Nhập Môn đa Tạp Khả Vi Tài Liệu Giảng Dạy - 123doc

DANH MỤC KÝ HIỆUKí hiệu Ý nghĩa kxk Chuẩn của vectơ x Df x0 Đạo hàm của f tại x0 f0x0 Ma trận Jacobi của f tại x0 Jfx0 Jacobien của f tại x0 rankx0f Hạng của f tại x0 Dif x0 Đạo hàm riê

TRƯỜNG ĐẠI HỌC AN GIANG

TRƯỜNG ĐẠI HỌC AN GIANG

Giáo trình và tài liệu giảng dạy "Nhập môn đa tạp khả vi", do tác giả LêNgọc Quỳnh, công tác tại Khoa Sư phạm thực hiện Tác giả đã báo cáo nội dung

và được Hội đồng Khoa học và Đào tạo Khoa thông qua ngày / / vàđược Hội đồng Khoa học và Đào tạo Trường thông qua ngày / /

Tác giả biên soạn

Hiệu trưởng

AN GIANG, 07 - 2018

LỜI CẢM TẠ

Tài liệu giảng dạy được thực hiện tại trường Đại học An Giang Tác giả xingửi lời cảm ơn chân thành đến Ủy ban nhân dân tỉnh An Giang, Ban giám hiệutrường Đại học An Giang, Ban chủ nhiệm khoa Sư phạm, Ban chủ nhiệm bộ mônToán cùng các phòng ban chức năng của trường Đại học An Giang và anh chị,bạn bè đồng nghiệp đã giúp đỡ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả hoànthành tài liệu này

Trong quá trình biên soạn, tôi có tham khảo một số tài liệu, xin tỏ lòng chânthành cảm ơn đến các tác giả

Tác giả xin chân thành cảm ơn quý Thầy, Cô phản biện đã dành thời gianđọc và đóng góp những ý kiến quý báu cho đề tài này

Lời cuối cùng, tác giả xin gửi lời tri ân sâu sắc đến gia đình, những ngườithân luôn tin tưởng, thương yêu, động viên và giúp đỡ tác giả vượt qua mọi khókhăn trong suốt quá trình thực hiện tài liệu giảng dạy

Long Xuyên, tháng 7 năm 2018

Tác giả

TS Lê Ngọc Quỳnh

MỤC LỤC

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 3

1.1 Không gian tôpô 3

1.1.1 Không gian mêtric 3

1.1.2 Không gian tôpô 3

1.1.3 Tập con của không gian tôpô 4

1.1.4 Ánh xạ liên tục 5

1.2 Không gian Rn 5

1.2.1 Không gian vectơ Rn 5

1.2.2 Không gian vectơ Euclide Rn 5

1.2.3 Không gian Euclide Rn 6

1.2.4 Không gian tôpô Rn 6

1.2.5 Định hướng trong Rn 7

1.3 Phép tính vi phân trên Rn 8

1.3.1 Định nghĩa hàm vectơ 8

1.3.2 Hàm vectơ liên tục 8

1.3.3 Hàm vectơ khả vi 8

1.3.4 Đạo hàm riêng 11

1.3.5 Ma trận Jacobi 12

1.3.6 Vi phân 13

1.3.7 Định lý hàm ngược và định lý hàm ẩn 14

1.4 Trường vectơ - Trường mục tiêu 19

1.4.1 Không gian tiếp xúc - Phân thớ tiếp xúc 19

1.4.2 Ánh xạ cảm sinh 20

1.4.3 Cung tham số hóa 20

1.4.4 Trường vectơ 21

1.4.5 Trường mục tiêu 23

1.4.6 Đạo hàm của hàm số và của trường vectơ theo một hướng và dọc một trường vectơ 24

1.5 Dạng vi phân trên Rn 26

1.5.1 Tích tenxơ của các không gian vectơ 26

1.5.2 Đại số tenxơ trên không gian vectơ 30

1.5.3 Đại số ngoài trên không gian vectơ 34

1.5.4 Dạng vi phân trên Rn 40

1.6 Tích phân trên Rn 49

1.6.1 Tích phân bội 49

1.6.2 Tích phân của các dạng vi phân 53

Chương 2 Đa tạp khả vi 61

2.1 Định nghĩa đa tạp khả vi và ví dụ 61

2.2 Ánh xạ khả vi 67

2.3 Đa tạp khả vi paracompact và phân hoạch đơn vị khả vi 69

2.3.1 Không gian tôpô paracompact 69

2.3.2 Định lí phân hoạch đơn vị khả vi 69

2.3.3 Áp dụng 71

2.4 Không gian tiếp xúc - Phân thớ tiếp xúc - Ánh xạ tiếp xúc - Trường vectơ 73

2.4.1 Không gian tiếp xúc 73

2.4.2 Phân thớ tiếp xúc 80

2.4.3 Ánh xạ tiếp xúc 81

2.4.4 Trường vectơ 84

2.5 Đa tạp con - Đa tạp định hướng 88

2.5.1 Đa tạp con 88

2.5.2 Đa tạp định hướng được 95

2.6 Trường tenxơ - Dạng vi phân 98

2.6.1 Trường tenxơ 98

2.6.2 Đạo hàm Lie 100

2.6.3 Dạng vi phân trên đa tạp khả vi 104

2.6.4 Dạng vi phân lấy giá trị trên không gian vectơ 109

2.6.5 Nhóm đồng điều De Rham trên đa tạp 110

2.7 Đa tạp khả vi có bờ 111

2.8 Nhóm Lie 118

2.8.1 Nhóm Lie 118

2.8.2 Đại số Lie của một nhóm Lie 119

2.8.3 Nhóm con của nhóm Lie 122

2.8.4 Dạng vi phân bất biến trái và phương trình Maurer-Cartan 123 2.9 Nhóm Lie các phép biến đổi trên đa tạp 126

2.10 Không gian phân thớ 128

2.10.1 Phân thớ tầm thường địa phương với nhóm cấu trúc 128

2.10.2 Phân thớ khả vi 131

2.10.3 Không gian phân thớ chính 134

2.10.4 Ánh xạ giữa các phân thớ 137

2.11 Định lí Stokes trên đa tạp 139

2.11.1 Tích phân trên đa tạp 139

2.11.2 Định lí Stokes trên đa tạp 140

Tài liệu tham khảo 150

DANH MỤC KÝ HIỆU

Kí hiệu Ý nghĩa

kxk Chuẩn của vectơ x

Df (x0) Đạo hàm của f tại x0

f0(x0) Ma trận Jacobi của f tại x0

Jf(x0) Jacobien của f tại x0

rankx0(f ) Hạng của f tại x0

Dif (x0) Đạo hàm riêng thứ i của f tại x0L(Rm, Rn) Tập các axtt từ Rm đến Rn

Tx0Rn KG tiếp xúc với Rn tại x0

T U Phân thớ tiếp xúc trên U

T M Phân thớ tiếp xúc của đa tạp khả vi M

Tpf (f∗p) Ánh xạ tiếp xúc của axkv f tại p

T f (f∗) Ánh xạ tiếp xúc của axkv f

X(M ) Tập các trường vectơ tiếp xúc với M[X, Y ] Tích Lie của hai trường vectơ X và Y

