Phần Bù – Wikipedia Tiếng Việt

 

Định nghĩa

sửa

Nếu A là một tập hợp, thì phần bù tuyệt đối của A (hay nói gọn đi là bù của A) là tập tất cả phần tử không thuộc A (tập này nằm trong một tập lớn hơn đã được định nghĩa trước). Nói cách khác, gọi U là tập đang chứa tất cả các phần tử đang cần phải xét (nếu như không cần xác định U thì có nghĩa nó đã được định nghĩa trước ngay từ đầu), khi đó phần bù tuyệt đối của A là phần bù tương đối của A trong U: A ∁ = U ∖ A . {\displaystyle A^{\complement }=U\setminus A.}  

Nói rõ hơn: A ∁ = { x ∈ U : x ∉ A } . {\displaystyle A^{\complement }=\{x\in U:x\notin A\}.}  

Phần bù tuyệt đối của A thường được ký hiệu bởi A∁. Các cách ký hiệu khác bao gồm A ¯ , A ′ , {\displaystyle {\overline {A}},A',}  [2] ∁ U A ,  và  ∁ A . {\displaystyle \complement _{U}A,{\text{ và }}\complement A.}  [3]

Các ví dụ

sửa

• Giả sử rằng tập vũ trụ là tập tất cả các số nguyên. Nếu A là tập các số lẻ thì bù của A là tập các số chẵn. Nếu B là tập hợp các bội của 3, thì bù của B là tập các số đồng dư với 1 hoặc 2 môđun 3 (nói đơn giản hơn là các số không chia hết cho 3).
• Giả sử rằng tập vũ trụ là bộ bài chuẩn 52 lá, nếu tập hợp A là tập các lá bích, thì bù của A là hợp của tập lá cơ, tập lá rô và tập lá chuồn. Nếu tập B là hợp của tập lá chuồn và rô thì bủ của B là hợp của tập lá cơ và bích.

Tính chất

sửa

Gọi A và B là hai tập hợp nằm trong vũ trụ U. Sau đây là hai tính chất quan trọng của phần bù tuyệt đối:

Luật De Morgan:[4]

• ( A ∪ B ) ∁ = A ∁ ∩ B ∁ . {\displaystyle \left(A\cup B\right)^{\complement }=A^{\complement }\cap B^{\complement }.}  
• ( A ∩ B ) ∁ = A ∁ ∪ B ∁ . {\displaystyle \left(A\cap B\right)^{\complement }=A^{\complement }\cup B^{\complement }.}  

Luật bù:[4]

• A ∪ A ∁ = U . {\displaystyle A\cup A^{\complement }=U.}  
• A ∩ A ∁ = ∅ . {\displaystyle A\cap A^{\complement }=\varnothing .}  
• ∅ ∁ = U . {\displaystyle \varnothing ^{\complement }=U.}  
• U ∁ = ∅ . {\displaystyle U^{\complement }=\varnothing .}  
• Nếu  A ⊆ B , thì  B ∁ ⊆ A ∁ . {\displaystyle {\text{Nếu }}A\subseteq B{\text{, thì }}B^{\complement }\subseteq A^{\complement }.}   (có thể chứng minh bằng phản chứng).

Phép chập hay phần bù kép:

• ( A ∁ ) ∁ = A . {\displaystyle \left(A^{\complement }\right)^{\complement }=A.}  

Quan hệ giữa bù tương đối và bù tuyệt đối:

• A ∖ B = A ∩ B ∁ . {\displaystyle A\setminus B=A\cap B^{\complement }.}  
• ( A ∖ B ) ∁ = A ∁ ∪ B = A ∁ ∪ ( B ∩ A ) . {\displaystyle (A\setminus B)^{\complement }=A^{\complement }\cup B=A^{\complement }\cup (B\cap A).}  

Quan hệ của hiệu tập hợp:

• A ∁ ∖ B ∁ = B ∖ A . {\displaystyle A^{\complement }\setminus B^{\complement }=B\setminus A.}  

Hai luật bù đầu tiên ở trên chỉ ra rằng nếu tập A không rỗng là tập con thực sự của U, thì {A, A∁} là phân hoạch của U.