Phân Tích đa Thức Chứa Tham Số Thành Nhân Tử Dựa Trên Nghiệm Của ...

Bài viết này Vted giới thiệu đến bạn đọc phương pháp Phân tích đa thức chứa tham số thành nhân tử dựa trên nghiệm của đa thức và hỗ trợ của máy tính bỏ túi

Định lí về phân tích nhân tử khi biết tất cả các nghiệm của đa thức:

Đa thức $P(x)$ được viết dưới dạng: $P(x)={{a}_{n}}{{x}^{n}}+{{a}_{n-1}}{{x}^{n-1}}+...+{{a}_{1}}x+{{a}_{0}}$ trong đó ${{a}_{n}}\ne 0$ là một đa thức bậc $n$ ký hiệu là $\deg P=n$.

$P(x)$ có nghiệm ${{x}_{1}},{{x}_{2}},...,{{x}_{n}}$ thì $P(x)={{a}_{n}}\left( x-{{x}_{1}} \right)\left( x-{{x}_{2}} \right)...\left( x-{{x}_{n}} \right).$

Ví dụ 1:Hàm số $f(x)=\frac{1}{2}{{x}^{3}}+a{{x}^{2}}+bx+c$ có đồ thị cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ lần lượt bằng $-3;-1;2.$ Tìm $f(x).$

Giải.Vì $f(x)$ là một đa thức bậc ba có ba nghiệm $-3;-1;2$ do đó $f(x)=\dfrac{1}{2}(x+3)(x+1)(x-2).$

Ví dụ 2:Đồ thị của hai hàm số $f(x)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+\dfrac{1}{2}$ và $g(x)=d{{x}^{2}}+ex+\dfrac{3}{4}$ cắt nhau tại ba điểm phân biệt có hoành độ $-2;1;3.$ Tìm $h(x)=f(x)-g(x).$

Giải.Vì $h(x)=a{{x}^{3}}+(b-d){{x}^{2}}+(c-e)x-\frac{1}{4}$ là một đa thức bậc ba có ba nghiệm $-2;1;3$ do đó $h(x)=a(x+2)(x-1)(x-3).$

So sánh hệ số tự do của $h(x)$ ta có $-\dfrac{1}{4}=a(2)(-1)(-3)\Leftrightarrow a=-\dfrac{1}{24}.$ Do đó $h(x)=-\dfrac{1}{24}(x+2)(x-1)(x-3).$

Phân tích nhân tử cho đa thức bậc ba có chứa tham số

Đa thức bậc ba $P(x)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d$ tìm được một nghiệm đẹp $x={{x}_{0}}$ khi đó $P(x)=a(x-{{x}_{0}})({{x}^{2}}+rx+s)$ để tìm nhân tử ${{x}^{2}}+rx+s$ ta thực hiện bằng máy tính bỏ túi như sau:

MODE 2 (Vào môi trường số phức)

Nhập $\dfrac{P(x)}{a(x-{{x}_{0}})}-{{x}^{2}}$ và CALC với $x=i(ENG)$ và tham số $m=1000$

Ví dụ 1:Phân tích thành nhân tử đa thức $P(x)={{x}^{3}}+(m+1){{x}^{2}}+({{m}^{2}}+2m-1)x-3{{m}^{3}}+3{{m}^{2}}+m-1.$

Giải. Nhập phương trình bậc ba ${{x}^{3}}+(m+1){{x}^{2}}+({{m}^{2}}+2m-1)x-3{{m}^{3}}+3{{m}^{2}}+m-1=0$ ẩn $x$ với $m=1000$ ta được một nghiệm đẹp $x=999=m-1.$

Vậy khi phân tích nhân tử thì $P(x)=(x-m+1)({{x}^{2}}+rx+s)$ ta tìm $rx+s$ như sau:

MODE 2

Nhập $\dfrac{{{x}^{3}}+(m+1){{x}^{2}}+({{m}^{2}}+2m-1)x-3{{m}^{3}}+3{{m}^{2}}+m-1}{x-m+1}-{{x}^{2}}$

CALC với $x=i(ENG);m=1000$ ta được kết quả $2000i+2999999=2mx+3{{m}^{2}}-1.$

Vậy $rx+s=2mx+3{{m}^{2}}-1.$ Do đó $P(x)=(x-m+1)({{x}^{2}}+2mx+3{{m}^{2}}-1).$

Phân tích nhân tử cho đa thức bậc bốn có chứa tham số

Đa thức bậc bốn $P(x)=a{{x}^{4}}+b{{x}^{3}}+c{{x}^{2}}+dx+e$ có nghiệm kép $x={{x}_{0}}$ khi đó $P(x)=a{{(x-{{x}_{0}})}^{2}}({{x}^{2}}+rx+s)$ để tìm nhân tử ${{x}^{2}}+rx+s$ ta thực hiện như sau:

MODE 2(Vào môi trường số phức)

Nhập $\dfrac{P(x)}{a{{(x-{{x}_{0}})}^{2}}}-{{x}^{2}}$ và CALCvới $x=i(ENG)$ và tham số $m=1000$

Ví dụ 1:Phân tích thành nhân tử đa thức $P(x)={{x}^{4}}-{{x}^{3}}+{{x}^{2}}-(4{{m}^{3}}-3{{m}^{2}}+2m)x+3{{m}^{4}}-2{{m}^{3}}+{{m}^{2}}.$

Giải. Đa thức $P(x)$ có nghiệm kép $x=m$ do đó $P(x)={{(x-m)}^{2}}({{x}^{2}}+rx+s)$ ta tìm $rx+s$ như sau:

MODE 2

Nhập $\dfrac{{{x}^{4}}-{{x}^{3}}+{{x}^{2}}-(4{{m}^{3}}-3{{m}^{2}}+2m)x+3{{m}^{4}}-2{{m}^{3}}+{{m}^{2}}}{{{(x-m)}^{2}}}-{{x}^{2}}$

CALC với $x=i(ENG);m=1000$ ta được kết quả $1999i+2998001=(2m-1)x+3{{m}^{2}}-2m+1.$

Vậy $rx+s=(2m-1)x+3{{m}^{2}}-2m+1.$ Vậy $P(x)={{(x-m)}^{2}}({{x}^{2}}+(2m-1)x+3{{m}^{2}}-2m+1).$

>>Xem thêm Cập nhật Đề thi thử tốt nghiệp THPT 2023 môn Toán có lời giải chi tiết

Combo 4 Khoá Luyện thi THPT Quốc Gia 2023 Môn Toán dành cho teen 2K5

>>Xem đề thi đã phát hành trước đó: Đề Khảo sát chất lượng Môn Toán lần 3 năm 2022 Trường THPT chuyên Lam Sơn – Thanh Hóa

>>Xem thêm Đề thi và lời giải chi tiết Đề thi thử THPTQG 2020 môn Toán lần 1 trường THPT chuyên Thái Bình

>>Xem thêm Đề thi và lời giải chi tiết Đề kiểm tra năng lực giáo viên Toán năm 2019 – 2020 trường Thuận Thành 2 – Bắc Ninh

>>Xem thêm: [Vted.vn] - Cho hàm số y =f(x). Tìm số nghiệm thực phân biệt của phương trình g(f(x))=0

>>Xem thêm Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm trị tuyệt đối

>>Xem thêm Điều kiện để phương trình chứa căn bậc ba có ba nghiệm phân biệt