Tsr(p) KG các tenxơ kiểu (r, s) trên TpM

Tsr(M ) Phân thớ tenxơ kiểu (r, s) trên M

Trs(M ) Tập các trường tenxơ kiểu (r, s) trên M

LXK Đạo hàm Lie của K ứng với trường vectơ X

Λs(M ) Tập các dạng vi phân bậc s trên M

LỜI NÓI ĐẦU

Đa tạp khả vi là một đối tượng được nghiên cứu trong nhiều ngành của Toánhọc và Vật lý Chúng ta không nên nghĩ rằng đa tạp khả vi luôn nằm trên mộtkhông gian Euclide cố định mà đôi khi nó là một vật thể trừu tượng Chẳng hạn,trong học thuyết nổi tiếng là Thuyết tương đối thì đa tạp là một không - thờigian bốn chiều Không - thời gian tồn tại nhưng không là một phần của khônggian Euclide rộng lớn nào Lý thuyết tương đối rộng thừa nhận rằng chúng ta chỉ

có thể xác định được các hệ quy chiếu cục bộ với một độ chính xác nhất địnhtrong một khoảng thời gian hữu hạn và trong một vùng không gian hữu hạn.Điều này tương tự như việc chúng ta vẽ bản đồ bề mặt Trái Đất nhưng chúng takhông thể mở rộng để bao quát toàn bộ bề mặt mà không biến dạng nó

Như vậy ý tưởng đầu tiên là chúng ta cần định nghĩa các yếu tố của đa tạpnhư điểm, trường vectơ, dạng vi phân đều mang tính địa phương, tức là khi biểudiễn các yếu tố đó cần xét trong một hệ tọa độ địa phương, tuy nhiên không phụthuộc vào việc chọn tọa độ Ngoài ra, nội dung cơ bản nhất của phương pháp giảitích trên đa tạp là lý thuyết về dạng vi phân Điều này giúp chúng ta nghiên cứuđược các đối tượng trừu tượng đó đồng thời cung cấp cho chúng ta ngôn ngữ đểdiễn tả các phương trình của vật lý toán trong những dạng tọa độ tự do

Trong khuôn khổ của tài liệu, tôi trình bày những kiến thức cơ bản về đa tạpkhả vi để người đọc có những nắm bắt đầu tiên về khái niệm này Cụ thể về nộidung, khóa luận gồm lời nói đầu và hai chương:

Chương I: Trình bày các kiến thức về phép tính vi phân cần thiết cho chươngsau Nội dung đầu tiên là nhắc lại các kiến thức cơ bản về không gian tôpô, khônggian Rn, phép tính vi phân trên Rn và nội dung cơ bản của chương này là trìnhbày về trường vectơ - trường mục tiêu, dạng vi phân trên Rn làm cơ sở nền chocác khái niệm tương tự trên đa tạp

Chương II: Trình bày các kiến thức về đa tạp khả vi: định nghĩa và các ví dụ,ánh xạ khả vi, không gian tiếp xúc - phân thớ tiếp xúc - ánh xạ tiếp xúc - trườngvectơ, đa tạp con và dạng vi phân trên đa tạp Các nội dung này được trình bàymột cách cơ bản với những ví dụ cần thiết làm rõ hơn các định nghĩa, khái niệm.Tác giả hi vọng tài liệu này sẽ bổ ích đối với các bạn sinh viên theo học khoaToán ở các trường Đại học Sư phạm, đặc biệt là các học viên cao học Toán.Mặc dù đã có nhiều cố gắng trong biên soạn nhưng chắc chắn rằng tài liệukhông tránh khỏi những thiếu sót Tác giả rất mong nhận được những ý kiếnđóng góp quý báu chân tình của quý đồng nghiệp và bạn đọc để tài liệu đượchoàn thiện hơn nữa

Xin chân thành cảm ơn

Long Xuyên, tháng 7 năm 2018

Tác giả

TS Lê Ngọc Quỳnh

CHƯƠNG 1.

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Định nghĩa 1.1 Cho tập hợp M 6= ∅ và ánh xạ d : M × M → R thỏa mãn:(1) d(p, q) ≥ 0, d(p, q) = 0 ⇔ p = q, ∀p, q ∈ M ;

(2) d(p, q) = d(q, p), ∀p, q ∈ M ;

(3) d(p, q) + d(q, r) ≥ d(p, r), ∀p, q, r ∈ M

Ánh xạ d được gọi là một mêtric (khoảng cách) và (M, d) được gọi là không gianmêtric

Định nghĩa 1.2 Không gian tôpô là tập hợp M 6= ∅ (mỗi phần tử gọi là điểm)cùng một họ T những tập con của M , gọi là tập mở (trong M ) sao cho:

- Tập rỗng, tập M là tập mở

- Hợp tùy ý của những tập mở thuộc T là tập mở

- Giao của một số hữu hạn tập mở thuộc T là tập mở

Kí hiệu đơn giản không gian tôpô (M ,T ) bởi M (khi không cần chỉ rõ họ T ).Định nghĩa 1.3 Không gian tôpô M được gọi là không gian tôpô Hausdorffnếu với mọi cặp điểm p, q ∈ M, p 6= q có các tập mở U 3 p, V 3 q sao cho

U ∩ V = ∅

Ví dụ 1.1 Trên không gian mêtric M xét tôpô sau: tập con U ⊂ M gọi là tập

mở nếu với mọi p ∈ U , tồn tại số ε > 0 sao cho hình cầu mở {q ∈ M |d(q, p) < ε}nằm hoàn toàn trong U (tôpô gây bởi mêtric d) Đó là một không gian tôpôHausdorff

Không gian tôpô có tôpô gây bởi một mêtric trên gọi là không gian tôpômêtric hóa được

Định nghĩa 1.4 Cho M là một không gian tôpô, N là một tập con của Mthì N với tôpô sau đây (tôpô cảm sinh) gọi là không gian tôpô con của M : tập

U ⊂ N gọi là tập mở trong N nếu nó là giao của N với một tập mở trong M

Định nghĩa 1.5 Cho M và N là hai không gian tôpô thì tích trực tiếp M × Nvới tôpô sau đây (tôpô tích) gọi là tích trực tiếp các không gian tôpô M với N :tập con của M × N gọi là tập mở (trong M × N ) nếu nó là hợp tùy ý những tậpdạng U × V , U mở trong M và V mở trong N.

