Ôn Tập Toán Hình Học Lớp 9 Học Kì I | Toán Học Phổ Thông - SGK

Trang chủ » Các Dạng Toán Hình Lớp 9 Giữa Học Kì 1 » Ôn Tập Toán Hình Học Lớp 9 Học Kì I | Toán Học Phổ Thông - SGK

Có thể bạn quan tâm

Ôn tập toán hình học lớp 9 học kì 1: đường tròn – cung – dây

BÀI 1 :

Cho tam giác ABC. Đường tròn có đường kính BC cắt cạnh AB, AC lần lượt tại E, D. BD và CE cắt nhau tại H. chứng minh :

  1. AH vuông góc BC (tại F thuộc BC).
  2. FA.FH = FB.FC.
  3. bốn điểm A, E, H, D cùng nằm trên một đường tròn , xác định tâm I của đường tròn này.
  4. IE là tiếp tuyến của đường tròn (I).

Giải.

1. AH vuông góc BC :

𝛥 DBC nt (O) đường kính BC (gt)

=> 𝛥 DBC vuông tại D

=> BD  \bot CD hay BD \bot AC.

Cmtt : CE \bot  AB

Xét tam giác ABC có :

CE \bot AB (cmt) => CE đường cao thứ nhất.

BD \bot  AC (cmt) => BD đường cao thứ hai.

hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H (gt)

= > H là trực tâm của tam giác ABC

= > AH là đường cao thứ ba.

= > AH \bot BC tại F.

2. FA.FH = FB.FC :

Xét 𝛥 FAB và 𝛥 FCH, ta có :

\widehat{BFA} =\widehat{CFH} =90^0 (cmt)

\widehat{A_1} +\widehat{ABC} =90^0 (𝛥 FAB vuông tại F)

\widehat{C_1} +\widehat{ABC} =90^0 (𝛥 FAC vuông tại F)

=> \widehat{A_1}=\widehat{C_1} (1)

=> 𝛥 FAB đồng dạng  𝛥 FCH

=> \frac{FA}{FC} =\frac{FB}{FH}

=> FA.FH = FB.FC

3.A, E, H, D nằm trên đường tròn

Xét  ΔAEH vuông tại E (gt)

= > ΔAEH nội tiếp đường tròn đường kính AH (1).

Hay A, E, H nằm trên đường tròn đường kính AH(1).

Xét  ΔADH vuông tại D (gt)

= > ΔADH nội tiếp đường tròn đường kính AH

Hay A, D, H nằm trên đường tròn đường kính AH(2).

Từ (1) và (2) : A, E, H, D nằm trên đường tròn đường kính AH .

Suy ra : tâm I là trung điểm AH.

4. IE là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Xét Δ AEI, ta có : IA = IE (bán kính)

=> Δ AEI cân tại I

=> \widehat{A_1}=\widehat{E_1} (2)

Cmtt, ta được : \widehat{C_1}=\widehat{E_3} (3)

Từ (1), (2) và (3), ta được :\widehat{E_1}=\widehat{E_3}

Mà : :\widehat{E_1}+\widehat{E_2}=90^0

=> \widehat{E_3}+\widehat{E_2}=90^0

Hay : \widehat{IEO}=90^0

=> IE \bot EO tại E

Mà : E thuộc (O)

Vậy :  IE là tiếp tuyến của đường tròn (O).

—————————————————————————————-

BÀI 2 :

Trên tiếp tuyến tại điểm A của đường tròn (O; R) lấy điểm M. gọi điểm B của đường tròn (O; R) sao cho MB = MA

  1. Chứng minh : MB là tiếp tuyến của đường tròn (O; R).
  2. Cho OM = 2R. chứng minh : tam giác ABC đều. tính độ dài và các cạnh và diện tích của tam giác AMB theo R.
  3. Vẽ đường kính BE của (O). chứng minh : AE // OM.

Giải.

1. MB là tiếp tuyến của đường tròn (O; R).

Xét 𝛥AOM và 𝛥BOM, ta có :

MA = MB (gt)

OA = OB (bán kính)

OM cạnh chung.

=> 𝛥AOM = 𝛥BOM

=> \widehat{MBO} =\widehat{MAO}

Mà : \widehat{MAO}=90^0 (MA tiếp tuyến của (O))

=> \widehat{MBO} =90^0

Hay MB \bot OB tại B

Mà : điểm B của đường tròn (O; R)

Vậy : MB là tiếp tuyến của đường tròn (O; R)

2. OM = 2R :

Xét 𝛥AOM vuông tại A, ta có :

sin OMA = OA : OM = ½

=> \widehat{OMA} = 30^0

Mặt khác :  \widehat{AMB} =2\widehat{OMA} = 60^0 (tính chất hai tt cắt nhau)

Xét 𝛥ABM, ta có : MA = MB (gt)

=> 𝛥ABM cân tại M

Mà : \widehat{AMB} = 60^0 (cmt)

=> 𝛥ABM đều.

