Phương Pháp Ghép Trục Trong Bài Toán Hàm Hợp - 123doc

Phương pháp ghép trục trong bài toán hàm hợp chuyên đề khảo sát hàm số ôn thi THPTQG..............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

KÊNH PPT TIVI PHƯƠNG PHÁP GHÉP TRỤC TRONG BÀI TOÁN HÀM HỢP

Tổng hợp: Thủy Đinh Ngọc

I NGUYÊN TẮC GHÉP TRỤC XÉT SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM HỢP g  f u x   

Bước 1: Tìm tập xác định của hàm g  f u x   , giả sử ta được tập xác định

 1; 2  3; 4  n 1; n

D  a a  a a   a  a Ở đây có thể làa1  ;an  

Bước 2: Xét sự biến thiên của u u x và hàm y f x( )(B2 có thể làm gộp trong bước 3 nếu nó đơn giản)

Bước 3: Lập bảng biến thiên tổng hợp xét sự tương quan giữa x u; u x  và u g;  f u( )

Bảng này thường có 3 dòng dạng

Cụ thể các thành phần trong BBT như sau

Dòng 1: Xác định các điểm kỳ dị của hàm u u x , sắp xếp các điểm này theo thứ tăng dần từ trái qua phải, giả

sử như sau: a1 a2  an1 an(xem chú ý 1)

Dòng 2: Điền các giá trị ui u a i với i1, ,n

Trên mỗi khoảng u ui; i1,i1,n1 cần bổ xung các điểm kỳ dị b b1; ; ;2 bk của của hàm y f x( ) Trên mỗi khoảng u ui; i1,i1,n1 cần sắp xếp các điểm u bi; ktheo thứ tự chẳng hạn:

u  b b  b u hoặc ui  b1 b2   bk ui1 (xem chú ý 2)

Dòng 3: Xét chiều biến thiên của hàm g  f u x    dựa vào BBT của hàm y  f x( ) bằng cách hoán đổi:

u đóng vai trò của x; f u đóng vai trò của f x 

Sau khi hoàn thiện BBT hàm hợp g  f u x    ta thấy được hình dạng đồ thị hàm này

Bước 4: Dùng BBT hàm hợp g  f u x    giải quyết các yêu cầu đặt ra trong bài toán và kết luận

Chú ý 1:

- Các điểm kỳ dị của uu x( )gồm: Điểm biên của tập xác định D, các điểm cực trị của uu x 

- Nếu xét hàm u  u x  thì trong dòng 1 các điểm kỳ dị còn có nghiệm của pt u x  (là hoành độ giao 0điểm của u u x( )với trục Ox )

- Nếu xét hàm uu x  thì trong dòng 1 các điểm kỳ dị còn có số 0 (là hoành độ giao điểm của u u x( )với trục Oy )

Chú ý 2:

- Có thể dùng thêm các mũi tên để thể hiện chiều biến thiên của uu x 

- Điểm kỳ dị của y  f x( )gồm: Các điểm tại đó ( )f x vàf x( ) không xác định; các điểm cực trị hàm số ( )

y  f x

- Nếu xét hàm g  f u x    thì trong dòng 2 các điểm kỳ dị còn có nghiệm của pt f x  (là hoành 0

độ giao điểm của uu x( )với trục Ox )

- Nếu xét hàm g  f u x    thì trong dòng 2 các điểm kỳ dị còn có số 0 (là hoành độ giao điểm của ( )

y  f x với trục Oy )

II ĐỀ MINH HỌA CỦA BỘ GIÁO DỤC

Số nghiệm thuộc đoạn  ;2  của phương trình 2 sinf x 3 0 là

Lời giải Chọn B

Ứng với mỗi giá trị t 0;1 thì phương trình có 4 nghiệm 0  x5 x6 

Hiển nhiên cả 6 nghiệm trong 2 trường hợp trên đều khác nhau

Vậy phương trình đã cho có 6 nghiệm thuộc đoạn  ;2 

Ta có 2 sin  3 0 sin  3.