Định nghĩa 1.6 Cho M là một không gian tôpô, ∼ là một quan hệ tương đươngtrên M Tập các lớp tương đương M/ ∼ cùng với tôpô sau đây (tôpô thương) gọi

là không gian tôpô thương: tập con của M/ ∼ gọi là tập mở (trong M/ ∼) nếunghịch ảnh của nó bởi phép chiếu chính tắc p : M → M/ ∼ là tập mở (trong M )

Định nghĩa 1.7 Cho M là một không gian tôpô

Mọi tập con của M chứa một tập mở chứa p ∈ M gọi là một lân cận của p(trong M )

Tập con F ⊂ M gọi là tập đóng (trong M ) nếu M \F là tập mở (trong M ).Giao tùy ý những tập đóng là tập đóng, hợp một số hữu hạn những tập đóng làtập đóng

Tập A là tập con của M thì bao đóng ¯A của A là giao mọi tập đóng chứa A,

đó là tập đóng bé nhất (theo quan hệ bao hàm) chứa A Phần trong A của A làotập mở lớn nhất nằm trong A, mỗi điểm của nó gọi là một điểm trong nằm trong

A Tập ¯A\A gọi là biên của A, mỗi điểm của nó gọi là một điểm biên của A.o

Định nghĩa 1.8 Cho M là một không gian tôpô

M gọi là liên thông nếu mọi tập vừa mở, vừa đóng (trong M ) phải là tậprỗng hay toàn bộ M Tập con A ⊂ M gọi là tập con liên thông nếu không giantôpô con A là liên thông Một thành phần liên thông của không gian tôpô M làmột tập con liên thông của M mà mọi tập con liên thông của M chứa nó phảitrùng với nó

Tập A là tập con liên thông của M nếu và chỉ nếu tồn tại tập U, V mở trong

M sao cho: A ⊂ U ∪ V , A ∩ U 6= ∅, A ∩ V 6= ∅ thì A ∩ U ∩ V 6= ∅

Ví dụ trong R, mọi tập liên thông là một khoảng (mở, đóng, nửa đóng, bịchặn, không bị chặn )

Định nghĩa 1.9 Cho M là một không gian tôpô

i∈I

Ui , Ui mở (trong M ) thì có tập con hữu hạn

i∈J

Ui Tập con A của không gian tôpô M gọi là tập compact khi

không gian tôpô con A là compact

1.1.4 Ánh xạ liên tục

Định nghĩa 1.10 Ánh xạ f : M → N giữa các không gian tôpô gọi là ánh xạliên tục nếu nghịch ảnh bởi f của mọi tập mở (đóng) (trong N ) là tập mở (đóng)(trong M )

Song ánh f : M → N gọi là một đồng phôi nếu f và f−1 là những ánh xạ liêntục

Nhận xét:

- Tích các ánh xạ liên tục là liên tục

- Ảnh của tập liên thông qua ánh xạ liên tục là tập liên thông

- Ảnh của tập compact qua ánh xạ liên tục là một tập compact

Định nghĩa 1.11 Ánh xạ liên tục ρ : I → M từ đoạn I = {t ∈ R|0 ≤ t ≤ 1}vào không gian tôpô M gọi là một cung (liên tục) trong M nối ρ(0) với ρ(1).Không gian tôpô M gọi là liên thông cung nếu với mọi p, q ∈ M có cung (liêntục) trong M nối p với q Tập con A của không gian tôpô M gọi là liên thôngcung nếu không gian tôpô con A là liên thông cung

x + y = (x1+ y1, x2 + y2, , xn+ yn)

λx = (λ.x1, λ.x2, , λ.xn)

Tập hợp Rn cùng với hai phép toán trên lập thành một không gian vectơ nchiều Một cơ sở của Rn là e1 = (1, 0, , 0), e2 = (0, 1, , 0), , en = (0, 0, , 1)

và cơ sở này được gọi là cơ sở tự nhiên hay cơ sở chính tắc của Rn

Tích vô hướng của hai vectơ x = (x1, x2, , xn); y = (y1, y2, , yn) ∈ Rn làmột số (ký hiệu là x.y) được xác định bởi công thức x.y =

(1) Đối xứng: x.y = y.x, ∀x, y ∈ Rn

(2) Tuyến tính:

(λx + µy).z = λ(x.z) + µ(y.z), ∀x, y, z ∈ Rn, ∀λ, µ ∈ R(3) Xác định dương: x.x ≥ 0, ∀x ∈ Rn; x.x = 0 ⇔ x = 0

Không gian vectơ Rn cùng với tích vô hướng nói trên lập thành một khônggian vectơ Eucliden chiều

Với mỗi x = (x1, x2, , xn) ∈ Rn, ta định nghĩa:

kxk =√x.x =

vuut

Xét ánh xạ f : Rn× Rn → Rn cho bởi f (x, y) = −→

xy = y − x Khi đó Rn làkhông gian affine liên kết với không gian vectơ Euclide Rn qua ánh xạ liên kết fnên Rn là không gian Eucliden chiều Với O ∈ Rn thì {O, e1, e2, , en} là mộtmục tiêu trực chuẩn của không gian Euclide Rn và gọi là mục tiêu chính tắc.Lưu ý: Mọi không gian Eucliden chiều đều đẳng cấu với không gian Euclide Rn

Trong không gian Euclide Rn, khoảng cách giữa hai điểm x và y được địnhnghĩa bởi

d(x, y) = kx − yk =p(x − y).(x − y)

Với định nghĩa khoảng cách như trên, Rnlà một không gian mêtric Ta thườngtrang bị cho Rn cấu trúc tôpô sinh bởi mêtric trên và ta sẽ định nghĩa một sốkhái niệm liên quan đến cấu trúc tôpô như sau:

Vài kiểu tập con trong Rn:

- Tập V ⊂ Rn được gọi là tập đóng nếu Rn\V mở.

