Output Của Bài Toán Tìm ước Chung Lớn Nhất Của Hai Số Nguyên ...

Nội dung chính Show

• Example2 Input: 2 20 Output: 14
• Example3 Input: 3 5 Output: -1 Giải thích ví dụ: - Ở ví dụ thứ nhất: Chỉ có cặp (2, 10) thỏa mãn ƯCLN(2,10) = 2, BCNN(2,10) = 10. Nên tổng là 12. - Ở ví dụ thứ hai: Có hai cặp (2, 20) và (4, 10) thỏa mãn, tổng nhỏ nhất là 14. - Ở ví dụ thứ ba: Không tìm được cặp nào thỏa mãn ƯCLN là 3 và BCNN là 5.
• Các thuật toán tìm ước chung lớn nhất
• Cách 1. Tìm UCLN sử dụng phép trừ
• Cách 2. Tìm UCLN sử dụng phép chia dư
• Cách 3. Tìm UCLN sử dụng giải thuật Euclid
• Cách 4. Tìm UCLN sử dụng hàm có sẵn của C++
• Video liên quan

Với hai số nguyên dương A, B cho trước. Ta dễ dàng tìm được ước chung lớn nhất G và bội chung nhỏ nhất L của hai số A và B.

Bây giờ chúng ta hãy xét bài toán ngược của bài toán trên:

“Cho biết trước ước chung lớn nhất G và bội chung nhỏ nhất L của hai số nguyên dương A và B.

Rõ ràng, sẽ có rất nhiều cặp (A, B) nguyên dương có ước chung lớn nhất là G và bội chung nhỏ nhất là L, tuy nhiên cũng có trường hợp chúng ta không thể tìm được giá trị A, B thỏa mãn. Hãy xác định giá trị nhỏ nhất của tổng A + B, hoặc đưa ra   -1 nếu không tìm được cặp (A, B)”.

Input

• Hai số nguyên dương G và L (1 ≤ G ≤ L ≤ 109).

Output

• Số nguyên dương là tổng nhỏ nhất có thể. Trong trường hợp không tìm được hai số A và B thì đưa ra kết quả là -1.

Example1

Input: 2 10 Output: 12

Example2 Input: 2 20 Output: 14

Example3 Input: 3 5 Output: -1 Giải thích ví dụ: - Ở ví dụ thứ nhất: Chỉ có cặp (2, 10) thỏa mãn ƯCLN(2,10) = 2, BCNN(2,10) = 10. Nên tổng là 12. - Ở ví dụ thứ hai: Có hai cặp (2, 20) và (4, 10) thỏa mãn, tổng nhỏ nhất là 14. - Ở ví dụ thứ ba: Không tìm được cặp nào thỏa mãn ƯCLN là 3 và BCNN là 5.

86 / 100

Trong bài viết này tôi sẽ cùng các bạn tìm hiểu về các thuật toán tìm ước chung lớn nhất của hai số nguyên và minh họa code bằng ngôn ngữ C/C++.

Định nghĩa ước chung lớn nhất

Ước chung lớn nhất (GCD – Greatest Common Divisor) của 2 số nguyên a và b là số nguyên lớn nhất d thỏa mãn tính chất cả a và b đều chia hết cho d.

Các thuật toán tìm ước chung lớn nhất

Dưới đây là một số cách thường được sử dụng để giải quyết bài toán tìm ước chung lớn nhất của hai số.

Cách 1. Tìm UCLN sử dụng phép trừ

Đây là sơ đồ của thuật toán này

Thuật toán tìm ước chung lớn nhất sử dụng phép trừ

Code minh họa

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

// Code from https://nguyenvanhieu.vn intgcd(inta,intb){     // Nếu a = 0 => ucln(a,b) = b     // Nếu b = 0 => ucln(a,b) = a     if(a==0||b==0){         returna+b;     }     while(a!=b){         if(a>b){             a-=b;// a = a - b         }else{             b-=a;         }     }     returna;// return a or b, bởi vì lúc này a và b bằng nhau }

Giải thích:

Tại mỗi bước lặp nó sẽ kiểm tra giá trị hiện tại của a và b xem thằng nào lớn hơn. Ví dụ với hai số a = 7, b = 5 L1: a > b => a = 2, b = 5 L2: b > a => a = 2, b = 3 L3: b > a => a = 2, b = 1 L4: a > b => a = 1, b = 1 L5: a == b => trả về a hoặc b đều được => KQ là 1

Xem thêm: Các chia sẻ hay được đúc kết từ kinh nghiệm của tác giả

Cách 2. Tìm UCLN sử dụng phép chia dư

Sơ đồ thuật toán tương tự như cách 1. Chỉ thay đổi phép trừ sang phép chia dư.

