Phép Thế Euler | Bi Bô

Có thể bạn quan tâm

Phép thế Euler dùng để hữu tỉ hóa những tích phân có dạng

$I=\int f(x,\sqrt{ax^2+bx+c})dx,$

tức là ta sẽ chuyển tích phân kiểu này về tích phân của các hàm số hữu tỉ. Có 3 phép thế Euler. Cụ thể là

a) Phép thế Euler thứ nhất:

Nếu $a>0$ , thì chúng mình đặt $\sqrt{ax^2+bx+c}=\sqrt{a}.x\pm t$ (hoặc đặt $\sqrt{ax^2+bx+c}=t\pm \sqrt{a}.x$ cũng chẳng sao, tùy vào mục đích và khẩu vị của bạn), chặng hạn $\sqrt{ax^2+bx+c}=\sqrt{a}.x - t$

Khi ấy, bằng cách phá vỡ căn thức để giải thoát cái mớ trong căn thức, thì chúng mình có $ax^2+bx+c=ax^2-2axt+t^2$ hay là $x=\dfrac{t^2-c}{2at+b}$ và từ đấy mình chuyển $I$ về tích phân các hàm số hữu tỉ.

Ví dụ 1: Tính tích phân $I=\int\dfrac{dx}{x+\sqrt{x^2-x+1}}.$

Giải:

Đặt $\sqrt{x^2-x+1}=t-x,$ thì có ngay $x=\dfrac{t^2-1}{2t-1}.$ Lấy vi phân 2 vế, thì mình có $dx=\dfrac{2(t^2-t+1)}{(2t-1)^2}dt.$ Theo đó, tích phân của chúng mình trở thành

$I=2\int\dfrac{t^2-t+1}{t(2t-1)^2}dt.$

Đến đây mà băn khoăn nữa thì đừng đi thi Đại học cho đỡ tắc đường Hà Nội nha. !

Ví dụ 2: Tính tích phân $I=\int\dfrac{dx}{\sqrt{x^2+a}},\;a\neq 0.$

Giải: Đặt $\sqrt{x^2+a}=t-x,$ thì bằng cách bình phương 2 vế để đập vỡ cái căn kia, chúng mình có $x=\dfrac{t^2-a}{2t}$ và lấy vi phân 2 vế là có $dx=\dfrac{t^2+a}{2t^2}dt$ , để rồi tích phân ban đầu mà mình muốn chinh phục trở thành