PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE.pdf (toán Học) | Tải Miễn Phí

Trang chủ Tìm kiếm Trang chủ Tìm kiếm PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE pdf 21 459 KB 65 200 4.7 ( 19 lượt) Xem tài liệu Nhấn vào bên dưới để tải tài liệu Tải về Đang chuẩn bị: 60 Bắt đầu tải xuống Đang xem trước 10 trên tổng 21 trang, để tải xuống xem đầy đủ hãy nhấn vào bên trên Chủ đề liên quan toán học Phép biến đổi Laplace Giải mạch điện Phương trình vi phân phương pháp triển khai hàm định lý giá trị đầu mạch điện biến đổi định lý giá trị cuối

Nội dung

_________________________________________Chương 10 Phép biến đổi Laplace - 1 Ò CHƯƠNG 10 PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE Ò DẪN NHẬP Ò PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE ♦ Phép biến đổi Laplace ♦ Phép biến đổi Laplace ngược Ò CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE Ò ÁP DỤNG VÀO GIẢI MẠCH Ò CÁC PHƯƠNG PHÁP TRIỂN KHAI HÀM P(S)/Q(S) ♦ Triển khai từng phần ♦ Công thức Heaviside Ò ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ ĐẦU VÀ GIÁ TRỊ CUỐI ♦ Định lý giá trị đầu ♦ Định lý giá trị cuối Ò MẠCH ĐIỆN BIẾN ĐỔI ♦ Điện trở ♦ Cuộn dây ♦ Tụ điện __________________________________________________________________________________________ _____ 10.1 DẪN NHẬP Phép biến đổi Laplace, một công cụ toán học giúp giải các phương trình vi phân, được sử dụng đầu tiên bởi Oliver Heaviside (1850-1925), một kỹ sư người Anh, để giải các mạch điện. So với phương pháp cổ điển, phép biến đổi Laplace có những thuận lợi sau: * Lời giải đầy đủ, gồm đáp ứng tự nhiên và đáp ứng ép, trong một phép toán. * Không phải bận tâm xác định các hằng số tích phân. Do các điều kiện đầu đã được đưa vào phương trình biến đổi, là phương trình đại số, nên trong lời giải đầy đủ đã chứa các hằng số. Về phương pháp, phép biến đổi Laplace tương tự với một phép biến đổi rất quen thuộc: phép tính logarit (H 10.1) cho ta so sánh sơ đồ của phép tính logarit và phép biến đổi Laplace Các con số Lấy logarit Nhân chia trực tiếp logarit của các số Cộng các số Lấy logarit ngược Tổng logarit Kết quả các của các số phép tính Pt sau Pt vi tích ___________________________________________________________________________ Biến đổi phân Nguyễn Trung Lập MẠCH LÝ THUYẾT _________________________________________Chương 10 Phép biến đổi Laplace - 2 Biến đổi Laplace Phép giải cổ điển Đk đầu Phép tính đại số Đk đầu Biến đổi Laplace ngược lãnh vực thời gian Lãnh vực tần số (H 10.1) Để làm các phép tính nhân, chia, lũy thừa . . . của các con số bằng phép tính logarit ta thực hiện các bước: 1. Lấy logarit các con số 2. Làm các phép toán cộng, trừ trên logarit của các con số 3. Lấy logarit ngược để có kết quả cuối cùng. Thoạt nhìn, việc làm có vẻ như phức tạp hơn nhưng thực tế, với những bài toán có nhiều số mã, ta sẽ tiết kiệm được rất nhiều thời gian vì có thể sử dụng các bảng lập sẵn (bảng logarit) khi biến đổi. Hãy thử tính 1,43560,123789 mà không dùng logarit. Trong bài toán giải phương trình vi tích phân dùng phép biến đổi Laplace ta cũng thực hiện các bước tương tự: 1. Tính các biến đổi Laplace của các số hạng trong phương trình. Các điều kiện đầu được đưa vào 2. Thực hiện các phép toán đại số. 3. Lấy biến đổi Laplace ngược để có kết quả cuối cùng. Giống như phép tính logarit, ở các bước 1 và 3 nhờ sử dụng các bảng lập sẵn chúng ta có thể giải quyết các bài toán khá phức tạp một cách dễ dàng và nhanh chóng. 