Nhị Thức Newton - Vườn Toán

Trang chủ » Hằng đẳng Thức Newton » Nhị Thức Newton - Vườn Toán

Có thể bạn quan tâm

Trang

  • Trang nhà
  • Kỹ năng mềm
  • Giới thiệu

Nhị thức Newton

Hôm trước chúng ta đã học về tam giác Pascal và cách khai triển nhị thức Newton dựa vào các hệ số trong tam giác Pascal. Nhân dịp học về quy nạp, chúng ta sẽ chứng minh bằng quy nạp
  • công thức của tam giác số Pascal $$p_{n,k} = {n \choose k} = \frac{n!}{k! (n-k)!}$$
  • và định lý khai triển nhị thức Newton $$(x+y)^n = x^n + {n \choose 1} x^{n-1} y + {n \choose 2} x^{n-2} y^2 + \dots + {n \choose {n-2}} x^{2} y^{n-2} + {n \choose {n-1}} x y^{n-1} + y^n$$
Tam giác Pascal là một tam giác số như sau tam giác này được xây dựng trên quy tắc mỗi số ở hàng dưới sẽ bằng tổng của hai số đứng phía trên ở hàng trên Nếu chúng ta đánh số thứ tự bắt đầu từ số 0 như hình dưới đây và dùng ký hiệu $p_{n,k}$ để chỉ số thứ $k$ ở hàng thứ $n$ của tam giác Pascal thì công thức xây dựng tam giác Pascal là $$p_{n-1,k-1} + p_{n-1,k} = p_{n,k}.$$ Bây giờ chúng ta sẽ chứng minh bằng quy nạp theo biến số $n$ công thức sau đây $$p_{n,k} = {n \choose k} = \frac{n!}{k! (n-k)!}$$ Với $n=0$, chúng ta có $$p_{0,0} = 1 = \frac{0!}{0!0!}$$ như vậy công thức đúng với trường hợp $n=0$. Chúng ta lưu ý rằng $0!$ bằng $1$ chứ không phải bằng $0$. Giả sử công thức đúng với các trường hợp $0 \leq n \leq N$. Chúng ta sẽ chứng minh công thức cũng đúng với trường hợp $n=N+1$. Thực vậy, với trường hợp $k=0$ hoặc $k=N+1$ chúng ta có $$p_{N+1,0} = p_{N+1,N+1} = 1 = \frac{(N+1)!}{0! (N+1)!} = {{N+1} \choose 0} = {{N+1} \choose {N+1}}$$ Với trường hợp $1 \leq k \leq N$, chúng ta có $$p_{N+1,k} = p_{N,k-1} + p_{N,k}$$ Theo giả thiết quy nạp thì công thức đúng với trường hợp $n=N$, cho nên $$p_{N,k-1} = {N \choose {k-1}} = \frac{N!}{(k-1)! (N-k+1)!}, \quad p_{N,k} = {N \choose k} = \frac{N!}{k! (N-k)!}$$ Từ đó suy ra $$p_{N+1,k} = p_{N,k-1} + p_{N,k} = \frac{N!}{(k-1)! (N-k+1)!} + \frac{N!}{k! (N-k)!} $$ $$= \frac{N! k}{k! (N-k+1)!} + \frac{N!(N-k+1)}{k! (N-k+1)!} $$ $$= \frac{N!(N+1)}{k! (N-k+1)!} = \frac{(N+1)!}{k! (N-k+1)!} = {{N+1} \choose k}$$ Như vậy chúng ta đã chứng minh công thức đúng cho trường hợp $n =N+1$. Tóm lại, theo nguyên lý quy nạp thì chúng ta đã chứng minh được công thức cho các hệ số trong tam giác Pascal là $$p_{n,k} = {n \choose k} = \frac{n!}{k! (n-k)!}$$ Xin nói thêm một chút về ký hiệu ${n \choose k}$. Ký hiệu này đọc là "$n$ chọn $k$", lý do là vì ${n \choose k}$ chính là số cách chọn $k$ đồ vật (không kể thứ tự) trong số $n$ đồ vật. Ví dụ, nếu chúng ta có $4$ con cá thì sẽ có đúng ${4 \choose 2} = 6$ cách chọn ra $2$ con cá.
có đúng ${4 \choose 2} = 6$ cách chọn ra $2$ con cá từ $4$ con cá
