Nguyên Hàm Và Tích Phân 12

Có thể bạn quan tâm

Trang Chủ
Đăng ký
Đăng nhập
Upload
Liên hệ

Trang Chủ › Toán Học Lớp 12›Giải Tích Lớp 12 Nguyên hàm và tích phân 12

DOÃN XUÂN HUY - THPH ÂN THI – HƯNG YÊN

NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN

Bảng các nguyên hàm :

9 trang

ngochoa2017 Lượt xem

1802

0 Download Bạn đang xem tài liệu "Nguyên hàm và tích phân 12", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên1 DOÃN XUÂN HUY - THPH ÂN THI – HƯNG YÊN NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN Bảng các nguyên hàm : 𝑑𝑥 = 𝑥 + 𝐶; 𝑥∝𝑑𝑥 = 𝑥∝+𝟏 ∝+1 + 𝐶(∝≠ −1) ; 𝑑𝑥 𝑥 = 𝑙𝑛 𝑥 + 𝐶 ; 𝑒𝑥𝑑𝑥 = 𝑒𝑥 + 𝐶 𝑎𝑥𝑑𝑥 = 𝑎𝑥 𝑙𝑛𝑎 + 𝐶 ; 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥 = 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝐶 ; 𝑠𝑖𝑛𝑥𝑑𝑥 = −𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝐶 ; 𝑑𝑥 𝒄𝒐𝒔2𝑥 = 𝑡𝑎𝑛𝑥 + 𝐶 ; 𝑑𝑥 𝒔𝒊𝒏2𝑥 = −𝑐𝑜𝑡𝑥 + 𝐶 ; 𝑓 𝑎𝑥 + 𝑏 𝑑𝑥 = 1 𝑎 𝐹 𝑎𝑥 + 𝑏 + 𝐶; (𝑎𝑥 + 𝑏)∝𝑑𝑥 = (𝑎𝑥 + 𝒃)∝+𝟏 𝑎(∝ +1) + 𝐶(∝≠ −1) ; cos⁡(𝑎𝑥 + 𝑏)𝑑𝑥 = 1 𝑎 sin⁡(𝑎𝑥 + 𝑏) + 𝐶 2 2 2 2 2 1/ ;2/ 2 2 dx x k ln x x k C x kdx x k ln x x k C x k               I.Nguyên hàm của hàm số lượng giác: 1/ 5 6 4 3 4 2(1 ) 5 7 sin x sin x sin xcos xdx sin x sin x dsinx C      . 2/ 9 7 11 5 6 2 2 6 2(1 ) cos 9 7 11 cos x cos x cos x sin xcos xdx cos x cos xd x C        3/ 2 4 2 21 2 1 2 1. (1 2 )(1 2 ) 2 2 8 cos x cos x sin xcos xdx dx cos x cos x dx               31 1 4 1 2 6 1 2 4 61 2 2 1 4 2 8 2 16 2 2 32 2 2 6 cos x cos x cos x sin x sin x sin x cos x cos x dx cos x dx x                               4/  3 1 1 8 8 (3cos 3 ) 3( 9 7 ) 11 5 4 8 cos xsin xdx sin x x cos x dx sin x sin x sin x sin x dx        1 9 3 7 11 5 8 3 7 11 5 cos x cos x cos x cos x C            . 5/ 2 cos 1 1 1 1 1 ln ln tan( / 2) sin 1 2 cos 1 cos 1 2 1 dx d x cosx dx C x C x cos x x x cosx                    6/ 2sin 3 (3 4 ) (3 4 ) 6 17 (3 4 ) 3 4 3 4 25 25 3 4 x cosx a sinx cosx b cosx sinx d sinx cosx dx dx dx sinx cosx sinx cosx sinx cosx                6 ln 3 4 25 x sinx cosx C    . 2 DOÃN XUÂN HUY - THPH ÂN THI – HƯNG YÊN 7/   cos 1 ( ) ( ) 1 ln 1 2 2 dx xdx sinx cosx sinx cosx dx x sinx cosx C tanx sinx cosx sinx cosx               . 8/ 3 3 3 2 4 ( ) ( ) ( / 4) 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( / 4) sinx sinx cosx sinx cosx d x dx dx sinx cosx d sinx cosx sinx cosx sinx cosx cos x                 2( / 4) ( )tan x sinx cosx C      . 9/ 2 2 ( / 2) 3 5 3 6 ( / 2) 10 ( / 2) ( / 2) ( / 2)(3 5 ( / 2)) dx dx d x sinx cosx cos x sin x cos x cos x tan x         ( / 2) 1 ln 3 5 ( / 2) 3 5 ( / 2) 5 dtan x tan x C tan x     . 10/ 2 2 2 ( / 2) 7 6 9 16 ( / 2) 12 ( / 2) 2 ( / 2) ( / 2) 6 ( / 2) 8 dx dx dtan x cosx sinx cos x sin x cos sin x tan x tan x           1 1 1 1 ( / 2) 4 ( / 2) ln 2 ( / 2) 4 ( / 2) 2 2 ( / 2) 2 tan x dtan x C tan x tan x tan x              . 11/ 2 2 3 2 4 2 2 3 sin x sin x dx tan x dx tan xdtanx C cos x cos x cos x       . 