PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN DAO ĐỘNG CỦA CON LẮC LÒ XO ...

Trong quá trình dạy ôn thi THPT quốc gia, tôi nhận thấy dạng bài tập con lắc dao động chịu thêm tác dụng lực ma sát làm cho biên độ thay đổi, cơ năng thay đổi. Dao động là dạng bài tập thường gặp nhưng lại gây ra nhiều khó khăn, lúng túng cho học sinh. Nhiều học sinh nhớ công thức, nhớ dạng bài một cách máy móc, do đó chỉ làm được các bài tập quen thuộc, do học sinh không hiểu kỹ lý thuyết vì vậy không nhớ và vận dụng được công thức vào các bài toán. Các lực ma sát từ bên ngoài làm thay đổi biên độ dao động của vật thường gặp là: vật dao động chịu thêm lực ma sát, lực cản của môi trường, thì biên độ của vật giảm… Vì vậy, việc tìm ra một hướng giải chung giúp học sinh định hướng cách giải cho từng bài cụ thể là rất cần thiết.

PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN DAO ĐỘNG CỦA CON LẮC LÒ XO VÀ CON LẮC ĐƠN KHI CÓ LỰC MA SÁT

Người viết: ………… – Giáo viên Vật lí – Trường THPT………

Đối tượng: Học sinh lớp 12 ôn thi THPT quốc gia và bồi dưỡng học sinh giỏi.

Dự kiến thời gian giảng dạy: 4 tiết.

PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ.

Trong các chương trình ôn thi THPT quốc gia thì chương dao động cơ là chương cókiến thức và các dạng bài tập nhiều và khó Đặc biệt trong chương này, dao động tắt dầnlà phần khó hơn cả Tuy nhiên, kiến thức về dao động tắt dần mà sách giáo khoa cung cấpthì ít Số tiết luyện tập theo phân phối chương trình về dạng bài tập này có một tiết lạicàng làm cho học sinh khó hiểu và không vận dụng để làm các bài tập được Do đó, việccung cấp thêm cho học sinh các công thức để làm bài tập là rất cần thiết

Thực trạng việc giải bài tập phần dao động tắt dần của học sinh: Sách giáo khoa chỉtrình bày kiến thức về dao động tắt dần dạng lí thuyết không đưa ra công thức làm bài tập.Nếu học sinh gặp phải các bài tập tự luận đòi hỏi phải tính toán, phải sử dụng các côngthức thì học sinh sẽ khó khăn áp dụng Theo phân phối chương trình số tiết dành cho việcluyện tập về dao động tắt dần được gộp chung với dao động duy trì, dao động cưỡng bức,sự cộng hưởng và tổng hợp dao động thành một tiết Với thời lượng như vậy, giáo viênkhó có thể cho học sinh luyện tập được nhiều về dao động tắt dần Đặc biệt, đây lại làphần kiến thức khó

Trong quá trình dạy ôn thi THPT quốc gia, tôi nhận thấy dạng bài tập con lắc daođộng chịu thêm tác dụng lực ma sát làm cho biên độ thay đổi, cơ năng thay đổi Dao độnglà dạng bài tập thường gặp nhưng lại gây ra nhiều khó khăn, lúng túng cho học sinh.Nhiều học sinh nhớ công thức, nhớ dạng bài một cách máy móc, do đó chỉ làm được cácbài tập quen thuộc, do học sinh không hiểu kỹ lý thuyết vì vậy không nhớ và vận dụngđược công thức vào các bài toán Các lực ma sát từ bên ngoài làm thay đổi biên độ daođộng của vật thường gặp là: vật dao động chịu thêm lực ma sát, lực cản của môi trường,thì biên độ của vật giảm… Vì vậy, việc tìm ra một hướng giải chung giúp học sinh địnhhướng cách giải cho từng bài cụ thể là rất cần thiết

Trong chuyên đề này tôi trình bày lý thuyết cơ bản về dao động tắt dần của con lắclò xo và con lắc đơn khi chịu tác dụng của lực mát, lực cản môi trường, từ đó tôi đưa racác dạng bài tập cơ bản và phương pháp tính nhanh khi làm bài tập trắc nhiệm

PHẦN II: HỆ THỐNG KIẾN THỨC SỬ DỤNG TRONG CHUYÊN ĐỀ A- LÝ THUYẾT.

