Nó Là Gì? Làm Thế Nào để Tìm Sin, Côsin Và Tiếp Tuyến? Giảm Xuống ...

Bài học: Sin, cosin, tiếp tuyến, cotang của một góc tùy ý

Sin, côsin của một góc tùy ý

Để hiểu các hàm lượng giác là gì, chúng ta hãy chuyển sang một đường tròn có bán kính đơn vị. Đường tròn này có tâm tại điểm gốc trên mặt phẳng tọa độ. Để xác định các hàm đã cho, chúng ta sẽ sử dụng vectơ bán kính HOẶC, bắt đầu ở tâm của vòng tròn và điểm R là một điểm trên đường tròn. Vectơ bán kính này tạo thành một góc alpha với trục Ồ. Vì hình tròn có bán kính bằng một nên HOẶC = R = 1.

Nếu từ điểm R thả vuông góc trên trục Ồ, sau đó chúng tôi nhận được một tam giác vuông với cạnh huyền bằng một.

Nếu vectơ bán kính chuyển động theo chiều kim đồng hồ, thì hướng này được gọi là từ chối, nhưng nếu nó di chuyển ngược chiều kim đồng hồ - tích cực.

Sin của một góc HOẶC, là tọa độ của điểm R vectơ trên một đường tròn.

Nghĩa là, để có được giá trị sin của một góc alpha cho trước, cần phải xác định tọa độ Tại trên bề mặt.

Làm thế nào giá trị này được thu được? Vì chúng ta biết rằng sin của một góc tùy ý trong tam giác vuông là tỉ số của chân đối diện với cạnh huyền, chúng ta nhận được rằng

Và kể từ khi R = 1, sau đó sin (α) = y 0 .

Trong vòng tròn đơn vị, giá trị thứ tự không được nhỏ hơn -1 và lớn hơn 1, có nghĩa là

Hình sin là dương trong phần tư đầu tiên và thứ hai của vòng tròn đơn vị, và âm trong phần thứ ba và thứ tư.

Cosine của một góc vòng tròn đã cho được tạo thành bởi vectơ bán kính HOẶC, là abscissa của điểm R vectơ trên một đường tròn.

Nghĩa là, để có được giá trị của cosin của một góc alpha cho trước, cần phải xác định tọa độ X trên bề mặt.

Côsin của một góc tùy ý trong tam giác vuông là tỉ số của chân kề cạnh cạnh huyền, ta nhận được điều đó

Và kể từ khi R = 1, sau đó cos (α) = x 0 .

Trong vòng tròn đơn vị, giá trị của abscissa không được nhỏ hơn -1 và lớn hơn 1, có nghĩa là

Côsin là dương trong góc phần tư thứ nhất và thứ tư của vòng tròn đơn vị, và âm ở góc thứ hai và thứ ba.

đường tiếp tuyếngóc tùy ý tỷ số giữa sin và côsin được tính.

Nếu chúng ta coi một tam giác vuông, thì đây là tỷ số của chân đối diện với chân kề. Nếu chúng ta đang nói về một đường tròn đơn vị, thì đây là tỷ lệ của hoành độ và đường tròn.

Đánh giá các mối quan hệ này, có thể hiểu rằng tiếp tuyến không thể tồn tại nếu giá trị của abscissa bằng 0, tức là ở một góc 90 độ. Tiếp tuyến có thể nhận tất cả các giá trị khác.

Tiếp tuyến có giá trị dương trong phần đầu tiên và phần ba của đường tròn đơn vị, và âm trong phần thứ hai và thứ tư.

Làm thế nào để tìm sin?

Việc nghiên cứu hình học giúp phát triển tư duy. Môn học này được đưa vào chương trình học. Trong cuộc sống, kiến ​​thức về chủ đề này có thể hữu ích - ví dụ, khi lên kế hoạch cho một căn hộ.

Từ lịch sử

Là một phần của khóa học hình học, lượng giác cũng được nghiên cứu, khám phá các hàm lượng giác. Trong lượng giác, chúng ta nghiên cứu sin, cosin, tiếp tuyến và cotang của một góc.

Nhưng bây giờ, hãy bắt đầu với đơn giản nhất - sin. Chúng ta hãy xem xét kỹ hơn khái niệm đầu tiên - sin của một góc trong hình học. Sin là gì và cách tìm nó như thế nào?

Khái niệm "sin của góc" và hình sin

Sin của một góc là tỷ số giữa các giá trị của chân đối diện và cạnh huyền của một tam giác vuông. Đây là một hàm lượng giác trực tiếp, được viết bằng chữ "sin (x)", trong đó (x) là góc của tam giác.

Trên đồ thị, sin của một góc được biểu thị bằng một hình sin với các đặc điểm riêng của nó. Hình sin trông giống như một đường lượn sóng liên tục nằm trong giới hạn nhất định trên mặt phẳng tọa độ. Hàm là số lẻ nên nó đối xứng với 0 trên mặt phẳng tọa độ (nó rời gốc tọa độ).

Miền của hàm này nằm trong khoảng từ -1 đến +1 trên hệ tọa độ Descartes. Chu kỳ của hàm góc sin là 2 Pi. Điều này có nghĩa là cứ mỗi 2 Pi thì mô hình này được lặp lại và sóng sin đi qua một chu kỳ đầy đủ.