- Lân cận S ⊂ Rn gọi là lân cận của x ∈ Rn nếu

Hai cơ sở thuộc cùng một lớp khi và chỉ khi chúng cùng hướng với nhau Lớpcủa cơ sở chính tắc xác định một hướng trên Rngọi là hướng dương (hướng chínhtắc) Hướng còn lại được gọi là hướng âm (hay hướng đối chính tắc)

Định nghĩa 1.13 Phép biến đổi tuyến tính ϕ : Rn → Rn được gọi là bảo toànhướng nếu det ϕ>0 và gọi là đảo hướng nếu det ϕ < 0

Phép affine f của Rn được gọi là bảo toàn hướng (đảo hướng) nếu phép biếnđổi tuyến tính nền của f là bảo toàn hướng(đảo hướng)

1.3 PHÉP TÍNH VI PHÂN TRÊN RN

f : U → Rn cho bởi f (x) = (f1(x), f2(x), , fn(x)) biến một điểm thuộc tập Uthành một vectơ trong không gian vectơ Rn được gọi là một hàm vectơ trên U

Ta nói f là hàm vectơ với n thành phần f1, f2, , fn và kí hiệu là f =(f1, f2, , fn) trong đó fi : U → R (i = 1, · · · , n) là hàm số m biến và được gọi

là hàm tọa độ hay hàm thành phần (thứ i) của f

x0 ∈ U nếu:

∀ε > 0, ∃δ > 0 : ∀x ∈ U, kx − x0k < δ ⇒ kf (x) − f (x0)k < ε

Ta nói f liên tục trên U nếu f liên tục tại mọi điểm x ∈ U

Nhận xét: f = (f1, f2, , fn) liên tục trên U ⇔ fi liên tục trên U , ∀i = 1, · · · , n

i) Nếu U mở trong Rm thì hàm vectơ f được gọi là khả vi tại x0 ∈ U nếu tồntại một ánh xạ tuyến tính λ : Rm → Rn sao cho

Hàm f được gọi là khả vi trên U nếu f khả vi tại mọi điểm x ∈ U

ii) Nếu U không mở thì f được gọi là khả vi tại x0 ∈ U nếu tồn tại tập mởe

U trong Rm chứa U và một hàm vectơ ef : eU ⊂ Rm → Rn sao cho ef khả vi tại x0

và ef |U = f

Hàm f gọi là hàm khả vi trên U nếu nó có thể mở rộng thành một hàm khả

vi trên một tập mở nào đó chứa U

Tính chất 1.1 Các tính chất cơ bản:

(1) Đạo hàm của hàm vectơ f : U ⊂ Rm → Rn tại x0 ∈ U nếu tồn tại thì duynhất.

(2) Nếu f : Rm → Rn

là hàm hằng thì f khả vi trên Rm và đạo hàm

Df (x0) = 0, ∀x0 ∈ Rm.(3) Nếu f : Rm → Rn là ánh xạ tuyến tính thì f khả vi trên Rm và đạo hàm

thì giá trị này được gọi là đạo hàm riêng thứ i của f tại x0 và ta kí hiệu là

Dif (x0) hay ∂f

∂xi(x0) ,∀i = 1, · · · , m

U → R Nếu f có đạo hàm riêng thứ i tại mọi x ∈ U thì ta có hàm đạo hàm

Dif : U → R

Dijf (x0) và Dijf (x0) = Dj(Dif )(x0) Số Dijf (x0) được gọi là đạo hàm riêng hỗnhợp cấp hai của hàm f tại điểm x0

Chú ý: Nói chung Dijf (x0) 6= Djif (x0) Tuy nhiên nếu Dijf và Djif liên tụctrên một tập mở chứa x0 thì Dijf (x0) = Djif (x0)

Đạo hàm riêng hỗn hợp cấp cao của hàm f tại điểm x0 cũng định nghĩa tương

Thật vậy, ta chỉ cần chứng minh cho trường hợp n = 1 tức là xét f : Rm → R.Khi đó với x0 = (x10, · · · , xm0 ), h = (h1, · · · , hm) ta có

f (x0 + h) − f (x0) = f (x10+ h1, x20, · · · , xm0 ) − f (x10, · · · , xm0 )

+ f (x10+ h1, x20+ h2, x30· · · , xm

0) − f (x10+ h1, x20· · · , xm

0 ) + · · ·+ f (x10+ h1, x20+ h2, · · · , xm0 + hm) − f (x10+ h1, · · · , xm−10 + hm−1, xm0 )

Vì Djf (x0) = g0(xj0) với g(x) = f (x1

0, · · · , x, · · · , xm

0 ) nên áp dụng định lý giátrị trung bình với hàm g ta có

Với n > 1 thì nếu các đạo hàm riêng Djfi tồn tại trong một tập mở chứa x0

và liên tục tại x0 thì fi khả vi tại x0 và do đó f = (f1, · · · , fn) cũng khả vi tại

Định nghĩa 1.19 Cho U mở trong Rm và f : U → Rn khả vi tại x0 ∈ U

Khi đó ma trận của ánh xạ tuyến tính Df (x0) đối với các cơ sở chính tắc của

Rm và Rn được gọi là ma trận Jacobi của f tại x0, kí hiệu: f0(x0)

Detf0(x0) được gọi là định thức hàm Jacobi hay Jacobien của f tại x0, kíhiệu: Jf(x0).

Hạng của f tại x0, kí hiệu rankx0(f ) được định nghĩa là hạng của ma trậnJacobi f0(x0)

một dòng, một cột tức là chỉ có một phần tử duy nhất Phần tử ấy chính là đạohàm thông thường của f tại x0 và trong giải tích cổ điển kí hiệu là f0(x0)

b) Nhắc lại rằng nếu f = (f1, · · · , fn) : Rm → Rn có các đạo hàm riêng

Difj(x) trong một lân cận mở chứa x0 và liên tục tại x0 thì f khả vi tại x0 và

ma trận Jacobi của f tại x0 là

c) Dễ thấy rằng: rankx0(f ) ≤ min(m, n)