2

Do đó tổng số nghiệm của phương trình đã cho là 6

g x  f x  x là

Lời giải Chọn C

Ta có đồ thị của hàm h x x33x2 như sau

Từ đồ thị ta thấy:

Đường thẳng y a cắt đồ thị hàm số y h x   tại 1 điểm

Đường thẳng y b cắt đồ thị hàm số y h x   tại 3 điểm

Đường thẳng y c cắt đồ thị hàm số y h x   tại 1 điểm

Như vậy phương trình g x 0 có tất cả 7 nghiệm đơn phân biệt

Số nghiệm thuộc đoạn 0;5

Khi đó phương trình fsinx1 trở thành f t    1, t  1;1

Đây là phương trình hoành độ giao điểm của hàm số y f t  và đường thẳng y 1

Dựa vào bảng biến thiên, ta có   1   1; 0

Hiển nhiên cả 5 nghiệm trong 2 trường hợp trên đều khác nhau

Vậy phương trình đã cho có 5 nghiệm thuộc đoạn 0;5

Khi đó phương trình fsinx1 trở thành f t    1, t  1;1

Do đó tổng số nghiệm của phương trình đã cho là 5

III PHÁT TRIỂN CÂU 45 – 46

Câu 1: Cho hàm số y f x  có đồ thị được cho như ở hình vẽ bên dưới Hỏi phương trình

 3 3 1 2 1 

f x     x có tất cả bao nhiêu nghiệm thực phân biệt?

A 8 B 6 C 9 D 11.

Lời giải Chọn B

Dựa vào đồ thị hàm số y x  3 3x 1 (hình vẽ dưới đây)

Ta suy ra: Phương trình (1), (2), (4) mỗi phương trình có 1 nghiệm, phương trình (3) có 3 nghiệm

và các nghiệm này đều phân biệt

Vậy phương trình đã cho có 6 nghiệm phân biệt

f x  x  f u như sau:

Từ bảng trên ta thấy phương trình f u 1 có 5 nghiệm và phương trình f u 3 có 1

nghiệm Vậy phương trình đã cho có 6 nghiệm

Câu 2: Cho hàm số f x  liên tục trên  và có bảng biến thiên như hình bên

Số giá trị nguyên của tham số m để phương trình f2cosx  3m f cosx2m10 0 có đúng 4 nghiệm phân biệt thuộc đoạn ;

A 6 B 9 C 10 D 11

Lời giải Chọn C

Phương pháp ghép trục

Theo bài ra ta có bảng biến thiên tổng hợp:

Đồ thị hàm số y f x   3  3 x2là phần nét liền

m để phương trình 3f x 3 3x  m có 8 nghiệm phân biệt

Lời giải Chọn A

Phương pháp ghép trục

Dựa vào bảng biến thiên, phương trình 3f x 3 3x  m có 8 nghiệm phân biệt khi và chỉ

Từ hai BBT trên ta có BBT của hàm số g x( ) f f x   1 f u 

Vậy hàm số ban đầu có 3 điểm cực trị

thị hàm số y f x( ) như hình vẽ

Tìm số điểm cực trị của hàm số yg x( ) f x 24x5

Lời giải Chọn C

Câu 7: Cho hàm số y f x  liên tục trên R có đồ thị như hình vẽ

Tìm số nghiệm của phương trình fsinxcosx 2 0 trên đoạn 0; 2 

Lời giải Chọn B

3 3

  có 2 nghiệm trên đoạn 0;2  và các nghiệm là khác nhau

Vậy của phương trình fsinxcosx 2 0 có 4 nghiệm trên đoạn 0;2 

xy

-3-4

-2-1

2-1

-2

x y

-3 -4

-2 -1

2 -1

-2

x y

9π 4

5π 4

-π

4

y = a32

y = -12

1

O

1

Từ đồ thị hàm số y f x  và từ bảng biến thiên của hàm số usinxcosx ta có bảng sau:

Từ bảng trên ta thấy phương trình f u  2 có 4 nghiệm x

Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm x

Câu 8: Cho hàm số y f x  có bảng biến thiên như sau:

Số nghiệm thuộc khoảng ;2

  của phương trình f 2 cosx1 2 là 6

Câu 9: Cho hàm số y f x  liên tục và xác định R và có đồ thị như hình vẽ Hàm số y f x 24 x

có tất cả bao nhiêu điểm cực trị?