Phương trình hình sin

• sin x = a / c
• trong đó a là chân đối diện với góc của tam giác
• c - cạnh huyền của tam giác vuông

Tính chất sin của một góc

1. sin (x) = - sin (x). Đặc điểm này chứng tỏ rằng hàm là đối xứng, và nếu các giá trị x và (-x) được đặt sang một bên trên hệ tọa độ theo cả hai hướng, thì hoành độ của các điểm này sẽ ngược nhau. Chúng sẽ ở một khoảng cách bằng nhau.
2. Một đặc điểm khác của hàm số này là đồ thị của hàm số tăng trên đoạn [- P / 2 + 2 Pn]; [P / 2 + 2Pn], với n là bất kỳ số nguyên nào. Đồ thị sin của góc giảm sẽ được quan sát trên đoạn: [P / 2 + 2 Pn]; [3P / 2 + 2Pn].
3. sin (x)> 0 khi x nằm trong khoảng (2Pn, P + 2Pn)
4. (x)< 0, когда х находится в диапазоне (-П+2Пn, 2Пn)

Giá trị của các sin của góc được xác định bằng các bảng đặc biệt. Các bảng như vậy đã được tạo ra để tạo điều kiện thuận lợi cho quá trình tính toán các công thức và phương trình phức tạp. Nó rất dễ sử dụng và chứa các giá trị của không chỉ hàm sin (x) mà còn chứa các giá trị của các hàm khác.

Hơn nữa, bảng giá trị tiêu chuẩn của các hàm này được đưa vào nghiên cứu bộ nhớ bắt buộc, giống như bảng cửu chương. Điều này đặc biệt đúng đối với các lớp có thiên hướng vật lý và toán học. Trong bảng, bạn có thể thấy giá trị của các góc chính được sử dụng trong lượng giác: 0, 15, 30, 45, 60, 75, 90, 120, 135, 150, 180, 270 và 360 độ.

Ngoài ra còn có một bảng xác định các giá trị của các hàm lượng giác của các góc không chuẩn. Sử dụng các bảng khác nhau, bạn có thể dễ dàng tính sin, cosine, tiếp tuyến và cotang của một số góc.

Phương trình được lập với các hàm lượng giác. Việc giải các phương trình này rất dễ dàng nếu bạn biết các phép đồng dạng và rút gọn lượng giác đơn giản của các hàm, chẳng hạn như sin (P / 2 + x) \ u003d cos (x) và các hàm khác. Một bảng riêng biệt cũng đã được biên soạn cho các phôi như vậy.

Cách tìm sin của một góc

Khi nhiệm vụ là tìm sin của một góc và theo điều kiện, chúng ta chỉ có cosin, tiếp tuyến hoặc cotang của góc, chúng ta có thể dễ dàng tính toán những gì chúng ta cần bằng cách sử dụng đồng dạng lượng giác.

• sin 2 x + cos 2 x = 1

Từ phương trình này, chúng ta có thể tìm được cả sin và côsin, tùy thuộc vào giá trị nào chưa biết. Chúng ta nhận được một phương trình lượng giác với một ẩn số:

• sin 2 x = 1 - cos 2 x
• sin x = ± √ 1 - cos 2 x
• ctg 2 x + 1 = 1 / sin 2 x

Từ phương trình này, bạn có thể tìm giá trị của sin, biết giá trị của cotang của góc. Để đơn giản hóa, hãy thay sin 2 x = y, và sau đó bạn có một phương trình đơn giản. Ví dụ, giá trị của cotang là 1, thì:

• 1 + 1 = 1 / năm
• 2 = 1 / năm
• 2y = 1
• y = 1/2

Bây giờ chúng tôi thực hiện thay thế ngược lại trình phát:

• sin 2 x = ½
• sin x = 1 / √2

Vì chúng tôi lấy giá trị của cotang cho góc chuẩn (45 0), các giá trị thu được \ u200b \ u200b có thể được kiểm tra so với bảng.

Nếu bạn có một giá trị tiếp tuyến, nhưng bạn cần tìm sin, một nhận dạng lượng giác khác sẽ giúp:

• tg x * ctg x = 1

Nó sau đó:

• ctg x = 1 / tg x

Để tìm sin của một góc không chuẩn, ví dụ, 240 0, bạn cần sử dụng các công thức giảm góc. Chúng ta biết rằng π tương ứng với 180 0 đối với chúng ta. Do đó, chúng ta sẽ thể hiện sự bình đẳng của mình bằng cách sử dụng các góc chuẩn bằng cách mở rộng.

• 240 0 = 180 0 + 60 0

Ta cần tìm giá trị sau: sin (180 0 + 60 0). Trong lượng giác, có những công thức rút gọn rất hữu ích trong trường hợp này. Đây là công thức:

• sin (π + x) = - sin (x)

Như vậy, sin của một góc 240 độ là:

• sin (180 0 + 60 0) = - sin (60 0) = - √3 / 2

Trong trường hợp của chúng ta, x = 60 và P, tương ứng là 180 độ. Chúng tôi tìm thấy giá trị (-√3 / 2) từ bảng giá trị của các hàm của góc chuẩn.

