Phép Biến đổi Laplace - Tài Liệu Text - 123doc

Tải bản đầy đủ (.docx) (68 trang)

1. Trang chủ
>>
2. Thạc sĩ - Cao học
>>
3. Sư phạm

Phép biến đổi Laplace

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (369.92 KB, 68 trang )

Khóa luận tốt nghiệpNguyễn Thị Liên – K31b – Vật LýPHẦN 1: MỞ ĐẦU1. Lý do chọn đềtàiToán học là một ngành khoa học không những nó phục vụ cho chính nó,mà nó đặc biệt trở thành một công cụ hữu ích cho việc phát triển các ngànhkhoa học khác, trong đó có vật lý học. Tính chất cơ bản của vật lý học là tínhthực nghiệm. Nhưng muốn trình bày những định luật định lượng của vật lýhọc một cách chính xác ta thường phải sử dụng phương pháp toán học.Phương pháp toán học được sử dụng từ lâu trong vật lý. Nó là sự giao thoagiữa toán học và vật lý học.Những quy luật đơn giản của vật lý đã được cơ học cổ điển giải quyếtgần như trọn vẹn. Nhưng những quy luật vi mô, vĩ mô dưới tác dụng củanhiều trường khác nhau thì nó lại hoàn toàn bất lực. Cùng với điều đó là sựphát triển mạnh mẽ của toán học cả về bề rộng và bề sâu. Dẫn tới sự ra đờicủa một ngành vật lý mới vật lý lý thuyết.Người ta dùng phương pháp toán học để tìm ra những quy luật mới.Những quy luật tổng quát hơn những quy luật đã biết, đoán trước được mốiquan hệ giữa những hiện tượng vật lý mà thực tế chưa quan sát được. Nó tìmđược những quy luật tổng quát nhất, phản ánh được bản chất vật lý của nhiềuhiện tượng xét một cách tổng quát nhất.Những phương pháp toán học dùng trong vật lý học hiện đại thì rấtphong phú và đa dạng. Nó gồm một khối lượng kiến thức lớn thuộc các ngànhnhư: hàm thực, hàm phức, các phương trình vi phân, các phép tính tíchphân…Các kiến thức toán này nó không những cần thiết cho các bạn sinhviên để tiếp thu, thực hành cũng như nghiên cứu đối với các môn học kháctrong khi học tại trường, mà còn là các công cụ toán hữu ích cho công tác củahọ sau khi ra trường.1GVHD: T.S Phạm Thị Minh HạnhBước đầu khám phá và đi sâu vào các công cụ toán học cũng như ứngdụng của nó trong vật lý. Đề tài: “Phép biến đổi Laplace” cũng là một trongsố những công cụ toán có nhiều ứng dụng quan trọng trong vật lý. Nó giúpchúng ta giải quyết các bài toán vật lý một cách đơn giản hơn. Vì vậy khichọn đề tài này tôi muốn đi sâu vào nghiên cứu, tìm hiểu các công cụ toándùng trong vật lý nói chung và vật lý lý thuyết nói riêng.2. Mục đích nghiên cứu- Nâng cao kiến thức toán học và sử dụng chúng một cách linh hoạt trongnghiên cứu vật lý.- Tìm hiểu các phép biến đổi Laplace trong hệ tọa độ Descartes.- Tìm hiểu các phép biến đổi Laplace trong hệ tọa độ cong, đặc biệt là hai hệtọa độ thường gặp trong vật lý đó là: hệ tọa độ trụ, hệ tọa độ cầu.3. Đối tượng nghiên cứu- Các phép biến đổi Laplace và ý nghĩa của chúng.4. Phương pháp nghiên cứu- Vật lý lý thuyết- Phương pháp giải tích toán học- Đọc tài liệu và tra cứu5. Cấu trúc khóa luậnĐề tài nghiên cứu gồm:- Chương 1: Phép biến đổi Laplace trong hệ tọa độ Descartes.