Nguyên Hàm – Wikipedia Tiếng Việt

Cho hàm số f xác định trên K với K là một đoạn, khoảng hoặc nửa khoảng. Hàm số F được gọi là nguyên hàm của hàm số f trên K nếu F(x) khả vi trên K và F'(x) = f(x) với mọi x thuộc K. Thí dụ:

(1) Hàm số f (x) = cos x có nguyên hàm là F (x) = sin ⁡ x + C {\displaystyle \sin {x}+C}   vì (sin x)' = cos x (tức F '(x) = f (x)).

(2) Hàm số f (x) = ax có nguyên hàm là F(x) = a x ln ⁡ a + C {\displaystyle {\frac {a^{x}}{\ln a}}+C}   vì ( a x ln ⁡ a ) ′ {\displaystyle \left({\frac {a^{x}}{\ln a}}\right)'}   = a x {\displaystyle a^{x}}  .

Giả sử hàm số F là một nguyên hàm của hàm số f trên K. Khi đó: với mỗi hằng số C, hàm số y = F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f trên K và ngược lại với mỗi nguyên hàm G của f trên K thì tồn tại một hằng số C sao cho G(x) = F(x) + C với mọi x thuộc K. Do đó ta thấy nếu F là một nguyên hàm của f trên K thì mọi nguyên hàm của f trên K đều có dạng F(x) + C với số thực C. Vậy F(x) + C với số thực C là họ tất cả các nguyên hàm của f trên K. Kí hiệu: ∫ f ( x ) d x . {\displaystyle \int f(x)\,dx.}  

Người ta chứng minh được mọi hàm số liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K. Các hàm số có nguyên hàm trên K được gọi là khả tích trên K.