Bằng cách này, các góc không chuẩn có thể được phân tích, ví dụ: 210 = 180 + 30.

Sin, cosin, tiếp tuyến, cotang của một góc là gì sẽ giúp bạn hiểu được tam giác vuông.

Các cạnh của tam giác vuông được gọi là gì? Đúng vậy, cạnh huyền và chân: cạnh huyền là cạnh nằm đối diện với góc vuông (trong ví dụ của chúng ta, đây là cạnh \ (AC \)); chân là hai cạnh còn lại \ (AB \) và \ (BC \) (những cạnh tiếp giáp với góc vuông), hơn nữa, nếu chúng ta xem xét chân đối với góc \ (BC \), thì chân \ (AB \) là chân liền kề và chân \ (BC \) là đối diện. Vì vậy, bây giờ chúng ta hãy trả lời câu hỏi: sin, cosin, tiếp tuyến và cotang của một góc là gì?

Sin của một góc- đây là tỷ số của chân đối diện (xa) với cạnh huyền.

Trong tam giác của chúng ta:

\ [\ sin \ beta = \ dfrac (BC) (AC) \]

Cosine của một góc- đây là tỷ số của chân liền kề (gần) với cạnh huyền.

Trong tam giác của chúng ta:

\ [\ cos \ beta = \ dfrac (AB) (AC) \]

Góc tiếp tuyến- đây là tỷ lệ của chân đối diện (xa) với chân liền kề (gần).

Trong tam giác của chúng ta:

\ [tg \ beta = \ dfrac (BC) (AB) \]

Đường đồng mức của một góc- đây là tỷ lệ của chân liền kề (gần) và đối diện (xa).

Trong tam giác của chúng ta:

\ [ctg \ beta = \ dfrac (AB) (BC) \]

Những định nghĩa này là cần thiết nhớ! Để giúp bạn dễ dàng nhớ chân nào để chia cho cái gì, bạn cần hiểu rõ ràng rằng trong đường tiếp tuyến và cotangent chỉ có chân ngồi và cạnh huyền chỉ xuất hiện trong xoang và cô sin. Và sau đó bạn có thể nghĩ ra một chuỗi liên kết. Ví dụ, cái này:

cosin → chạm → chạm → kề;

Cotangent → chạm → chạm → liền kề.

Trước hết, cần nhớ rằng sin, cosin, tiếp tuyến và cotang là tỉ số các cạnh của tam giác không phụ thuộc vào độ dài của các cạnh này (ở một góc). Đừng tin? Sau đó, hãy chắc chắn bằng cách nhìn vào hình ảnh:

Ví dụ, hãy xem xét côsin của góc \ (\ beta \). Theo định nghĩa, từ một tam giác \ (ABC \): \ (\ cos \ beta = \ dfrac (AB) (AC) = \ dfrac (4) (6) = \ dfrac (2) (3) \), nhưng chúng ta có thể tính cosin của góc \ (\ beta \) từ tam giác \ (AHI \): \ (\ cos \ beta = \ dfrac (AH) (AI) = \ dfrac (6) (9) = \ dfrac (2) (3) \). Bạn thấy đó, độ dài của các cạnh là khác nhau, nhưng giá trị của cosin của một góc là như nhau. Do đó, các giá trị của sin, cosin, tiếp tuyến và cotang chỉ phụ thuộc vào độ lớn của góc.

Nếu bạn hiểu các định nghĩa, hãy tiếp tục và sửa chúng!

Đối với tam giác \ (ABC \), được hiển thị trong hình bên dưới, chúng tôi tìm thấy \ (\ sin \ alpha, \ \ cos \ \ alpha, \ tg \ alpha, \ ctg \ \ alpha \).

\ (\ begin (array) (l) \ sin \ \ alpha = \ dfrac (4) (5) = 0.8 \\\ cos \ \ alpha = \ dfrac (3) (5) = 0.6 \\ tg \ \ alpha = \ dfrac (4) (3) \\ ctg \ \ alpha = \ dfrac (3) (4) = 0,75 \ end (mảng) \)

Chà, bạn đã hiểu chưa? Sau đó, hãy tự mình thử: tính toán tương tự cho góc \ (\ beta \).

Câu trả lời: \ (\ sin \ beta = 0,6; \ \ cos \ \ beta = 0,8; \ tg \ beta = 0,75; \ ctg \ \ beta = \ dfrac (4) (3) \).

Vòng tròn đơn vị (lượng giác)

Hiểu các khái niệm về độ và radian, chúng ta coi một đường tròn có bán kính bằng \ (1 \). Một vòng tròn như vậy được gọi là Độc thân. Nó rất hữu ích trong việc nghiên cứu lượng giác. Do đó, chúng tôi đi sâu vào nó chi tiết hơn một chút.

Như bạn thấy, vòng tròn này được xây dựng trong hệ tọa độ Descartes. Bán kính của hình tròn bằng một, trong khi tâm của hình tròn nằm tại điểm gốc, vị trí ban đầu của vectơ bán kính được cố định dọc theo chiều dương của trục \ (x \) (trong ví dụ của chúng tôi, đây là bán kính \ (AB \)).