12/ 3 3 2 2( ) ( 1) / ( ) / 2 lntan xdx tan x tanx tanx dx tanx tan x dx sinxdx cosx tan x cosx C            . 13/ 4 4 2 2 2 2 2( 1 1) ( 1) ( 1)cot xdx cot x cot x cot x dx cot x cot x dx cot x dx dx              3( ) /3cotx cotx x C     . 14/ 2 ( / 2 /8) 2 2 2 ( / 4) 2 2 ( / 2 /8) 2 dx dx dx cot x C sinx cosx cos x sin x                  . 15/ 3 33 2 5 / 3 8 / 333 3 3 2 3 8 sin x sinx sin x sinx cotx cotxdx dx cot xcotxdcotx cot xdcotx cot x C sin x sin x sin x             . 16/ 4 3/ 4 4 23 54 4 dx tanxdx tan xdtanx tanx C tanxcos xsin xcos x       . 17/ 1/ 3 2 / 3 3 3 ( ) ( ) ( ) 2 sinx cosx dx sinx cosx d sinx cosx sinx cosx C sinx cosx           . 18/ 2 3 3 3 ( 2) 12 1 2 1 ( 2) ( 2) 2 ( 2) 2 d tcos xdx dsin x t sinx cosx sinx cosx sinx cosx t                3 2 2 1 1t dt C t t t     . 19/ 2 2 1 2 3 ( ) 4 22 4 2 2 26 8 3/ 4 cosxdx dsinx dsinx u C sinx sinu cos x sin x sin x            . 20/ 2 2 2 1 2 2 2ln sin x dx sinxcosx dx dx tanx cosx C cos x cos x cos x         . 21/ 2 3 4 2 3 1 3 3 5 8 3 3 2 (1 ) 3 1 ( 3 3 ) 3ln 4 2 2 dx dx tan x dtanx t t t t t t dt t C sin xcos x cos xtan x tan x t                . 3 DOÃN XUÂN HUY - THPH ÂN THI – HƯNG YÊN 22/ 2 2 2 2 2 3 4 3 4 3 ( 3 ) 1 1 3 4 3 4 3 3 2 2 sinx cosx dcosx dsinx d tant dx dsinx sin x cos x cos x sin x tan t sinx sinx                        2 ln 3 ( 3 ) 2 sinx t C cosx tant sinx       . 23/  3 3/ 2( 0; / 2 ) 2 /3cosx cos xdx x cosxdcosx cos x C        . 24/ 2 2 21 1 ( /3) 1 1 2 3 2 2 ( /3) 2 83 cos xdx cos xdx cos t dt cost sint dt sin x sint sintsinx cosx                    1 ln 2 3 2 ( /3) 8 2 t tan sint cost C t x            . 25/ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 sin cos /( ) ( ) x xdx tdt b a a cos x b sin x a b C t b aa cos x b sin x          . 26/ 2 2 ( ) ln ( ) ( ) 4 22 2 1 ( ) 1 cosx sinx d sinx cosx dtant dt t dx tan C tant sinx cosx costsin x sinx cosx tan t                    . 27/ 2 2 2 22 ( (0; / 4)) ( ) ln 2 2 cos x tan x cot x dx x cotx tanx dx dx sin x C sin x           . 28/ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 3 1 3 3 34 1 3 sin xdx sinxdsinx d sin x sin x C cos x sin x sin x            . 29/  ( ) ( )1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) sin x a x b dxdx a b k cos x a cos x b sin a b cos x a cos x b               1 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ln ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) sin x a sin x b cos x b d x a d x b C sin a b cos x a cos x b sin a b cos x a                   . 