Phép Biến đổi Laplace – Các Khái Niệm Mở đầu

Có thể bạn quan tâm

Phép biến đổi Laplace là một trong các phép biến đổi tích phân mà mục tiêu là biến các phép tính giải tích (như phép lấy đạo hàm, tích phân) thành các phép tính đại số. Như vậy, qua phép biến đổi Laplace ta có thể chuyển phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng, phương trình tích phân thành một phương trình đại số.

I. Các hàm cơ bản:

1. Hàm bậc thang đơn vị:

Trong kỹ thuật ứng dụng, chúng ta thường xuyên ghi nhận được các hàm số mà giá trị của nó thay đổi đột ngột tại một thời điểm t xác định. Một ví dụ phổ biến là sự thay đổi điện áp của một mạch điện tại thời điểm t khi đóng hoặc ngắt mạch.

Thông thường, giá trị t = 0 luôn được chọn là thời điểm bắt đầu cho việc đóng hoặc ngắt điện áp. Quá trình đóng, ngắt mạch trên có thể mô tả bằng mô hình toán học bởi hàm bậc thang đơn vị (còn được biết đến với tên gọi là hàm Heaviside – tên của nhà Toán học, Vật lý học người Anh Oliver Heaviside )

Định nghĩa: Hàm bậc thang đơn vị (Hàm Heaviside), u(t), là hàm số được định nghĩa bởi:

$u(t) = \left \{ \begin{array}{l} 0, t < 0 \\ 1, t > 0 \\ \end{array} \right.$

Nghĩa là, u(t) là hàm theo biến thời gian t, và u nhận giá trị zero khi thời gian là âm (thời điểm trước khi ta đóng, mở mạch) và nhận giá trị 1 khi thời gian xác định dương (kể từ lúc ta đóng, mở mạch).

2. Hàm dời (hàm trễ) đơn vị:

Một hàm số nhận giá trị 0 cho đến thời điểm t = a và sau đó, nhận giá trị 1, thì đồ thị của nó có được chính là ta đã tịnh tiến đồ thị của hàm bậc thang đơn vị đi 1 khoảng là a. Như vậy, hàm số có thể được viết như sau:

$u(t - a) = \left \{ \begin{array}{l} 0, t < a \\ 1, t > a \\ \end{array} \right.$

Ví dụ: Xét hàm số $f(t) = u(t-3)$

Biểu thức trên nghĩa là, hàm f(t) nhận giá trị 0 khi t< 3, và nhận giá trị 1 khi t > 3

Nhận xét:

Xét hàm số $V(t) = u(t-a) - u(t-b) (b > a)$ thì hàm số này chính là mô hình toán học của bài toán khảo sát mạch điện khi đóng mạch tại thời điểm t = a, và ngắt mạch tại thời điểm sau đó t = b. Khi đó, mạch điện sẽ có hiệu điện thế 1 volt trong khoảng b – a. Nghĩa là giá trị của hàm V(t) được xác định như sau:

$V(t) = u(t - a) - u(t-b) = \left \{ \begin{array}{l} 0, t < a \\ 1, a< t < b \\ 0, t > b \end{array} \right.$

Ví dụ: Với hàm ${V(t) = u(t-1.2) - u(t-3.8)}$ ta có đồ thị sau:

3. Các ví dụ:

Viết các hàm dưới đây xác định theo hàm Heaviside:

1. Một nguồn 12 V được đóng mạch tại thời điểm t = 4s.

Trả lời:

Khi mạch điện được đóng mạch tại thời điểm t = 4s, thì trước thời điểm này hiệu điện thế của mạch sẽ ằng 0, và sau thời điểm này, hiệu điện thế của mạch là 12V. Do đó, ta cần sử dụng hàm u(t-4). Mặt khác, khi đóng mạch, thì mạch điện có hiệu điện thế 12 V nên chúng ta cần nhân hàm u(t-4) cho 12 (do giá trị của hàm u(t) bằng 1). Vậy:

$V(t) = 12.u(t - 4)$

Ta có đồ thị sau:

2. Biểu diễn hàm số sau dưới dạng hàm bậc thang đơn vị:

$f(t) = \left \{ \begin{array}{l} 0, t < 3 \\ 2t+8, 3< t < 5 \\ 0, t > 5 \end{array} \right.$

Trả lời:

$f(t) = (2t+8)(u(t-3)-u(t-5))$

Đồ thị của hàm số biểu diễn như sau:

Đánh giá:

Chia sẻ:

In
PDF
Email
Facebook

Thích Đang tải...

Thảo luận

8 bình luận về “Phép biến đổi Laplace – Các khái niệm mở đầu”

em rất cảm ơn thầy về bài viết.Thầy có thể cho nhiều ví dụ hơn về hàm bậc 2 hoặc 3 ko ạ.và thầy chỉ cho em cách vẽ với.Sắp thi rồi mà em vẫn chưa biết mấy.Mong thầy giúp em.em xin cảm ơn.

ThíchThích
Được đăng bởi hoàng trọng | 23/10/2010, 17:10 Reply to this comment
Thầy ơi, giải hộ em bài toán tính vi phân bằng cách biến đổi laplace này với: X”- 2X’ + 2X = 2e^tcost vơi đk X(0)=X'(0)=0

ThíchThích
Được đăng bởi Bùi THị Hồng | 08/10/2010, 20:33 Reply to this comment
Thay co the giai thich hoac cho em tai lieu ve Legendre functions.

ThíchThích
Được đăng bởi Nguyen Xuan Hao | 21/01/2010, 16:08 Reply to this comment
EM DANG PHAI LAM DE TAI:CAC PHEP BIEN DOI LAPLACE VA UNG DUNG.THAY CO THE CHO EM BIET SACH NAO VIET VE VAN DE NAY 1 CACH RO RANG KO A?

ThíchThích
Được đăng bởi lien | 16/01/2010, 10:30 Reply to this comment
có nhiêu thôi hả Thầy. hic. sao ít vậy Thầy. Thầy làm ơn post đề giải tích 3 giùm em nha Thầy. em cám ơn Thầy nhiều lắm

ThíchThích
Được đăng bởi Abu k34.105.032 | 15/12/2009, 22:53 Reply to this comment
Em đang học môn hàm phức của vật lý. Trong bài thuyết thặng số có bài này em ko hiểu lắm. cho pt (z^2 + 1 )^2=0 . em giải theo pt trùng phương thì ra la z=+- căn(i) . nhưng thế vào lại thì pt ko bằng 0. xin thầy giải thích giùm em

ThíchThích
Được đăng bởi Khoa | 21/11/2009, 22:58 Reply to this comment
Để biết cách gõ công thức Toán học trong blog wordpress, em có thể xem một số hướng dẫn ở menu cùng trao đổi hoặc em có thể xem bài viết hướng dẫn lấy đoạn mã bằng chương trình Mathtype tại: https://thunhan.wordpress.com/2008/01/05/su-dung-mathtype-de-viet-cong-thuc-toan/

ThíchThích
Được đăng bởi 2Bo02B | 29/08/2008, 13:07 Reply to this comment
Thầy ơi! Chỉ cho em những cách học, gõ các công thức, biểu thức toán học đc ko thầy? Các hướng dẫn sử dụng mau lẹ ý thầy. Em cảm ơn thầy nhiều.

ThíchThích
Được đăng bởi huongtran | 29/08/2008, 10:33 Reply to this comment