[PDF] 7. VİSKOZ ( SÜRTÜNMELİ ) AKIŞLAR

Search

• Categories
• Top Downloads
• Login
• Register
Search

• Home
• 7. VİSKOZ ( SÜRTÜNMELİ ) AKIŞLAR

7. VİSKOZ ( SÜRTÜNMELİ ) AKIŞLAR April 14, 2017 | Author: Berna Çalık | Category: N/A DOWNLOAD PDF (810.1KB) Share Embed Donate Report this link

Short Description

1 Tüm aın haklaı Doç. D. Bülent Yeşilata a aitti. İinsi çoğaltılama. III/ 7. İSKOZ ( SÜT&Uu...

Description

© Tüm yayın hakları Doç. Dr. Bülent Yeşilata’ya aittir. İzinsiz çoğaltılamaz. 7. VİSKOZ ( SÜRTÜNMELİ ) AKIŞLAR 7.1. Giriş Bir akışta viskozite etkisi önemli ise bu akış ‘viskoz (sürtünmeli) akış’ adını alır. Akışkan viskozitesinden dolayı, yüzey ile akışkan arasında bir hız (hidrodinamik) sınır tabakası oluşur. Viskoz akışlarda, akışın karakterine bağlı olarak iki tür akış bölgesi/ türü söz konusudur. Laminar akışta, akış yapısı, akış tabakalarının hareketi ile tanımlanır. Komşu tabakalar birbirlerine karışmaz ve tek bir çizgi halinde hareket ederler. Türbülanslı akışta ise, akış yapısı rastgele üç boyutta hareket eden partiküllerle tanımlanır. Hız dalgalanmaları nedeniyle tabakalar arası momentum transferi söz konusudur. Bu bölümde viskoz ve laminar akışlar göz önüne alınmakta ve analitik çözümü yapılabilen bazı akış problemlerinin çözüm aşamaları açıklanmaktadır. 7.2. Viskoz akışlarda Navier-Stokes Denklemleri Sürtünmesiz akışlar için türetilen denklemde ihmal edilen viskoz kuvvet etkileri göz önüne alındığında, sürtünmeli akış denklemleri ortaya çıkar. Newtonyan akışkanlar için viskoz kuvvetleri ile deformasyon arasında ilişki lineer olup, stres-deformasyon ilişkisi momentum denklemine uygulanır ve gerekli işlemler yapılırsa; ~ DV ~ ~ ~ ρ = −∇P + ρg~ + µ∇ 2V Dt denklemi elde edilir. Bu denklem sistemi daha önce belirildiği üzere, Navier – Stokes hareket denklemleri olarak adlandırılır. İki boyutlu bir akışta Navier – Stokes denklemleri kartezyen koordinatlar için (x ve y yönleri için), ρ  ∂ 2u ∂ 2u  ∂P Du =− + ρg x + µ  2 + 2   ∂x ∂x Dt ∂y    ∂ 2v ∂ 2v  ∂P Dv =− + ρg y + µ  2 + 2  ρ  ∂x ∂y Dt ∂y   şeklindedir. Silindirik koordinatlarda ise (r ve θ yönleri için),  1 ∂  ∂v r  v r Dv r ∂P 1 ∂ 2 vr 2 ∂vθ  =− + ρg r + µ  − ρ r − 2 + 2  ∂r Dt r ∂θ 2 r 2 ∂θ   r ∂r  ∂r  r ρ  1 ∂  ∂vθ  vθ Dvθ 1 ∂P 1 ∂ 2 vθ 2 ∂v r  =− + ρgθ + µ  + r − 2 + 2  Dt r ∂θ r ∂θ 2 r 2 ∂θ   r ∂r  ∂r  r III/1 © Tüm yayın hakları Doç. Dr. Bülent Yeşilata’ya aittir. İzinsiz çoğaltılamaz. olarak verilir. Bu denklemlerde iki hız bileşeni ve basınç bilinmeyen büyüklükler olup, bilinmeyenlerin bulunması için ilave bir denkleme daha ihtiyaç vardır. Bu nedenle kartezyen ve silindirik koordinatlar için aşağıda verilen süreklilik denklemi kullanılmaktadır: ∂u ∂v + =0 ∂x ∂y ∂ (rVr ) + ∂ (Vθ ) = 0 ∂θ ∂r 7.3. Hız (hidrodinamik) sınır tabakası ve tam gelişmiş akış kavramı Viskoz akışlarda, akışkan viskozitesinden dolayı katı yüzeyde bir yapışma, yani akış hızının sıfır olması söz konusudur. Katı yüzeyden uzaklaştıkça hızın sıfır değerinden, serbest akış hızı değerine ulaştığı bir tabaka mevcut olup, bu tabaka ‘hız sınır tabakası’ olarak adlandırılır. Sınır tabakası kavramına örnek olmak üzere; Şekil 7.1’de düz levha üzeri (laminar) bir akışta hız sınır tabakasının, levha uzunluğu boyunca nasıl geliştiği gösterilmiştir. Levhanın ‘ U ∞ ’ sabit hızıyla akan bir akışkan içine konulması halinde, levhaya değen parçacıkların hızı, yapışma sonucu sıfır olur. Böylece cidara yakın yerlerde hızın, sıfırdan U ∞ değerine ulaştığı ince bir tabaka oluşur. Bu tabakaya 1904 de Prandtl tarafından hidrodinamik sınır tabaka ismi verilmiştir. Levhanın ucunda sıfır olan sınır tabaka kalınlığı akış (x) yönünde giderek artar. y x Şekil 7.1 Düz levha üzeri (laminer) akışta sınır tabakanın gelişimi Düz yüzeyli levha için yerel Reynold sayısı: Re x = U∞x v ve kritik Reynold Sayısı, (Re x )kr ≅ 5 *10 5 olduğundan, akış III/2 © Tüm yayın hakları Doç. Dr. Bülent Yeşilata’ya aittir. İzinsiz çoğaltılamaz. Re x < 5 *10 5 ⇒ Laminar Re x > 5 *10 5 ⇒ Turbulans olacaktır. Laminar akışta hız sınır tabakası kalınlığının hesabında; δ (x ) = 5x Re x denklem kullanılmaktadır. Denklemden anlaşılacağı üzere; levha üzerinde artan ‘x’ mesafesi ile sınır tabakası kalınlığı da artmış olacaktır. Viskoz etkiden dolayı yüzey üstü (harici) akışlarda akış yönünde gelişen sınır tabaka kalınlığı, kanal içi (dahili) akışlarda; Şekil 7.2’de gösterildiği üzere, kanal girişinden itibaren her iki cidarda simetrik olarak gelişir. Her iki yönden gelişen sınır tabakaların merkezde birleşiminden itibaren, kanal içerisinde akış tamamen viskoz etkiler altında kalır. Akış bu noktadan itibaren hidrodinamik yönden ‘tam gelişmiş akış’ olarak adlandırılır. Şekil 7.2. Kanal içi akışlarda hidrodinamik sınır tabaka gelişimi ve tam gelişmiş akış bölgesi Şekilde gösterilen ‘D’ çapına sahip dairesel boru içerisindeki akış için; ‘ u m ’ ortalama hız ve m& = ρ .u m A akış debisi olmak üzere, Reynold sayısı, Re D = ρ .u m D µ şeklinde verilir. Kritik Reynolds sayısı ise, (Re D ) kr ≅ 2300 olduğundan akış, Re D ≤ 2300 Laminar Re D > 2300 Turbulans III/3 © Tüm yayın hakları Doç. Dr. Bülent Yeşilata’ya aittir. İzinsiz