30/  ( ) ( )1 ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) cos x a x b dxdx a b k sin x a cos x b cos a b sin x a cos x b                 1 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ln ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) cos x a sin x b sin x a d x a d x b C cos a b sin x a cos x b cos a b cos x b                   . BÀI TẬP : Tìm các nguyên hàm sau: 3 3 2 2 cos 4 3 4 1/ ;2 / ;3/ ;4 / ;5/ ;6 / ;7 / ; 3 7 1 1 2 4 1 dx xdx sin xdx dx sin xsin x cos xdx sin xdx dx cosx cosx sinx cos x cosx tanx cot x cos x cosx cosx            3 3 2 4 6 1 2 2 8/ ;9 / ;10/ ;11/ ;12/ ;13/ ; 2 1 2 cos xdx sinx sin x sinxdx dx dx sin x cos x dx dx sin x sinx cos x sin x sin x cos x sinx cosx            4 4 2 2 3 4 14/ ;15/ ;16/ ;17 / ;18/ ;19/ ; 1 2 2 2 2 dx sin x dx tan x dx dx dx dx sin xcos x cosx sinxcos x cos x sin x sinx cosx        3 56 2 20/ ;21/ ;22/ ;23/ 1 sin ( ) ( )1 3 3 2 sin x sinx sinx cosx dx dx dx cos x xcos x cos x a cos x bcosx sin x           . 4 DOÃN XUÂN HUY - THPH ÂN THI – HƯNG YÊN 24/ ;25/ ( ) ;26/ ;27 / 2 2 dx sinxdx sinxcosxdx tanxtan a x dx sinx cosxsinx cosx sin x       . II.Nguyên hàm của hàm phân thức hữu tỉ: 1/ 1 ln ( 1)(2 1) 1 2 1 1 2 1 2 1 xdx a b dx dx x dx C x x x x x x x                      . 𝑥𝑑𝑥 2𝑥 − 1 (3𝑥 + 4) ; 𝑑𝑥 𝑥2 + 𝒂2 ; 𝑑𝑥 𝑥2 2𝑥 + 3 ; 𝑑𝑥 𝑥2 − 𝒂2 ; 𝑑𝑥 2𝑥 − 3 (3𝑥 + 2) 2/ 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 ln ( 2) 2 ( 2) 4 2 4 2 dx dx x dt C x x x x t t x                 . 3/ 10 10 2 10 10 2 2 2 2 1 1 ( 1) 1 1 1 ( 1) 10 ( 1) 10 ( 1) 10 ( 1) 10 ( 1) dx dx dt t t dt dt x x x x t t t t t t t                      10 2 10 10 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ln ln 10 1 10 10 1 1 t x dt C C t t t t t x x                         . 4/ 2 2 4 2 2 2 1 1 1/ ( 1/ ) 1 1 1 1 2 ln 1 1/ ( 1/ ) 2 2 2 2 2 2 2 2 x x d x x t dx dx dt C x x x x x t t t                         . 4′) 𝑥2 + 1 𝑥𝟒 + 1 𝑑𝑥 ; 4") 𝑑𝑥 𝑥𝟒 + 1 5/ 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 3 3 ( ) / 1 1 2 1 2 ( 0) ( ) ( ) / 2 2 2 dx d atant adt cos t cos t sin t a dt t C x a a tan t a a cos t a a                    . 6/ 2 2 10 10 8 7 9 1 4 4 1 1 1 4 ( 2 3 ) (2 3 ) 27 27 2 7 9 x dx t t dt C t x x t t t t                  . 7/ 4 4 2 2 3 3 6 6 2 6 1 1 1 ( ) /3 1 1 1 3 1 x x x x dx dx dx dx arctanx arctanx C x x x x                  . 8/ 3 2 2 6 4 2 3 3 3 2 2 ( ) (1 1/ ) ( 1/ ) 1 ln 4 4 1 1/ 4( 1/ ) ( 1/ ) ( 1/ ) ( 1) 2 1 x x dx x dx d x x dt t C x x x x x x x x x x x t t t                       . BÀI TẬP: Tìm các nguyên hàm sau: 3 2 2 2 2001 9 5 2 2 4 2 5 2 2 2 1002 1 ( 1) 1/ ;2 / ;3/ ;4 / ;5/ ;6 / 3 ( ) 1 ( 1) ( 5 1)( 3 1) (1 ) dx x dx x x dx x dx x dx dx x x x k x x x x x x x x                  . 5 DOÃN XUÂN HUY - THPH ÂN THI – HƯNG YÊN III. Nguyên hàm của các hàm số có chứa ẩn dưới dấu căn thức: 1/ 3 5 2 4 2 3 3 1 ( 1) /3 1 1 1 ( 2 ) ( 3 1) 3 3 53 1 x t t dx t dt t t dt t C t x tx                    . 2/ 2 3 2( 1) 1 1 ( 1) ( 2 1) 2(1 ) 2 2 3 21 2 1 xdx t tdt t t t tdt C t x tx                   . 3/ 3 2 3 2 2 ( 2) 2 ( 2) 32 x dx t tdt t t C t x tx           . 4/ 3 2 2 2 43 43 (3 ) / 4 3 1 1 3 1 3 1 ln 1 ( 1) 1 4 1 4 1 4 21 1 x dx t dt t t dt t dt t t C t x t t tx                               . 5/ 3/ 2 3/ 2 1 1 1 ( 1) ( 1) 2 31 1 dx x x dx x x C x x                . 