Mỗi điểm trên đường tròn tương ứng với hai số: tọa độ dọc theo trục \ (x \) và tọa độ dọc theo trục \ (y \). Những số tọa độ này là gì? Và nói chung, họ phải làm gì với chủ đề đang bàn? Để làm điều này, hãy nhớ về tam giác vuông cân. Trong hình trên, bạn có thể thấy hai tam giác vuông. Xét tam giác \ (ACG \). Nó là hình chữ nhật vì \ (CG \) vuông góc với trục \ (x \).

\ (\ Cos \ \ alpha \) từ tam giác \ (ACG \) là gì? Đúng rồi \ (\ cos \ \ alpha = \ dfrac (AG) (AC) \). Ngoài ra, chúng ta biết rằng \ (AC \) là bán kính của hình tròn đơn vị, do đó \ (AC = 1 \). Thay giá trị này vào công thức cosine của chúng tôi. Đây là những gì sẽ xảy ra:

\ (\ cos \ \ alpha = \ dfrac (AG) (AC) = \ dfrac (AG) (1) = AG \).

Và \ (\ sin \ \ alpha \) từ tam giác \ (ACG \) là gì? Tất nhiên, \ (\ sin \ alpha = \ dfrac (CG) (AC) \)! Thay giá trị của bán kính \ (AC \) trong công thức này và nhận được:

\ (\ sin \ alpha = \ dfrac (CG) (AC) = \ dfrac (CG) (1) = CG \)

Vậy bạn có thể cho tôi biết tọa độ của điểm \ (C \) thuộc đường tròn được không? Chà, không có cách nào? Nhưng điều gì sẽ xảy ra nếu bạn nhận ra rằng \ (\ cos \ \ alpha \) và \ (\ sin \ alpha \) chỉ là những con số? \ (\ Cos \ alpha \) tương ứng với tọa độ nào? Tất nhiên là tọa độ \ (x \)! Và tọa độ nào tương ứng với \ (\ sin \ alpha \)? Đúng vậy, tọa độ \ (y \)! Vì vậy, điểm \ (C (x; y) = C (\ cos \ alpha; \ sin \ alpha) \).

Sau đó \ (tg \ alpha \) và \ (ctg \ alpha \) là gì? Đúng vậy, chúng ta hãy sử dụng các định nghĩa thích hợp của tiếp tuyến và cotang và nhận được điều đó \ (tg \ alpha = \ dfrac (\ sin \ alpha) (\ cos \ alpha) = \ dfrac (y) (x) \), một \ (ctg \ alpha = \ dfrac (\ cos \ alpha) (\ sin \ alpha) = \ dfrac (x) (y) \).

Nếu góc lớn hơn thì sao? Đây, ví dụ, như trong hình này:

Điều gì đã thay đổi trong ví dụ này? Hãy tìm ra nó. Để làm điều này, chúng tôi một lần nữa chuyển sang một tam giác vuông. Xét tam giác vuông \ (((A) _ (1)) ((C) _ (1)) G \): một góc (như kề với góc \ (\ beta \)). Giá trị của sin, côsin, tiếp tuyến và phương trình góc là bao nhiêu \ (((C) _ (1)) ((A) _ (1)) G = 180 () ^ \ circle - \ beta \ \)? Đúng vậy, chúng ta tuân theo các định nghĩa tương ứng của các hàm lượng giác:

\ (\ begin (array) (l) \ sin \ angle ((C) _ (1)) ((A) _ (1)) G = \ dfrac (((C) _ (1)) G) (( (A) _ (1)) ((C) _ (1))) = \ dfrac (((C) _ (1)) G) (1) = ((C) _ (1)) G = y; \\\ cos \ angle ((C) _ (1)) ((A) _ (1)) G = \ dfrac (((A) _ (1)) G) (((A) _ (1)) ((C) _ (1))) = \ dfrac (((A) _ (1)) G) (1) = ((A) _ (1)) G = x; \\ tg \ angle ((C ) _ (1)) ((A) _ (1)) G = \ dfrac (((C) _ (1)) G) (((A) _ (1)) G) = \ dfrac (y) ( x); \\ ctg \ angle ((C) _ (1)) ((A) _ (1)) G = \ dfrac (((A) _ (1)) G) (((C) _ (1) )) G) = \ dfrac (x) (y) \ end (mảng) \)

Như bạn có thể thấy, giá trị sin của góc vẫn tương ứng với tọa độ \ (y \); giá trị của côsin của góc - tọa độ \ (x \); và các giá trị của tiếp tuyến và phương của các tỷ số tương ứng. Do đó, các quan hệ này có thể áp dụng cho bất kỳ phép quay nào của vectơ bán kính.

Người ta đã đề cập rằng vị trí ban đầu của vectơ bán kính là dọc theo chiều dương của trục \ (x \). Cho đến nay chúng ta đã quay vectơ này ngược chiều kim đồng hồ, nhưng điều gì sẽ xảy ra nếu chúng ta xoay nó theo chiều kim đồng hồ? Không có gì phi thường, bạn cũng sẽ nhận được một góc có kích thước nhất định, nhưng chỉ nó sẽ là tiêu cực. Do đó, khi quay vectơ bán kính ngược chiều kim đồng hồ, chúng ta nhận được góc tích cực và khi xoay theo chiều kim đồng hồ - từ chối.

