Những Hằng đẳng Thức đáng Nhớ Và Cách Giải - Toán Lớp 8

(a + b)2 - 4ab 

= a2 + 2ab + b2 - 4ab  

= a2 - 2ab + b2 

= (a - b)2 = VT (đpcm)

c, 4x2 + 1 = (2x - 1)2 + 4x  

Xét VP = (2x - 1)2 + 4x 

= (2x)2 - 2.2x.1 + 12 + 4x 

= 4x2 - 4x + 1 + 4x 

= 4x2 + 1  = VT (đpcm)

3. Dạng 3: Tính nhanh

a. Phương pháp giải: 

Áp dụng linh hoạt các hằng đẳng thức cho các số tự nhiên

b. Ví dụ minh họa: 

Tính nhanh:

a, 222 = (20 + 2)2 

= 202 + 2.20.2 + 22 

= 400 +80 + 4

= 484

b, 992 = (100 - 1)2

= 1002 - 2.100.1 + 12 

= 10000 – 200 + 1

= 9801

c, 19.21 = (20 – 1)(20 + 1)

= 202 - 12 

= 400 – 1 

= 399

4. Dạng 4: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức

a. Phương pháp giải: 

Sử dụng các hằng đẳng thức và cần chú ý: 

A2 ≥ 0  và -A2 ≤ 0 

b. Ví dụ minh họa: 

a, Chứng minh 9x2 - 6x + 3 luôn dương với mọi x

Lời giải 

Xét: 9x2 - 6x + 3 = 9x2 - 6x + 2 + 1 

 = (3x)2 - 2.3x.1 + 12 + 2 

= (3x + 1)2 + 2 

Ta có: (3x + 1)2 ≥ 0 với mọi x 

=> (3x + 1)2 + 2 ≥ 2 > 0 với mọi x 

Vậy 9x2 - 6x + 3 luôn dương với mọi x

b, Chứng minh: -x2 - 4x - 7 luôn âm với mọi x

Xét: -x2 - 4x - 7 = -x2 - 4x - 4 - 3 

= -(x2 + 4x + 4) - 3 

= -(x + 2)2 - 3 

Ta có: (x + 2)2 ≥ 0 với mọi x

=> -(x + 2)2 ≤ 0 với mọi x

=> -(x + 2)2 - 3 ≤ -3 < 0 với mọi x  

Vậy -x2 - 4x - 7 luôn âm với mọi x.

c, Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = x2 - 3x + 5 

Ta có: 

M = x2 - 3x + 5 

 

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức đạt được khi  

B. Lập phương của một tổng hoặc một hiệu: 

I. Lý thuyết: 

1. Lập phương của một tổng: 

(A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 

2. Lập phương của một hiệu: 

(A - B)3 = A3 - 3A2B + 3AB2 - B3 

II. Các dạng bài: 

1. Dạng 1: Sử dụng hằng đẳng thức để khai triển và rút gọn biểu thức và tính giá trị biểu thức:  

a. Phương pháp giải: 

Sử dụng hằng đẳng thức đã học để khai triển và rút gọn biểu thức. 

b. Ví dụ minh họa: 

Ví dụ 1: Thực hiện phép tính: 

a, (2x - 1)3 

= (2x)3 - 3.(2x)2.1 + 3.2x.12 - 13

= 8x3 - 12x2 + 6x - 1 

b, (x + 4)3  

= x3 + 3.x2.4 + 3.x.42 + 43 

= x3 + 12x2 + 48x + 64

Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức: 

A = (3x- 1)3 - 4x(x - 2) + (2x - 1)2

 = (3x)3 - 3.(3x)2.1 + 3.3x.12 - 13 - 4x2 + 8x + 4x2 - 4x + 1

= 27x3 - 27x2 + 9x – 1 + 4x + 1

= 27x3 - 27x2 + 13x 

B = (x + 1)3 - 2x2(x - 2) + x3 

 = x3 + 3x2 + 3x + 1 - 2x3 + 4x2 + x3 

= 7x2 + 3x + 1 

Ví dụ 3: Viết các biểu thức sau dưới dạng lập phương một tổng hoặc lập phương một hiệu: 

a, x3 + 12x2 + 48x + 64 

b, + 8xy2 - 8y3

Lời giải 

a, x3 + 12x2 + 48x + 64 

= x3 + 3.x2.4 + 3.x.42 + 43

= (x + 4)3 

Ví dụ 4: Tính giá trị các biểu thức sau: 

a, A = x3 + 6x2 + 12x + 8 tại x = 48

b, B = x3 - 3x2 + 3x - 1  tại x = 1001

Lời giải 

a, A = x3 + 6x2 + 12x + 8 

Ta có: A = x3 + 6x2 + 12x + 8 

= x3 + 3x2.2 + 3.x22 + 23 

= (x + 2)3 

Thay x = 48 vào biểu thức A ta được: 