6/ 6 3 3 2 2 6 3 23 1 6 6 1 6 ln 1 ( ) 1 1 3 2 dx dt t dt t t t t dt t t C t x t t t tx x                              . 7/ 2 22 2 1 1 1 1 1 1 1 1 ln ln ( 1) 2 1 1 2 1 21 1 1 dx tdt t x dt C C t t t t tx x x                       . 8/ 22 2 2 ( 1) 1 1 1 1 1 ln ( 1) 2 1 1 2 1( 1) 2 2 ( 1) 2 2 dx x dx tdt t dt C t t t t tx x x x x x                         . 9/ 2 ... 1 dx dsinx cosxdx sinx cosx sinx cosxx x          10/ 2 22 2 3 2 2 2 3( ) ( ) dx datant costdt sint C a aa x a a tan t          . 11/ 2 3 5 2 2 6 6 1 (1 ) 3 5 x costdsint cot t cot t dx cot t cot t dcott C x sin t                 . 12/ 2 2 (1/ ) 2 1 2 / 1 1 2 1 2 12 dx d t dt t C x C tx x x t t t                 . 13/ 2 2 4/( 1) 1(1/ 1) 4 1 2 21 2 1 2 4 1( 1) 3 2 3 2 1 xdx d t dt t C C tx x x t t t t                        . 14/ 2 2 1 1 2 2 .4 2 . 2 8 2 2 ( 4 2 2 1) 1 21 x cos t dx dcos t tant cos t sin tdt sin tcos tdt cos t cos t dt cos tx                  0,5 4 2 2 2sin t sin t t C     . BÀI TẬP: Tìm các nguyên hàm sau: 6 DOÃN XUÂN HUY - THPH ÂN THI – HƯNG YÊN 2 2 2 2 2 3/ 22 2 1 1/ 4 ;2 / ;3/ ;4 / ;5/ ;5'/ (1 )2 1 4 1 2 21 1 1 dx dx xdx x dx x x x x dx dx xx x x xx x x                   3 3 2 3 2 2 2 2 2 23 6/ ;7 / ;8/ ;9 / (1 ) ;10/ ;11/ 1 (2 1) 1 ( 1) 1 (1 ) 1n nn x dx dx dx x dx dx x dx x x x x x x x x x                 . IV. Nguyên hàm của các hàm số mũ và hàm số Lôgarít: 1/ 1 1 1 1 ln 2 ( 2) 2 2 2 2 x x x x x x x x x dx de e de C e e e e e e                 . 2/ 3/ 2 1/ 2 3 ( 3) ( 3) 2( 3) 2 / 3 ( 3) x x x x x x e dx e d e e C e C e                . 3/ 2 1 1 ln( 1) 1 1 1 x x x x x x x x x e dx e de de e e C e e e                            . 4/ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 ln 3 2 ( 3) 6 3 6 3 x x x x x x x x x dx de e de C e e e e e e                 . 5/ 2 2 2 2 2 2 2 ( 1 2 ) ( 2) 2 2( 1) 1 x x x x e dx tdt d tanu du u C e tanu t t tan ue e               . 6/ 2 3 1 3 11 2 2 2( 1) ( 3 1 1) 3 3 3 3 x t t t xte dx e d te dt e t C e x C              . 7/ 2 2 ln ( / 4 / 2) ( ) 1 1 x x x x x x e dx e dx dtant dt tan t C t arctane coste e e tan t                  . 8/ 2 2 1 .2 1 1 2 1 2( ) ( 1 ) 1 1 x x x x x e e dx t tdt e dx dt t u C t e tanu e t t                       . 9/ 2 2 2 (1 ) ( ) 1 1 x x x x x e e dx dx dx x t C t arctane e e            . 10/ 2 5 3 4 2ln 3ln 1 1 2 2 2. . ( ) ( 3ln 1) 3 3 9 9 5 3 x x t t t dx t tdt t t dt C t x x                  . 11/ (2ln ) 1 1 2 2 2ln 2ln 1 ( 1) 1 11 1 x x x dx d t dt t e dt C C t t t t t te e                      . V. Tìm nguyên hàm theo phương pháp tính từng phần: 1/ Các nguyên hàm dạng: ( )xdf x , ví dụ: 2 2 2 2 ; ; ; xdx xsinx xsin dx xtan xdx dx sin x cos x    . 2/ Các nguyên hàm dạng: ( )f x dx , ví dụ: 2 2 2 2ln ; ln( ) ; ln ( ) ;xdx x x k dx x x k dx      7 DOÃN XUÂN HUY - THPH ÂN THI – HƯNG YÊN 3/  ln(1 ) ln(1 ) (1 ) (1 ) 1 ln(1 )sinx cosx dx cosx d cosx cosx cosx C           . 4/ ln(1 ) ln(1 ) ln(1 )cosx cosx dx cosx dsinx sinx cosx x sinx C         . 