Lời giải Chọn A

Cách 2: PP tự luận truyền thống

Đặt u x x24 x u 2x4 0 x2

Câu 10: Cho hàm số y f x  liên tục trên  có đồ thị như hình vẽ Phương trình f 1f x  0 1 

có tất cả bao nhiêu nghiệm thực phân biệt?

Lời giải Chọn B

Từ bảng trên ta thấy phương trình f u 0 có 7 nghiệm phân biệt

Câu 11: Cho hàm số y f x  có đạo hàm trên  và có đồ thị là đường cong như hình vẽ Đặt

  3     4

g x  f f x  Số điểm cực trị của hàm số g x  là

Lời giải

+ f x 0 có 3 nghiệm đơn phân biệt x1, x2, x3 khác 0 và a

+ Vì 2 a 3 nên f x a có 3 nghiệm đơn phân biệt x4, x5, x6 khác x1, x x2, 3, 0, a Suy ra g x 0 có 8 nghiệm đơn phân biệt

Do đó hàm số g x 3f f x   4 có 8 điểm cực trị

Cách 2: Phương pháp ghép trục

Đặt u f x 

Từ đồ thị của hàm y f x  ta suy ra BBT của hàm u f x  và hàm g x 3f f x   4

như sau (với 2 a 3; f    5 5 f a  4)

Từ BBT của hàm hợp ta có hàm số g x 3f f x   4 có 8 điểm cực trị

Câu 12: Cho hàm số bậc bốn y f x  có đồ thị như hình vẽ dưới đây

Số điểm cực trị của hàm số g x  f x 33x là 1

A 3 B 5 C 7 D 11

Lời giải Chọn D

Cách 1: Phương pháp tự luận truyền thống

Do y f x là hàm số bậc bốn nên là hàm số liên tục và có đạo hàm luôn xác định tại x 

1;3

x xx





    , từ đó ta có BBT của yh x  như sau

Từ BBT của hàm số h x x33x1 nên ta có h x  x1  0;1 có ba nghiệm phân biệt,

x ax

Từ bảng biến thiên trên ta thấy hàm số g x  f x 33x có 11 điểm cực trị 1

Câu 13: Cho hàm số y f x  liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ

Tìm tất cả các giá trị mđể phương trình

2 2

1

xt

Dựa vào bảng biến thiên ta có x   t  1; 2

Vậy phương trình

2 2

1

xt

  có nghiệm khi và chỉ khi 2m4

Câu 14: Cho hàm số y f x( ) liên tục trên R và đồ thị có ba điểm cực trị như hình dưới đây

3 3

11

Phương trình (1) có 1 nghiệm khác  1, vì    4 a 1

Phương trình (2) có 1 nghiệm khác  1, vì   1 b 0

Phương trình (3) có 3 nghiệm phân biệt khác  1, vì 0 c 4

Như vậy phương trình '( ) 0g x  có 7nghiệm phân biệt, tức là hàm số g x( ) f x( 33x2)

có 7 điểm cực trị Chọn B

Cách 2: Phương pháp ghép trục

Ta có hàm số g x( ) f x( 33x2)

Đặt t x    3 3x 2 t 3x2     3; t 0 x 1

Khi đó hàm số trở thành g t  f t 

Từ đồ thị hàm số g x  f x ta có các điểm cực trị a   ; 1 , b  1;0 , c0; Khi đó ta có bảng biến thiên sau:

Từ đó suy ra hàm số g x  f  x22x2 có 1 điểm cực đại

Chú ý: Cách xét dấu  hay  của g x'  để cho nhanh nhất ta lấy một giá trị x0 thuộc khoảng đang xét rồi thay vào g x . Chẳng hạn với khoảng   1; 1 2 2 ta chọn

2 2

Bảng biến thiên của hàm số f u  f x22x2(Dựa vào đồ thị của hàm số f u )

Quan sát bảng biến thiên ta thấy hàm số f u  f  x22x2 có một điểm cực đại

BÀI TẬP CHO HỌC SINH Câu 16: Cho hàm số y f x  liên tục trên và có bảng biến thiên như sau:

Bảng biến thiên của hàm số f u  trên nửa khoảng 0;1

Quan sát bảng biến thiên ta thấy phương trình   13

3

f u  có hai nghiệm phân biệt

Câu 17: Cho hàm số f x  có bảng biến thiên như sau:

Số nghiệm của phương trình f4 x36x29x 3 0 là

Lời giảiChọn D

Lập bảng biến thiên của t 4 x36x29x

Từ bảng biến thiên trên, suy ra

Phương trình  1 có 1 nghiệm

Phương trình  2 có 3 nghiệm

Phương trình  3 vô nghiệm

Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt

Dựa vào bảng, phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt

phương trình f 4x2m có đúng 2 nghiệm phân biệt

Lời giải Chọn B

Dựa vào bảng biến thiên, suy ra phương trình g x m có hai nghiệm phân biết khi

 

11;3

Từ đồ thị hàm số y f x  và bảng biến thiên t x  4x2 ta có bảng sau đây

Từ bảng trên suy ra phương trình f t m có hai nghiệm phân biệt khi m 1;3 hoặc m  1

Do m  nên m  1;2thoả mãn bài toán

Vậy có 2 giá trị m thoả mãn

Câu 19: Cho hàm số y f x( ) xác định liên tục trên  có đồ thị như hình vẽ bên

Số nghiệm thuộc đoạn  0; 4 của phương trình f x( 22 )x 2 là

0 1  b 1 4, như vậy ở trường hợp này phương trình có 1 nghiệm

Kết luận phương trình đã cho có 3 nghiệm trong đoạn  0; 4

Cách 2: Phương pháp ghép trục

Đặt tx22x, ta có ' 2t  x , từ đồ thị của hàm số ( )2 f x đã cho ta có (0) 1f  , (1) ( 1) 2

f  f   và (8)f m  2

Ta có bảng ghép trục như sau:

Qua bảng ta thấy phương trình f t( )  2 f x( 22 )x 2 có 3 nghiệm phân biệt

như hình vẽ

Hàm số y f x 21 có bao nhiêu điểm cực trị?

Lời giải Chọn A

Cách 1: Tự luận truyền thống

3 2

2

2 2

x

xx

Hàm số y f x 21 trở thành hàm số: y f u 

Từ bảng biến thiên của hàm số y f x  và bảng biến thiên của hàm số   2

1

u x x  ta có bảng sau

Từ bảng trên ta thấy hàm số y f x 21 có 5 điểm cực trị

Số nghiệm thực của phương trình 5 1 2f  x 1 0

Lời giải Chọn D

Từ bảng biến thiên ta có   1

5

f u   có 2 nghiệm thực

Suy ra phương trình 5 1 2f  x 1 0 có 2 nghiệm thực

Hàm số g x  f3x2 đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

Lời giải Chọn A

34.3

  

  chỉ chứa khoảng  2;4 Vậy hàm số g x  f3x2 đồng biến trên khoảng  2;4

Câu 23: Cho hàm số f x  có bảng biến thiên như sau:

Số nghiệm thuộc đoạn 7 ;13

Dựa vào bảng biến thiên trên thì phương trình đã cho có 10 nghiệm phân biệt

Câu 24: Cho hàm số bậc bốn y f x  có đồ thị như hình vẽ dưới đây

Số điểm cực trị của hàm số g x  f2x33x2 là

Lời giải Chọn C

xx

Từ BBT của hàm số h x 2x33x2 nên ta có h x x1 có đúng một nghiệm, h x x2 có đúng 1 nghiệm, h x x3 có đúng ba nghiệm phân biệt và các nghiệm này đều khác 0và 1

Vì thế phương trình g x 0 có đúng bảy nghiệm phân biệt và đều là các nghiệm đơn nên hàm số y g x  có 7 cực trị

Câu 25: Cho hàm số f x có bảng biến thiên như sau:

Số nghiệm thuộc đoạn 3 ;2

Vì cosx  1;1 nên cosx a    ; 1 và cosx d 1;  vô nghiệm

Phương trình cosx b   1;0 có 4 nghiệm phân biệt

Phương trình cosx c  0;1 có 3nghiệm phân biệt, không trùng với nghiệm nào của phương trình cosx b   1;0