Vì vậy, chúng ta biết rằng toàn bộ vòng quay của vectơ bán kính xung quanh hình tròn là \ (360 () ^ \ circle \) hoặc \ (2 \ pi \). Có thể xoay vectơ bán kính theo \ (390 () ^ \ circle \) hoặc bằng \ (- 1140 () ^ \ circle \)? Vâng, tất nhiên bạn có thể! Trong trường hợp đầu tiên, \ (390 () ^ \ circle = 360 () ^ \ circle +30 () ^ \ circle \), vì vậy vectơ bán kính sẽ thực hiện một vòng quay hoàn toàn và dừng lại ở \ (30 () ^ \ circle \) hoặc \ (\ dfrac (\ pi) (6) \).

Trong trường hợp thứ hai, \ (- 1140 () ^ \ circle = -360 () ^ \ circle \ cdot 3-60 () ^ \ circle \), nghĩa là, vectơ bán kính sẽ thực hiện ba vòng quay hoàn toàn và dừng lại ở vị trí \ (- 60 () ^ \ circle \) hoặc \ (- \ dfrac (\ pi) (3) \).

Do đó, từ các ví dụ trên, chúng ta có thể kết luận rằng các góc khác nhau bởi \ (360 () ^ \ circle \ cdot m \) hoặc \ (2 \ pi \ cdot m \) (trong đó \ (m \) là bất kỳ số nguyên nào) ứng với cùng một vị trí của vectơ bán kính.

Hình dưới đây cho thấy góc \ (\ beta = -60 () ^ \ circle \). Hình tương tự tương ứng với góc \ (- 420 () ^ \ vòng, -780 () ^ \ vòng, \ 300 () ^ \ vòng, 660 () ^ \ vòng \) vân vân. Danh sách này có thể được tiếp tục vô thời hạn. Tất cả các góc này có thể được viết bằng công thức chung \ (\ beta +360 () ^ \ circle \ cdot m \) hoặc \ (\ beta +2 \ pi \ cdot m \) (trong đó \ (m \) là bất kỳ số nguyên nào)

\ (\ begin (array) (l) -420 () ^ \ circle = -60 + 360 \ cdot (-1); \\ - 780 () ^ \ circle = -60 + 360 \ cdot (-2); \\ 300 () ^ \ circle = -60 + 360 \ cdot 1; \\ 660 () ^ \ circle = -60 + 360 \ cdot 2. \ end (array) \)

Bây giờ, khi biết định nghĩa của các hàm lượng giác cơ bản và sử dụng vòng tròn đơn vị, hãy thử trả lời các giá trị \ u200b \ u200b bằng:

\ (\ begin (array) (l) \ sin \ 90 () ^ \ circle =? \\\ cos \ 90 () ^ \ circle =? \\\ text (tg) \ 90 () ^ \ circle =? \\\ text (ctg) \ 90 () ^ \ circle =? \\\ sin \ 180 () ^ \ circle = \ sin \ \ pi =? \\\ cos \ 180 () ^ \ circle = \ cos \ \ pi =? \\\ text (tg) \ 180 () ^ \ circle = \ text (tg) \ \ pi =? \\\ text (ctg) \ 180 () ^ \ circle = \ text (ctg) \ \ pi =? \\\ sin \ 270 () ^ \ circle =? \\\ cos \ 270 () ^ \ circle =? \\\ text (tg) \ 270 () ^ \ circle =? \\\ text (ctg) \ 270 () ^ \ circle =? \\\ sin \ 360 () ^ \ circle =? \\\ cos \ 360 () ^ \ circle =? \\\ text (tg) \ 360 () ^ \ circle =? \\\ text (ctg) \ 360 () ^ \ circle =? \\\ sin \ 450 () ^ \ circle =? \\\ cos \ 450 () ^ \ circle =? \\\ văn bản (tg) \ 450 () ^ \ circle =? \\\ text (ctg) \ 450 () ^ \ circle =? \ end (mảng) \)

Đây là một vòng tròn đơn vị để giúp bạn:

Có khó khăn gì không? Sau đó, chúng ta hãy tìm ra nó. Vì vậy, chúng tôi biết rằng:

\ (\ begin (array) (l) \ sin \ alpha = y; \\ cos \ alpha = x; \\ tg \ alpha = \ dfrac (y) (x); \\ ctg \ alpha = \ dfrac (x ) (y). \ end (mảng) \)

Từ đây ta xác định được toạ độ của các điểm ứng với các số đo của góc nào đó. Vâng, hãy bắt đầu theo thứ tự: góc trong \ (90 () ^ \ circle = \ dfrac (\ pi) (2) \) tương ứng với một điểm có tọa độ \ (\ left (0; 1 \ right) \), do đó:

\ (\ sin 90 () ^ \ circle = y = 1 \);

\ (\ cos 90 () ^ \ circle = x = 0 \);

\ (\ text (tg) \ 90 () ^ \ circle = \ dfrac (y) (x) = \ dfrac (1) (0) \ Rightarrow \ text (tg) \ 90 () ^ \ circle \)- không tồn tại;

\ (\ text (ctg) \ 90 () ^ \ circle = \ dfrac (x) (y) = \ dfrac (0) (1) = 0 \).