çoğaltılamaz. şeklindedir. Boru içi laminar akışta; kanal girişinden itibaren tam gelişmiş bölgeye ulaşma mesafesi, x h ≅ 0.05 D Re D eşitliği ile hesaplanabilmektedir. Tam gelişmiş akış bölgesinin en önemli özelliklerinden bir hız profilinin, Şekil 7.3’de gösterildiği gibi, akış yönünde aynı kalmasıdır. aynı hız profili akış yönü Şekil 7.3. Tam gelişmiş bölgede akış yönünde hız profilinin aynı kalma özelliği 7.4.Temel viskoz akışlar ve analitik çözümleri Viskoz akışlarda çözümler genellikle zor ve karmaşık sayısal teknikler gerektirmektedir. Ancak bazı basit geometrilerdeki akışların analitik çözümleri mevcut olup, bu çözümlere ulaşmada; tam gelişmiş, laminar, bir-boyutlu ve kararlı akış varsayımları uygulanır. Bazı temel akışlar ve çözüm aşamaları aşağıda verilmiştir. 7.4.1. Hareketsiz (sabit) ve paralel yüzeyler arasında akış Şekil 7.4. Sabit paralel yüzeyler arasında akış v = w = 0, g x = g z = 0, g y = −g Süreklilik Denklemi ∂v ∂u ∂v ∂u + =0→ =0⇒ = 0 → u = f ( y) ∂x ∂y ∂y ∂x III/4 © Tüm yayın hakları Doç. Dr. Bülent Yeşilata’ya aittir. İzinsiz çoğaltılamaz. x-yönü momentum denklemi     2  ∂ u ∂ 2u   ∂u ∂u ∂u  ∂P ρ + u + v  = − + ρg x + µ  2 + 2  ∂t { ∂x { ∂y  ∂x { ∂x ∂y  { 0 { 0 0 0   0   − ∂P ∂ 2u +µ 2 =0 ∂x ∂y y-yönü momentum denklemi      ∂ 2v ∂ 2v   ∂v ∂v ∂v  ∂P − ρg + µ  2 + 2  ρ + u + v  = − ∂ ∂ ∂ ∂ t x y y ∂x ∂y   { { { {  0 {  0 0   0   0 − ∂P − ρg = 0 ⇒ P = − ρgy + c1 ( x ) ∂y Momentum denkleminden; d 2u 2 = 1 ∂P µ ∂x dy du 1 ∂P = y + c1 dy µ ∂x u( y) = 1 ∂P 2 y + c1 y + c 2 2µ ∂x hız profiline ulaşır. Not (1): ∂P / ∂x terimi x’in bir fonksiyonu olmadığından sabit olarak alınabilir. Sınır Koşulları: u = 0 → m h ⇒ c1 = 0 ve c 2 = − 1 ∂P 2 h 2 µ ∂x Hız dağılımı: u= 1  ∂P  2 2   y −h 2 µ  ∂x  ( ) Hacimsel debi: +h 2h 3 ∂P ~ ~ V& = ∫ V .dA = ∫ u.dy = − 3µ ∂x A −h Not (2): ∂P ∂P ∆P terimi negatif işaretli olup, l uzaklığındaki iki nokta arasında − olarak = ∂x ∂x l yazılabilir. Bu durumda; III/5 © Tüm yayın hakları Doç. Dr. Bülent Yeşilata’ya aittir. İzinsiz çoğaltılamaz. 2h 3 ∆P V& = 3µ l elde edilir. Ortalama hız ve maksimum Hız: h 2 ∆P V& = u (2h.1) ⇒ u = 3µ l y = 0 ⇒ u ( y ) = u max = − h 2  ∂P  h 2 ∆P 3 = u  = 2 µ  ∂x  2 µl 2 Kayma gerilmesi: τ xy = µ ∂u ∂P ∆P y=− y = l ∂y ∂x Elde edilen sonuçlar doğrultusunda, hız ve kayma gerilmesi profillerinin şematik görüntüsü Şekil 7.5’de gösterilmiştir. Şekil 7.5. Sabit paralel yüzeyler arasında akış için hız ve kayma gerilmesi profilleri 7.4.2. Üst yüzeyi hareketli iki levha arası akış (Couette akışı) Şekil 7.5. Üst yüzeyi hareketli iki levha arası akış III/6 © Tüm yayın hakları Doç. Dr. Bülent Yeşilata’ya aittir. İzinsiz çoğaltılamaz. Momentum ve süreklilik denklemi bir önceki kısımda uygulandığı şekliyle; sabit paralel levha arasındaki akış ile aynı aşamaları içerir ve ortaya çıkan genel hız profili aşağıda verildiği gibi aynıdır. Değişiklik sınır koşullarında oluşur. u( y ) = 1 ∂P 2 y + c1 y + c 2 2µ ∂x Sınır koşulları: y=0 u=0 ⇒ c2 = 0 y=b u =u ⇒ c1 = u=u ( 1 1 ∂P 2  u− b  b 2µ ∂x  ) y b 2  ∂P  2 y b 2  ∂P  y  y +   y − by = u +   − 1 b 2 µ  ∂x  b 2µ  ∂x  b  b Hız profili denklemdeki basınç gradyanı terimine bağlı olacaktır. Şekil 7.6’da basınç gradyanının, (∂P ∂x = 0); (∂P ∂x > 0) ve (∂P ∂x < 0) durumları için çizilen hız profilleri gösterilmiştir. Şekil 7.6. Üst yüzeyi hareketli iki levha arası akışta farklı basınç gradyanları için hız profilleri ( Şekil 7.6’da gösterilen üç farklı durum içerisinde en basit durum; ∂P ∂x ) = 0 olması durumudur. ‘Basit Couette Akış’ olarak adlandırılan bu durumda hesaplamalar aşağıdaki şekilde sonuçlanır: Hız dağılımı: u( y ) = u y b Hacimsel debi: y2 V& = ∫ u ( y )dy = u 2b III/7 © Tüm yayın hakları Doç. Dr. Bülent Yeşilata’ya aittir. İzinsiz çoğaltılamaz. Ortalama hız ve maksimum hız: V& y2 =u =u 2 b 2b y = b ise u max = u Kayma gerilmesi ve dağılımı: τ xy = µ ∂u u = µ ∂y b Kayma gerilmesi denklemden anlaşılacağı üzere; kesit boyunca sabit bir değere sahip olacaktır. ‘Basit Couette Akış’ için elde edilen hız profili ile kayma gerilmesi dağılımı Şekil 7.7’de; bu akışa ait bazı uygulama örnekleri ise şematik olarak Şekil 7.8’de gösterilmektedir. Şekil 7.7. Basit Couette akış için hız ve kayma gerilmesi profilleri Şekil 7.7. Basit Couette akışa ait bazı ugulama örnekleri III/8 © Tüm yayın hakları Doç. Dr. Bülent Yeşilata’ya aittir. İzinsiz çoğaltılamaz. 7.4.3 Dairesel kesitli borularda akış Şekil 7.8. Dairesel kesitli akışta koordinatların gösterimi Süreklilik denklemi: v r = vθ = 0 ⇒ ∂v z =0 ∂z Akış aksimetrik olduğundan, süreklilik denkleminden elde edilen sonuç, hızın sadece yarıçap yönünde değiştiğini ifade etmektedir. Yani; v z = v z (r ) şeklindedir. Navier – Stokes denklemi: Yerçekimi ivmesinin bileşenleri; g r = − g sin θ ve gθ = − g cosθ olmak üzere, 0 = − ρg sin θ − ∂P ∂r 0 = − ρg cosθ − 1 ∂P r ∂θ 0=−  1 ∂  ∂v z ∂P + µ r ∂z  r ∂r  ∂r    (r) yönündeki NS denkleminden, P = − ρgr sin θ + f1 (z ) = − ρgy + f1 ( z ) P = P(z ) (z) yönündeki NS denkleminden; v z (r ) = 1  ∂P  2  r + c1 ln r + c 2 4µ  ∂z  elde edilir. III/9 © Tüm yayın hakları Doç. Dr. Bülent Yeşilata’ya aittir. İzinsiz çoğaltılamaz. Hız dağılımı: Yukarıdaki denkleme, r=R’de vz=0 ve r=0’da dvz/dz=0 sınır şartları uygulanarak aşağıdaki hız profili elde edilir: v z (r ) = ( 1  ∂P  2 2  r −R 4µ  ∂z  ) Hacimsel debi: πR 4  ∂P  πR 4 ∆P Q = ∫ (2πrdr ).v z (r ) = −  = 8µ  ∂z  8µ l 0 R Ortalama hız ve maksimum hız: V = Q πR 2 v max = v r = R 2 ∆P 8µl r =0 = R 2 ∆P = 2V 4µl 7.4.4. Halkasal kesitli borularda akış Şekil 7.9. Halka kesitli akışta koordinatların gösterimi Hız dağılımı: Halka kesitli akışlar için; dairesel kesitli borular için çıkarılan bağıntılarda hız dağılımı aynı kalır, fakat sınır şartların aşağıdaki gibi değişir: r = r0 ⇒ v z = 0 r = ri ⇒ v z = 0 Mevcut sınır şartlarının uygulanmasıyla, hız profili için,   2 2  r r − 1  ∂P  2 r 2 0 i vz = ln    r − r0 + r 4 µ  ∂z   ln 0  r0     ri  denklemine ulaşılır. III/10 © Tüm yayın hakları Doç. Dr. Bülent Yeşilata’ya aittir. İzinsiz çoğaltılamaz. Hacimsel debi:  ( ) 2  r0 2 − ri 2  π∆P  4 4 Q= (r0 − ri ) −  r0   8µl   ln    ri   Ortalama hız ve maksimum hız: V = Q πR 2 = R 2 ∆P 8µl Maksimum hızı veren yarıçap değeri,    r0 2 − ri 2  ∂v z = 0 ⇒ rm =   ∂r  2 ln r0    ri    1/ 2 denklemi ile belirlenerek, hız dağılım denkleminde, v max = v z (rm ) şeklinde yerine konularak bulunur. III/11 © Tüm yayın hakları Doç. Dr. Bülent Yeşilata’ya aittir. İzinsiz çoğaltılamaz. 7.5. Boru ve kanallarda sürtünmeli akış kayıpları Bir boru hattı boyunca akan viskoz bir akışkan, boru cidarlarındaki sürtünme direnci veya bağlantı noktalarında akışta meydana gelen karışmalar nedeniyle basınç kaybına uğrar. Bu kayıplar iki ana başlık altında toplanabilir: a) Sürekli Kayıplar (temel akış kaybı, HA) b) Yerel Kayıplar (bağlantı elemanları kaybı, HB) Bu kayıpların toplamı; yani toplam basınç kaybı; Şekil 7.10’da gösterilen iki nokta arasındaki enerji seviyesi farkıdır. Toplam basınç kaybı (HT), Bernouilli denkleminin, 2 2  P1     + α V1 + gz  −  P2 + α V2 + gz  = H 1 1 2 2 T ρ   ρ  2 2     şeklinde yazılmasıyla bulunur. Şekil 7.10. Boru hattı boyunca toplam basınç kaybı için seçilen referans noktalar 7.5.1. Temel akış kaybı ya da sürekli kayıplar (HA) Gerçek sıvıların boru içindeki hareketinde oluşan yük kaybı, akıma ters yöndeki sürtünme kuvvetlerinin neden olduğu, enerji kaybının birim kütleye düşen değeridir. Sürtünme etkisi Şekil 7.11’ de gösterildiği üzere; laminar ve türbülanslı akış için boru kesiti boyunca farklı hız profillerinin olşmasına sebep olmaktadır. Borulardaki akıma Bernoulli denklemini uygulayabilmek için HA’ nın belirlenmesi gerekir. Tam gelişmiş bölgede yatay bir boru/kanal içerisindeki akış söz konusu olduğunda; V12 V2 2   P1 − P2 ∆P α1 = α2 = = HA 2 2  ρ ρ  z1 = z 2  elde edilir. Buradan, HA’ nın basınç kaybı ile orantılı olduğu görülür. Deneyler akış sürtünme kaybının; HA L  e = f  Re,  1 2 D  D V 2 III/12 © Tüm yayın hakları Doç. Dr. Bülent Yeşilata’ya aittir. İzinsiz çoğaltılamaz. şeklinde ifade edilebileceğini kanıtlamaktadır. Denklemde; ‘f ‘ sürtünme faktörü, ‘e’ ise yüzey pürüzlülüğünü göstermekte olup, laminar ve türbülanslı akış için farklı şekilde tespit edilmektedir. Şekil 7.11. Laminar ve türbülanslı akış için boru kesiti boyunca hız profilleri Laminar akış ∆P = 128µLQ πD 4 H A = 32 f = = 128µLV πD 2 / 4 πD 4 L µV LV 2 = D ρD D2 = 32 L µV = ρH A D D  µ  64 L V 2  64  =  ρV D  Re D 2 64 Re olup, sadece Re sayısının fonksiyonudur. Türbülanslı Akış Türbülanslı akış durumunda, sürtünme kayıplar sadece Re sayısının değil aynı zamanda boru pürüzlülüğünün (e) de bir fonksiyonudur. Yani; eLV2  H A = f  Re,  D D 2  Bu durumda ‘f’ için basit bir ifade bulunmamaktadır. En genel halde, ‘f’ değeri Şekil 7.12’de gösterilen MOODY diyagramı yardımıyla bulunur. Ancak, pürüzsüz borular için (diyagramdaki S eğrisi), aşağıda verilen Blasius denklemini küçük bir hata payı ile kullanmak uygundur: f = 0.3164 Re 0.25 . III/13 © Tüm yayın hakları Doç. Dr. Bülent Yeşilata’ya aittir. İzinsiz çoğaltılamaz. Pürüzlü borularda ise, pürüzlülük oranına bağlı olarak f’in bulunması için birtakım formüller verilmişse de en uygun yol Moody diyagramını kullanmaktır. Şekil 7.12. Moody diyagramı Not: Yukarıda dairesel borular için verilen çözümlerin tümü; dairesel olmayan borular için, , hidrolik çap dönüşümüyle aynen kullanılır. Hidrolik (eşdeğer çap) = (4 x Akışın geçtiği alan) / Islak çevre Dh = 4A P 7.5.2. Bağlantı elemanları kaybı ya da yerel kayıplar (HB) Borularda sürtünmeden ileri gelen sürekli yük kayıpları yanında, akım yönünün ve kesit değişmesinin neden olduğu yerel yük kayıpları da vardır. Yerel yük kayıpları boru boyuna bağlı değildir ve çok kısa aralıkta enerji çizgisinin düşmesine neden olurlar. Yerel kayıplarının hesabında kullanılan temel denklem ile bu tür kayıplara sebep olan kesit ve III/14 © Tüm yayın hakları Doç. Dr. Bülent Yeşilata’ya aittir. İzinsiz çoğaltılamaz. bağlantı elemanları Şekil 7.13’de özetlenmiştir. Denklemde verilen ‘k’ katsayısının hesabı, yerel kayıp türüne bağlı olarak değişir. Bu katsayının bilinmesiyle yerel kayıplar kolayca hesaplanabilir. Aşağıda ‘k’ katsayısı değerleri ile ilgili analiz ya da deneysel olarak elde edilen değerler verilmiştir. giriş ve çıkış kesitleri kaybı HB = k V2 2 ani genişleme ve daralma kaybı boru – dirsek kaybı valf ve bağlantı elemanları kaybı Şekil 7.13. Yerel kayıpların hesabı ve türleri Bağlantı kayıplarını veren denklem, HB = f Le V 2 D 2 şeklinde de ifade edilebilir. Bu durumda, Le düz boruya karşılık gelen eşdeğer uzunluk anlamındadır. Bağlantı kayıplarının diğer bir ifade tarzı ise; kayıpların akışkan sütun yüksekliği (m) olarak bulunmasıdır. Bu durumda, ∆h1,2 ........