1- Định nghĩa: Dao động tắt dần là dao động có

biên độ giảm dần theo thời gian

2- Nguyên nhân: Lực cản của môi trường tác dụng lên vật

làm giảm cơ năng của vật Cơ năng giảm thì thế năng cựcđại giảm, do đó biên độ A giảm dẫn tới dao động tắt dần.Dao động tắt dần càng nhanh nếu môi trường càng nhớt

B: BÀI TẬP DAO ĐỘNG TẮT DẦN CHẬM CỦA CON LẮC LÒ XO

Bài toán: Con lắc lò xo có độ cứng k, vật khối lượng m chuyển động với hệ số ma sát

không đổi  tại nơi có gia tốc trọng trường g Thời điểm ban đầu vật ở vị trí biên A.a- Tính độ giảm biên độ sau mỗi chu kỳ?

b- Vật thực hiện được bao nhiêu dao động thì dừng lại?c- Quãng đường đi được đến khi vật dừng lại?

A A mg kA

kA     → k(A2  A' 2 )  2 mg(AA' )→

k mg A' 2

Vậy trong một chu kỳ độ giảm biên độ: const

k mg A

c- Áp dụng định luật bảo toàn năng lượng: Khi dừng hẳn toàn bộ cơ năng của con lắcchuyển hoá hoàn toàn thành công của lực ma sát: kA2  mgS

2 1

→ S kA mg

 2

2

 (1.3)d- Vật dao động với vận tốc cực đại trong nửa chu kỳ đầu tiên khi qua vị trí x0

Mặt khác để đạt vận tốc lớn nhất khi hợp lực phục hồi và lực cản phải cân bằng nhau:

mg kx0   → x0 mg k (1.4)

A0

) (

2 1 2

1 2

1

0 2

0 2

0

0 2 2

→ ( 2 ) 2 0( 0)

0 2

mv     →v  (A x0) (1.5)

Có thể chia bài tập loại này làm ba dạng cơ bản:

Dạng 1: Độ giảm biên độ: Áp dụng các công thức sau.

+ Tìm độ giảm biên độ sau một chu kỳ

+ Biên độ mất sau N chu kỳ áp dụng các công thức : + Tìm phần trăm biên độ bị giảm sau N chu kì: + Phần trăm biên độ còn lại sau N chu kì:

Các bài toán vận dụng: Ví dụ 1: Một con lắc lò xo có k =60 (N/m) và quả cầu có khối lượng m = 60 (g), dao động

trong không khí với biên độ ban đầu A =12 (cm) Trong quá trình dao động con lắc luônchịu tác dụng của một lực cản có độ lớn không đổi Fc Biết khoảng thời gian từ lúc daođộng cho đến khi dừng hẳn là  = 120 (s) Xác định độ lớn của lực cản?

A 0,03 (N) B 0,001 (N) C 0,002 (N) D 0,003 (N)

* Hướng dẫn:

+ Chu kì dao động của con lắc:  s

k m

6006,02

+ Độ giảm biên độ sau một chu kì:

k F A 4 C

+ Số dao động thực hiện được:

C

F kA A A N

4+ Thời gian kể từ lúc dao động cho đến khi dừng hẳn:

C

F kAT T

N

4  (coi chu kì dao động

là không đổi)→F C kAT 0,003 N

120.4

2,0.12,0.60



Dạng 2: Độ giảm cơ năng:

là biên độ bị giảm trong 1 chu kì

+ Tìm phần trăm cơ năng bị mất sau 1 chu kì: + Phần trăm cơ năng bị mất (chuyển thành nhiệt) sau N chu kì:

Các bài toán vận dụng: Ví dụ 1: Một con lắc dao động tắt dần chậm, cứ sau mỗi chu kỳ biên độ giảm 3% Phần

năng lượng của con lắc bị mất đi trong một dao động toàn phần là

* Hướng dẫn:

Gọi A0 là biên độ dao động ban đầu của vật Sau mỗi chu kỳ biên độ của nó giảm 3% nên