Xét 𝛥 vuông tại A, theo định lí ta có :

OM2 = MA2 + 0B2

(2R)2 = MA2 + R2

=> MA = R \sqrt{3}

Diện tích SAOM = MA2. \frac{\sqrt{3} }{2}  = \frac{3\sqrt{3}R^2 }{2} (dvdt)

3. chứng minh : AE // OM :

ta có :

MA = MB (gt)

OA = OB (bán kính)

=> MO là đường trung trực AB

=> OM \bot AB (1)

Xét 𝛥ABE nội tiếp (O), có : BE là đường kính

 => 𝛥ABE vuông tại A

=> AE \bot AB (2)

Từ (1) và (2) => AE // OM.

———————————————————————————-

Bài 3 :

Cho nữa đường tròn (O; R) có đường kính AB. tiếp tuyến tại điểm M trên nữa đường tròn lần lượt cắt hai tiếp tuyến tại A và B ở C và D.

  1. Chứng minh : AC + DB = CD.
  2. Chứng minh : tam giác COD vuông và AC.BD = R2.
  3. OC cắt AM tại E và OD cắt BM tại F. chứng minh :
    1. Tứ giác OEMF là hình chữ nhật.
    2. OE.OC = OF.OD = R2.
    3. EF \bot  BD.
    4. Chứng minh : AB là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính CD.
    5. AD cắt BC tại N. chứng minh : MM // AC.

Giải.

  1. Chứng minh : AC + DB = CD.

Ta có :

CA = CM (tính chất hai tt cắt nhau)

DB = DM (tính chất hai tt cắt nhau)

CD = CM + MD

=> AC + DB = CD.

2. tam giác COD vuông và AC.BD = R2.

Ta có :

OD là tia phân giác góc BOM (tính chất hai tt cắt nhau)

OC là tia phân giác góc COM (tính chất hai tt cắt nhau)

Mà : góc BOM và góc COM kề bù.

=> OC \bot OD tại O.

Hay 𝛥COD vuông tại O.

Trong 𝛥COD vuông tại O, có đường cao OM. hệ thức lượng :

MC.MD = OM2 = R2

Hay : AC.BD=  R2 (CA = CM và DB = DM)

3.a Tứ giác OEMF là hình chữ nhật :

Ta có :

CA = CM (cmt)

OA = OM ( bán kính)

=> CO là đường trung trực của AM

=> CO $latex $ AM tại E, EA = EM

=> \widehat{MEO} =90^0

Cmtt , ta được : \widehat{MFO} =90^0

Tứ giác OEMF, ta có :

\widehat{MEO} =\widehat{MFO}=\widehat{FOE}=90^0 (cmt)

=> Tứ giác OEMF là hình chữ nhật.

Trong 𝛥COM vuông tại M, có đường cao ME. hệ thức lượng :

OC. OE = OM2 = R2

Cmtt : OD. OF = OM2 = R2

=> OE.OC = OF.OD = R2.

EF \bot  BD.

Xét 𝛥ABM, ta có :

EA = EM (cmt)

FB = FM (cmt)

=> EF là đường trung bình

=> EF // AB

Mà AB \bot BD (tính chất tt)

=> EF \bot BD.

4. AB là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính CD.

trong 𝛥COD vuông tại O (cmt)

=> 𝛥COD nội tiếp đường tròn (I) đường kính CD

=> IC = ID.

Mặt khác : CA // BD (cùng vuông góc AB)

=>Tứ giác ABDC là hình thang.

Xét hình thang ABDC, ta có :

IC = ID (cmt)

OA = OB (AB là đường kính (O))

=> IO là đường trung bình

=> IO // CA

Mà CA \bot AB

=> IO \bot AB tại O

Mà : điểm O thuộc (I)

=> AB là tiếp tuyến của (I) đường kính CD

5. NM // AC

Ta có :

AC // BD (cmt)

=> \frac{NA}{AC} = \frac{ND}{BD} (định lí talet thuận)

MÀ : CA = CM và DB = DM (cmt)

=> \frac{NA}{CM} = \frac{ND}{MD}

=> NM // AC (định lí talet đảo)

==============================================

BÀI TẬP RÈN LUYỆN :

Xem bài giải : giasutoan

BÀI 1 ( 3,5 điểm) :

Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, kẻ hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H.