Hơn nữa, tuân theo cùng một logic, chúng tôi phát hiện ra rằng các góc trong \ (180 () ^ \ vòng, \ 270 () ^ \ vòng, \ 360 () ^ \ vòng, \ 450 () ^ \ vòng (= 360 () ^ \ vòng +90 () ^ \ vòng tròn) \ \ ) tương ứng với các điểm có tọa độ \ (\ left (-1; 0 \ right), \ text () \ left (0; -1 \ right), \ text () \ left (1; 0 \ right), \ text () \ left (0 ; 1 \ phải) \), tương ứng. Biết được điều này, ta dễ dàng xác định được giá trị của các hàm số lượng giác tại các điểm tương ứng. Hãy tự mình thử trước, sau đó kiểm tra câu trả lời.

Câu trả lời:

\ (\ displaystyle \ sin \ 180 () ^ \ circle = \ sin \ \ pi = 0 \)

\ (\ displaystyle \ cos \ 180 () ^ \ circle = \ cos \ \ pi = -1 \)

\ (\ text (tg) \ 180 () ^ \ circle = \ text (tg) \ \ pi = \ dfrac (0) (- 1) = 0 \)

\ (\ text (ctg) \ 180 () ^ \ circle = \ text (ctg) \ \ pi = \ dfrac (-1) (0) \ Rightarrow \ text (ctg) \ \ pi \)- không tồn tại

\ (\ sin \ 270 () ^ \ circle = -1 \)

\ (\ cos \ 270 () ^ \ circle = 0 \)

\ (\ text (tg) \ 270 () ^ \ circle = \ dfrac (-1) (0) \ Rightarrow \ text (tg) \ 270 () ^ \ circle \)- không tồn tại

\ (\ text (ctg) \ 270 () ^ \ circle = \ dfrac (0) (- 1) = 0 \)

\ (\ sin \ 360 () ^ \ circle = 0 \)

\ (\ cos \ 360 () ^ \ circle = 1 \)

\ (\ text (tg) \ 360 () ^ \ circle = \ dfrac (0) (1) = 0 \)

\ (\ text (ctg) \ 360 () ^ \ circle = \ dfrac (1) (0) \ Rightarrow \ text (ctg) \ 2 \ pi \)- không tồn tại

\ (\ sin \ 450 () ^ \ circle = \ sin \ left (360 () ^ \ circle +90 () ^ \ circle \ right) = \ sin \ 90 () ^ \ circle = 1 \)

\ (\ cos \ 450 () ^ \ circle = \ cos \ \ left (360 () ^ \ circle +90 () ^ \ circle \ right) = \ cos \ 90 () ^ \ circle = 0 \)

\ (\ text (tg) \ 450 () ^ \ circle = \ text (tg) \ \ left (360 () ^ \ circle +90 () ^ \ circle \ right) = \ text (tg) \ 90 () ^ \ circle = \ dfrac (1) (0) \ Rightarrow \ text (tg) \ 450 () ^ \ circle \)- không tồn tại

\ (\ text (ctg) \ 450 () ^ \ circle = \ text (ctg) \ left (360 () ^ \ circle +90 () ^ \ circle \ right) = \ text (ctg) \ 90 () ^ \ circle = \ dfrac (0) (1) = 0 \).

Do đó, chúng ta có thể lập bảng sau:

Không cần thiết phải nhớ tất cả các giá trị này. Chỉ cần nhớ sự tương ứng giữa tọa độ của các điểm trên đường tròn đơn vị và giá trị của các hàm lượng giác là đủ:

\ (\ left. \ begin (array) (l) \ sin \ alpha = y; \\ cos \ alpha = x; \\ tg \ alpha = \ dfrac (y) (x); \\ ctg \ alpha = \ dfrac (x) (y). \ end (array) \ right \) \ text (Cần nhớ hoặc có thể xuất ra !! \) !}

Và đây là giá trị của các hàm lượng giác của các góc trong và \ (30 () ^ \ circle = \ dfrac (\ pi) (6), \ 45 () ^ \ circle = \ dfrac (\ pi) (4) \)được đưa ra trong bảng dưới đây, bạn phải nhớ:

Không cần phải sợ hãi, bây giờ chúng tôi sẽ đưa ra một trong những ví dụ về việc ghi nhớ khá đơn giản các giá trị tương ứng:

Để sử dụng phương pháp này, điều quan trọng là phải nhớ các giá trị sin \ u200b \ u200b cho cả ba số đo góc ( \ (30 () ^ \ circle = \ dfrac (\ pi) (6), \ 45 () ^ \ circle = \ dfrac (\ pi) (4), \ 60 () ^ \ circle = \ dfrac (\ pi ) (3) \)), cũng như giá trị của tiếp tuyến của góc trong \ (30 () ^ \ circle \). Biết các giá trị \ (4 \) này, việc khôi phục toàn bộ bảng khá dễ dàng - các giá trị cosine được chuyển theo các mũi tên, nghĩa là:

\ (\ begin (array) (l) \ sin 30 () ^ \ circle = \ cos \ 60 () ^ \ circle = \ dfrac (1) (2) \ \ \\\ sin 45 () ^ \ circle = \ cos \ 45 () ^ \ circle = \ dfrac (\ sqrt (2)) (2) \\\ sin 60 () ^ \ circle = \ cos \ 30 () ^ \ circle = \ dfrac (\ sqrt (3 )) (2) \ \ end (mảng) \)

\ (\ text (tg) \ 30 () ^ \ circle \ = \ dfrac (1) (\ sqrt (3)) \), biết điều này, có thể khôi phục các giá trị cho \ (\ text (tg) \ 45 () ^ \ circle, \ text (tg) \ 60 () ^ \ circle \). Tử số “\ (1 \)” sẽ khớp với \ (\ text (tg) \ 45 () ^ \ circle \) và mẫu số “\ (\ sqrt (\ text (3)) \)” sẽ khớp với \ (\ text (tg) \ 60 () ^ \ circle \). Các giá trị Cotangent được chuyển theo các mũi tên được hiển thị trong hình. Nếu bạn hiểu điều này và nhớ lược đồ có các mũi tên, thì chỉ cần nhớ các giá trị \ (4 \) từ bảng là đủ.

Tọa độ của một điểm trên đường tròn

Có thể tìm một điểm (tọa độ của nó) trên một đường tròn khi biết tọa độ tâm, bán kính và góc quay của nó không? Vâng, tất nhiên bạn có thể! Hãy suy ra một công thức tổng quát để tìm tọa độ của một điểm. Ví dụ ở đây, chúng ta có một vòng kết nối như vậy:

Chúng tôi được cho rằng điểm \ (K (((x) _ (0)); ((y) _ (0))) = K (3; 2) \) là tâm của đường tròn. Bán kính của hình tròn là \ (1,5 \). Cần phải tìm tọa độ của điểm \ (P \) thu được bằng cách xoay điểm \ (O \) theo \ (\ delta \) độ.

Như có thể thấy trong hình, tọa độ \ (x \) của điểm \ (P \) tương ứng với độ dài của đoạn \ (TP = UQ = UK + KQ \). Độ dài của đoạn \ (UK \) tương ứng với tọa độ \ (x \) của tâm đường tròn, nghĩa là nó bằng \ (3 \). Độ dài của đoạn \ (KQ \) có thể được biểu thị bằng cách sử dụng định nghĩa của cosin:

\ (\ cos \ delta = \ dfrac (KQ) (KP) = \ dfrac (KQ) (r) \ Rightarrow KQ = r \ cdot \ cos \ delta \).

Sau đó, chúng tôi có điều đó cho điểm \ (P \) tọa độ \ (x = ((x) _ (0)) + r \ cdot \ cos \ \ delta = 3 + 1,5 \ cdot \ cos \ \ delta \).

Theo cùng một logic, chúng tôi tìm giá trị của tọa độ y cho điểm \ (P \). Vì vậy,

\ (y = ((y) _ (0)) + r \ cdot \ sin \ \ delta = 2 + 1,5 \ cdot \ sin \ delta \).

Vì vậy, nói chung, tọa độ của điểm được xác định theo công thức:

\ (\ begin (array) (l) x = ((x) _ (0)) + r \ cdot \ cos \ delta \\ y = ((y) _ (0)) + r \ cdot \ sin \ \ delta \ end (mảng) \), ở đâu

\ (((x) _ (0)), ((y) _ (0)) \) - tọa độ của tâm hình tròn,

\ (r \) - bán kính vòng tròn,

\ (\ delta \) - góc quay của bán kính vectơ.

Như bạn có thể thấy, đối với vòng tròn đơn vị mà chúng ta đang xem xét, các công thức này bị giảm đáng kể, vì tọa độ của tâm bằng 0 và bán kính bằng một:

\ (\ begin (array) (l) x = ((x) _ (0)) + r \ cdot \ cos \ delta = 0 + 1 \ cdot \ cos \ delta = \ cos \ \ delta \\ y = ((y) _ (0)) + r \ cdot \ sin \ \ delta = 0 + 1 \ cdot \ sin \ \ delta = \ sin \ \ delta \ end (mảng) \)

Javascript bị tắt trong trình duyệt của bạn. Các điều khiển ActiveX phải được kích hoạt để thực hiện các phép tính!

Ví dụ:

\ (\ sin (⁡30 ^ °) = \) \ (\ frac (1) (2) \) \ (\ sin⁡ \) \ (\ frac (π) (3) \) \ (= \) \ (\ frac (\ sqrt (3)) (2) \) \ (\ sin⁡2 = 0,909… \)

Đối số và giá trị

Hình sin của một góc nhọn

Hình sin của một góc nhọn có thể được xác định bằng cách sử dụng một tam giác vuông - nó bằng tỷ số của chân đối diện với cạnh huyền.

Ví dụ :

1) Cho một góc đã cho và bạn cần xác định sin của góc này.

2) Hãy hoàn thành bất kỳ tam giác vuông nào trên góc này.

3) Sau khi đo các cạnh cần thiết, chúng ta có thể tính toán \ (sinA \).