2 2

2 0

Dạng 3: Số dao động thực hiện được và thời gian trong dao động:

+ Số dao động vật thực hiện cho tới khi dừng lại: + Thời gian vật dao động đến lúc dừng lại:

Các bài toán vận dụng: Ví dụ 1: Một con lắc lò xo nằm ngang gồm vật có khối lượng 600 g, lò xo có độ cứng

100N/m Người ta đưa vật ra khỏi vị trí cân bằng một đoạn 6 cm rồi thả nhẹ cho nó daođộng, hệ số ma sát giữa vật và mặt phẳng ngang là 0,005 Lấy g = 10 m/s2 Khi đó số daođộng vật thực hiện cho đến lúc dừng lại là

* Hướng dẫn giải:

Độ giảm biên độ sau một chu kỳ A4k mg

10 6 , 0 005 , 0 4

06 , 0 100

  

mg kA A

A N



Ví dụ 2: Một con lắc lò xo gồm vật dao động có khối lượng m = 1 kg, lò xo nhẹ có độ

cứng k = 100N/m Hệ dao động tắt dần trên mặt phẳng nằm ngang Ban đầu vật có biên độ5,0 cm sau 4 chu kỳ dao động thì biên độ chỉ còn 4 cm Coi chu kỳ dao động của vật làkhông đổi và bằng chu kỳ dao động điều hòa và biên độ dao động sau mỗi chu kỳ giảmtheo cấp số nhân lùi vô hạn Tính phần năng lượng cần bổ sung cho hệ để dao động của hệđược duy trì với biên độ ban đầu?

kA = 0,125 J- Goi q là công bội của cấp số nhân Vì biên độ giảm theo cấp số nhân nên ta có: +Sau chu kỳ thứ 1 biên độ còn lại là: A1 = q.A0

+ Sau chu kỳ thứ 2 biên độ còn lại là: A2 = q.A1 = q2A0

+ Sau chu kỳ thứ 3 biên độ còn lại là: A3 = q.A2 = q3A0

+ Sau chu kỳ thứ 4 biên độ còn lại là: A4 = q.A3 = q4A0

- Theo giả thiết ta có A4 = 4 cm nên ta suy đươc: 4 4 4

045

A q

A

- Sau một chu kỳ biên độlà A1 = 54 4

5 cm và cơ năng dao động W1 = 2

1

2 1

kA = 0,112 J- Độ giảm cơ năng trong chu kỳ đầu tiên là W = W0 – W1 = 0,013 (J)

C: BÀI TẬP CON LẮC LÒ XO NẰM NGANG CÓ LỰC MA SÁT LỚN:

Vậy trong giai đoạn này, li độ của vật tuân theo quy luật biến thiên điều hòa với vị trí cân bằng tạm O 1 có tọa độ: x0 = mg

k

µ

Kết luận: Trong mỗi giai đoạn chuyển động từ biên này sang biên kia li độ của vật biến

thiên điều hòa với vị trí cân bằng tạm thời (xét theo chiều chuyển động) đứng trước vị trí

mà lò xo không biến dạng một đoạn: x0 mg

k

µ

Lưu ý: Trong mỗi lần đổi chiều chuyển động, vị trí cân bằng tạm của vật thay đổi từ vị trí

O1 sang O2 hoặc ngược lại nên không thể kết luận chuyển động của vật là dao động

2-Vận tốc cực đại của vật khi đi từ biên này đến biên kia:

Khi vật qua O lần thứ n Gọi An là độ lớn của biên độ thứ n (tính từ vị trí cân bằng tạm)

Li độ của vật biến thiên điều hòa với biên độ A n nên đạt tốc độ cực đại khi qua vị trí cân bằng tạm thời trong giai đoạn chuyển động đang xét

Tốc độ này được tính bởi: vmax A An n k

m

3-Quy luật giảm về độ lớn cuả biên độ – Vị trí của vật khi dừng hẳn – Quãng đường vật đã đi được:

a- Quy luật giảm của biên độ:

Xét trong trường hợp các vị trí biên nằm ngoài đoạn O 1 O 2 Gọi An; An + 1 lần lượt là biên độ khi vật qua O

lần thứ n (giả sử theo chiều âm của trục) và lầnthứ n + 1

Do hai vị trí biên này đối xứng với nhau qua O1

nên ta có: An 1  A 2xn  0

Vậy giá trị của biên độ sau mỗi lần qua O tạo

thành một cấp số cộng lùi với công sai: 0

mgq 2x 2

k

k

µ

O1O O2

X n X n + 1

A n A n + 1

A n

O1O

O2

Vị trí dừng hẳn của vật phải có tọa độ từ – x0 đến x0, trong mỗi giai đoạn chuyển động từ

biên này đến biên kia, li độ của vật tuân theo quy luật biến thiên điều hòa nên vật chỉ có

thể dừng tạm tại vị trí biên

Vậy vị trí dừng hẳn của vật chính là vị trí biên của giai đoạn dao động cuối.

Để tìm vị trí này ta xét tỉ số: 0

0A

n p2x   ; trong đó n là số tự nhiên và 0 p < 1  A 2nx 2px0  0  0

Biên độ của vật sau khi qua O lần thứ n: A A 2nx 2pxn  0  0  0 Do A 2xn  0 nên nó chính là biên độ trong giai đoạn chuyển động cuối cùng

Ta có hai trường hợp sau:

+ Nếu 0 p 0,5    A 2px xn  0  0.

Sau khi qua O lần thứ n vật đi qua vị trí cân bằng tạm vàdừng hẳn tại vị trí có tọa độ x x 2p 1 0 0    vớichiều dương của trục là chiều chuyển động của vật trướckhi dừng hẳn

+ Nếu 0,5 p 1    A 2px xn  0  0

Sau khi qua O lần thứ n, vật còn tới O thêm một lần nữa vàdừng hẳn tại vị trí có tọa độ x x 2p 1 0 0    vớichiều dương của trục là chiều chuyển động của vật trướckhi dừng hẳn

Có hai trường hợp đặc biệt về vị trí dừng của vật:Khip  0  A 0n  Sau khi qua O lần thứ n, vật dừng tại vị trí biên trong giai đoạnnày

Khi p 0,5   A xn  0 Sau khi tới O lần thứ n, vật quay về và dừng hẳn tại O

c- Quãng đường vật đã đi được:

Li độ lúc cuối của vật có độ lớn bằng độ biến dạng của lò xo lúc này nên ta có:

4-Thời gian chuyển động:

Khoảng thời gian để vật đi từ một vị trí biên nào đó tới vị trí biên kế tiếp làT

2 Nếu tạm

gọi “chu kì” là khoảng thời gian giữa hai lần liên tiếp vật đạt tới vị trí biên ở cùng một bên so với O thì “chu kì” lúc này cũng có giá trị đúng bằng chu kì dao động riêng của con

lắc lò xo Khoảng thời gian vật đi từ biên ban đầu cho đến lúc dừng hẳn:Số lần vật chuyển động từ biên này đến biên kế tiếp là n (nếu p = 0) và n + 1 nếu q ≠ 0.Vậy khoảng thời gian cần tìm: Khi p = 0: t nT

2  và khi p ≠ 0: t n 1 T

2

CÁC DẠNG BÀI TẬP VẬN DỤNG: Dạng 1: Tính độ giãn hoặc độ nén của lò xo hoặc năng lượng con lắc lò xo:

O2O

O1

x A n

A n

O2O O1

x A

n

A n

Ví dụ 1:Một con lắc lò xo nằm ngang gồm vật nhỏ có khối lượng 1 kg, lò xo có độ cứng 160 N/m Hệ số ma sát giữ vật và mặt ngang là 0,32 Ban đầu giữ vật ở vị trí lò xo nén 10 cm, rồi thả nhẹ để con lắc dao động tắt dần Lấy g = 10 m/s2 Quãng đường vật đi được trong s

3 1

kể từ lúc bắt đầu dao động là A 22 cm B 19 cm C 16 cm D 18 cm.