(m) olarak bulunan değer, yerçekimi ivmesi (g) ile çarpılarak, H B = g∆h1,2 değerin elde edilir.. Ani Genişleme Kaybı: Şekil 7.14’de görüldüğü gibi A1 kesitli borudan akmakta olan akışkan ani olarak daha büyük kesitli (A2) borudan akmak durumunda kalırsa, ‘0’ kesitinde ölü bir akışkan bölgesi meydana gelir ve bu bölgede bir p0 basıncı oluşur. Şekil 7.14. Ani genişleyen kesitin şematik gösterimi III/15 © Tüm yayın hakları Doç. Dr. Bülent Yeşilata’ya aittir. İzinsiz çoğaltılamaz. (1) ve (2) kesitleri arasında meydana gelen momentum değişimi, p0 , p1 ve p2 basınçlarının sebep olduğu kuvvetlerin toplamına eşit olmalıdır: m& .∆V = ρ .Q.(V1 − V2 ) = γ .Q g (V1 − V2 ) ∑ F = − p1 A1 + p2 A2 − p0 ( A2 − A1 ) . & .∆V bağıntısı kullanılarak, Deneysel sonuçlar doğrultusunda, p0 = p1 olup, ∑ F = m A2 ( p2 − p1 ) = γ .Q g (V1 − V2 ) Q = A1.V1 = A2.V2 V1 .V2 − V22 g p 2 − p1 = p 2 − p1 = γ γ 2(V1 .V2 − V22 ) 2.g (1) ve (2) noktaları arasında Bernoulli denklemi yazılırsa, V12 p 2 V22 + = + + ∆h1,2 γ 2g γ 2g p1 elde edilir. ∆h1,2 1-2 kesitleri arasında ani genişlemeden dolayı meydana gelen enerji kaybı olmak üzere, ∆h1, 2 = ∆h1, 2 = V12 − V22 p2 − p1 − γ 2g (V1 − V2 ) 2 2g olur. Süreklilik denklemi (A1V1 = A2.V2 ) kullanılarak, elde edilen V2 = (A1/A2)V1 değerini yerine yazarsak, ∆h1, 2 A1 2 V12 V12 = (1 − ) = k ag ............................. A2 2 g 2g elde edilir. Kayıp katsayısı ‘k’ bu durumda aşağıdaki bağıntı ile hesaplanır: k ag = (1 − A1 2 ) . A2 Ani Daralma Kaybı: Şekil 7.15’de görüldüğü gibi; A1 kesitli borudan akmakta olan akışkan ani olarak daha küçük kesitli (A2) borudan akmak durumunda kalırsa, akım ani daralma nedeniyle önce en küçük kesit teşekkül ettirecek şekilde daralır, sonra dar boruyu tüm dolduracak şekilde III/16 © Tüm yayın hakları Doç. Dr. Bülent Yeşilata’ya aittir. İzinsiz çoğaltılamaz. genişler. Burada (1) ve (3) kesitleri arasındaki enerji kaybı ihmal edilebilecek kadar küçüktür. Enerji kaybının büyük kısmı (3) ve (2) kesitleri arasında meydana gelir. Bu kesitler arasındaki kayıp, akım Ac kesitinden A2 kesitine aniden genişliyormuş gibi düşünülerek bulunabilir. Ani daralma kaybı böylece (3) ve (2) kesitleri arasındaki ani genişleme kaybına eşit olacaktır. Şekil 7.15. Ani daralan kesitin şematik gösterimi Ani daralma kaybı, ∆h1, 2 = (Vc − V2 ) 2 2g denklemi ile ifade edilir. Süreklilik (Ac.Vc = A2.V2 ) denklemi ile elde edilen, Vc = (A2/Ac).V2 değerini yerine yazarsak, ∆h1,2 = ( k ad A2 V2 V2 − 1) 2 2 = k ad 2 . Ac 2g 2g 1  =  − 1 µ  2 olacaktır. Denklemdeki, µ = Ac/A2, daralma katsayısıdır ve değeri kesitler oranına bağlı olarak Tablo 7.1’de verilmektedir. Tablo 7.1. Kesitler oranına bağlı olarak µ değerleri. A2/A1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 µ 0.624 0.632 0.643 0.659 0.681 0.712 0.755 0.813 0.892 1.0 Depoya giriş ve depodan çıkış kaybı Bu tarz kayıplara ilişkin kesitler Şekil 7.16’da verilmiştir. Depoya giriş kaybı; ani genişlemenin özel bir şekli olup, k=1 , V2 ≅ 0 alınır. Sonuçta yük kaybı için, ∆h1,2 V12 = 2g III/17 © Tüm yayın hakları Doç. Dr. Bülent Yeşilata’ya aittir. İzinsiz çoğaltılamaz. elde edilir. Depodan çıkış kaybı ise; ani daralmanın özel bir hali olup, ( A2 / A1 ) ≅ 0 µ ≅ 0.60 alınır. Bu durumda, k ad = ( 1 µ − 1) 2 ≅ 0.44 olur ve yük kaybı aşağıdaki bağıntı ile hesaplanır: ∆h 1,2 V12 = 0.44 . 2g Şekil 7.16. Depoya giriş ve depodan çıkış kesitleri Dirsek Kayıpları Farklı dirsek türleri için geçerli ‘k’ katsayıları Tablo 7.1’de verilmiştir. Tablo 7.1 Dirsek yük kayıp katsayıları Dirsek türü ‘k’ katsayısı Eğrisel dirsekler Köşeli Dirsekler Çatallar III/18 ve © Tüm yayın hakları Doç. Dr. Bülent Yeşilata’ya aittir. İzinsiz çoğaltılamaz. Tesisat elemanlarındaki kayıplar Bu tür kayıplara ilişkin bilgiler aşağıda özetlenmiştir. Ancak arka arkaya bağlanan elemanlar olması durumunda, Şekil 7.17’de verilen konfigürasyonlara uygun olarak ‘k’ katsayısı iki ile dört kat artar. Şekil 7.17. Arka arkaya bağlanan elemanlarda ‘k’ katsayısının artış oranları III/19 © Tüm yayın hakları Doç. Dr. Bülent Yeşilata’ya aittir. İzinsiz çoğaltılamaz. III/20 © Tüm yayın hakları Doç. Dr. Bülent Yeşilata’ya aittir. İzinsiz çoğaltılamaz. ÇÖZÜMLÜ PROBLEMLER (7. BÖLÜM) PROBLEM 1 Şekilde gösterilen düz yüzeyli levha üzerinden; ortalama sıcaklığı ve hızı sırasıyla 27°C ve 10 m/s olan hava hareketi söz konusudur. Levha uzunluğu 1m, genişliği ise 0.5 m olduğuna göre; yüzey uzunluğu boyunca 0.2 m aralıklarla hidrodinamik sınır tabaka kalınlıklarını tespit ediniz? Not (1): Verilen ortalama sıcaklıkaki havanın özellikleri aşağıda verilmiştir: ρ = 1,1614 kg/m 3 ; cp = 1.007 kj/kg.K; ν = 15,89.10 -6 m 2 / s Not (2): Türbülanslı akım durumunda sınır tabaka kalınlığı için formül aşağıda