- Chương 2: Phép biến đổi Laplace trong hệ tọa độ cong.- Chương 3: Bài tậpPHẦN 2: NỘI DUNGChương 1PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE TRONG HỆ TỌA ĐỘ DESCARTES1. GRADIEN CỦA TRƯỜNG VÔ HƯỚNG1.1 Trường vô hướng và đạo hàm theo đường (cung)Trường vô hướng là một phần của không gian mà mỗi điểm M của nóứng với một giá trị của một đại lượng vô hướng nào đó f (M). Cho một trườngvô hướng có nghĩa là cho một hàm vô hướng u = f (M) có giá trị phụ thuộcvào từng điểm M của miền V. Trong tọa độ Descartes Oxyz ta có:u = f (M) = f (x, y, z)Ví dụ 1: Xét sự phân bố nhiệt độ trong một vật thể nào đó. Tại mỗiđiểm được cho tương ứng với một đại lượng vô hướng đó là nhiệt độ tại điểmnày.Ta xét trường vô hướng u = f (x, y, z). Nếu hàm vô hướng u = f (M) củatrường không thay đổi theo thời gian, ta có trường dừng. Nếu f còn phụ thuộccả vào thời gian thì ta có trường không dừng hay trường thay đổi f (M, t). Đểbiểu diễn hình học trường vô hướng ta dùng khái niệm mặt mức. Tập hợp tấtcả các điểm sao cho đại lượng u nhận cùng một giá trị C được gọi là mặt mứctương ứng với số C. Ứng với mỗi giá trị của C ta có một mặt mức, cho C cácgiá trị khác nhau ta có họ mặt mức.Ví dụ như, đối với trường u = x +y + z mặt mức tương ứng với giá trị 1 là mặtphẳng x + y + z = 1. Mặt mức đối với giá trị 2 là mặt phẳng x + y + z = 2. Đốivới trường vô hướng cầu nào đó, mặt mức là một mặt cầu với tâm tại gốc tọađộ, ví dụ đối với trường122x y z241y  x2  y2  z 2mặt mức u = 4 là hình cầu1hay x2  y2  z2  .4Giả sử cho đường cong L và trên đường cong này ta chọn một hướngnào đó (ví dụ theo chiều mũi tên). Khi đó đường cong gọi là được định hướng(H.1.1).Giả sử M và M1 là 2 điểm trên đường cong, kí hiệu S là độ dài cungMM1 , Slấy dấu + nếu điểm M1 đứng sau điểm M vàlấy dấu - nếu điểm M1 đứng trước điểm M.Tốc độ trung bình của hàm u = f (M) dọc theocung M M1 là tỷ số của số gia của hàm (khi dịchM1● LMH.1.1chuyển từ M đến M1 ) và độ dài cung S , tức bằng:f (M )  f (M1 )SĐạo hàm theo đường cong L tại điểm M1 là giới hạn của tỷ số:f (M )  f (M1khi điểm M dịch chuyển dọc theo đường cong L tiến đến)Sfđiểm M1 . Kí hiệu đạo hàm qua , ta có:Lf=LlimM M1f (M )  f (M1)S(1.1)Ta có thể dễ dàng chứng minh:cos fffcos  cos  M1 fL =  M1MMxy 1z 1(1.2)trong đó   là các góc tạo bởi vectơ tiếp tuyến với đường cong L tại cácđểm M1 và các trục toạ độ. Đạo hàm theo đường cong tại điểm M1 không phụthuộc vào hình dạng đường cong mà chỉ phụ thuộc vào hướng của tiếp tuyếnvới L tại điểm M1 nói cách khác,nếu các đường cong L1vàL2 điquaM1 có tại điểm này cùng một vectơL1tiếp tuyến, thì đạo hàm tại điểmnày theo đường conghàm theo đường congL2M1L1 bằng đạo(H. 1.2).L2H. 1.21.2 Gradien của trường vô hướngTa xét trường vô hướng u = f(x, y, z) và tính đạo hàm của u theo hướng vectơ  , trong đ ó = ai + b j + ck . Người ta gọi đạo hàm theo hướng của vectơ tại điểm M là đạo hàm theo cung L bất kỳ đi qua M và tiếp xúc với . Đạouuhàm riênglà