Vậy phương trình đã cho có 7 nghiệm phân biệt thuộc đoạn 3 ; 2

Từ bảng biến thiên ta được kết quả đường thẳng 3

2

y cắt đồ thị hàm số y f t  tại 7 điểm hay phương trình  * có 7 nghiệm phân biệt trên đoạn 3 ; 2

Câu 26: Cho hàm số bậc bốn y f x  Hàm số y f x  có đồ thị như sau

Số điểm cực đại của hàm số y f  x22x2 là

Lời giải Chọn D

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số y f  x22x2 có một điểm cực đại

Đặt g x 3f f x   4 Số điểm cực trị của hàm số g x  là

Lời giải Chọn B

3 y

x

  0

f x  có 3 nghiệm đơn phân biệt x1, x2, x3 khác 0 và a

Vì 2  nêna 3 f x a có 3 nghiệm đơn phân biệt x4, x5, x6 khác x1, x2, x3, 0 , a Suy ra g x 0 có 8 nghiệm đơn phân biệt

Do đó hàm số g x 3f f x   4 có 8 điểm cực trị

Cách 2 Phương pháp ghép trục

Đặt u  f x , ta có bảng biến thiên hàm f u :

Số điểm cực trị của hàm số g x 3f f x   4 bằng với số điểm cực trị của hàm số f f x   

tức hàm số f u  trên Từ bảng biến thiên của f u , ta được g x  có 8 cực trị

Có bao nhiêu giá trị nguyên của m  10;10 để phương trình f  x22x10 3 m có nghiệm?

Lời giải Chọn C

Từ đồ thị hàm số y f x  và từ bảng biến thiên của hàm số u x22x10 ta có bảng sau

f x  x  f u như sau:

Từ BBT: phương trình f u  m 3 với u3 có nghiệm khi m     3 2 m 1

Mà m  10;10 có 9 giá trị m thỏa mãn

Câu 29: Cho hàm số bậc bốn y f x  Đồ thị hàm số y f x  như hình vẽ bên

Số điểm cực đại của hàm số g x  f x22x2 là

Lời giải Chọn A

Cách 1: PP tự luận truyền thống

Từ đó suy ra hàm số g x  f  x22x2 có 1 điểm cực đại Chọn A

Chú ý: Cách xét dấu  hay  của g x'  để cho nhanh nhất ta lấy một giá trị x0 thuộc khoảng đang xét rồi thay vào g x  Chẳng hạn với khoảng   1; 1 2 ta chọn

Câu 30: [SỞ BN L1] Cho hàm số y f x  liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình

A 3 B 4 C 5 D Vô số

Lời giải Chọn A

2t1  t 3  4t1 9

111

   t Suy ra 0 t 1

Dựa vào đồ thị trên  0;1 hàm số f t luông đồng biến  

Yêu cầu bài toán  đường thẳng y f m 24m4 có điểm chung với đồ thị y f t 

Do m Z     m  3; 2; 1 Chọn A

Câu 31: Cho hàm số y f x  có đồ thị như hình bên dưới

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m sao cho phương trình

x u

5 2

Bài toán trở thành tìm m nguyên để phương trình f u     m 1 có nghiệm u   2;4 Dựa đồ thị bài ra suy ra f u     m 1 có nghiệm     1 m 1 5  2 m 6

xu

5 2

Hỏi phương trình 2f x 2 x có bao nhiêu nghiệm 5

Lời giải Chọn C

 

Ta có bảng biến thiên tổng hợp:

Từ đó suy ra phương trình   5

2

h x  có 4 nghiệm phân biệt dương

Suy ra phương trình g x  có 8 nghiệm phân biệt 52

Câu 33: Cho hàm số y f x  xác định và liên tục trên  và có đồ thi như hình vẽ

Số giá trị nguyên của tham số m để phương trình 7.f5 2 1 3cos  x3m10 có đúng hai nghiệm phân biệt thuộc đoạn ;

+) Với 1  , suy ra phương trình t 3   1 có hai nghiệm thuộc ;

2 1 3cos

xu

Lập bảng biến thiên của hàm số f u  

Từ bảng biến thiên suy ra: Để phương trình  1 có đúng hai nghiệm phân biệt thì:

Với m là số nguyên ta được m  1;0;1;2;3; 6 

Vậy có tất cả 6 giá trị của m