Nhóm Biến Cố đầy đủ Và Các Công Thức - Để Học Tốt

B. MỘT SỐ KIẾN THỨC VÀ VÍ DỤ MỞ RỘNG

§1. NHÓM BIẾN CỐ ĐẦY ĐỦ VÀ CÁC CÔNG THỨC

1.1. Nhóm biến cố đầy đủ.

Xét biến cố A và biến cố đối $\bar{A}$.

Ta có $A\cap \bar{A}=\varnothing$ và $A\cup \bar{A}=\Omega$. Ta nói A và $\bar{A}$ lập thành nhóm hai biến cố đầy đủ. Khi phép thử xảy ra thì một và chỉ một biến cố trong hai biến cố đó xảy ra.

Mở rộng ra, nếu có một nhóm n biến cố sao cho khi phép thử xảy ra thì một và chỉ một biến cố trong n biến cố đó xảy ra, ta sẽ nói nhóm n biến cố đó là nhóm n biến cố đầy đủ.

Nói cách khác, nhóm n biến cố $A_{1}$, $A_{2}$, ..., $A_{n}$ được gọi là nhóm biến cố đầy đủ nếu và chỉ nếu $A_{1}$ $\cup$ $A_{2}$ $\cup$...$\cup$ $A_{n}$ = $\Omega$ và $A_{i}\cap A_{j}=\varnothing$ với mọi i, j = $\overline{1,n}$, i $\neq$ j.

1.2. Công thức xác suất toàn phần

Giả sử $A_{1}$, $A_{2}$, ..., $A_{n}$ là nhóm đầy đủ các biến cố.

Gọi B là một biến cố bất kì, khi đó:

Ta có $A_{i}\cap B$, i = $\overline{1,n}$ là nhóm biến cố từng đôi xung khắc. Vì vậy định lí cộng xác suất và định lí nhân xác suất cho ta :

Công thức (1) được gọi là công thức xác suất toàn phần. Ta cũng có thể viết (1) dưới dạng gọn hơn:

1.3. Công thức xác suất Bayes

Cho $A_{1}$, $A_{2}$, ..., $A_{n}$ là nhóm biến cố đầy đủ, B là một biến cố với P(B) > 0. Theo công thức nhân xác suất, ta có:

Thay P(B) từ (2), ta có

Công thức (3) được gọi là Công thức Bayes.

Ví dụ 1.

Ba phân xưởng A, B, C cùng sản xuất sản phẩm bóng đèn điện tử. Sản phẩm của ba phân xưởng này lần lượt chiếm 50%, 30% và 20% tổng sản phẩm của toàn nhà máy. Biết rằng tỉ lệ sản phẩm không đạt tiêu chuẩn của các phân xưởng này lần lượt là 3%, 4% và 5%. Lấy ngẫu nhiên một sản phẩm trong kho của nhà máy này.

Tính:

a) Xác suất để sản phẩm trên không đạt tiêu chuẩn.

b) Giả sử sản phẩm lấy ra đem kiểm tra thấy không đạt tiêu chuẩn. Tính xác suất để sản phẩm đó là do phân xưởng A sản suất.

Giải.

Gọi $A_{1}$ là biến cố “sản phẩm lấy ra là do phân xưởng A sản xuất”, $A_{2}$ là biến cố “sản phẩm lấy ra là do phân xưởng B sản xuất”, $A_{3}$ là biến cố “sản phẩm lấy ra là do phân xưởng C sản xuất”.

Ta có: P($A_{1}$) = 0,5 ; P($A_{2}$) = 0,3 ; P($A_{3}$) = 0,2 và $A_{1}$, $A_{2}$, $A_{3}$ lập thành nhóm biến cố đầy đủ.

Gọi B là biến cố “sản phẩm lấy ra không đạt tiêu chuẩn”.

Ta có P(B | $A_{1}$) = 0,03 ; P(B | $A_{2}$) = 0,04 ; P(B | $A_{3}$) = 0,05 .

Theo công thức xác suất toàn phần ta có

P(B) = P($A_{1}$).P(B | $A_{1}$) + P($A_{2}$).P(B | $A_{2}$) + P($A_{3}$).P(B | $A_{3}$)

= 0,5.0,03 + 0,3.0,04 + 0,2.0,05 = 0,037.

a) Xác suất để sản phẩm chọn ra không đạt tiêu chuẩn là

P(B) = 0,037.

b) Theo công thức Bayes ta có

Vậy xác suất để sản phẩm không đạt tiêu chuẩn đó do phân xưởng A sản xuất là :