đạo hàm theo hướng vectơ i , đạo hàm riênglà đạo hàmxyutheo hướng vectơ j , đạo hàm riêngk . Trướclàđạohàmtheohướngvectơzhết hãy tìm các cosin theohướng của vectơ  .aa 2  b2  c2 ; cos  ; cos  bcos  22a b cca 2  b2  c22Do đóuuuux a  yb  cz(1.3)22a b c2Trong biểu thức trên tử số là tích vô hướng cuả vectơ  và vectơ có toạđộ là (u u u,,). Gọi vectơ này là gradien của u và ký hiệu gradu:x y zGradu =uxi +uy u j+kz(1.4)Do đó: u  graduu gradu  .    cos(gradu, )Hay là:  Vậy:u  gradu  .cos(gradu, )(1.5)Ta thấy vế phải của (1.5) là hình chiếu của gradu lên hướng . Từ đây tasuy ra đạo hàm tại điểm M theo hướng gradu là lớn nhất. Như vậy gradu làvectơ mà theo hướng của nó hàm u tăng với vận tốc lớn nhất.x3 y2 xuất phát từ M (1, 2, 1) theoVí dụ 1: Cho trường vô hướng u zhướng nào hàm u tăng nhanh nhất.Giải:gradu gradu tạiM2 23x y  2x3u  u  u ijkiyxyzzz x3 y 2 jkz2graduM  12i  4 j  kĐạo hàm theo hướng gradien, tứcu(   max 122  42  (4)2 176  13.3Ví dụ 2: Tìm đạo hàm của hàm sốhướng vectơ M 0M1Giải:Ta thấytrong đó M1 (3, 0) .  M0M1 (2, -2)   2;ux 2x  y ;2uy 2xyDo đó: (6, 4) vàgradu M022u  x  y x tại điểm M 0 (1,2)theougradu. 2Định lí: Giả sử gradien của hàm u = f (x, y, z)gradutại điểm M khác không. Khi đó nó vuông góc vớiđường cong bất kỳ đi qua điểm M và nằm trong mặtmức u(x, y, z) = C, C là hằng số.MlChứng minh: Vẽ qua điểm M đường cong lH.1.3nằm trong mặt mức, bởi vì hàm u không thay đổi khiunó chuyển động theo đường cong l, nên  0 . Nhưng đạo hàm theo cung llubằng đạo hàm theo hướng tiếp xúc vì thế   0 .uTheo công thức:  gradu  .cos(gradu, ) , dou  0 và gradu ≠ 0 nên0cos(gradu, )  0 . Tức là góc giữa  và gradu bằng 90 .Quỹ tích các tiếp tuyến tại điểm M 0 với các đường cong nằm trong mặtmức gọi là mặt tiếp xúc với mặt này tại điểm M 0 . Nếu M 0 có các toạ độ(x0 , y0 , z0 ) thì:gradu  uM0x)xy z u.i  )x0 0 0yy z u.j )x0 0 0zy z.k0 0 0Phương trình của mặt phẳng tiếp xúc với mặt mức là:ux)x y z .(x  x0 )  0 0 0uy)x y z .( y  y0 )  0 0 0uz)x y z .(z  z0 )  0 (1.6)0 0 0Chú ý: Nếu cho mặt xác định bởi f (x, y, z) = 0, ta có thể xem nó là mặtmức của hàm u = f (x, y, z) với C = 0. Do đó ta có thể viết mặt phẳng tiếp xúcvới mặt f (x, y, z) = 0 nhờ công thức (1.6).Ví dụ 3: Hãy viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt parabolicz  x  y tại điểm M (2, 1, 5).22Mặt đã cho có thể xét như một mặt mức của hàm u  z  x2  y2 .Bởi vì: gradu  2xi  2 y j 1k ,cho nêngradu0M  4.i  2. j  k .Do đó phương trình của mặt phẳng tiếp xúc của mặt parabolic đã chotại M có dạng:4(x  2)  2( y 1) 1(z  5)  0hay4x  2 y  z  5  01.3 Các tính chất của GradienGradien có các tính chất rất quan trọng sau đây mà ta có thể sử dụngtrong chứng minh các công thức vật lý:a/ grad(u+v) = gradu + gradv(1.7)b/ grad(uv) = u.gradv + v. gradu(1.8)u(v≠0)vgradu 2c/ grad ugradvv v(1.9)1.4 Ý nghĩa vật lý của gradienTừ (1.3) ta thấy gradien của một đại lượng vô hướng cho ta một vectơ.Cho nên trong vật lý người ta dùng