Hướng dẫn: Đáp án: D

Độ giảm biên độ trong nửa chu kì: cm

k mg A2  4

2 3 1

T T t k

m T

t

    

2 Vậy tổng quãng đường là 18cm

Ví dụ 2: Một con lắc lò xo đặt theo phương ngang gồm vật nhỏ khối lượng 0,02 kg và lòxo có độ cứng 2 N/m Hệ số ma sát giữa vật và giá đỡ vật là 0,1 Ban đầu giữ cho vật ở vịtrí lò xo bị nén 10 cm rồi thả nhẹ cho vật dao động tắt dần Lấy g = 10 m/s2 Trong quátrình dao động lò xo có độ dãn lớn nhất là

Δl

A0X0

A0O2

Vật đạt tốc độ lớn nhất khi đi qua vị trí cân bằng tạm lần đầu Lúc này lò xo biến dang mộtđoạn x0 Thế năng đàn hồi khi vmax:

2 0 t

A

A

v v 

Mặt khác ta có: A X – x ; A A – 2 x X – 3 x0  0 0 1  0 0  0 0

0 0X – x 9

X – 3x 7

v

Dạng 2: Tính vận tốc hoặc vận tốc trung bình của vật.

Ví dụ 1 (ĐH 2010): Một con lắc lò xo gồm một vật nhỏ khối lượng 0,02kg và lò xo có độ

cứng 1N/m Vật nhỏ được đặt trên giá đỡ cố định nằm ngang dọc theo trục lò xo Hệ sốma sát trượt của giá đỡ và vật nhỏ là 0,1 Ban đầu giữ vật ở vị trí lò xo bị nén 10 cm rồibuông nhẹ để con lắc dao động tắt dần Lấy g = 10m/s2 Tốc độ lớn nhất vật nhỏ đạt đượctrong quá trình dao động là

kA ) đến vị trí bất kỳ có li độ x (0 x  A) và có vận tốcv (cơ năng 2 2

2 1 2

1

kx mv  ) thì quãng đường đi được là (A - x).+ Độ giảm cơ năng của con lắc bằng công của lực ma sát |Ams|:

A mg kA

x mg kx

mv x

A mg kx

mv

2 1 2

1 ( 2

 

 

với hệ số ma sát 0,2 Ban đầu vật ở vị trí cách vị trí lò xo bị nén một đoạn 10 cm rồi thảnhẹ cho chuyển động Lấy g = 10 m/s2 Tính công suất cung cấp năng lượng cho hệ để duytri cho hệ dao động với biên độ ban đầu?

kA - Sau chu kỳ dao động đồng tiên thì biên độ là A1 = A0 -

k mg



4

= 8cm- Cơ năng dao động còn lại W1 = 2

1

2 1

kA - Độ giảm cơ năng trong chu kỳ đầu tiên là W = W0 – W1 = 0,18 J Nên công suất cung cấp đề duy trì dao động cho hệ: P = T W = 0,91 (W)

Ví dụ 3: Một con lắc lò xo với khối lượng vật nặng m = 400 g, độ cứng lò xo k = 50 N/m,đặt trên mặt phẳng ngang có hệ số ma sát trượt µ = 0,06 Ban đầu kéo vật để lò xo dãn 8cm rồi buông nhẹ Lấy g = 10 m/s2 Tốc độ lớn nhất của vật sau khi lò xo đã đạt độ nén cực đại có giá trị gần nhất với

A 73 cm/s B 75 cm/s C 84 cm/s D 85 cm/s

Hướng dẫn:

Dạng 3: Tính thời gian vật chuyển động.

Ví dụ 1: Một con lắc lò xo có độ cứng k =100N/m, khối lượng m = 400g, dao động trênmặt phẳng ngang Ban đầu người ta kéo vật để lò xo dãn 2 cm rồi thả nhẹ Biết hệ số masát trượt là µ = 0,1 Tính thời gian ngắn nhất kể từ lúc thả vật cho đến lúc lò xo không biếndạng lần thứ hai Lấy g = 10 m/s2

Chu kì dao động tự do của con lắc: T 2 m 0,4 s

k

Biên độ khi qua O lần thứ nhất: A A 2x X 3x 16 cm1  0  0  0  0 Tọa độ của vị trí đang xét: x x 8 cm 0   l

Chu kì dao động tự do của con lắc: T 2 m s



C- BÀI TẬP VỀ DAO ĐỘNG TẮT DẦN CỦA CON LẮC ĐƠN.

