Phương Pháp Chứng Minh Tứ Giác Nội Tiếp đường Tròn

1. Định nghĩa tứ giác

Một tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đường tròn gọi là tứ giác nội tiếp đường tròn (gọi tắt là nội tiếp đường tròn).

                                                

2. Định lí

Trong một tứ giác nôị tiếp, tổng số đo hai góc đối diện bằng 180°

ABCD nội tiếp đường tròn (O)

3. Định lí đảo

Nếu tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng 180° thì tứ giác đó nội tiếp được đường tròn.

4. Một số phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp dường tròn

• Chứng minh cho bốn đỉnh của tứ giác cách đều một điểm nào đó.
• Chứng minh tứ giác có tổng 2 góc đối bằng 1800
• Chứng minh từ hai đỉnh cùng kề một cạnh cùng nhìn một cạnh dưới hai góc bằng nhau.
• Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối bằng thì tứ giác đó nội tiếp được trong một đường tròn.
• Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối của đỉnh đó thì nội tiếp được trong một đường tròn.
• Chứng minh bằng phương pháp phản chứng

Ví dụ: Cho ΔABC nhọn, các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Chứng minh rằng:

a) Tứ giác BCEF nội tiếp.

b) HA.HD = HB.HE = HC.HF.

Giải.

                                             

a) Ta có \[\widehat{BEC}=\widehat{BFC}={{90}^{o}}\]

Suy ra các điểm E, F cùng thuộc đường tròn đường kính BC hay tứ giác \[BCEF\]nội tiếp.

b)  Vẽ đường tròn đường kính BC. Xét \[\Delta BHF~\] và \[\Delta CHE\] có:

\[\widehat{EBF}=\widehat{ECF}\]  (hai góc nội tiếp cùng chắn ).

\[\widehat{FHB}=\overset\frown{EHC}\] (đối đỉnh).

Suy ra \[\Delta BHF\sim \Delta CHE\] (g.g)

$\frac{BC}{CH}=\frac{HF}{HE}$ hay $HB.HE=HC.HF$(1)

Chứng minh tương tự ta có:

$HA.HD=HB.HE$(2)

Từ (1) và (2) suy ra: $HA.HD=HB.HE=HC.HF.$

Bài viết gợi ý:

1. Bài toán về quỹ tích và cung chưa góc

2. Góc có đỉnh nằm bên trong đường tròn và bên ngoài đường tròn

3. Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung

4. Lí thuyết về góc nội tiếp đường tròn

5. Hướng dẫn giải bài toán bằng cách lập phương trình

6. Giải phương trình bằng cách quy về phương trình bậc hai một ẩn

7. Hệ thức Vi-ét và ứng dụng