phươngpháp trong đó tính một đại lượng vô hướng(không đơn trị) một cách đơn giản hơn, nhưnggradien của nó lại cho ta một đại lượng vật lýH.1.4thực dưới dạng vectơ, đơn trị, có thể đo đượctrên thực nghiệm. Thí dụ, trong điện động lực học người ta tính thế vô hướngφ (không đơn trị), nhưng E  grad là cường độ điện trường có thể đo đượctrên thực nghiệm.2. DIVE CỦA TRƯỜNG VECTƠ2.1 Trường vectơ-đường vectơ2.1.1 Trường vectơ – đường vectơTrong vật lý ta luôn tiếp xúc với các trường vectơ như trường lực,trường từ hay trường điện như E  grad được nêu ở trên. Để biểu diễn hìnhhọc trường vectơ ta dùng các đường vectơ, là các đường trong không gian màtại mỗi điểm của nó vectơ A nằm dọc theo tiếp tuyến của trường tại điểm này.Nếu trường vectơ là trường lực hấp dẫn, thì các đường vectơ (gọi là cácđường lực) là các tia xuất phát từ gốc toạ độ. Trong trường gradien gradAđường vectơ của trường là đường mà khi chuyển động dọc theo nó, đại lượngu tăng với vận tốc lớn nhất.Để tìm đường vectơ của trườngA  P(x, y, z)i  Q(x, y, z) j  R(x, y, z)kTa tiến hành như sau:Giả sử phương trình tham số của đường vectơ làx=x(t) ;y=y(t) ;z=z(t)Khi đó vectơ tiếp xúc tại điểm tuỳ ý của đường này có dạng x  y  z ijktttTheo định nghĩa của trường vectơ, vectơ này đồng phương với vectơcủa trường tại điểm (x, y, z). Vì thế hình chiếu lên các trục toạ độ của cácvectơ này tỉ lệ với nhau.dxdydzdtdtdtP(x, y, z) Q(x, y, z) R(x, y, z)(2.1)Gọi giá trị chung của các tỉ số trên là (x, y, z) ta có:dxdtdydt (x, y, z, t)P(x, y, z) ; (x, y, z, t)Q(x, y, z) ;(2,2)dzdt (x, y, z, t)R(x, y, z) .Chú ý: vì hàm (x, y, z, t) được chọn tuỳ ý nên phương trình củađường vectơ là không duy nhất.Ví dụ: Ta xét trường hấp dẫn sinh ra bởi chấtzđiểm đặt tại gốc toạ độ. Khi đó các đường vectơlà các tia xuất phát từ gốc toạ độ, vì thế ốngOvectơ trong trường này có dạng hình nón vớiyđỉnh ở gốc toạ độ (H.2.1).xH.2.12.1.2 Thông lượng của trường vectơ qua một mặt2.1.2.1 Thông lượngTa xét một mặt trơn, hữu hạn S đặt trong một trường vectơ A nào đó.Ta chọn trên mặt này một hướng xác định mà ta gọi đó là hướng dươnghướng ngược lại của mặt là hướng âm. Ta nói rằng mặt như vậy là mặt địnhhướng.Ta kí hiệu vectơ pháp tuyến đơn vị tại điểm M của mặt S sao cho vectơnày hướng từ âm sang dương là vectơ n . Vị trí của vectơ n phụ thuộc vào vịtrí điểm M trên mặt. Xét hàm f (M) = ( A , n ) được xác định tại mọi điểm của mặt S. Nếu A Pi Q j Rvà các góc chỉ phương của vectơ n tương ứngbằng , ,  tức là:  cosn  cosi  cos jkthì f(M)  P cos   Q cos  R cos hàm này liên tục trên mặt S, do đó tồn tại tích phân của hàm f(M) trên mặt S.Tích phân này gọi là thông lượng của trường vectơ qua S và được ký hiệubằng chữ := S ( A,n)dS= (P cos Qcos   R cos  )dS(2.2)SChú ý: Khi thay đổi hướng của mặt S ta thay đổi dấu của thông lượng.Nếu mặt S là mặt kín thì ta thường định hướng như sau: Hướng bênngoài của mặt là hướng dương, hướng bên trong là hướng âm.2.1.2.2 Ý nghĩa