A = (48 + 2)3  = 503  = 125000

b, B = x3 - 3x2 + 3x - 1  tại x = 101

Ta có B = x3 - 3x2 + 3x - 1 

= x3 - 3x2.1 + 3.x.12 - 13 

= (x – 1)3 

Thay x = 1001 vào biểu thức B ta được: 

B = (101 – 1)3  = 1003  = 1000000 

2. Dạng 2: Sử dụng hằng đẳng thức để tính nhanh: 

a. Phương pháp giải:

Sử dụng linh hoạt các hằng đẳng thức để tính nhanh

b. Ví dụ minh họa: 

Tính nhanh: 

a, 1993  

= (200 - 1)3 

= 2003 - 3.2002.1 + 3.200.12 - 13 

= 8000000 – 120000 + 600 – 1 

= 7880599.   

b, 1013 

= (100 + 1)3 

= 1003 + 3.1002.1 + 3.100.12 + 13 

 = 1000000 + 30000 + 300 + 1

= 1030301

C. Tổng hoặc hiệu hai lập phương: 

I. Lý thuyết: 

1. Tổng hai lập phương: 

A3 + B3 = (A + B)(A2 - AB + B2) 

2. Hiệu hai lập phương: 

A3 - B3 = (A - B)(A2 + AB + B2) 

II. Các dạng bài: 

1. Dạng 1: Sử dụng hằng đẳng thức để rút gọn và khai triển biểu thức: 

a. Phương pháp giải: 

Sử dụng các hằng đẳng thức đã học để khai triển hoặc rút gọn biểu thức.

b. Ví dụ minh họa: 

Ví dụ 1: Thực hiện phép tính: 

a, x3 + 64 

= x3 + 43 

= (x + 4)(x2 + 4x + 42) 

= (x + 4)(x2 + 4x + 16) 

b, 8x3 - 27 

= (2x)3 – 33 

 = (2x – 3)[(2x)2 + 2x.3 + 32] 

= (2x – 3)(4x2 + 6x + 9) 

Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức: 

a, (x - 2)3 + (x + 1)3 

 = (x - 2 + x + 1)[(x - 2)2 - (x - 2)(x + 1) + (x + 1)2] 

= (2x – 1)[x2 - 4x + 4 - (x2 - x - 2) + x2 + 2x + 1] 

= (2x – 1)(x2 - x + 7 )

= 2x3 - 2x2 + 14x - x2 + x - 7

= 2x3 - 3x2 + 15x - 7  

b, (3x + 4)(9x2 - 12x + 16)

= (3x + 4)[(3x)2 - 3.4x + 42] 

= (3x)3 + 43 

= 27x3 + 64

2. Dạng 2: Sử dụng hằng đẳng thức để tính nhanh

a, Phương pháp giải: 

Sử dụng các hằng đẳng thức đã học để phân tích và tính

Chú ý thêm: 

A3 + B3 = (A + B)3 - 3AB(A + B) 

A3 - B3 = (A - B)3 - 3AB(A - B) 

b, Ví dụ minh họa: 

Tính nhanh: 

a, 203 + 1 

 = (20 + 1)(202 - 20 + 1 )

= 21.(400 - 20 + 1)

=8400 - 420 + 21

= 7980 + 21   

= 8001

b, 523  - 8 

= 523 - 23

= (52 – 2)3 + 3.52.2.(52 – 2)

= 503 + 6.52.50

= 125000 + 300.52

= 125000 + 15600

= 140600

c, 193 

 = (20– 1)3 

= 203 - 13 - 3.20.1(20 – 1)

= 8000 – 1 – 60.19 

= 8000 – 1 – 1140

= 6859    

III. Bài tập tự luyện: 

Bài 1: Thực hiện phép tính: 

a, (x - 4)2 

b, (3x + 2)2  

c, (2x - 3)2 

d, (x - 4)(x + 4) 

