Nhóm Giao Hoán – Wikipedia Tiếng Việt

Ký hiệu

sửa Xem thêm: Nhóm cộng và Nhóm nhân

CÓ hai cách ký hiệu chính cho nhóm Abel, ký hiệu phép cộng và ký hiệu phép nhân.

Ký hiệu	Phép toán	Phần tử đơn vị	Lũy thừa	Nghịch đảo
Phép cộng	x + y {\displaystyle x+y}	0	n x {\displaystyle nx}	− x {\displaystyle -x}
Phép nhân	x ⋅ y {\displaystyle x\cdot y}   hay x y {\displaystyle xy}	1	x n {\displaystyle x^{n}}	x − 1 {\displaystyle x^{-1}}

Thường thì ký hiệu phép nhân được sử dụng cho nhóm nói chung, và ký hiệu phép cộng thường được sử dụng cho mô đun và vành. Ký hiệu phép cộng đôi khi thường sử dụng để nhấn mạnh nhóm mà phép toán trong đó có tính giao hoán khi ta đang xét cả hai nhóm giao hoán và không giao hoán, một số ngoại lệ nổi bật khác bao gồm gần vành và nhóm sắp thứ tự một phần, trong đó phép toán ký hiệu theo phép cộng kể cả khi nhóm không giao hoán.[2]:28–29

Bảng nhân

sửa

Để kiểm tra nhóm hữu hạn có giao hoán hay không, một bảng (hoặc ma trận) – được gọi là bảng Cayley – được xây tương tự như bảng cửu chương. Cho nhóm G = { g 1 = e , g 2 , … , g n } {\displaystyle G=\{g_{1}=e,g_{2},\dots ,g_{n}\}}   cùng với phép toán ⋅ {\displaystyle \cdot }  , ô tại vị trí ( i , j ) {\displaystyle (i,j)}   của bảng này chứa tích g i ⋅ g j {\displaystyle g_{i}\cdot g_{j}}  .

Nhóm giao hoán khi và chỉ khi bảng này đối xứng qua đường chéo chính. Điều này đúng bởi nhóm giao hoán khi và chỉ khi khi và chỉ khi g i ⋅ g j = g j ⋅ g i {\displaystyle g_{i}\cdot g_{j}=g_{j}\cdot g_{i}}   với mọi i , j = 1 , . . . , n {\displaystyle i,j=1,...,n}  ,và đúng khi và chỉ khi các ô ( i , j ) {\displaystyle (i,j)}   của bảng bằng với ô ( j , i ) {\displaystyle (j,i)}   với mọi i , j = 1 , . . . , n {\displaystyle i,j=1,...,n}  , tức bảng đối xứng qua đường chéo chính.