vật lý của thông lượngTrong trường hợp thuỷ động học, thông lượng qua mặt được địnhhướng bằng khối lượng chất lỏng chảy qua mặt này trong một đơn vị thời gian.Ta xét trường hợp mặt kín S. Nếu thông lượng qua S là mặt dương điềunày nghĩa là lượng chất lỏng chảy từ một phần của không gian được giới hạnbởi mặt S lớn hơn lượng chất lỏng chảy vào nó. Ngược lại, nếu thông lượngâm thì lượng chảy vào S lớn hơn lượng chất lỏng chảy ra từ S.Ví dụ: Cho trường vectơA  (x  y)i  ( y  x) j  zkTính thông lượng của trường này qua bề mặt của hình cầu bán kính vớitâm tại gốc toạ độ.Trong trường hợp này pháp tuyến tại điểm bất kỳ của mặt S hướng theobán kính vectơ tại điểm này. Vì thế vectơ pháp tuyến đơn vị Rn Rxi  y j  zkx2  y 2  z 2 xi  y j  zkdo x2  y2  z2  1 đối với mọi điểm nằm trên mặt đã cho. Như vậy: 222( A, n)  (x  y)x  ( y  x) y  zz  x  y  zVì thế thông lượng bằngS 222( A, n)dS   (x  y  z )dS   dS  S  4 .SS2.2 Dive của trường vectơ2.2.1 Dive của trường vectơDive (divergen) của trường vectơ A tại điểm M là giới hạn của tỉ sốthông lượng qua mặt kín bao quanh M và thể tích của miền được giới hạn bởibề mặt nàydiv A  lim  ( A, n)dSS(2.3)VV MNhững điểm của trường tại đó dive mang dấu dương được gọi là điểmnguồn. Những điểm mà tại đó dive mang dấu âm được gọi là những điểm hút.Giả sử trường vectơA  Pi  Q j  Rktrong đó P, Q, R là những hàm số có đạo hàm cấp1, 2 liên tục thì div A  limV M lim ( A, n)dS (P cos  Q cos   R cos  )V MS(2.4)SVVtrong đó , ,  là những góc chỉ phương của pháp tuyến ngoài.Theo công thức Ostrogradski ta đưa tích phân mặt về tích phân 3 lớp:div A  limP (xVQyRz)dV(2.5)VV MTheo định lý giá trị trung bình, trong miền V, ta tìm được một điểm MTBcho:(P Q RP Q R )dV  (  )xyzxVyz.VMTBvì thếdiv A  lim (VPxQyRz)dVVV MP Q R lim (  )V M xyzMTBKhi V→ M thì MTB →M, vì thế P Q Rdiv A  xyz(2.6)Từ công thức (2.4) và (2.5) ta có:S ( A,n)ds   div AdVV(2.7)saoNhư vậy thông lượng của trường vectơ A qua bề mặt kín bằng tíchphân 3 lớp của div A trên miền mà bề mặt này giới hạn. Chú ý rằng công thứcnày chỉ được nghiệm đúng trong trường hợp khi div A liên tục trong miền V.Ví dụ: Tính thông lượng của trường vectơA  (x  y)i  ( y  x) j  zkqua mặt cầu đơn vị với tâm tại gốc toạ độ.Giải:div A  (x  y) ( y  x) z3x y  zVậy thông lượng 4   ( A, n)dS   div AdV   3dV  3V  3.   43SVV2.2.2 Trường hình ốngNếu tại tất cả các điểm của miền G nào đó dive của trường A bằngkhông, thì ta nói rằng A là trường hình ống của miền này.Ví dụ: Cho trường hấp dẫnF mR trong miền G nào đó không chứaR3gốc tọa độ. Hãy tính div F . mxGiải: myF222 3/ 2(x  y  z ) i  (x 2  y2  z 2 )3 / 2 j  mz22 3/ 2z )k2(x  y Bằng cách tính trực tiếp ta thấy rằng:divF  0tại điểm bất kỳ khác gốc toạ độ. Vậy F là trường hình ống trong miền G.Bây giờ ta tính dive tại gốc toạ độ.Ta thấy thông lượng qua mặt cầu bán kính a bằng -4π m , tỉ số thônglượng và thể tích hình cầu chứa bên trong bề mặt này bằng4 m 3 m34 3aa3Theo định nghĩa: lim3 m  .