Lời giải: 

a, (x - 4)2 

= x2 - 4x + 16

b, 9x2 + 12x + 4   

c, 4x2 - 12x + 9  

d, x2 - 16  

Bài 2: Thực hiện phép tính: 

a, (x - 3)3 

b, (1 + 2x)3 

c,  

d, (x – 3y)(x2 + 3xy + 9y2 )

Lời giải: 

a, x3 - 9x2 + 27x - 27  

b, 1 + 6x + 12x2 + 8x3  

c,  

d, x3 - 27y3 

Bài 3: Viết các biểu thức dưới dạng bình phương của một tổng hoặc hiệu: 

a, 9x2  - 12 + 4

b,  

c, 4x2y2 - 12xy2 + 9  

d, (x + y)2 - 4(x + y) + 4  

Lời giải: 

a, (3x - 2)2 

b,  

c, (2xy2 - 3)2  

d, [(x + y) - 2]2  

Bài 4: Chứng minh các đẳng thức sau: 

a,  

b, 2(x2 + y2) = (x + y)2 + (x - y)2

Lời giải: 

= ab = VP (đpcm)

b, 2(x2 + y2) = (x + y)2 + (x - y)2   

Xét VP = (x + y)2 + (x - y)2 

 = x2 + 2xy + y2 + x2 - 2xy + y2 

 = 2x2 + 2y2

= 2(x2 + y2) = VT (đpcm)

Bài 5: Rút gọn biểu thức: 

a, A = (2x - 1)2 - 2(2x - 3)2 + 4 

b, B = (3x + 2)2 + 2(2 + 3x)(1 - 2y) + (2y - 1)2  

c, C = (x2 + 2xy)2 + 2(x2 + 2xy)y2 + y4 

d, D = (x - 1)3 + 3x(x - 1)2 + 3x2(x -1) + x3 

Lời giải: 

a, A = -4x2 + 20x - 13 

b, B = [(3x + 2) + (1 - 2y)]2  

= (3x - 2y + 3)2 

c, C = [(x2 + 2xy) + y2]2 

 = (x2 + 2xy + y2)2

= [(x + y)2]2

= (x + y)4  

d, D = [(x - 1) + x]3 

= (2x – 1)3 

Bài 6: Rút gọn biểu thức: 

a, N = (2x + 3y)(4x2 - 6xy + 9y2) 

b, P = (x - y)(x2 + xy + y2) - (x + y)(x2 - xy + y2)   

c, Q = (x2 - 2y)(x4 + 2x2y + 4y2) - x3(x – y)(x2 + xy + y2) + 8y3 

Lời giải: 

a, N = [(2x)3 + (3y)3] 

= (8x3 + 27y3) 

b, P = [(x3 - y3) - (x3 + y3)] 

= -2y3 

c, Q = [(x2)3 - (2y)3] - x3(x3 - y3) + 8y3 

= x6 - 8y3 - x6 + x3y3 + 8y3 

= x3y3 

Bài 7: Tính giá trị của các biểu thức sau:  

a, A = 25x2 - 10xy2 + y4 tại x = 5, y = 4

b, B = (x + 3)2 + (x - 3)(x + 3) - 2(x + 2)(x - 4) với x = - 

c, C = 27x3 - 54x2y + 36xy2 - 8y3 tại x = 4, y = 6 

d, D =  tại x = 206, y = 1

e, E = 27x3z6 - 54x2yz4 + 36xy2z2- 8y3  tại x = 25, y = 150, z = 2

f, F = (6x + 2)(9x2 - 3x + 1) – (x + 1)(x2 - x + 1) tại x =  

Lời giải: 

a, A = 81

b, B = 11

c, C = 0

d, D = 997552

e, E = 0

f, F =  

Bài 8: Tính nhanh: 

a, 292 

b, 62.58

c, 1022 

d, 1013 

e, 913 + 3.912.9 + 3.91.92 + 93 

f, 183 - 3.182.8 + 3.18.82 - 29 

g, 183 + 23

h, 233 - 27  

Lời giải: 

a, 292 

= (30 – 1)2 

= 841

b, 62.58 

= (60 + 2)(60 – 2)