10.2 PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE 10.2.1 Phép biến đổi Laplace Hàm f(t) xác định với mọi t>0. Biến đổi Laplace của f(t), được định nghĩa L[f(t)] = F(s) = ∫ ∞ 0 f(t).e −st dt (10.1) s có thể là số thực hay số phức. Trong mạch điện s=σ+jω L thay cho cụm từ 'biến đổi Laplace của" Toán tử Điều kiện đủ để f(t) có thể biến đổi được là ∫ ∞ 0 f(t) .e− δt dt < ∞ (10.2) δ là số thực, dương. Điều kiện này hầu như được thỏa đối với những hàm f(t) gặp trong mạch điện. Vì e-δt là hàm mũ giảm khi t tăng nên khi nhân với |f(t)| ta cũng được kết quả tương tự. ___________________________________________________________________________ Nguyễn Trung Lập MẠCH LÝ THUYẾT _________________________________________Chương 10 Phép biến đổi Laplace - 3 Thí dụ, với hàm f(t)=tn, dùng qui tắc Hospital, người ta chứng minh được n − δt lim t e = 0, δ > 0 t →∞ Với n=1, ta có ∞ 1 − δt ∫ 0 t.e dt = δ2 , δ > 0 Với giá trị khác của n, tích phân trên cũng xác định với δ ≠ 0 n Có những hàm dạng eat không thỏa điều kiện (10.2) nhưng trong thực tế với những kích thích có dạng như trên thì thường đạt trị bảo hòa sau một khoảng thời gian nào đó. 2 ⎧⎪eat , 0 ≤ t ≤ t 0 Thí dụ v(t)= ⎨ ⎪⎩ K , t > t 0 v(t) trong điều kiện này thỏa (10.2) L biến đổi hàm f(t) trong lãnh vực thời gian sang hàm F(s) trong lãnh Ta nói toán tử vực tần số phức. Hai hàm f(t) và F(s) làm thành một cặp biến đổi Thí dụ 10.1 Tìm biến đổi Laplace của hàm nấc đơn vị ⎧1 , t ≥ 0 u(t) = ⎨ ⎩0 , t < 0 L[u(t)] = ∫ Nếu ∞ 1 1 e−st dt = − e−st = 0 0 s s V f(t)=Vu(t) ⇒ [Vu(t)] = s ∞ L Thí dụ 10.2 Tìm biến đổi Laplace của f(t) = e-at, a là hằng số L[e - at ∞ ∞ 0 0 ] = ∫ e−at e−st dt = ∫ e−( a + s)t dt =− 1 −( a + s)t ∞ 1 e = 0 s+ a s+ a Kết quả của 2 thí dụ trên cho một bảng nhỏ gồm 2 cặp biến đổi f(t) u(t) e-at F(s) 1 s 1 s+ a Bằng cách tính biến đổi của một số hàm quen thuộc, ta sẽ xây dựng được một bảng dùng để tra sau này. 10.2.2 Phép biến đổi Laplace ngược Phép biến đổi Laplace ngược được định nghĩa ___________________________________________________________________________ Nguyễn Trung Lập MẠCH LÝ THUYẾT _________________________________________Chương 10 Phép biến đổi Laplace - 4 L 1 σ 1 + j∞ (10.3) F(s)est ds ∫ σ − j ∞ 2πj 1 Đây là tích phân đường, lấy dọc theo đường thẳng đứng s=σ1, từ -j∞ đến +j∞ −1 f(t) = F(s) = jω +j∞ σ1 σ -j∞ (H 10.2) Do tính độc nhất của phép biến đổi Laplace, ta không sử dụng định nghĩa (10.3) để xác định f(t) mà ta thường dùng kết quả của những cặp biến đổi để xác định f(t) khi đã có F(s) 10.3 CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE 10.3.1 Biến đổi của một tổ hợp tuyến tính Cho 2 hàm f1(t) và f2(t), với các hằng số a, b. F1(s) và F2(s) lần lượt là biến đổi Laplace của f1(t) và f2(t). Ta có: L [af (t) + bf (t)] = a F (s) + b F (s) Thật vậy L[af (t) + bf (t)] = ∫ [af (t) + bf (t)]e 1 2 1 ∞ 1 2 1 0 (10.4) 2 − st 2 ∞ ∞ 0 0 dt = a∫ f 1 (t)e - st dt + b ∫ f 2 (t)e - st dt L ⇒ [af1(t) + bf2(t)] = a F1(s) + b F2(s) Thí dụ 10.3 Tìm biến đổi Laplace của cosωt và sinωt Từ công thức Euler e jωt + e− jωt e jωt − e− jωt cosωt = và sinωt = 2 2j Ap dụng (10.4) và dùng kết quả ở thí dụ 10.2 L[cosωt] = L[ e +2e L[cosωt] = s +s ω jωt 2 − jωt ]= 1 1 1 s [ + ]= 2 2 s − jω s + jω s + ω 2 2 Tương tự: ___________________________________________________________________________ Nguyễn Trung Lập MẠCH LÝ THUYẾT _________________________________________Chương 10 Phép biến đổi Laplace - 5 L[sin ωt] = L[ e −2je L[sin ωt] = s +ωω jωt 2 − jωt ]= 1 1 1 ω [ − ]= 2 2j s − jω s + jω s + ω2 2 10.3.2 Biến đổi của e-atf(t) L[e L[e - at -at ∞ ∞ 0 0 f(t)] = ∫ e−at f(t)e −st dt = ∫ f(t)e −( a + s)t dt = F(s + a) f(t)] = F(s + a) (10.5) Khi hàm f(t) nhân với e-at, biến đổi Laplace tương ứng e-at f(t) có được bằng cách thay F(s) bởi F(s+a) Thí dụ 10.4 Tìm biến đổi Laplace của e-atcosωt và e-atsinωt Chỉ cần thay s bởi s+a trong các các kết quả biến đổi của hàm sinωt và cosωt ở trên. s+ a [e - at cosωt] = (s + a)2 + ω 2 ω [e - at sinωt] = (s + a)2 + ω 2 L L Thí dụ 10.5 6s s + 2s + 5 Viết lại F(s) , sao cho xuất hiện dạng F(s+a) 6(s + 1) - 6 6s = F(s) = 2 2 (s + 1) + 2 (s + 1)2 + 22 Dùng kết quả của thí dụ 10.4 với a = 1 và ω = 2 F(s) = Tìm f(t) ứng với F(s) = 6 ⇒ f(t) = L 2 (s + 1) 2 -3 2 2 (s + 1) + 2 (s + 1)2 + 2 2 -1 [F(s)]=6e-tcos2t - 3e-tsin2t 10.3.3 Biến đổi của f(t-τ)u(t-τ) f(t-τ) là hàm f(t) trễ τ đơn vị thời gian. (Lưu ý là f(t)=0 khi t