F(x) của hàm số f ( x)  x3   sin10 là:244xx 11A.C.B. F ( x)  x 4  ln 2  cos10   sin10  x444 2xCâu 3. Một nguyên hàm F(x) của hàm số f ( x)  3 là:A. F ( x) 3xln 3B. F ( x) 3x1x 1C. F ( x)  3xD. F ( x) 1 2 x  52D. F ( x)  3x 23xx 13Câu 4. Một nguyên hàm F(x) của hàm số f ( x)  x 2   2 x là:x3x4 3x34 3A. F ( x)   3ln x B. F ( x)   3lnx xx3333x3 3 4 3x34 3C. F ( x)   2 D. F ( x)   3ln x xx3 x 333Câu 6. Một nguyên hàm của hàm số f  x   sin 2 x  3x 2 là:111B. F  x   cos 2 x  6 x C. F  x    cos 2 x  x3 D. F  x    cos 2 x  x3222A. F  x   cos 2 x  6 xCâu 7. Kết quả của tanA. tan x  x  C2xdx là:B. tan x  1  CC. cot 2 x  C2D. 1  tan 2 x  CCâu 8. Một nguyên hàm của hàm số f ( x)  e2 x là:B. 2e2 x2xA. e2 Câu 9. Kết quả của e x  3  5 x  dx là:xe 11A. 3e x  4  CB. 3e x  4  C2x2xC.e 2 x12x 1D.1 2xe2C. 3e x Câu 10. Nguyên hàm của hàm số f(x) = x2 – 3x +1C2x4D. 3e x 1C2 x41là:xx3 3x 2x3 3x 2 1x3 3x 2 ln x  C B. 2 C ln x  CC. x3  3x2  ln x  C D. 3232x32Câu 11. Họ nguyên hàm của f ( x)  x 2  2 x  1 là111A. F ( x)  x3  2  x  C B. F ( x)  2 x  2  C C. F ( x)  x3  x 2  x  C D. F ( x)  x3  2 x 2  x  C3331 1Câu 12. Nguyên hàm của hàm số f ( x)   2 là:x x11A. ln x  ln x2  CB. lnx –+CC. ln|x| ++CD. Kết quả khácxxCâu 13. Nguyên hàm của hàm số f  x   cos3x là:A.Nguyên hàm - Tích phân5Trường THPT Lấp Vò 2A.Ths: Quang Minh – Thùy Trang1sin 3x  C31B.  sin 3 x  C3Câu 14. Nguyên hàm của hàm số f ( x)  2e x C.  sin3x  CD. 3sin3x  C1là:cos 2 xe xC. ex + tanx + CD. Kết quả khác)2cos x3Câu 15. Nguyên hàm của hàm số f(x) = 2x  2 là:x33A. x 2   CB. x 2  2  CC. x2  3ln x2  CD. Kết quả khácxxCâu 16. Trong các hàm số sau đây , hàm số nào là nguyên hàm của f ( x)  sin 2 x11A. 2cos 2xB. 2cos 2xC. cos 2 xD. cos 2 x223Câu 17. Trong các hàm số sau đây, hàm số nào là nguyên hàm của f ( x)  x  3x2  2 x  111A. 3x2  6 x  2B. x 4  x3  x 2  xC. x 4  x3  x 2D. 3x2  6 x  244Câu 18. Tìm  (cos6 x  cos 4 x)dx là:B. ex(2x A.2ex + tanx + C1111A.  sin 6 x  sin 4 x  C B. 6sin 6 x  5sin 4 x  C C. sin 6 x  sin 4 x  C D. 6sin 6 x  sin 4 x  C64645Câu 19. Nguyên hàm của hàm số f ( x)  (1  2 x) là:1A.  (1  2 x)6  CB. (1  2 x)6  CC. 5(1  2 x)6  CD. 5(1  2 x)4  C2Câu 20. Nếu  f ( x)dx  e x  sin 2 x  C thì f ( x) bằngA. e x  cos 2 xB. e x  cos 2 xC. e x  2cos 2 xCâu 21. Một nguyên hàm của hàm số: y = cos5x.cosx là:111A.  sin 6 x  sin 4 x B. cos6xC. F(x) = sin6x2642 Câu 22. Kết quả của e x  3  5 x  dx là:xe 111A. 3e x  4  CB. 3e x  4  CC. 3e x  4  C2x2x2x2Câu 23. Họ nguyên hàm F(x) của hàm số f ( x)  sin x là:1sin 2 x 1sin 2 x 1cos 2 x A.  x   C B.  x   C C.  x C22 22 22 1Câu 24. Họ nguyên hàm F(x) của hàm số f ( x)  2là:x  4x  3x 31 x 1A. ln x 2  4 x  3  CB. lnClnCx 12x3C.1D. e x  cos 2 x21  sin 6 x sin 4 x D.  2 64 Câu 25. Nguyên hàm của hàm số f(x) = x3 ‒x4 ln x 2  CA.4Nguyên hàm - Tích phânx3 1 4  2x  CB.3 xD. 3e x 1C2 x4D.1 x  sin 2 x   C2D.1 x 3lnC2 x 11 2 x là:2xx4 1 2x CC.4 x ln 26x4 1  2 x.ln 2  CD.4 x