= 602 - 22 

= 3596

c, 1022 

= (100 + 2)2

= 10404

d, 1013 

= (100 + 1)3 

= 1030301

e, 913 + 3.912.9 + 3.91.92 + 93 

= (91 + 9)3 

= 1003 

= 1000000

f, 183 - 3.182.8 + 3.18.82 - 29 

 = (18 – 8)3 

= 103 

= 1000

g, 183 + 23  

= (18 + 2)3 – 3.18.2(18 + 2)

= 203 - 6.18.20

= 5840

h, 233  - 27 

= 233 - 33 

= (23 – 3)3 + 3.23.3.(23 – 3)

= 203 + 9.23.20

= 12140

Bài 9: Tính giá trị biểu thức: 

a, A = 2(x3 + y3) - 3(x2 + y2) biết x + y = 1

b, B = x3 + y3 + 3xy  biết x + y = 1

c, C = 8x3 - 27y3 biết xy = 4 và 2x – 3y = 5

Lời giải: 

a, A = -1

b, B = 1

C = 485

Bài 10: Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến x: 

a, A =3(x – 1)2 - (x + 1)2 + 2(x – 3)(x + 3) – (2x + 3)2 - (5 – 20x)

b, B = -x(x + 2)2 + (2x + 1)2 + (x + 3)(x2 - 3x + 9) – 1 

Lời giải: 

a, A = - 30   

b, B = 27

Bài 11: Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 

a, A = x2 + x - 2

b, B = x2 + x - 3 

c, C = x2 + y2 - 3x + 2y + 3 

d, D = x2 + 10y2 - 6xy - 10y + 26

Lời giải:

a, A = x2 + x - 2 

b, B = x2 + x - 3  

c, C = x2 + y2 - 3x + 2y + 3 

d, D = x2 + 10y2 - 6xy - 10y + 26  

Ta có: D = (x2 - 6xy + 9y2) + (y2 - 10y + 25) + 1 

= (x - 3y)2 + (y - 5)2 + 1 ≥ 1 với mọi x

=> Dmin = 1 khi x =15, y = 5

Bài 12: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 

a, A = 12x – 4x2 + 3

b,   B = 6x - x2 + 3

c, C = 12x – 8y – 4x2 - y2 + 1

d, D = 2x – 6y - x2 - y2 - 2

Lời giải: 

a, A = 12x – 4x2 + 3

Ta có: A = -(2x - 3)2 + 12 ≤ 12 với mọi x

=> Amax = 12 khi x =  

b, Bmax = 12 khi x = 3

c, Cmax = 26 khi x =  và y  = - 4

d, Dmax = 8 khi x = 1 và y = -3

Bài 13: Chứng minh rằng với mọi a, b, c ta luôn có: 

(a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a + b)(b + c)(c + a)

Lời giải: Hướng dẫn: 

Đặt a + b = A, B = c

Ta có: VT = (a + b + c)3 

= (A + B)3 = A3 + B3 + 3A2B + 3AB2 

Thay vào ta được:

(A + B)3 = A3 + B3 + 3A2B + 3AB2 

= (a + b )3 + c3 + 3(a + b)2.c + 3(a + b).c2

= a3 + b3 + c3 + 3a2b + 3ab2 + 3(a + b)2.c + 3(a + b).c2

= a3 + b3 + c3 + 3ab(a + b) + 3(a + b)2.c + 3(a + b).c2

= a3 + b3 + c3 + 3(a + b)[ab + (a + b).c + c2]

= a3 + b3 + c3 + 3(a + b)(ab + ac + bc + c2)

= a3 + b3 + c3 + 3(a + b)[(a(b +c) + c(b + c)] 

= a3 + b3 + c3 + 3(a + b)(a +c) + (b + c) = VP (đpcm)

D. Bài tập tự luyện

Bài 1. Khai triển biểu thức sau: A = x+1x+12.

Bài 2. Chứng minh bất phương trình sau luôn đúng ∀ x, y ∈ ℝ: x+y≤x+y.

Bài 3. Khai triển biểu thức sau: A = .

Bài 4. Chứng minh bất phương trình sau luôn đúng ∀ a, b > 0: a+b≥a+b.