Sin của một số

Vòng tròn số cho phép bạn xác định sin của bất kỳ số nào, nhưng thường tìm sin của các số bằng cách nào đó có liên quan đến: \ (\ frac (π) (2) \), \ (\ frac (3π) (4) \), \ (- 2π \).

Ví dụ, đối với số \ (\ frac (π) (6) \) - sin sẽ là \ (0,5 \). Và đối với số \ (- \) \ (\ frac (3π) (4) \) nó sẽ bằng \ (- \) \ (\ frac (\ sqrt (2)) (2) \) (xấp xỉ \ (-0, 71 \)).

Sine cho các số khác thường thấy trong thực tế, hãy xem.

Giá trị sin luôn nằm trong khoảng từ \ (- 1 \) đến \ (1 \). Hơn nữa, nó có thể được tính toán cho hoàn toàn bất kỳ góc và số nào.

Sine ở mọi góc độ

Nhờ vòng tròn đơn vị, có thể xác định các hàm lượng giác không chỉ của một góc nhọn mà còn cả góc tù, âm và thậm chí lớn hơn \ (360 ° \) (toàn phần). Cách thực hiện - nhìn một lần thì dễ hơn nghe \ (100 \) lần, vì vậy hãy nhìn vào hình.

Bây giờ là một lời giải thích: cần phải xác định \ (sin∠KOA \) với thước đo độ trong \ (150 ° \). Chúng tôi kết hợp điểm O với tâm của hình tròn và bên ĐƯỢC RỒI- với trục \ (x \). Sau đó, đặt sang một bên \ (150 ° \) ngược chiều kim đồng hồ. Sau đó, tọa độ của điểm NHƯNG sẽ cho chúng ta thấy \ (\ sin⁡∠KOA \).

Nếu chúng ta quan tâm đến một góc có số đo độ, ví dụ: tính bằng \ (-60 ° \) (góc KOV), chúng tôi cũng làm như vậy, nhưng \ (60 ° \) đặt sang một bên theo chiều kim đồng hồ.

Và cuối cùng, góc lớn hơn \ (360 ° \) (góc KOS) - mọi thứ tương tự như cùn, chỉ sau khi đi hết một vòng theo chiều kim đồng hồ, chúng ta đi đến vòng thứ hai và “thiếu độ”. Cụ thể, trong trường hợp của chúng tôi, góc \ (405 ° \) được vẽ bằng \ (360 ° + 45 ° \).

Có thể dễ dàng đoán rằng để dành một góc, chẳng hạn như trong \ (960 ° \\), bạn cần thực hiện hai lượt (\ (360 ° + 360 ° + 240 ° \)) và để có một góc trong \ (2640 ° \) - cả bảy.

Như bạn có thể thay thế, cả sin của một số và sin của một góc tùy ý đều được xác định theo cùng một cách. Chỉ có phương pháp tìm một điểm trên đường tròn là thay đổi.

Liên quan đến các hàm lượng giác khác:

Hàm \ (y = \ sin⁡x \)

Nếu chúng ta vẽ biểu đồ các góc theo đơn vị radian dọc theo trục \ (x \) và các giá trị sin \ u200b \ u200b tương ứng với các góc này dọc theo trục \ (y \), chúng ta sẽ nhận được đồ thị sau:

Đồ thị này được gọi là sóng hình sin và có các tính chất sau:

Miền định nghĩa là bất kỳ giá trị nào của x: \ (D (\ sin⁡x) = R \) - phạm vi giá trị - từ \ (- 1 \) đến \ (1 \) bao gồm: \ (E (\ sin⁡x) = [- 1; 1] \) - lẻ: \ (\ sin⁡ (-x) = - \ sin⁡x \) - tuần hoàn với chu kỳ \ (2π \): \ (\ sin⁡ (x + 2π) = \ sin⁡x \) - điểm giao nhau với các trục tọa độ: abscissa: \ ((πn; 0) \), trong đó \ (n ϵ Z \) trục y: \ ((0; 0) \) - khoảng ký tự: hàm số dương trên các khoảng: \ ((2πn; π + 2πn) \), trong đó \ (n ϵ Z \) hàm số âm trên các khoảng: \ ((π + 2πn; 2π + 2πn) \), trong đó \ (n ϵ Z \) - khoảng thời gian tăng và giảm: hàm tăng trên các khoảng: \ ((- \) \ (\ frac (π) (2) \) \ (+ 2πn; \) \ (\ frac (π) (2) \) \ (+ 2πn) \ ), ở đâu \ (n ϵ Z \) hàm giảm trong khoảng thời gian: \ ((\) \ (\ frac (π) (2) \) \ (+ 2πn; \) \ (\ frac (3π) (2) \) \ (+ 2πn) \) , ở đâu \ (n ϵ Z \) - cực đại và cực tiểu của hàm: hàm có giá trị lớn nhất \ (y = 1 \) tại các điểm \ (x = \) \ (\ frac (π) (2) \) \ (+ 2πn \), trong đó \ (n ϵ Z \) hàm có giá trị nhỏ nhất \ (y = -1 \) tại các điểm \ (x = - \) \ (\ frac (π) (2) \) \ (+ 2πn \), trong đó \ (n ϵ Z \ ).