Nếu rankx0(f ) = min(m, n) thì x0 được gọi là điểm chính quy của f

Nếu rankx0(f ) < min(m, n) thì x0 được gọi là điểm kì dị

Nếu df : U → L(Rm, Rn) khả vi lớp C1 thì d(df ) được kí hiệu là d2f và gọi là

vi phân cấp hai của f Nếu d2f liên tục trên U thì f được gọi là khả vi lớp C2

Tương tự, ta định nghĩa dkf = d( df ) và nếu dkf liên tục trên U (k ≥ 1) thì

ta nói f khả vi lớp Ck Như vậy, f khả vi lớp Ck nếu f có đạo hàm đến cấp k vàđạo hàm cấp k của f liên tục trên U

Nếu f có đạo hàm mọi cấp thì ta nói f khả vi lớp C∞ Khi đó f được gọi làhàm trơn Hàm f liên tục được gọi là khả vi lớp C0

Nếu f và f−1 đều khả vi lớp Ck thì f được gọi là vi phôi lớp Ck Vi phôi lớpđược gọi là vi phôi trơn

Cho U mở trong Rn và f : U → Rn, x0 ∈ U Ta nói f là vi phôi trơn địaphương tại x0 nếu tồn tại một lân cận U0 sao cho f |U0 : U0 → f (U0) là vi phôitrơn.

Ta đã có nếu hàm f : R → R khả vi liên tục trên một tập mở chứa x0 ∈ R và

f0(x0) 6= 0, chẳng hạn f0(x0) > 0 thì f0(x) > 0 trên một khoảng mở V chứa x0

và hàm số f đồng biến trên V Do đó f |V có hàm ngược f−1 xác định trên tập

W chứa f (x) và f−1 khả vi tại x0 Với y ∈ W

x của A thì

kf (x) − f (y)k ≤ n2M kx − ykvới mọi x, y ∈ A

|fi(y) − fi(x)| ≤ |D1fi(c1)||y1− x1| + · · · + |Dnfi(cn)||yn− xn| ≤ n.M ky − xk.Vậy

một tập mở U0 chứa x0 ∈ Rn và detf0(x0) 6= 0 Khi đó tồn tại tập mở U ⊆ U0chứa x0 và tập mở W chứa f (x0) sao cho ánh xạ f = f |U : U → W có ánh xạngược f−1 liên tục và khả vi tại mọi điểm y ∈ W và:

(f−1)0(y) = [f0(f−1(y))]−1

Chứng minh: Đặt λ = Df (x0) thì λ là đẳng cấu tuyến tính vì det f0(x0) 6= 0.Khi đó D(λ−1.f ) = λ−1.Df (x0) = 1Rn Nếu định lí đúng với λ−1.f thì định líđúng với f Vậy có thể coi λ = 1Rn.

Ta có f (x) 6= f (x0) với các giá trị của x khá gần x0 vì nếu f (x0+ h) = f (x0)thì kf (x0+ h) − f (x0) − λ(h)k = khk do đó

lim

khk→0

kf (x0 + h) − f (x0) − λ(h)k

điều này vô lí

Vậy có hình hộp đóng V chứa x0 sao cho f (x) 6= f (x0) với mọi x ∈ V, x 6= x0

kx1− x2k − kf (x1) − f (x2)k ≤ kf (x1) − x1 − (f (x2) − x2)k

= kh(x1) − h(x2)k ≤ 1

2kx1− x2k

Vậy kx1 − x2k ≤ 2kf (x1) − f (x2)k với mọi x1, x2 thuộc V

Vì biên của V là tập compact nên ảnh của nó qua f là một tập compactkhông chứa f (x0) Do đó có một số d sao cho d(f (x0), f (x)) ≥ d với mọi x thuộcbiên của V

Gọi W = {y ∈ Rn; |y − f (x0)| < d2} Với mọi y ∈ W tồn tại duy nhất x ∈ Vsao cho f (x) = y Thật vậy, nếu y ∈ W và x thuộc biên của V thì

n

X

i=1

2(yi− fi(x))Djfi(x) = 0, với mọi j

Vì det f0(x) 6= 0 nên yi− fi(x) = 0 với mọi I Vậy y = f (x)

Nếu có x0 6= x mà f (x0) = y thì mâu thuẫn với điều đã chứng minh là

kx1− x2k ≤ 2kf (x1) − f (x2)k

Vậy tồn tại duy nhất điểm x ở trong V sao cho f (x) = y ∈ W

Kí hiệu U là giao phần trong của V với f−1(W ) Ta đã chứng minh f : U → W

có hàm ngược f−1 : W → U Nhận xét rằng f−1 là hàm số liên tục vì

kf−1(y1) − f−1(y2)k ≤ 2ky1− y2k

Cuối cùng ta chứng minh f−1 khả vi

Đặt µ = Df (x), ta chứng minh f−1 khả vi tại điểm y = f (x) và D(f−1)(y) =

Vì f−1 liên tục nên lim y1 → yf−1(y1) = f−1(y) Vậy thừa số đầu tiến tới

Chú ý: a) Hàm ngược f−1có thể tồn tại ngay cả trong trường hợp det f0(a) = 0.Chẳng hạn f : R → R, f (x) = x3 thì f0(0) = 0 nhưng f có hàm ngược f−1(x) =

3

√

x Tuy nhiên, có thể nhận thấy rằng nếu det f0(x0) = 0 thì hàm ngược f−1không thể khả vi tại f (x0)

b) Hàm f : Rn→ Rn khả vi liên tục có det f0(x0) 6= 0 với mọi x0 ∈ Rn nhưng

có thể không phải là song ánh từ Rnlên f (Rn) Chẳng hạn f : R2 → R2, f (x, y) =(excos y, exsin y) là một hàm như vậy

Cho hàm f : R2 → R, f(x, y) = x2+ y2 − 1

Giả sử f (a, b) = a2 + b2 − 1 = 0 và a 6= ±1 thì tồn tại các khoảng mở A

và B lần lượt chứa a, b sao cho với x ∈ A có duy nhất y ∈ B mà f (x, y) = 0.Nếu b > 0 thì y = √

Do đó det F0(a, b) 6= 0 Vậy tồn tại tập mở U ⊂ Rn× Rm chứ (a, b) và tập mở

W chứa F (a, b) = (a, 0) sao cho F : U → W có hàm ngược h = F−1 khả vi Ta

có thể coi U = A × B, trong đó A ⊂ Rn, B ⊂ Rm là những tập mở Theo địnhnghĩa của F thì h : W → A × B, h(x, y) = (x, k(x, y)) trong đó k(x, y) là mộthàm khả vi

Hệ phương trình này giải được đối với Djgα(x) vì det M 6= 0.

