Nhi Thuc Niu Ton 1 2 - 123doc

Nhị thức New ton :12

Dạng 2: Tính tổng : sử dụng đạo hàm hoặc tích phân

 Từ công thức : (1+x)n = 0

n

C + 1

n

C x+ 2 2

n

C x + 3 3

n

C x + + n n

n

C x (*) Thay x=1 ta có : 0

n

C + 1

n

C + 2

n

C + 3 n

C + + n

n

C = 2n Tương tự : 0

2n

C + 1

2n

C + 2

2n

C + 3

2n

C + + 2n

2n

C = 22n Thay x=1 ta có: 0

n

C  1

n

C + 2

n

C C3n+ +(1)nCnn =0 Suy ra : 0

n

C + 2

n

C + = 1

n

C + 3

n

C + =2n1 Tương tự : 0

2n

C + 2

2n

C + + 2n

2n

C = 1

2n

C + 3

2n

C + + 2n 1

2n

C  =22n1

Ví dụ 1:Chứng minh rằng : 1

n

C + 2

n

2.C + 3

n

3.C + + n

n

n.C = n.2n1 Giải:

C1:Từ công thức 0

n

C + 1

n

C x+ 2 2

n

C x + 3 3

n

C x + + n n

n

C x =(1+x)n Đạo hàm hai vế ta có : 1

n

C + 2 1

n

2.C x + 3 2

n

3.C x + + n n 1

n

n.C x  =n(1+x)n1 Thay x=1 => 1

n

C + 2

n

2.C + 3

n

3.C + + n

n

n.C = n.2n1 ( đpcm)

C2: thay k k

n

C =n k 1

n 1

C 

VT =

n

k

n

k 1

k.C



 =

n

k 1

n 1

k 1

n.C 



 =n

n

k 1

n 1

k 1

C 



 =n.2n1

Ví dụ 2: Tính : S2 = 0

n

C + 2 1

n

C +3 2

n

C +4 3

n

C + + (n+1) n

n

C

Ví dụ 3: Tính tổng S3 = 1 2

n

2.C +2 3

n

3.C + + (n1) n

n

n.C

Ví dụ 4:Tính tổng S4 = 0

n

C + 2 1

n

C +3 2

n

C +4 3

n

C + + (n+1) n

n

C

Ví dụ 4: Tính tổng S5 = 2 1

n

1 C + 2 2

n

2 C + 2 3

n

3 C + + 2 n

n

n C

Ví dụ 5:Tính tổng:

2n

C +102C22n103 3

2n

C + +(10)2n1 2n 1

2n

C  +102n

Ví dụ 6: Chứng minh đẳng thức :

n.2n 0

n

C +(n1).2n1 1

n

C + … + 2 n 1

n

C  =2n.3n1 ( n là số nguyên dương )

Ví dụ 7: Tìm n biết 0

2n

C + 32 2

2n

C +34 4

2n

C + + 2n

2n

C 32n = 524.800

Ví dụ 8: Tìm số nguyên dương n sao cho :

1

2n 1

C  2 2

2n 1

2.C  + 2 3

2n 1

3.2 C   3 4

2n 1

4.2 C  + 2n 2n 1

2n 1

(2n 1).2 C  =2009

C C C  C C =?