Code minh họa

// Code from https://nguyenvanhieu.vn intgcd(inta,intb){     // Lặp tới khi 1 trong 2 số bằng 0     while(a*b!=0){         if(a>b){             a%=b;// a = a % b         }else{             b%=a;         }     }     returna+b;// return a + b, bởi vì lúc này hoặc a hoặc b đã bằng 0. }

Cách 3. Tìm UCLN sử dụng giải thuật Euclid

Cho a, b là hai số nguyên (giả sử a ≥ b), để tìm ước chung lớn nhất của hai số a và b ta cần thực hiện chia a cho b được thương q và số dư r (r ≥ 0) tức là a = b*q + r, khi đó ta có:

Cài đặt thuật toán sử dụng đệ quy.

// Code from https://nguyenvanhieu.vn intgcd(inta,intb){     if(b==0)returna;     returngcd(b,a%b); }

Cài đặt khử đệ quy

// Code from https://nguyenvanhieu.vn intgcd(inta,intb){     inttmp;     while(b!=0){         tmp=a%b;         a=b;         b=tmp;     }     returna; }

Gợi ý: Một số bài viết về giải thuật tương tự

Cách 4. Tìm UCLN sử dụng hàm có sẵn của C++

Để có thể sử dùng hàm tìm ucln trong C++ ta cần thêm thư viện algorithm.

Ví dụ minh họa:

// Code from https://nguyenvanhieu.vn #include #include intmain(){     inta=5,b=9;     printf("\ngcd(%d, %d) = %d",a,b,std::__gcd(a,b)); }

Tổng kết tất cả cách cách trên trong 1 chương trình.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61

// Code from https://nguyenvanhieu.vn #include #include intgcd1(inta,intb){     // Nếu a = 0 => ucln(a,b) = b     // Nếu b = 0 => ucln(a,b) = a     if(a==0||b==0){         returna+b;     }     while(a!=b){         if(a>b){             a-=b;// a = a - b         }else{             b-=a;         }     }     returna;// return a or b, bởi vì lúc này a và b bằng nhau } intgcd2(inta,intb){     // Nếu a = 0 => ucln(a,b) = b     // Nếu b = 0 => ucln(a,b) = a     if(a==0||b==0){         returna+b;     }     // Lặp tới khi 1 trong 2 số bằng 0     while(a*b!=0){         if(a>b){             a%=b;// a = a % b         }else{             b%=a;         }     }     returna+b;// return a + b, bởi vì lúc này hoặc a hoặc b đã bằng 0. } intgcd3(inta,intb){     if(b==0)returna;     returngcd3(b,a%b); } intgcd4(inta,intb){     inttmp;     while(b!=0){         tmp=a%b;         a=b;         b=tmp;     }     returna; } intmain(){     inta=5,b=9;     printf("\ngcd1(%d, %d) = %d",a,b,gcd1(a,b));     printf("\ngcd2(%d, %d) = %d",a,b,gcd2(a,b));     printf("\ngcd3(%d, %d) = %d",a,b,gcd3(a,b));     printf("\ngcd4(%d, %d) = %d",a,b,gcd4(a,b));     printf("\ngcd5(%d, %d) = %d",a,b,std::__gcd(a,b)); }

Kết quả chạy thử

gcd1(5,9)=1 gcd2(5,9)=1 gcd3(5,9)=1 gcd4(5,9)=1 gcd5(5,9)=1

Trên đây tôi đã trình bày chi tiết về các thuật toán tìm ước chung lớn nhất của hai số. Nếu bạn đọc quan tâm hay có thắc mắc gì. Vui lòng để lại ở bình luận phía cuối bài viết.

Nếu bạn quan tâm đến tìm BCNN của 2 số, vui lòng chuyển qua bài viết tìm BCNN của 2 số nhé.