Tương tự như cách chứng minh các định lí trên, ta có các định lí quan trọngsau:

Định lý 1.3 Cho f : Rn → Rp (p ≤ n) là hàm khả vi liên tục trên một tập mởchứa a ∈ Rn, f (a) = 0 và ma trận (Difj(a)) (i = 1, · · · , n, j = 1, · · · , p) có hạng

p Khi đó tồn tại tập mở A ⊂ Rn và hàm khả vi h : A → Rn có hàm ngược khả

Khi đó F (a1, b) = (a1, 0) Vì ma trận (Difj(a)) có hạng p nên có thể giả sử M

là ma trận vuông cấp p tạo bởi p cột cuối M = (Djfi(a)), n − p + 1 ≤ j ≤ n, 1 ≤

i ≤ p có định thức khác không Với điều kiện đó det F0(a1, b) 6= 0 Theo định lýhàm ngược, có lân cận U của (a1, b) = a và lân cận W của F (a1, b) = (a1, 0) vàthu hẹp của F trên U có hàm ngược khả vi h : W → U

Ví dụ 1.2 Cho f : R2 → R, f(x, y) = x2+ y2− 1 Cho (a, b) ∈ R2 mà f (a, b) =

a2 + b2 − 1 = 0, tức là (a, b) là điểm của đường tròn tâm O bán kính R = 1

Ta có f0(a, b) = (2a, 2b) có hạng một vì a2+ b2 6= 0 Vậy có tập mở A ⊂ R2 và

h : A → R2 sao cho foh(x, y) = y Hàm h chính là hàm ngược của F : R2 → R2,

A là miền trong của parabol có phương trình y = x2− 1

Chứng minh: Với mỗi x ∈ U , theo định lí hàm ngược, có một tập mở V trong

U chứa x và tập mở W chứa f (x) sao cho f |V là song ánh, khả vi và có hàmngược khả vi Khi đó W ⊂ f (U ) Vậy f (U ) là tập mở vì mỗi điểm của nó đều là

Cho x0 ∈ Rn và xét tập hợp Rn

x 0 = {(x0, x)|x ∈ Rn} = x0× Rn.Khi đó Rn

x 0 là không gian vectơ Eucliden chiều với các phép toán định nghĩanhư sau:

(x0, x) + (x0, y) = (x0, x + y),

λ(x0, x) = (x0, λx),

(x0, x).(x0, y) = x.y

Ta gọi Rn

x 0 là không gian tiếp xúc với Rn tại x0 Kí hiệu Tx0Rn

Ta có thể hình dung Tx0Rn là không gian các vectơ của Rn với gốc đặt tại

x0 Mỗi phần tử (x0, x) ∈ Tx0Rn, kí hiệu xx0 được gọi là một vectơ tiếp xúc của

Rn tại x0 Hệ vectơ {e1x0, e2x0, , enx0} ứng với cơ sở chính tắc của Rn lập thànhmột cơ sở trực chuẩn trong Tx0Rn.

Tx0Rn cũng là không gian Euclide được xác định nhờ vào Rn

Cho U mở trong Rn và lấy x0 ∈ U Khi đó Rn

x 0 cũng được gọi là không giantiếp xúc của U tại x0 và kí hiệu là Tx0U Ta có: Tx0Rn = Tx0U

Với mỗi x0 ∈ U , f cảm sinh ánh xạ tuyến tính f∗x0 : Tx0Rn → Tf (x0)Rm xácđịnh bởi f∗x0(x0, x) = (f (x0), Df (x0)(x)) trong đó Df (x0) : Rn → Rm là mộtánh xạ tuyến tính

Ta gọi f∗x0 là ánh xạ tiếp xúc (hay ánh xạ vi phân) của f tại x0 và kí hiệu là

Tx0f Ma trận của f∗x0 trong cặp cơ sở chính tắc cũng là f0(x0) (ma trận Jacobicủa f tại x0)

Ánh xạ f được gọi là dìm, ngập hay trải tại x0 ∈ U nếu Tx 0f theo thứ tự làđơn ánh, toàn ánh, song ánh Trường hợp f là dìm, ngập hay trải tại mọi x0 ∈ U

ta nói f là dìm, ngập hay trải trên U

Cho U, V là các tập mở trong Rn (có hướng) Phép trải f : U → V được gọi

là bảo toàn hướng nếu ánh xạ tiếp xúc Tx 0f bảo toàn hướng với mọix0 ∈ U (tức

ánh xạ cảm sinh trên các phân thớ tiếp xúc như sau f∗ : T U → T Rm cho b·i

f∗(xx0) = f∗x 0(xx0)

Định nghĩa 1.23 (Cung tham số hóa) Cho I là một khoảng mở trong R.Mỗi ánh xạ c : I → Rn khả vi lớp Ck được gọi là một cung tham số hóa lớp Ck

trong R Các giá trị t ∈ I được gọi là tham số của c, ảnh c(I) = {c(t)|t ∈ I} đượcgọi là vết của c.

Cung tham số lớp C0 là cung tham số liên tục

Cung tham số lớp C∞ được gọi là cung nhẵn (trơn)

Lưu ý: Ta quy ước gọi cung tham số khả vi là cung tham số lớp Ck, k ≥ 1 nào

đó mà không cần chỉ rõ k Từ nay trở đi, nếu không nhấn mạnh ta chỉ xét cáccung tham số lớp C∞ và gọi đơn giản là cung tham số

Nhận xét: Một số nhận xét:

(1) Không gian tiếp xúc của R tại t là TtR có cơ sở chính tắc là 1t = (t, 1).Đôi khi kí hiệu 1t bởi 1 hoặc d

dt.(2) Cho cung tham số hóa c = (c1, c2, , cn) : I → Rn khả vi Khi đó các

số lớp C1 Ta gọi c là chính quy nếu ˙c(t) 6= 0, ∀t ∈ I

cho bởi X(x0) = Xx0 được gọi là trường vectơ trên U Nếu các vectơ Xx0(x0 ∈ U )

là các vectơ hằng thì X được gọi là trường vectơ song song

Do Tx 0Rn có cơ sở trực chuẩn là {e1x0, e2x0, , enx0} nên ∀Xx0 ∈ Tx0Rn, tồntại các hàm Xi : U → R (i = 1, · · · , n) sao cho

Xx0 = X1(x0).e1x0 + X2(x0).e2x0 + + Xn(x0).enx0

Kí hiệu X = (X1, X2, , Xn) trong đó các hàm Xi (i = 1, · · · , n) được gọi làhàm thành phần của trường vectơ X đối với cơ sở trực chuẩn {e1x0, e2x0, , enx0}