Lưu ý rằng các sách viết ở Việt Nam thường dùng ký hiệu $C^k_n$ thay vì là ${n \choose k}$. Bây giờ chúng ta dùng quy nạp để chứng minh định lý khai triển nhị thức Newton $$(x+y)^n = x^n + {n \choose 1} x^{n-1} y + {n \choose 2} x^{n-2} y^2 + \dots + {n \choose {n-2}} x^{2} y^{n-2} + {n \choose {n-1}} x y^{n-1} + y^n$$ Công thức hiển nhiên đúng cho trường hợp $n=0$ và $n=1$. Giả sử công thức đúng cho các trường hợp $0 \leq n \leq N$, trong đó $N \geq 1$. Chúng ta sẽ chứng minh công thức đúng cho trường hợp $n=N+1$. Thực vậy, $$(x+y)^{N+1} = (x+y) (x+y)^N $$ $$= (x+y)(x^N + p_{N,1} x^{N-1} y + p_{N,2} x^{N-2} y^2 + \dots + p_{N, N-2} x^{2} y^{N-2} + p_{N,N-1} x y^{N-1} + y^N)$$ $$= x^{N+1} + p_{N,1} x^{N} y + p_{N,2} x^{N-1} y^2 + \dots + p_{N, N-2} x^{3} y^{N-2} + p_{N,N-1} x^2 y^{N-1} + x y^N$$ $$ ~~~~ + x^N y + p_{N,1} x^{N-1} y^2 + p_{N,2} x^{N-2} y^3 + \dots + p_{N, N-2} x^{2} y^{N-1} + p_{N,N-1} x y^{N} + y^{N+1}$$ Để ý rằng theo công thức xây dựng tam giác Pascal thì $$p_{N,1} + 1 = p_{N+1,1}, p_{N,2} + p_{N,1} = p_{N+1,2}, \dots, p_{N,N-1} + p_{N, N-2} = p_{N+1, N-1}, 1 + p_{N,N-1} = p_{N+1,N},$$ do đó $$(x+y)^{N+1} = x^{N+1} + p_{N+1,1} x^{N} y + p_{N+1,2} x^{N-1} y^2 + \dots + p_{N+1, N-1} x^{2} y^{N-1} + p_{N+1,N} x y^{N} + y^{N+1}$$ Vậy chúng ta đã chứng minh công thức đúng cho trường hợp $n=N+1$. Theo nguyên lý quy nạp thì chúng ta đã chứng minh xong định lý khai triển nhị thức Newton $$(x+y)^n = x^n + p_{n,1} x^{n-1} y + p_{n,2} x^{n-2} y^2 + \dots + p_{n,n-2} x^{2} y^{n-2} + p_{n,n-1} x y^{n-1} + y^n$$ $$= x^n + {n \choose 1} x^{n-1} y + {n \choose 2} x^{n-2} y^2 + \dots + {n \choose {n-2}} x^{2} y^{n-2} + {n \choose {n-1}} x y^{n-1} + y^n$$ Thay $y$ bằng $-y$ chúng ta có hằng đẳng thức $$(x-y)^n = x^n - {n \choose 1} x^{n-1} y + {n \choose 2} x^{n-2} y^2 - \dots + (-1)^{n-2}{n \choose {n-2}} x^{2} y^{n-2} + (-1)^{n-1}{n \choose {n-1}} x y^{n-1} + (-1)^n y^n$$ Hẹn gặp lại các bạn ở kỳ sau. Bài tập về nhà. 1. Chứng minh rằng nếu $p$ là số nguyên tố thì ${p \choose k}$ chia hết cho $p$ với mọi $0 < k < p$. Từ đó suy ra $$(x+y)^p = x^p + y^p \pmod{p}$$ 2. Chứng minh các đẳng thức sau $$1 + {2012 \choose 1} + {2012 \choose 2} + \dots + {2012 \choose 2010} + {2012 \choose 2011} + 1 = 2^{2012}$$ $$1 + {2012 \choose 2} + {2012 \choose 4} + \dots + {2012 \choose 2010} + 1=2^{2011}$$ $${2012 \choose 1} + {2012 \choose 3} + \dots + {2012 \choose 2009} + {2012 \choose 2011} = 2^{2011}$$ 3. Dùng $\Delta$ để ký hiệu phép toán sau $$\Delta p(x) = p(x+1) - p(x)$$ Áp dụng $\Delta$ một lần nữa cho biểu thức $\Delta p(x)$, chúng ta có $$\Delta^2 p(x) = \Delta (\Delta p(x)) = (p(x+2) - p(x+1)) - (p(x+1) - p(x)) = p(x+2) - 2 p(x+1) + p(x)$$ Áp dụng $\Delta$ một lần nữa, chúng ta có $$\Delta^3 p(x) = p(x+3) - 3p(x+2) + 3 p(x+1) - p(x)$$ Phát biểu và chứng minh công thức tổng quát. Labels: algebra, binomial theorem, combinatorics, đại số, hằng đẳng thức, induction, Newton, nhị thức, Pascal's triangle, quy nạp, rời rạc, tam giác Pascal Bài đăng Mới hơn Bài đăng Cũ hơn Trang chủ