5/ (ln ) (ln ) (ln ) (ln ) (ln )F sin x dx xsin x cos x dx xsin x xcos x F        (ln ) (ln ) / 2F x sin x cos x C    . 6/ 2 2 2 2 1 1 1 1 1 ln ln ln ln 1 2 1 1 2 1 2 1 x x x x x x x x dx dx x C x x x x x                 . 7/ 21/ ln( ) ln( ) ln( ) ln ( / 2) cos x sinx tanx dx cosx tanx cosx dx cosx tanx tan x C tanx        . 8/ ( ) / 2 ; ( ) / 2x x x xe cosxdx e sinx cosx C e sinxdx e sinx cosx C       . 9/ 1 2 ( 1) ( 1) 1 1 x x x x xxe xe edx xe d x e dx C x x x              . 10/ 2 2 2 2 2 2 ln( ) ln( ) ln( ) x x x k dx x x k d x k x k x x k x C x k                . 11/ 2 2 2 2 1 1 ln ln ln ln ln ln ln ln dx dx dx x dx x dx C x x x x x x x x                          . 12/ 2 1 ( / 2) ( / 2) ( / 2) ( / 2) 1 2 ( / 2) x x x x x xsinx e dxe dx e tan x dx e dtan x tan x de e tan x C cosx cos x             . BÀI TẬP: Tìm các nguyên hàm sau: 2 2 3 2 2 2 2 2 ln( ) 1/ ;2 / (ln ) ;3/ ;4 / ;5/ ;6 / ;7 / (1 ) 1 ( 2) x x xxcosxdx sinx x sinx x e dxcos x dx x e dx e sin xdx dx dx sinx sin x cosx x            . VI. Một số tích phân đặc biệt: 1/ Nếu f(x) là một hàm liên tục trên đoạn  0; thì: 0 0 ( ) ( ) 2 xf sinx dx f sinx dx      . VD: 11 2 2 2 2 10 0 1 1 2 1 2 1 2 2 4 4 4 xsinxdx dcosx dt arctant cos x cos x t                                 . 2/ Nếu f(x) là một hàm liên tục trên đoạn  0;1 thì: / 2 / 2 0 0 ( ) ( )f sinx dx f cosx dx     . 8 DOÃN XUÂN HUY - THPH ÂN THI – HƯNG YÊN Áp dụng: / 2 / 2 / 2 / 2 0 0 0 0 1 ( ) ; 2 4 n n n n n n n n n n n n n sin xdx cos xdx sin x cos x dx sinxdx sin x cos x sin x cos x sin x cos x sinx cosx                  / 2 / 2 / 2 0 0 0 ; ( ) ( ) 0 4 n n nn n n n cosxdx sinx cosx dx sin x cos x dx sinx cosx              . 3/ Nếu f(x) là một hàm liên tục và lẻ trên đoạn  ;a a thì: ( ) 0 a a f x dx   . Áp dụng: / 3 2 1 2 2 2 1 2 2 1 / 3 ln ( 1). 0; . 0; 0; a a n m n m n m a a x x x dx tan x x dx x cos xdx                1/ 2 1 / 4 / 47 5 3 1 2 2 1/ 2 1 / 4 / 4 1 3 7 5 1 ln . 0; 0; 2 1 x x n m m x x x e e x x x x dx cos xdx cos xdx dx x e e cos x cos x                           . 4/ Nếu f(x) là một hàm liên tục và chẵn trên đoạn  ;a a thì: 0 ( ) ( ) 1 a a x a f x dx f x dx b     Áp dụng: a/ / 2 / 2 / 23 3 2 / 2 0 0 (1 ) 2 /3 1 2x cos xdx cos xdx sin x dsinx            . b/ 1 1 1 1 0 ( ) ( ) 1/ 1 3 x x x x x x x o e e dx e e dx e e e e              . c/ / 2 / 2 14 5 4 5 4 2 2 / 2 0 0 (1 ) 1/9 2/ 7 1/5 8/315 1 x sin xcos x dx sin xcos xdx t t dt e              . 5/ Nếu f(x) là một hàm liên tục và tuần hoàn với chu kì T > 0 thì: 0 ( ) ( ) a T T a f x dx f x dx    . Áp dụng: 200 2 2 0 0 0 0 1 100 1 100 2 ( / 2) 200 2cosxdx cosxdx cos x dx cost dt              / 2 0 / 2 200 2 200 2(1 1) 400 2costdt costdt                . VII.Một số bài toán lẻ: 2 / 2 1/ 2 2 2 0 0 0 (1 ) 1/ ;2 / ;3/ ( ) ;4 / ;5/ 1 4 1 1 p p x dx x ln x x sinx dx ln tanx dx dx dx x x x cosx             . 9 DOÃN XUÂN HUY - THPH ÂN THI – HƯNG YÊN