verilmiştir: δ h ( x) = 0,37.x. Re x −1 / 5 ÇÖZÜM x=0,2 m için Re x = U∞ x ν = 10.0,2 = 1,26.10 5 laminar akış 15,89.10 −6 Hidrodinamik sınır tabaka kalınlığı; 5.0,2 δ x ( x) = = 2,82.10 −3 m Re 0, 2 x=0.4 m, x=0.6 m, için akış yine laminar olduğundan yukarıdaki işlemler aynen takip edilir. x=0,8 m için; Re x = U∞x ν = 10.0,8 = 5,03.10 5 türbülanslı akış 15,89.10 −6 x=0.8 m ‘den sonra akım türbülanslı olduğundan dolayı; δ h ( x) = 0,37.x. Re x −1/ 5 = 0,021 m x=1 m, için yukarıdaki işlemler aynen takip edilir. Elde edilen değerlere ilişkin tablo aşağıda verilmiştir: δ h (x) x=0,2 m 2,82.10-3 m x=0,4 m 3,98.10-3 m x=0,6 m 4,88.10-3 m III/21 x=0,8 m 0,021 m x=1 m 0,0256 m © Tüm yayın hakları Doç. Dr. Bülent Yeşilata’ya aittir. İzinsiz çoğaltılamaz. PROBLEM 2 Şekilde gösterilen levha üzerinde, boydan boya olmak üzere ‘W’ genişliğinde ince ve eğimli bir kanal (çatlak) bulunmaktadır. Kılcal çatlak içerisinde kararlı bir akış gerçekleştiğine göre; NS denklemlerini kullanarak, akışkana ait hız profilini ve akışkan debisini veren formülü türetiniz? ÇÖZÜM Basınç kuvveti ile yerçekimi etkisi birlikte tek bir terim olarak yazılırsa, modifiye edilmiş basınç terimi, Pˆ = P + ρgz şeklinde elde edilir. Navier-Stokes (NS) denklemleri (x- ve z- yönleri için) ise,  ∂ 2v ∂ 2vx  ∂Pˆ  + µ  2x + ∂x ∂z 2   ∂x  ∂ 2vz ∂ 2vz  ∂Pˆ + µ  2 + 2  0=− ∂z ∂z   ∂x 0−− şeklindedir. NS denklemleri ve süreklilk denkleminden aşağıdaki sonuçlar elde edilir: ∂Pˆ = 0; ∂z vz = 0 ⇒ ∂ 2vz ∂ 2vz = 2 =0 ∂2x ∂ z ∂v x =0 ∂x Bu şartlarda NS denkleminin sadece ‘x’ yönünde çözümü gereklidir: d 2vx dPˆ +µ 0=− dx dz 2 dPˆ = sabit dx Bu denklemin genel çözümü, III/22 © Tüm yayın hakları Doç. Dr. Bülent Yeşilata’ya aittir. İzinsiz çoğaltılamaz. d 2vx 1  dPˆ    µ  dx  dz 2 dv x 1  dPˆ   z + C1 =  µ  dx  dz 1  dPˆ  2   z + C1 z + C 2 vx = 2µ  dx  = şeklindedir. Özel çözüm için sınır şartları, v x = 0 at x = 0; v x = 0 at x = W uygulanırsa, C2 = 0 elde edilir. 0= 1  dPˆ  2  W + C1W 2 µ  dx  C1 = − 1  dPˆ   W 2 µ  dx  Katsayıların değerleri yazıldığında hız dağılımı için aşağıdaki denklem elde edilir: vx = 1  dPˆ  2   z − Wz 2µ  dx  [ ] Yandaki şekilde hız dağılımının şematik görüntüsü verilmiştir. Hacimsel debi ise aşağıdaki şekilde bulunur: Q = ∫ vdA Birim uzunluk göz önüne alınırsa; A = L × W = 1 × W = W, ve dA = dw. W Q = ∫ v x dA = ∫ v x dw 0 [ ] [ ] 1  dPˆ  2    dx  z − Wz dw µ 2 0   W Q= ∫ = 1  dPˆ  W 2   ∫ z − Wz dw 2 µ  dx  0 III/23 © Tüm yayın hakları Doç. Dr. Bülent Yeşilata’ya aittir. İzinsiz çoğaltılamaz. W 1  dPˆ   z 3 Wz 2    Q= − 2 µ  dx   3 2  0 W 1  dPˆ   W 3 W 3    − = 2µ  dx   3 2  0 Sonuç olarak hacimsel debi için aşağıdaki denklem elde edilir: W 3  dPˆ    Q=− 12 µ  dx  Birim alan için hacimsel debi (q = Q/A) ise, A = 1xW = W olduğundan, q=− W 2  dPˆ    12µ  dx  elde edilir. III/24 © Tüm yayın hakları Doç. Dr. Bülent Yeşilata’ya aittir. İzinsiz çoğaltılamaz. PROBLEM 3 Şekilde gösterilen eğimli silindirik boru içerisinde kararlı bir akış gerçekleştiğine göre; NS denklemlerini kullanarak, akışkana ait hız profilini ve akışkan debisini veren formülü türetiniz? ÇÖZÜM Silindirik koordinatlar göz önüne alındığında, şekilde gösterilen ‘x’ yönü için Navier-Stokes denklemi, 0=− µ  ∂  ∂v   ∂P + ρg x +  r x   r  ∂r  ∂r   ∂x şeklinde yazılabilir. Denklemi daha basit forma indirmek için, gx = gsinφ olduğundan hareketle; ∂P ∂ + ρg x = (P + ρgx sin ϕ ) ∂x ∂x yazılabilir. Şekilde verilen bilgilerden, x sin ϕ = z, denkleme uygulanırsa, ∂P ∂ dPˆ + ρg x = (P + ρgz ) = dx ∂x ∂x elde edilir ( Pˆ :modifiye edilmiş basınç). Denklem bu durumda aşağıdaki basit forma dönüşür: 0=− dPˆ µ  d  dv x    r +  dx r  dr  dr   dPˆ = sabit dx Bu durumda integrasyon işlemi, III/25 © Tüm yayın hakları Doç. Dr. Bülent Yeşilata’ya aittir. İzinsiz çoğaltılamaz. d  dv x  1  dPˆ  r =  r dr  dr  µ  dx   dv  1  dPˆ  d r x  =  rdr  dr  µ  dx  dv x 1  dPˆ  r 2  + C1 r =  µ  dx  2 dr şeklinde uygulanır. dv x dr =0 r =0 olduğundan C1 = 0. İkinci kez integrasyon uygulandığında, dv x = 1  dPˆ   rdr  2 µ  dx  1  dPˆ  r 2 1  dPˆ  2 r + C   +C =  vx = 2 µ  dx  2 4 µ  dx  elde edilir. ‘C’ sabiti, r = R için vx = 0 sınır şartı uygulanarak, 0= 1  dPˆ  2 R +C  4 µ  dx  C= − 1  dPˆ  2 R  4 µ  dx  bulunur. Hız dağılımı bu durumda aşağıdaki denklemle ifade edilir: vx = 1  dPˆ  2   r − R2 4µ  dx  [ ] Yandaki şekilde hız dağılımının şematik görüntüsü verilmiştir. Hacimsel debi (Q): R R 0 0 Q = ∫ v x 2πr dr = ∫ Q= − πR 4 8µ R  1  dPˆ  2 π  dPˆ   R 3 2   r − R 2 2πr dr = − r dr R r dr   ∫ ∫ 4µ  dx  2µ  dx   0 0  [ ]  dPˆ     dx    Birim alan için hacimsel debi (q), A = πR2: q= Q − R2 = 8µ πR 2  dPˆ     dx    III/26 © Tüm yayın hakları Doç. Dr. Bülent Yeşilata’ya aittir. İzinsiz çoğaltılamaz. PROBLEM 4 Şekilde gösterilen düşey boruda bağıl yoğunluğu SG=0.87 ve kniematik viskozitesi ν=2.2x10-4 m2/s olan yağ, Q=4x10-4 m3/s debisi ile akmaktadır. a) Boru içerisindeki sürtünme kayıplarını hesaplayınız? b) Manometre sıvısı için SG=1.3 olduğuna gore, ‘h’ yüksekliğinin değerini bulunuz? S G = 0 .8 7 20 m m 4 m h Q S G = 1 .3 ÇÖZÜM SG = 0.87 olduğundan, ρ = 870 kg/m3 Q= 4×10-4 m3/s a) v= Q Q = = 1.273 m/s A π D2 4 vD (1.273)(0.02) = = 115.75 Laminar flow ν 2.2 × 10 −4 fL v 2 64 L v 2 (64)(4) (1.273) 2 HA = = = = 89.6 J/kg D 2 Re D D 2 (115.75)(0.02) 2 Re D = b) p1 p 1 1 + v12 + gz1 = 2 + v2 2 + gz 2 + H A ρ 2 ρ 2 p1 − p 2 = ρg ( z 2 − z1 ) + ρH A p1 − p 2 = (869.13)(9.807)(−4) + (869.13)(89.6) = 43779.8 Pa p 2 − ρgh1 + ρ m gh − ρg(h + h 2 ) = p1 p1 − p 2 = −ρg (h + h1 + h 2 ) + ρ m gh , (h1 + h2 ) = ( z1 − z 2 ) = 4 m p1 − p 2 = − ρg (h + 4) + ρ m gh = g ( ρ m − ρ )h − 4 ρg h= ( p1 − p 2 ) + 4 ρg (43779.8) + 4(869.13)(9.807) = g (ρ m − ρ ) (9.807)(1.3 × 999 − 869.13) h=18.5 m III/27 ( ( © Tüm yayın hakları Doç. Dr. Bülent Yeşilata’ya aittir. İzinsiz çoğaltılamaz. PROBLEM 5 Ani daralan bir boruda akan suyun debisi 0.040 m3/s olup, ani daralan kesitte boru çapı 0.12 m’den 0.06 m’ ye düşmektedir. Boru içi sürtünme kayıplarını ihmal ederek, toplam basınç düşüşünü hesaplayınız? ÇÖZÜM Q = 0.04m 3 / s Q Q 0.04 v1 = = = = 3.537 m/s A1 π D 2 π (0.12) 2 1 4 4 Q Q 0.04 v2 = = = = 14.147 m/s A 2 π D 2 π (0.06) 2 2 4 4 p1 1 2 p2 1 2 + v + gz1 = + v + gz 2 + H B ρ 2 1 ρ 2 2 p1 − p 2 = ρ 2 (v2 2 − v12 ) + ρ ∑ k v2 2 2 Ani daralma için; k = 0.40 alınırsa, p1 − p 2 = 999 (14.147) 2 (14.147 2 − 3.537 2 ) + 999(0.4) 2 2 p1 − p 2 = 93719.8 + 39987.5 p1 − p 2 = 133707.3Pa III/28 © Tüm yayın hakları Doç. Dr. Bülent Yeşilata’ya aittir. İzinsiz çoğaltılamaz. AKIŞKANLAR MEKANİĞİ II DERSİ FİNAL SINAVI ÇÖZÜMLERİ Tarih: 12/01/2004 Süre: 90 dak. SORU 1 (25p). Laminar sınır tabaka içerisinde bulunan bir akış için boyutsuz hız bileşenleri; u y v y2 = ; = U ∞ 4 xδ U∞ δ olarak verilmektedir. Denklemdeki sınır tabaka kalınlığı δ = cx1 / 2 (c:sabit katsayı) bağıntısı ile ifade edildiğine göre, akışkan partikülünün sınır tabaka içerisindeki herhangi bir noktada ivme vektörüne ait denklemi türetiniz? Çözüm 1 a px = a px a py a py ∂u ∂u ∂u Du + =u +v ∂y ∂t ∂x Dt U∞ y ∂ U∞ y U∞ y2 ∂ U∞ y2 U∞ y3 U∞2 y2 ) ( )= 2 3 − = ( 1/ 2 ) ( 1/ 2 ) + ( ∂x cx cx 4 xcx1 / 2 ∂y 4 xcx1 / 2 8c x 2c 2 x 2 ∂v ∂v ∂v Dv = =u +v + ∂x ∂y ∂t Dt U∞ y ∂ U∞ y2 U∞ y2 ∂ U∞ y U∞2 y2 3 U∞2 y3 = ( 1/ 2 ) ( )+( ) ( )= − ∂x 4 xcx1 / 2 cx 4 xcx1 / 2 ∂y cx1 / 2 4c 2 x 2 8 c 2 x 3 toplam ivme; 2 a = a px + a py 2 denkleminden bulunur SORU 2 (25p). İki boyutlu kararlı bir akışa ait hız vektörü; r r r V = Axy i − By 2 j ; A=4 (ms)-1, B=2 (ms)-1 olarak verilmektedir. r r Şekilde gösterilen kapalı eğri boyunca sirkülasyon ( Γ = ∫ V .ds ) değerini hesaplayınız? C y 1 x 1 III/29 © Tüm yayın hakları Doç. Dr. Bülent Yeşilata’ya aittir. İzinsiz çoğaltılamaz. Çözüm 2 ~ Γ = ∫ V .d~ s ( )( ~ ~ ~ ~ V .d~ s = Axyδ x − By 2δ y . dxδ x + dyδ y ) = Axydx − By 2 dy d c b a Γ = ∫a Axydx − ∫d By 2 dy + ∫c Axydx − ∫b By 2 dy A B ( x d 2 y − x a 2 y + xb 2 y − x c 2 y ) − ( y c 3 − y d 3 + y a 3 − y b 3 ) 2 3 x a = xb ve xc = x d  ⇒Γ =0 y a = y d ve y c = yb  Akış irrotasyonel olduğundan; ~ ~ Γ = ∫ ∇xV dA = 0 Γ= ( A ) z SORU 3 (30p). .........(a)20p, (b)10p. Potansiyel akım alanı içerisinde sabit-dairesel bir silindir etrafında hareket etmekte olan bir akışkan partikülüne ait hız vektörünün bileşenleri, a a v r = U [( ) 2 − 1] cosθ ; vθ = U [( ) 2 + 1] sin θ r r olarak verilmektedir. Denklemde ‘a’ silindir yarıçapını temsil etmekte olup, r a) Silindir yüzeyine (r=a) etkiyen basınç değişim (gradyant) vektörü ( ∇P ) için geçerli bağıntıyı Euler momentum denklemi yardımıyla (yerçekimi kuvvetini ihmal ederek) türetiniz?, b) θ = π / 2 ve r/a: 1,2,3,4 ve 5 değerleri için hız (dağılımını) vektörünü gösteriniz? Çözüm 3 a) Euler denklemi; Dv ρ = ρg − ∇P yer çekimi kuvveti ihmal edilirse Dt 2 v ∂v ∂v r ∂v vθ ∇P + vr r + θ r − =− ρ ∂t ∂r r ∂θ r v r ve vθ yerine yerleştirildiğinde denklem; 2U 2 ρ ∇P = r 2  a  4  a   + 2  sin θ . cos 2θ + 1 r  r   b) θ = π / 2 ve r/a=1 olduğunda; 2U 2 ρ 4 (1) + 2(1)2 sin(π / 2). cos 2(π / 2) + 1 ∇P = r ∇P = 0 [ ] III/30 © Tüm yayın hakları Doç. Dr. Bülent Yeşilata’ya aittir. İzinsiz çoğaltılamaz. θ = π / 2 ve r/a=2 olduğunda; ∇P = 2U 2 ρ r 2  1  4  1 2 +   sin(π / 2). cos 2(π / 2) + 1   2  2   9U 2 ρ 8r θ = π / 2 ve r/a=3 olduğunda; 4 2  2U 2 ρ  1  1 ∇P =   + 2  sin(π / 2). cos 2(π / 2) + 1 r  3  3  ∇P = 128.U 2 ρ 81.r θ = π / 2 ve r/a=4 olduğunda; 4 2  2U 2 ρ  1  1 ∇P =   + 2  sin(π / 2). cos 2(π / 2) + 1 r  4  4  ∇P = 225.U 2 ρ ∇P = 128.r θ = π / 2 ve r/a=5 olduğunda; 4 2  2U 2 ρ  1  1 ∇P = 2 sin(π / 2). cos 2(π / 2) + 1 +      r  5  5  1152.U 2 ρ ∇P = 625.r SORU 4 (20p). Potansiyel akım alanı içerisinde olan bir akış için kompleks potansiyel fonksiyon, ζ ( z ) = ( A + iB) ln z denklemi ile tanımlanmaktadır. Bu akış için hız bileşenlerinin (vr ve vθ) hesaplanabileceği formülleri türetiniz? Çözüm 4 ς ( z ) = ( A + iB ) ln z z = r.e iθ = A ln(r.e iθ ) + iB ln(r.e iθ ) = iA Bθ2ln3r 1 4θ2ln 4 3r − 1 ψ φ 1 ∂ψ 1 = ( A ln r ) r ∂θ r ∂ψ Aθ Vθ = − = r ∂r Vr = III/31 © Tüm yayın hakları Doç. Dr. Bülent Yeşilata’ya aittir. İzinsiz çoğaltılamaz. AKIŞKANLAR MEKANİĞİ II DERSİ FİNAL SINAVI ÇÖZÜMLERİ Tarih: 07/01/2005 Süre: 90 dak. SORU 1 (40p). r r r Hız vektörü; V = 3( x 2 - y 2 ) i − 6 xy j olarak verilen bir akışı göz önüne alarak aşağıdaki soruları yanıtlayınız: a) potansiyel akış koşullarının geçerli