Ủng hộ Vườn Toán trên facebook

Facebook

Lưu trữ Blog

  • ▼  2012 (36)
    • ▼  tháng 9 (6)
      • 1 = 2012 = 2013
      • Nhị thức Newton
      • Quy nạp III
      • Quy nạp II
      • Quy nạp
      • Tam giác Pascal

English Version

English Version

Bài toán kết nối facebook

Phép nhân thời đồ đá

Mắt Biếc Hồ Thu

Lục giác kỳ diệu

Định lý Pitago

1 = 2012 = 2013

Dãy số Fibonacci và một bài toán xếp hình

James vẽ hình

Câu hỏi của James

Hình vuông số chính phương kỳ diệu của Vianney!

Câu đố mẹo về đo lường

Công thức lượng giác Gauss cho 17-giác đều

Chào năm mới 2014

Chào năm mới 2015

Chào năm mới 2016

Không gian 4 chiều là gì?

Dựng hình đa giác đều

Dựng đa giác đều 15 cạnh

Ngày số Pi (2015)

Ngày số Pi (2016)

0.9999999... có bằng 1 không? (2015)

Hình tam giác

Bàn cờ vua và kim tự tháp

Dãy số

Dãy số - Phần 1

Dãy số - Phần 2

Dãy số - Phần 3

Dãy số - Phần 4

Dãy số - Phần 5

Dãy số - Phần 6

Dãy số - Phần 7

Dãy số - Phần 8

Dãy số - Phần 9

Đại số

Tam giác Pascal

Quy nạp

Quy nạp II

Quy nạp III

Nhị thức Newton

1 = 2012 = 2013

Đa thức nội suy Newton

Đa thức nội suy Lagrange

Chứng minh Định lý Wilson bằng công thức nội suy

Tổng luỹ thừa

Số phức

Số phức

Công thức Moivre

Lượng giác

Công thức lượng giác cho góc bội

Công thức lượng giác Gauss cho 17-giác đều

Ngày số Pi (2016)

Radian là gì?

Số học

modulo - Phần 1

modulo - Phần 2

modulo - Phần 3

modulo - Phần 4

modulo - Phần 5

modulo - Phần 6

Số nguyên tố

Định lý Euclid về số nguyên tố

Một vài bài toán về số nguyên tố

Định lý Wilson

Bộ số Pitago

Modulo cho số hữu tỷ

Modulo cho số hữu tỷ II

Chứng minh lại định lý Wilson

Bổ đề Bezout

Thuật toán Euclid

Tổng luỹ thừa

Tổng luỹ thừa và định lý Wolstenholme

Câu đố mẹo về đo lường

Dựng đa giác đều 15 cạnh

Bò đi con bọ cạp!

Liên phân số Fibonacci

Hằng đẳng thức Pitago

Hình vuông số kỳ diệu của Euler

Tổ hợp

Bài toán kết nối facebook

Dãy số Fibonacci và một bài toán xếp hình

Hằng đẳng thức về dãy số Fibonacci

Dãy số Fibonacci và tam giác Pascal

Hình học

Định lý Pitago

Định lý đường cao tam giác vuông

Định lý Morley

Phương tích

Trục đẳng phương và tâm đẳng phương

Định lý Ceva và Định lý Menelaus

Lục giác kỳ diệu

Định lý Pascal

Định lý Pappus

Cánh bướm Pascal

Bài toán con bướm

Định lý Ngôi Sao Do Thái

Hãy xem xét trường hợp đặc biệt

Bài toán về tìm khoảng cách ngắn nhất và một tính chất của hình elíp

Điểm Fermat của hình tam giác

Điểm Fermat của hình tam giác II

Dựng hình

Dựng hình bằng thước và compa

Bài toán chia hình tứ giác

Dựng hình ngũ giác đều

Dựng hình đa giác đều

Dựng đa giác đều 15 cạnh

Định lý đường cao tam giác vuông

Thuật toán dựng hình

Công thức lượng giác Gauss cho 17-giác đều

Dựng hình chỉ bằng compa

Dùng compa chia đều đoạn thẳng

Giải tích

Ngày số Pi 2015

Chuỗi Taylor

Tổng nghịch đảo bình phương

Giúp bé thông minh

Xì-tin năng động

BBC - Học tiếng Anh Du học Hoa kỳ Học Bổng Hoa Kỳ VOA - Học tiếng Anh

Tạp chí toán học

Kỹ năng mềm

Tạo lập tài khoản google

Cách tạo blog toán học

Học toán trên Wolfram

Dịch tài liệu toán học

Viết văn bản toán học PDF trực tuyến bằng LaTeX

Chia xẻ tài liệu toán học trên Google Drive

Từ khóa » Hằng đẳng Thức Newton