Trường vectơ X được gọi là khả vi lớp Ck nếu mọi Xi (i = 1, n) đều khả vilớp Ck trên U

Kí hiệu X(U )=X: trường vectơ khả vi lớp C∞ trên U

Khi đó, ∀λ ∈ R, x0 ∈ U và X, Y ∈ X(U ) ta định nghĩa 2 phép toán sau:

(X + Y )x0 = Xx0 + Yx0; (λX)x0 = λXx0

Tập hợp X(U ) cùng với 2 phép toán trên là một không gian vectơ thực

Kí hiệu F(U )=f : U → R là hàm trơn Xét phép toán nhân một phần tử củaF(U ) với một trường vectơ như sau: F(U ) × X(U ) → X(U ) cho bởi

Tc(t)Rn cho bởi t 7→ X(t) ∈ Tc(t)Rn được gọi là

trường vectơ dọc cung tham số c

c khi và chỉ khi trường vectơ đạo hàm DX

1.4.5 Trường mục tiêu

(khả vi) {U1, U2, , Un} trên U sao cho ∀x ∈ U hệ vectơ {U1(x), U2(x), , Un(x)}

là một cơ sở (trực giao, trực chuẩn) của TxU thì được gọi là trường mục tiêu(trực giao, trực chuẩn) (khả vi) trên U

Trường hợp các trường vectơ U1, U2, , Un là song song thì {U1, U2, , Un}được gọi là trường mục tiêu song song

Nhận xét: Một số nhận xét:

Cho {U1, U2, , Un} là trường mục tiêu trên U , khi đó:

(1) Với mọi X ∈ X(U ), tồn tại duy nhất ϕi ∈ F(U )(i = 1, · · · , n) sao cho:

Định nghĩa 1.28 (Trường mục tiêu dọc cung tham số) Trường mục tiêudọc cung tham số c : I → Rn là hệ n trường vectơ {U1, U2, , Un} dọc c saocho ∀t ∈ I, hệ vectơ {U1(t), U2(t), , Un(t)} là một cơ sở của không gian vectơ

1.4.6 Đạo hàm của hàm số và của trường vectơ theo một hướng và

dọc một trường vectơ

Định nghĩa 1.29 (Đạo hàm của hàm số theo một hướng) Cho U là mộttập mở trong Rn và αx 0 ∈ Tx 0U Khi đó đạo hàm của hàm số ϕ : U → R theohướng αx 0, kí hiệu αx 0[ϕ], được định nghĩa là:

x 0.Đặc biệt, nếu xét trường mục tiêu song song xác định bởi cơ sở {ei}i=1,n thì:

Ei(x0)[ϕ] = ∂ϕ

∂xi

Ngược lại, giả sử U là một tập mở liên thông cung trong Rnvà ϕ là một hàm

số khả vi trên U sao cho xx0[ϕ] = 0, ∀xx0 ∈ Tx0U thì ϕ là một hàm số hằng trên

U

Định nghĩa 1.30 (Đạo hàm của hàm số dọc một trường vectơ) Cho trườngvectơ X ∈ X(U ) và hàm số ϕ ∈ F(U ) Khi đó, đạo hàm của hàm số ϕ dọc

và cung tham số c : I ⊂ R → U sao cho c(t0) = x0, c0(t0) = αx0(t0 ∈ I) Khi đó

Zoc là một trường vectơ dọc c và vectơ D(Zoc)

dt (t0) không phụ thuộc vào cung đãchọn

Vectơ D(Zoc)

dt (t0) được gọi là đạo hàm của trường vectơ Z theo hướng αx0 và

kí hiệu là Dαx0Z hay Dc0 (t 0 )Z

Định nghĩa 1.32 (Đạo hàm của trường vectơ dọc một trường vectơ) Cho

U là một tập mở trong Rn và X, Y ∈ X(U ) Trường vectơ DXY trên U được xácđịnh bởi (DXY )(x0) = DX(x0)Y, ∀x0 ∈ U được gọi là đạo hàm của trường vectơ

Định nghĩa 1.33 Cho U, V là hai không gian vectơ thực Kí hiệu M (U, V ) làkhông gian vectơ có cơ sở là tập U × V , nghĩa là M (U, V ) gồm những tổng hìnhthức hữu hạn dạng P ki(ui, vi), ki ∈ R, (ui, vi) ∈ U × V.

Giả sử N là không gian con của M (U, V ) sinh bởi các phần tử dạng (u +

u0, v) − (u, v) − (u0, v); (u, v + v0) − (u, v) − (u, v0); (ku, v) − k(u, v); (u, kv) −k(u, v) với (u, v) ∈ U × V

Đặt U ⊗ V = M (U, V )/N , xét ánh xạ chiếu

Π : M (U, V ) → U ⊗ V

Với (u, v) ∈ U × V , kí hiệu Π(u, v) = u ⊗ v Khi đó U ⊗ V là một không gianvectơ và được gọi là tích tenxơ của hai không gian vectơ U và V , phần tử u ⊗ vđược gọi là tích tenxơ của hai vectơ u và v

Định nghĩa 1.34 Giả sử W là không gian vectơ và ϕ : U × V → W là ánh xạsong tuyến tính Ta nói cặp (W, ϕ) có tính chất phổ dụng đối với U × V nếu vớimọi không gian vectơ S và mỗi ánh xạ song tuyến tính f : U × V → S tồn tạiduy nhất một ánh xạ tuyến tính g : W → S sao cho f = goϕ

Định lý 1.6 Giả sử ϕ : U × V → U ⊗ V, ϕ(u, v) = u ⊗ v là ánh xạ song tuyếntính chính tắc Khi đó cặp (U ⊗ V, ϕ) có tính chất phổ dụng đối với U × V Hơnnữa, nếu (W, ψ) là cặp có tính chất phổ dụng đối với U × V thì (U ⊗ V, ϕ) và cặp(W, ψ) đẳng cấu theo nghĩa tồn tại đẳng cấu tuyến tính σ : U ⊗ V → W sao cho

ψ = σoϕ

Chứng minh: Giả sử S là không gian vectơ bất kì và f : U × V → S là ánh

xạ song tuyến tính Do U × V là cơ sở của M (U, V ) nên ta có thể thác triển fđến ánh xạ tuyến tính duy nhất F : M (U, V ) → S Vì f song tuyến tính nên