olup, olmadığını belirleyiniz? b) akım fonksiyonu ve hız potansiyel eğrilerine ait denklemleri türeterek, iki eğri arasındaki diklik koşulunun geçerli olup, olmadığını belirleyiniz? c) (x,y)=(1,1) noktasında ivme vektörü bileşenlerini ve şiddetini bulunuz? d) (x,y)=(1,1) noktasındaki basınca ait denklemi (serbest akış hız ve basıncının bir fonksiyonu olarak) türetiniz? e) akışa ait durma noktası (ya da noktalarını) belirleyiniz? f) x ≥ 0 ve y ≥ 0 bölgesinde akışa ait en az üç farklı akım çizgisini (örneğin ψ =1, ψ =2 ve ψ =3 için) yaklaşık ölçekte çizerek x=1 noktası için, maksimum hızın hangi iki akım çizgisi arasında olabileceği konusunda görüş belirtiniz? Çözüm 1 ( ) V = 3 x 2 − y 2 i − 6{ xy j 1424 3 u v a) ∂u ∂v + = 0 ⇒ 6 x + (−6 x) = 0 olduğundan sürekli ve sıkıştırılamaz. ∂x ∂y ∇w = 0 ∂v ∂u ⇒ wz = − = −6 y − (− 6 y ) = 0 olduğundan irrotasyonel akıştır. ∂x ∂y Hız denklemi verilen akış sıkıştırılamaz, sürekli ve döngüsüz olduğundan potansiyel akış koşulları geçerlidir. b) Akım fonksiyonu (ψ ) ve hız potansiyeli (φ ) ∂ψ u= = 3x 2 − 3 y 2 ⇒ ψ = ∫ 3 x 2 − y 2 dy ⇒ ψ = 3x 2 y − y 3 ∂y ∂φ u= ⇒ ∫ (3x 2 − 3 y 2 )dx ⇒ φ = x 3 − 3xy 2 ∂x Diklik şartı (− ∂ψ / ∂x ) = v ⇒ ∂φ / ∂x ⇒ çarpımları (-1) olduğundan diktir. ∂y ⇒ ∂x ψ = sbt ∂ψ / ∂y ∂φ / ∂y u c-) İvme bileşenleri ∂u ∂u ∂u ∂u a px = u +v +w + ∂x ∂z ∂t ∂y ⇒ ( ) a px = (3 x 2 − 3 y 2 )6 x + (− 6 xy )(− 6 y ) ⇒ a px = (3 x 2 − 3 y 2 )6 x + 36 xy 2 a py = u ∂v ∂v ∂v ∂v +v +w + = 3x 2 − 3 y 2 (−6 y ) + (− 6 xy )(− 6 x ) ⇒ ∂x ∂y ∂z ∂t ( ) a py = −18 x 2 y + 18 y 3 + 36 x 2 y III/32 © Tüm yayın hakları Doç. Dr. Bülent Yeşilata’ya aittir. İzinsiz çoğaltılamaz. 2 a p = a px + a py 2 x=1 ve y=1 için;……………..ap=50,91 m/s2 d) (x,y)=(1,1)⇒ Basınç denklemi; 2 2 V V P − P∞  V 2  = 1 − 2  P∞ + ρ ∞ ∞ = P2 + ρ ∞ 2 ⇒ cp = 2 1 2 2 2  V∞  ρ ∞V∞ 2 (x, y ) = (1,1) için V = 3(x 2 - y 2 )i − 6 xy = −6 bulunur. P2 − P∞  36 2  = 1 − 2  1 2 ρ ∞V∞  V∞  2 şeklinde bulunur. e) Durma noktalarında hız bileşenleri 0’dır. (u=0 ve v=0) 3 x 2 − y 2 = 0 ⇒ x 2 = y 2 = 0 ⇒ x = m y ⇒ x = 0 ve y = 0 noktaları durma noktasıdır ⇒ v = 0 ⇒ −6 xy = 0 ⇒ x = 0 ve y = 0 Sonuç: durma noktasıdır. f) x ≥ 0 ve y ≥ 0 bölgesinde akışa ait akım çizgileri; cp = ( ) 2 = 0,8 3 3 y = 2 iken 1 = 6 x 2 − 8 ⇒ 6 x 2 = 9 ⇒ x = = 1,22 2 ψ = 2 ⇒ y = 1 iken 2 = 3x 2 − 1 ⇒ x = 1 olur. ψ = 3x 2 y − y 3 ⇒ ψ = 1 ⇒ y = 1 iken 1 = 3x 2 − 1 ⇒ 3x 2 = 2 ⇒ x = 5 5 ⇒x= = 1,3 4 4 4 4 ψ = 3 ⇒ y = 2 iken 3 = 3x 2 − 1 ⇒ x 2 = ⇒ x = = 1,15 3 3 11 y = 2 iken 3 = 6 x 2 − 8 ⇒ 6 x 2 = 11 ⇒ x = = 1,35 6 y = 1 iken 2 = 6 x 2 − 8 ⇒ x 2 = ψ=1 ψ=2 2 ψ=3 1 0,8 1 2 En fazla hız ψ2 ve ψ3 eğrileri arasında olur. Çünkü kesitin daraldığı yerde hız artar. III/33 © Tüm yayın hakları Doç. Dr. Bülent Yeşilata’ya aittir. İzinsiz çoğaltılamaz. SORU 2 (30p). Viskoz, sıkıştırılamaz bir akışa ait hız bileşenleri aşağıda verilmektedir: u = (a − bc + y ) y , v=0, w=0........................(a, b ve c : sabit katsayılar) a) NS momentum denklemini kullanarak ‘x’ yönündeki basınç gradyantını veren formülü türetiniz? b) Kayma gerilmesi ( τ yx ) için geçerli denklemi türeterek, y=0’da τ yx =0 değerine ulaşmak için sabit katsayılar (a,b ve c) arasındaki ilişkinin nasıl olması gerektiğini bulunuz? Çözüm 2 a) u = (a − bc + y ) y , v=0 , w=0 (a,b,c sabit) DV ρ = −∇P + ρg + µ∇ 2V Dt  ∂ 2u ∂ 2u  Du ∂P x yönündeki ⇒ ρ =− + ρg x + µ  2 + 2  Dt ∂x ∂y   ∂x  ∂ 2u  ∂P = ρg x + µ  2  ∂x  ∂x  ∂u ∂ 2u ∂P = (a − bc + 2 y ) ⇒ 2 = 2 ⇒ = 2µ ∂y ∂y ∂x b) kayma gerilmesi için ∂u τ yx = µ = µ (a − bc + y ) ⇒ τ xy = 0 ⇒ a − bc = 0 ⇒ a = bc ∂y olmalıdır. SORU 3 (30p). .........(a)20p, (b)10p. a) Şekilde gösterilen dairesel kesitli boru içerisinden akmakta olan motor yağı (SAE-50W) için laminar-tam gelişmiş akış koşulları geçerlidir. Borunun iki noktası arasında ölçülen basınç farkı yardımıyla, akış hacimsel debisi, akış ortalama hızı ve akışa ait Reynold sayısı (Re) tespit edilmek istenmektedir. Söz konusu büyüklükleri, µyağ=0.9 Pas, γciva=13.6 kN/m3 değerlerini göz önüne alarak hesaplayınız? SAE-50W φD=8mm H=50mm civa b) Şekilde gösterilen kılcal borulu viskozimetre yardımıyla, bir akışkana ( ρ = 900 kg/m3) ait viskozite değeri tespit edilmek istenmektedir. Üst depoda bulunan ∆V=3 cm3 akışkanın, ‘d=1mm’ çaplı kılcal borudan geçerek boşalması ∆t=200s sürmektedir. Kılcal boru boyunca gerçekleşen basınç kaybı, hidrostatik yükseklikle (L=100mm) direkt ilişkili olduğuna göre (tam gelişmiş-laminar akım koşullarında) akışkan viskozitesini hesaplayınız? III/34 L d © Tüm yayın hakları Doç. Dr. Bülent Yeşilata’ya aittir. İzinsiz çoğaltılamaz. Çözüm 3 a) VD VD πD 4 ∆P Q= ⇒ Q = V A ⇒ Vort ⇒ Re = ⇒ Re = ρ 128µL L ν µ b) 2 ∆V Q= ⇒Q= ⇒ 0,01 cm3 / sn = 0,01.10− 6 m3 / sn ∆t 200 4 πD ρgL Q= 128µL L denkleminden µ çekilir. III/35 © Tüm yayın hakları Doç. Dr. Bülent Yeşilata’ya aittir. İzinsiz çoğaltılamaz. AKIŞKANLAR MEKANİĞİ II DERSİ FİNAL SINAVI ÇÖZÜMLERİ Tarih: 17/01/2006 Süre: 75 dak. SORU 1 (40p). a) Potansiyel akım alanı içerisinde olan bir akış için, kompleks potansiyel fonksiyon aşağıdaki denklemle verilmektedir. Q ve Γ değeri sabit büyüklükler olduğuna göre; akım fonksiyonu, hız potansiyeli ve hız bileşenlerine ( v r ve vθ ) ait denklemleri türetiniz? lnz Φ( z ) = − (Q + iΓ) 2π b) Kararlı iki boyutlu bir akışa ait hız vektörü aşağıdaki denklemle tanımlanmaktadır. Şekilde verilen kapalı eğri boyunca, sirkülasyon ( Γ = ∫ Vds ) değerini hesaplayınız? C V = ( Ay + B) i + Ax j …………… A=6 s-1 ; B=3m/s , y d(0,2) a(0,0) c(2,2) b(2,0) x Çözüm 1 a) Φ( z ) = − Q ln r − θΓ Γ ln r + Qθ ln z ln re iθ ln r + iθ −i (Q + iΓ) = − (Q + iΓ) = − (Q + iΓ) = − 2π 2π 2π π 43 142 4 2π43 4 1422 φ Q 1 ∂ψ ∂φ = =− r ∂θ ∂r r 2π ∂ψ 1 ∂φ Γ vθ = − = =− r 2π ∂r r ∂θ b) vr = ~ Γ = ∫ V .d~ s V = ( Ay + B)i + { Ax j 1 424 3 v u d c 2 2 b a Γ = ∫a udx + ∫d vdy + ∫c udx + ∫b vdy 0 Γ = ∫0 Bdx + ∫0 Ady + ∫2 ( A + B)dx Γ = 2 B + 2 A − 2( A + B ) = 0 III/36 ψ © Tüm yayın hakları Doç. Dr. Bülent Yeşilata’ya aittir. İzinsiz çoğaltılamaz. Soru 2.....(40p). Dairesel kesitli (R yarıçapında ve L uzunluğunda) bir boru içerisindeki akışa ait hız dağılımı aşağıdaki denklemle ifade edilebilmektedir. ∆P 2  r  v z (r ) = R 1 − ( ) 2  ……………………………(1) 4µL R   a) Bilindiği üzere (1) denklemi, momentum ve süreklilik denklemlerinin en genel halinden başlayarak türetilebilmektedir. Türetim sırasında uygulanan varsayım ve sınır şartlarını (denklemi yeniden türetmeden) maddeler halinde yazınız? b) (1) denklemini kullanarak akışa ait, ortalama hız, maksimum hız ve hacimsel debi büyüklüklerini veren denklemleri türetiniz? c) (1) denklemini kullanarak, boru uzunluğu boyunca basınç kaybını veren aşağıdaki denklemi türetiniz (D=2R)? ∆P 64 L V 2 = …………………………………………(2) ρ Re D 2 d) Aynı akış koşullarına ve aynı (L) uzunluğuna sahip, kenar yüksekliği ‘a’ olan kare kesitli bir kanal için (1) ve (2) denklemlerini ‘a’ nın bir fonksiyonu olarak yazınız? Çözüm 2 a) Newtonyan akışkanlar için viskoz kuvvetleri ile deformasyon arasında ilişki lineer olup, stresdeformasyon ilişkisi momentum denklemine uygulanır ve gerekli işlemler yapılırsa; ~ DV ~ ~ ~ ρ = −∇P + ρg~ + µ∇ 2V Dt denklemine ulaşılır. Süreklilik Denklemi kullanılarak, v r = vθ = 0 ⇒ ∂v z =0 ∂z v z = v z (r ) elde edilir. Silindirik koordinatlar için geçerli iki boyutlu Navier – Stokes denklemleri: (1) 0 = − ρg sin θ − ∂P ∂r g r = − g sin θ (2) 0 = − ρg cos θ − 1 ∂P r ∂θ g θ = − g cos θ (3) 0=−  1 ∂  ∂v z ∂P + µ r ∂z  r ∂r  ∂r    (1) ve (2) denklemi kullanılarak: P = P( z ) (3) denklemi kullanılarak: III/37 © Tüm yayın hakları Doç. Dr. Bülent Yeşilata’ya aittir. İzinsiz çoğaltılamaz. 1  ∂P  2  r + c1 ln r + c 2 4µ  ∂z  v z (r ) = Sınır şartları: r=0 için dv z (r ) / dz = 0 r=R için v z (r ) = 0 ∂P / ∂z = −∆P / L uygulanarak, ( 1 ∆P 2 R −r2 4µ L v z (r ) = ) denklemine ulaşılır. b) Hacimsel Debi: R Q = ∫ (2πrdr ).v z (r ) = − 0 πR 4 8µ 4  ∂P  πR ∆P  =  ∂z  8µ l Ortalama Hız ve Maksimum Hız V = Q πR 2 v max = v r = R 2 ∆P 8µl r =0 = R 2 ∆P = 2V 4µl c) ∆P = HA 128µLQ πD 4 = 128µLV πD 2 / 4 πD L µV LV 2 = 32 = D ρD D2 4 = 32 L µV = ρH A D D  µ  64 L V 2  64  =  ρV D  Re D 2 d) kare kesiti olduğundan, Dh = 4 xA = (4xAkışın geçtiği alan) / Islak çevre P Dh = 4 xa 2 =a 4 xa Dh=a yazılarak çözüme gidilir. III/38 © Tüm yayın hakları Doç. Dr. Bülent Yeşilata’ya aittir. İzinsiz çoğaltılamaz. SORU 3 (30p). Şekilde gösterilen bir su deposuna bağlı, daire kesitli pürüzsüz bir boru (L=5m, D=3cm) vasıtasıyla dışarıdaki bir hazneye su akıtılmaktadır (ρsu=998 kg/ m3 µsu=10-3 N.s/ m2). Hazneye transfer edilen suyun debisi 11 m3/saat olduğuna göre, a) Akış karakterini belirleyerek, boru boyunca sürtünme nedeniyle oluşan basınç kaybını (∆P) hesaplayınız? b) Mevcut boru çapının iki katına çıkarılması halinde (a) şıkkında bulduğunuz değerde oluşacak yüzdesel değişimi belirleyiniz? c) Mevcut boru uzunluğunun iki katına çıkarılması halinde (a) şıkkında bulduğunuz değerde oluşacak yüzdesel değişimi belirleyiniz? d) Pürüzlü boru kullanılmış olsaydı, basınç kaybının hesabı için nasıl bir yol izlerdiniz, kısaca belirtiniz? Hatırlatma: pürüzsüz boru için basınç kayıp katsayısına ait formüller; f lam = 64 Re −1 ve f tür = 0.3164 Re −0.25 Çözüm 3 a) V = Q 11 / 3600 = = 4,32m / s A π (0,03) 2 / 4 Re = f = ρVD (998)(4.32)(0.03) = = 129340.8 > 2300 türbülanslı akış. 0.001 µ 0.3164 Re 0.25 = 0.01668 ∆P = 0.01668 L V2 = 2.64m D 2g b) D=2x0.03=0.06 m ise V= Q 11 / 3600 = = 1.08m / sn A π (0,06) 2 / 4 III/39 © Tüm yayın hakları Doç. Dr. Bülent Yeşilata’ya aittir. İzinsiz çoğaltılamaz. Re = f = ρVD (998)(4.32)(0.06) = = 64711.22 > 2300 türbülanslı akış µ 0.001 0.3164 Re 0.25 = 0.01984 ∆P = 0.01984 L V2 = 0.0982m D 2g c) L=5x2=10m olduğunda yalnızca ∆P değişir ve iki katına çıkar ∆P = 0.01668 L V2 = 5.28m D 2g d) pürüzlü borularda Moddy diyagramı kullanılır. III/40 View more...

Comments

Report "7. VİSKOZ ( SÜRTÜNMELİ ) AKIŞLAR"

Please fill this form, we will try to respond as soon as possible.

Your name Email Reason -Select Reason- Pornographic Defamatory Illegal/Unlawful Spam Other Terms Of Service Violation File a copyright complaint Description Close Submit Share & Embed "7. VİSKOZ ( SÜRTÜNMELİ ) AKIŞLAR"

Please copy and paste this embed script to where you want to embed

Embed Script Size (px) 750x600 750x500 600x500 600x400 URL Close Copyright � 2017 SILO Inc.