Thiết lập các công thức

Con ℓắc đơn có chiều dài ℓ dao động tắt dần với một ℓực cản đều ℓà Fc, biên độ góc banđầu ℓà 01 = α0

1 Xác định độ giảm biên độ trong một chu kỳ.

Năng ℓượng ban đầu của con ℓắc ℓà: W1 = mgℓ Khi về đến biên lần đầu, biên độ góc chỉ còn α02; Năng ℓượngcòn ℓại của con ℓắc khi ở biên WCL = mgℓ

Sau nữa chu kì năng ℓượng mất đi: W = AC

 W – WCL = FC.S mgℓ( - ) = Fc.(S01 + S02) = Fc.ℓ(α01 + α02)  mgℓ(α01 - α02)(α01 + α02) = Fc.ℓ(α01 + α02)

 ∆αα1 = α01 - α02 = 2mgFc

= PF2 C

(3.1)Ta thấy rằng độ giảm biên độ sau nửa chu kỳ không phụ thuộcvào biên độ ban đầu và thời gian Như vậy sau một chu kì độ giảmbiên độ:  = α01 - α02 = 4mgFc

=

P F

(3.2)

2) Số dao động con lắc đơn thực hiện kể từ ban đầu đến ℓúc tắt hẳn N =

01

Bước 2: Tính số dao động con lắc đơn thực hiện kể từ ban đầu đến ℓúc tắt hẳn N =

01

Thời gian con lắc đơn thực hiện kể từ ban đầu đến ℓúc tắt hẳn: t = N.T

Bước 3: Để duy trì dao động cần 1 động cơ có công suất tối thiểu là:

II-CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN DẠNG 1- TÍNH ĐỘ GIẢM BIÊN ĐỘ HOẶC NĂNG LƯỢNG, ÁP DỤNG CÁC CÔNG THỨC 3.1, 3.2, 3.3, 3.4.

Ví dụ 1: Ban đầu con lắc đơn dao động với biên độ α0 = 50 Trong quá trình dao động, vậtluôn chịu lực cản có độ lớn bằng 1% trọng lực của vật Biết biên độ giảm dần trong từng chu kỳ Sau khi vật qua vị trí cân bằng được 20 lần thì biên độ dao động của vật bằng

Hướng dẫn:

Độ giảm biên độ trong một T: 0 01 02 can

F 4 mg        0 0,040

Vật qua VTCB 20 lần ứng với 10 chu kỳ, biên độ giảm 0,040.10 = 0,40

Biên độ còn lại 50 – 0,40 = 4,60

Ví dụ 2: Con lắc đơn dao động trong môi trường không khí.Kéo con lắc lệch phương

thẳng đứng một góc 0,1 rad rồi thả nhẹ Biết lực căn của không khí tác dụng lên con lắc làkhông đổi và bằng 0,001 lần trọng lượng của vật Coi biên độ giảm đều trong từng chu kỳ.Số lần con lắc qua vị trí cân băng đến lúc dừng lại là

1 , 0

 

  

Ví dụ 3: Một con lắc đơn dai l = 1m khối lượng m= 900g dao động với biên độ góc banđầu là 50 tại nơi có g = 10m/s2 Do có lực cản nên sau 10 dao động biên độ còn 40 Để duytrì dao động với biên độ góc ban đầu thì cần phải cung cấp cho con lắc một công suất baonhiêu?

A 6,56.10-4 (W) B 4,51.10-4 (W) C 1,46.10-4 (W) D 8,59.10-4 (W)

Hướng dẫn:

Độ giảm năng lượng sau 10 dao động: ( )

2 1

  

Công suất củ bộ phẩn bổ sung năng lượng: W 4

6,56.10 (W)10T



A 14,20 (s) B 20,28 (s) C 24,24 (s) D 29,2 (s)

Hướng dẫn:

+ Chu kì dao động của con lắc đơn:  s

g l

8,9

5,0.1416,3.2

 

F

4