(divF )(0,0,0)aa032.2.3 Ý nghĩa vật lý củadivePhép tính dive có nhiều ứng dụng trong vật lý như tính thông lượng củatrường vectơ. Ngoài ra qua biến đổi của tích phân khi tính thông lượng ngườita còn dẫn đến phương trình Maxwell trong điện động lực họcdivD  trong đó D là vectơ cảm ứng điện , còn ρ là mật độ của điện tích tự do.3. ROTA CỦA TRƯỜNG VECTƠ3.1 Lưu thông của trường vectơ theo chu tuyếnTa xét trường vectơ:A  Pi  Q j  Rkvà chu tuyến l nằm trong trường này. Ta gọi tích phân đường(3.1) Pdx  Qdy  Rdzllà lưu thông của trường vectơA theo chu tuyến.Ta hiểu ngầm rằng lưu thông không chỉ phụ thuộc vào A và l, mà còncả hướng của chu tuyến l. Khi thay đổi hướng của đường cong, lưu thông thayđổi dấu.Ví dụ 1: Nếu A là trường lực thì lưu thông của trường theo chu tuyến lbằng công khi dịch chuyển chất điểm trong trường lực dọc theo chu tuyến l.Giả sử đường cong cho dưới dạng tham số:x = (t),y = (t) ,z = (t)với t0  t  Tta có:Pdx  Qdy  Rdz t t  (t)  R t t  t  (t) dt  P t t t  (t) Q t tt0'''lNhư vậy để tính lưu thông của trường vectơ ta có thể áp dụng công thứcstockes Pdx  Qdy  Rdz   (lSQR y)cos +(PzzR)cos  (xQP)cos dSyxTrong trường hợp đặc biệt Pdx  Qdy   (lSQP)dSxy(3.4)3.2 Rota củatrườngTrong không gian Oxyz cho bề mặt S nào đó. Ta xét trường vectơA  Pi  Q j  Rktrong đó P, Q, R và các đạo hàm riêng cấp 1 của nó liên tục tại điểm M thuộcS và trong lân cận của điểm M. Trên bề mặt S, ta vẽ chu tuyến đóng l baozquanh điểm M rồi chọn hướng xác định trênchu tuyến này và tínhn □ Adl .MMoσ lTỷ số lưu thông theo chu tuyến l và diệnStích  của bề mặt S được giới hạn bởi chuOtuyến l trên được gọi là mật độ lưu thông trungbìnhx □ AdlyH.3.1(3.5)l □ Adlta gọi giới hạn : liml Mcó:liml M □ Adlllà mật độ lưu thông tại điểm M trên bề mặt S. Ta liml M□ Pdx  Qdy  Rdzl lim 0QP  RQP( R )cos+()cos()cosdzxxyz  y R QP RQ P(  )cos +(  )cos  (  )cos yzzxxy lim 0PQ )cos +(RP–––Qz xy )cos MR z)cos  ((yxVậy nếu A Pi Q j R M TB(3.6)n  cos i  cos  j  cos kthì mật độ lưu thông tại điểm M theo hướng n bằng:R QP RQ P)cos +( )cos  ()cos yzzxxyBiểu thức trên là tích vô hướng của vectơ n và vectơR Q  P R Q P ( )i+( ) j  (  )kyzzxxyVectơ này chỉ phụ thuộc vào trường vectơ đã cho A . Ta kí hiệu là rot ANhư vậy mật độ lưu thông của trường vectơ A theo hướng n bằng rot A . nRota của trường vectơ A(3.7) R Q  P R Q P rot A  ( )i+()j( )k(yzzxxycó giá trị hoàn toàn xác định (về độ lớn, về hướng) tại mỗi điểm của trường đãcho do đó rota lập thành trường vectơ mới.Biểu thức (3.7) cũng có thể viết dưới dạng định thức như sau:irot A  xPjykzRQ(3.8)Ví dụ 1: Tính rota của trường vectơA cho bởi công thức:222222A  (x  y )i  ( y  z ) j  (z  x )kGiải: Theo công thức (3.8) ta nhận đượcrot A  (2z)i  (2x) j  (2 y)knói riêng, tại điểm (0, 0, 1)rot A  2iVí dụ 2: Xét trường vận tốc tại các điểm của một vật thể rắn quay vớivận tốc góc không đổi 0 quanh trục Oz.Giải: Ta đã biết trường này được cho bởi công thức:A  0 yi  0 x jDo