Tài liệu đính kèm:

nguyen ham va tich phan(2).pdf

Tài liệu liên quan

Đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng - Đề dự bị 1 - Môn thi: Toán, Khối A
Lượt xem: 1373 Lượt tải: 0
Giáo án Giải tích 12 - GV: Trần Sĩ Tùng - Tiết 40: Ôn tập chương II
Lượt xem: 1208 Lượt tải: 0
Bài toán Phương trình và bất phương trình mũ
Lượt xem: 1701 Lượt tải: 0
Đề thi thử đại học, cao đẳng môn thi Toán, khối A (lần 7)
Lượt xem: 1593 Lượt tải: 0
Thi thử đại học 2009 môn toán đề thi số 2
Lượt xem: 1292 Lượt tải: 0
Ôn luyện phương trình lượng giác
Lượt xem: 1466 Lượt tải: 0
Giáo án Giải tích 12 CB: Nguyên hàm (3 tiết)
Lượt xem: 1465 Lượt tải: 0
Đề thi thử đại học môn Toán (Đề 130)
Lượt xem: 1215 Lượt tải: 0
Giáo án Giải tích 12 - GV: Trần Sĩ Tùng - Tiết 37: Bất phương trình mũ – bất phương trình logarit
Lượt xem: 1357 Lượt tải: 0
Đề thi thử đại học lần 2 môn: Toán - Khối A, B - Trường THPT Minh Châu
Lượt xem: 1465 Lượt tải: 0