Bài 5. Chứng minh: ab≤a+b22.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 8 chọn lọc, có đáp án hay khác:

• Phương pháp Phân tích đa thức thành nhân tử
• Phương pháp chia đơn thức, đa thức cho đơn thức
• Phương pháp Chia đa thức cho một biến đã sắp xếp
• Phương pháp nhân đơn thức với đa thức, đa thức với đa thức

Xem thêm các loạt bài Để học tốt Toán lớp 8 hay khác:

• Giải bài tập Toán 8
• Giải sách bài tập Toán 8
• Top 75 Đề thi Toán 8 có đáp án

• Tài liệu cho giáo viên: Giáo án, powerpoint, đề thi giữa kì cuối kì, đánh giá năng lực, thi thử THPT, HSG, chuyên đề, bài tập cuối tuần..... độc quyền VietJack, giá hợp lí

Tủ sách VIETJACK shopee lớp 6-8 cho phụ huynh và giáo viên (cả 3 bộ sách):

• Trọng tâm Toán, Anh, KHTN lớp 6 (303 trang - từ 99k)
• Trọng tâm Toán, Anh, KHTN lớp 7 (266 trang - từ 99k)
• Trọng tâm Toán, Anh, KHTN lớp 8 (302 trang - từ 99k)

ĐỀ THI, GIÁO ÁN, SÁCH LUYỆN THI DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 8

Bộ giáo án, bài giảng powerpoint, đề thi, sách dành cho giáo viên và gia sư dành cho phụ huynh tại https://tailieugiaovien.com.vn/ . Hỗ trợ zalo VietJack Official

Tổng đài hỗ trợ đăng ký : 084 283 45 85

Giáo án, bài giảng powerpoint Văn, Toán, Lí, Hóa....

4.5 (243)

799,000đs

199,000 VNĐ

Đề thi, chuyên đề Cánh diều, Kết nối tri thức, Chân trời sáng tạo...

4.5 (243)

799,000đ

99,000 VNĐ

Sách Toán - Văn- Anh 6-7-8-9, luyện thi vào 10

4.5 (243)

199,000đ

99.000 - 149.000 VNĐ

xem tất cả

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS. Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Loạt bài Lý thuyết & 700 Bài tập Toán lớp 8 có lời giải chi tiết có đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài có lời giải chi tiết được biên soạn bám sát nội dung chương trình sgk Đại số 8 và Hình học 8.

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.

Trang trước Trang sau Giải bài tập lớp 8 sách mới các môn học

• Giải Tiếng Anh 8 Global Success
• Giải sgk Tiếng Anh 8 Smart World
• Giải sgk Tiếng Anh 8 Friends plus
• Lớp 8 - Kết nối tri thức
• Soạn văn 8 (hay nhất) - KNTT
• Soạn văn 8 (ngắn nhất) KNTT
• Giải sgk Toán 8 - KNTT
• Giải sgk Khoa học tự nhiên 8 - KNTT
• Giải sgk Lịch Sử 8 - KNTT
• Giải sgk Địa Lí 8 - KNTT
• Giải sgk Giáo dục công dân 8 - KNTT
• Giải sgk Tin học 8 - KNTT
• Giải sgk Công nghệ 8 - KNTT
• Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 8 - KNTT
• Giải sgk Âm nhạc 8 - KNTT
• Lớp 8 - Chân trời sáng tạo
• Soạn văn 8 (hay nhất) - CTST
• Soạn văn 8 (ngắn nhất) - CTST
• Giải sgk Toán 8 - CTST
• Giải sgk Khoa học tự nhiên 8 - CTST
• Giải sgk Lịch Sử 8 - CTST
• Giải sgk Địa Lí 8 - CTST
• Giải sgk Giáo dục công dân 8 - CTST
• Giải sgk Tin học 8 - CTST
• Giải sgk Công nghệ 8 - CTST
• Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 8 - CTST
• Giải sgk Âm nhạc 8 - CTST
• Lớp 8 - Cánh diều
• Soạn văn 8 Cánh diều (hay nhất)
• Soạn văn 8 Cánh diều (ngắn nhất)
• Giải sgk Toán 8 - Cánh diều
• Giải sgk Khoa học tự nhiên 8 - Cánh diều
• Giải sgk Lịch Sử 8 - Cánh diều
• Giải sgk Địa Lí 8 - Cánh diều
• Giải sgk Giáo dục công dân 8 - Cánh diều
• Giải sgk Tin học 8 - Cánh diều
• Giải sgk Công nghệ 8 - Cánh diều
• Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 8 - Cánh diều
• Giải sgk Âm nhạc 8 - Cánh diều