đórot A  (0  0 )k  20 k3.3 Định lý stokes dưới dạng vectơ  Adl   rotn AdSl(3.9)Strong đó rotn A là hình chiếu của vectơ rot A lên pháp tuyến của mặt S. Nhưvậy lưu thông của trường vectơ theo chu tuyến đóng l bằng thông lượng củarotcủa trường này trên bề mặt với biên là chu tuyến l.A3.4 Ý nghĩa vật lý của rotaTừ rota có nghĩa là xoáy cho nên nó mô tả nhiều hiện tượng điện từquan trọng như rota của thông lượng của trường từ H thì sinh ra dòng điệnvới mật độ j rot H  j(3.10)còn rota của thông lượng trường điện E thì sinh ra sự biến thiên của vectơcảm ứng từ Btheo thời gianBrot E  t(3.11)Các phương trình (3.10), (3.11) là các phương trình Maxwell4. CÁC PHÉP TÍNH ĐỐI VỚI DIVE VÀ ROTA4.1 Dive và rota của vectơ hằng số bằng khôngThật vậy, nếu A  ai  b j trong đó a, b, c là hằng số thìck a b cdiv A     0x y zTương tự(4.1)rot A  0(4.2)4.2 Dive và rota có tính chất tuyến tính trong đó A ,Điều này có nghĩa là nếu C   A   BBvectơ;  ,  là các hằng số thìdivC   div A   divBrotC   rot A   rot BChứng minh: Giả sửKhi đó:A  P1 i  Q1 j  R1 kB  P2 i  Q2 j  R2 kC  ( P1   P2 )i  ( Q1   Q2 ) j  ( R1   R2 )kvà (Q1  Q2 ) divC  ( P1   P2 ) xyz(  R1   R2 )P1 Q1 R1P Q R)   ( 2 2 2)xyzxyz  div A   divB(4.3 Các phép tính đối với tíchlà các trườnga/ Giả sử u và v là hai trường vô hướng. Khi đó uv cũng là trường vô hướng tacó:graduv = ugradv+vgradub/ Giả sử u là trường vô hướng, A là trường vectơ. Khi đó uvàlà trường vectơAdivu A  (gradu, A)  udivArotu A  (gradu  A)  urotAĐể chứng minh ta viết vectơ A dưới dạng A  P i  Q j  R k  c/ Giả sử A , là các trường vectơ. Khi đó ( A , B ) là trường vô hướng, còn   B ( A  B ) là trường vectơdiv( A  B)  (Brot A)  ( Arot B)vàKết luận: Chương 1 chúng ta đã nghiên cứu những khái niệm quantrọng về trường và những đặc trưng cơ bản của trường vectơ và trường vôhướng. Cùng với nó là các phép tính của trường như: phép tính gradien củatrường vô hướng, phép tính dive của trường vectơ và phép tính rota củatrường vectơ. Trong phạm vi chương 1 chúng ta chỉ tìm hiểu các phép tínhnày trong hệ tọa độ Descartes vuông góc.

Tài liệu liên quan

• Phép biến đổi Laplace
  • 48
  • 1
  • 1
• Đề tài: Phép biến đổi Laplace
  • 50
  • 957
  • 1
• Tài liệu Luận văn: Phép biến đổi Laplace docx
  • 50
  • 665
  • 4
• Khóa luận tốt nghiệp “Phép biến đổi Laplace”
  • 48
  • 475
  • 0
• Khóa luận tốt nghiệp “Phép biến đổi Laplace” pptx
  • 48
  • 704
  • 0
• Phép biến đổi Laplace : Khoá luận tốt nghiệp đại học
  • 46
  • 524
  • 0
• Phép biến đổi Laplace và một số ứng dụng khóa luận tốt nghiệp
  • 55
  • 650
  • 0
• Phép biến đổi Laplace và ứng dụng khóa luận tốt nghiệp
  • 110
  • 572
  • 0
• Phép biến đổi Laplace và ứng dụng trong việc giải phương trình vi phân thường
  • 59
  • 682
  • 1
• Luận văn thạc sĩ phép biến đổi laplace và ứng dụng
  • 78
  • 353
  • 0

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

(296.33 KB - 68 trang) - Phép biến đổi Laplace Tải bản đầy đủ ngay ×