F (N ) = 0 do đó F cảm sinh ánh xạ tuyến tính g : U ⊗ V → S Hiển nhiên

f = goϕ và do ϕ(U × V ) là tập hợp sinh của U ⊗ V nên g là duy nhất

Giả sử cặp (W, ψ) có tính chất phổ dụng đối với U × V Khi đó tồn tại

σ : U ⊗ V → W tuyến tính để σoϕ = ψ Từ đó τoσoϕ = τoψ = ϕ, do tính duynhất ta có τσ = idU ⊗V, tương tự σoτ = idW và như vậy σ, τ là những đẳng cấu

Khi đó tồn tại duy nhất ánh xạ tuyến tính f : U1 ⊗ U2 → V1⊗ V2 sao cho

f (u1⊗ u2) = f1(u1) ⊗ f2(u2) Hàm f được gọi là tích tenxơ của hai ánh xạ f1, f2

Định lý 1.11 Nếu U1+ U2 là tổng trực tiếp thì

(U1⊕ U2) ⊗ V = (U1⊗ V ) ⊕ (U2⊗ V )

Định lý 1.12 Giả sử dim U = m, dim V = n và {u1, · · · , um} là cơ sở của U ;{v1, · · · , vn} là cơ sở của V thì {ui ⊗ vj; 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n} là cơ sở của

U ⊗ V Do đó dim U ⊗ V = dim U dim V

Chứng minh: Ta biết rằng {u ⊗ v; u ∈ U, v ∈ V } là hệ sinh của U ⊗ V , như vậy{ui⊗ vj} là hệ sinh của U ⊗ V Ta chứng tỏ hệ {ui⊗ vj} độc lập tuyến tính

Do đó tồn tại duy nhất ánh xạ tuyến tính θlk : U ⊗ V → R sao cho

Định lý 1.13 Giả sử U và V là hai không gian vectơ hữu hạn chiều Kí hiệu

U∗ là không gian đối ngẫu của U và L(U∗, V ) là không gian các ánh xạ tuyếntính từ U∗ vào V Khi đó tồn tại đẳng cấu duy nhất g : U ⊗ V → L(U∗, V ) saocho g(u ⊗ v)(u∗) = u∗(u).v với mọi u ∈ U, v ∈ V, u∗ ∈ U∗

Chứng minh: Xét ánh xạ song tuyến tính f : U × V → L(U∗, V ) với (u, v) ∈

U × V, u∗ ∈ U∗ ta có f (u, v)(u∗) = u∗(u).v Khi đó tồn tại duy nhất ánh xạtuyến tính g : U ⊗ V → L(U∗, V ) sao cho g(u ⊗ v)(u∗) = u∗(u).v với mọi

u ∈ U, v ∈ V, u∗ ∈ U∗

Ta chứng minh g là đẳng cấu Giả sử dim U = m và {u1, · · · , um} là cơ sở của

U ; {u∗1, · · · , u∗m} là cơ sở đối ngẫu của {ui} trong U∗; {v1, · · · , vn} là cơ sở của

Định lý 1.14 Giả sử U, V là hai không gian vectơ trên R Khi đó ánh xạ tuyếntính g : U∗× V∗ → (U ⊗ V )∗ xác định bởi g(u∗× v∗)(u ⊗ v) = u∗(u).v∗(v), ∀u∗ ∈

U∗, v∗ ∈ V∗, u ∈ U, v ∈ V là đẳng cấu

1.5.2 Đại số tenxơ trên không gian vectơ

Định nghĩa 1.35 (Không gian đối ngẫu) Cho V là không gian vectơ trên Rthì không gian đối ngẫu của V , kí hiệu V∗ là tập hợp các dạng tuyến tính trên

Cơ sở {e∗i}i=1,n được gọi là cơ sở đối ngẫu của cơ sở {ei}i=1,n

Ta định nghĩa hv, v∗i = v∗(v) với mọi v ∈ V, v∗ ∈ V∗ Khi đó h, i là một dạngsong tuyến tính trên tập V × V∗ tức là với mọi v, v1, v2 ∈ V ; v∗, v∗1, v∗2 ∈ V∗ và

α1, α2 ∈ R ta có:

hα1v1+ α2v2, v∗i = α1hv1, v∗i + α2hv2, v∗i

hv, α1v∗1+ α2v∗2i = α1hv, v∗1i + α2hv, v∗2iNếu ta cố định vectơ v ∈ V trong định nghĩa trên thì hv, ·i là một hàm tuyếntính trên V∗ Ngược lại, mọi hàm tuyến tính trên V∗ đều được biểu diễn dướidạng đó

Thật vậy, gọi ϕ là một hàm tuyến tính bất kì trên V∗ và

hay nói cách khác V là không gian đối ngẫu của V∗

Định nghĩa 1.36 (k - tenxơ trên V ) Cho V là không gian vectơ trên R, kíhiệu Vk = V × V × V (k lần)

từng biến tức là:

T (v1, , αvi+ βvi0, , vk) = αT (v1, , vi, , vk) + βT (v1, , vi0, , vk)

với mọi i, 1 ≤ i ≤ n và với mọi α, β ∈ R

Hàm đa tuyến tính T : Vk→ R còn được gọi là một k - tenxơ trên V

Như vậy tập các k - tenxơ trên V chính là L(Vk, R)

Với T, S ∈ L(Vk, R) và α ∈ R ta định nghĩa hai phép toán sau:

(T + S)(v1, , vk) = T (v1, , vk) + S(v1, , vk)

(αT )(v1, , vk) = αT (v1, , vk)

L(Vk

, R) cùng với hai phép toán trên là một R - không gian vectơ

Giả sử {ei}i=1,n là một cơ sở của V và {e∗i}i=1,n là cơ sở đối ngẫu của nó Khi

đó e∗i1 ⊗ e∗i 2 ⊗ ⊗ e∗ik (1 ≤ i1, , ik ≤ n) là cơ sở của không gian L(Vk

, R) và

do đó dimL(Vk, R) = nk

S ∈ L(Vl, R) thì tích tenxơ của T và S là một (k + l) - tenxơ, kí hiệu là T ⊗ S

và được xác định như sau:

Ngược lại, giả sử U tập mở liên thông cung Rnvà ϕ hàm

số khả vi U cho xx0[ϕ] = 0, ∀xx0 ∈ Tx0U... class="text_page_counter">Trang 40

với i, ≤ i ≤ n với α, β ∈ R

Hàm đa tuyến tính T : Vk→ R gọi k - tenxơ V

Như tập k - tenxơ V L(Vk,