  1. Chứng minh bốn điểm A, E, H, D cùng thuộc một đường tròn . xác định tâm I của đường tròn đó.
  2. Chứng minh AH vuông góc BC.
  3. Cho góc A = 600, AB = 6cm. tính BD.
  4. Gọi O là trung điểm của BC. Chứng minh OD là tiếp tuyến của đường tròn (I).

Bài 2 ( 4 điểm) :

Cho đường tròn (O;R), đường kính AB. Lấy điểm C tùy ý trên cung AB sao cho AB < AC.

a)      Chứng minh tam giác ABC vuông.

b)      Qua A vẽ tiếp tuyến (d) với đường tròn (O), BC cắt (d) tại F. Qua C vẽ tiếp tuyến (d’) với đường tròn (O), (d’) cắt (d) tại D. Chứng minh : DA  =DF.

c)      Hạ CH vuông góc AB (H thuộc AB), BD cắt CH tại K. Chứng minh K là trung điểm CH.

d)     Tia AK cắt DC tại E. Chứng minh EB là tiếp tuyến của (O) , suy ra  OE // CA.

Bài 3 :

Cho đường tròn (O;R) và điểm A nằm ngoài đường tròn sao cho OA = 2R . Vẻ các tiếp tuyến AB ; AC với (O) ( B ; C là các tiếp điểm )

a) C/m: Tam giác ABC đều

b) Từ O kẻ đường vuông góc vớiOBcắt AC tại  S . C/m : SO = SA

c) Gọi I là trung điểm của OA . C/minh SI là tiếp tuyến của (O)

d) Tính độ dài SI theo R

Bài 4 : (4 đ)

Cho đường tròn (O;R) đường kính AB.H là trung điểm của OB.Qua H vẽ dây CD vuông

góc vơi AB.

a)    Chứng minh tam giác OCB đều.

b)    Tính đô dài AC và CH theo R.

c)    Tiếp tuyến tại C và D cắt nhau ở I.Chứng tỏ 3 điểm O,B,I thẳng hàng và

       4HB.HI = 3R2

d)    Đường vuông góc với AD kẻ từ H cắt CB ở E.OE cắt CI tại K.Chứng minh KB

      là tiếp tuyến của (O) và B là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ICD.

Bài 5 : (3,5 điểm)

Từ một điểm A ở ngoài (O; R), kẻ tiếp tuyến AB với (O) (B là tiếp điểm). Đường thẳng qua B và vuông góc với AO tại H cắt (O) tại C. Vẽ đường kính BD của (O).

a) Chứng minh ΔBCD vuông.

b) Chứng minh AC là tiếp tuyến của (O).

c) Chứng minh DC. AO = 2R2 .

d) Biết OA = 2R. Tính diện tích ΔBCK theo R.

Bài 5.

Từ một điểm M ở ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến MA và MB (A và B là hai tiếp điểm),OMcắt AB tại H.

1)    Chứng minh H là trung điểm của AB.

2)    Trên đường thẳng AB lấy điểm N (với A nằm giữa B và N). Từ M kẻ một đường thẳng vuông góc với ON tại K và cắt AB tại I. Chứng minh 5 điểm O, K, A, M, B cùng nằm trên một đường tròn.

3)    Chứng minh : NA.NB = NI.NH

4)    Tia MK cắt đường tròn (O) tại C và D (với C nằm giữa M và D). Chứng minh NC và ND là hai tiếp tuyến của đường tròn (O).

bài 6 : (3,5đ)

Cho điểm M nằm ngoài đường tròn (O;R) vớiOM= 2R từ M kẻ hai tiếp tuyến MA,MB (A,B là hai tiếp điểm)

a)      Chứng minhOM┴ AB. Tính MA theo R.

b)      Đường thẳng vuông góc OA tại O cắtMBtạiI.chứng minh ∆MOI cân.

c)      Gọi H là giao điểm củaOMvới cung nhỏ AB, tia IH cắt MA tại J.

Chứng minh tứ giác OIMJ là hình thoi.

d)     Tính diện tích AJIB theo R.

BÀI 7 :

Cho điểm M nằm ngoài đường tròn (O;R) vớiOM= 2R từ M kẻ hai tiếp tuyến MA,MB (A,B là hai tiếp điểm)

e)      Chứng minhOM┴ AB. Tính MA theo R.

f)       Đường thẳng vuông góc OA tại O cắtMBtạiI.chứng minh ∆MOI cân.

g)      Gọi H là giao điểm củaOMvới cung nhỏ AB, tia IH cắt MA tại J.

Chứng minh tứ giác OIMJ là hình thoi.

h)      Tính diện tích AJIB theo R.

Chia sẻ:

  • Facebook
  • X
Thích Đang tải...

Có liên quan

Từ khóa » Các Dạng Toán Hình Lớp 9 Giữa Học Kì 1