Phương Pháp Giải Bài Toán Tìm M để Hàm Số đồng Biến ...

1. Phương pháp giải

- Tìm TXĐ - Tính y’ - Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\Leftrightarrow y'\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}\)

(Hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}\Leftrightarrow y'\le 0,\forall x\in \mathbb{R}\)

- Từ đó suy ra điều kiện của m.

Chú ý: Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm liên tục trên D

- Hàm số đồng biến trên \(I\subset D\Leftrightarrow f'(x)\ge 0\text{, }\forall x\in I\) và f'(x)=0 có hữu hạn nghiệm.

- Hàm số đồng biến trên \(I\subset D\Leftrightarrow f'(x)\le 0\text{, }\forall x\in I\) và f'(x)=0 có hữu hạn nghiệm.

Ví dụ 1: Định m để hàm số \(y=\frac{mx+4}{x+m}\) luôn đồng biến trên từng khoảng xác định

Lời giải.

Hàm số đã cho xác định \(D=\mathbb{R}\backslash \{-m\}\left( -\infty ;-m \right)\cup \left( -m;+\infty \right)\)

Ta có: \(y'=\frac{{{m}^{2}}-4}{{{(x+m)}^{2}}}\)

Hàm số luôn đồng biến trên các khoảng \(\left( -\infty ;-m \right)\) và \(\left( -m;+\infty \right)\)

\(\Leftrightarrow y'>0\), \(\forall x\in D\) \(\Leftrightarrow {{m}^{2}}-4>0\Rightarrow m<-2\) hoặc m>2

Vậy, với m<-2 hoặc m>2 thì hàm số luôn đồng biến trên các khoảng \(\left( -\infty ;-m \right)\) và \(\left( -m;+\infty \right)\)

Ví dụ 2: Định m để hàm số luôn đồng biến: 1. \(y={{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+mx+m\) 2. \(y=m{{x}^{3}}-(2m-1){{x}^{2}}+(m-2)x-2\)

Lời giải.

1. Hàm số đã cho xác định \(D=\mathbb{R}\)

Ta có: \(y'=3{{x}^{2}}+6x+m\)

Cách 1: Hàm số luôn đồng biến trên \(\mathbb{R} \Leftrightarrow y'\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}\), thì phải có \(\Delta '\le 0\), tức \(9-3m\le 0\) hay \(m\ge 3\)

Vậy, với \(m\ge 3\) thì hàm số luôn đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

Cách 2: Hàm số luôn đồng biến trên \(\mathbb{R} \Leftrightarrow y'\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}\), thì phải có \(m\ge -3{{x}^{2}}-6x\). Xét hàm số \(g\left( x \right)=-3{{x}^{2}}-6x\) trên \(\mathbb{R}\) và có \(g'\left( x \right)=-6x-6, g'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=-1\)

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên, suy ra: \(m\ge g(x)\) với \(\forall x\in \mathbb{R} \Leftrightarrow m\ge 3\)

2. Hàm số đã cho xác định \(D=\mathbb{R}\)

Ta có: \(y'=3m{{x}^{2}}-2(2m-1)x+m-2\)

Hàm số luôn đồng biến trên \(\mathbb{R} \Leftrightarrow y'\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}\), thì phải có \(\left\{ \begin{align} & \Delta '\le 0 \\ & 3m>0 \\ \end{align} \right.\), tức \(\left\{ \begin{align} & 4{{m}^{2}}-4m+1-3m(m-2)\le 0 \\ & m>0 \\ \end{align} \right.\) hay \(\left\{ \begin{align} & {{(m+1)}^{2}}\le 0 \\ & m>0 \\ \end{align} \right.\Rightarrow m>0\)

Vậy, với m>0 thì hàm số luôn đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

2. Bài tập

Bài 1: Tìm a để hàm số \(y=\frac{1}{3}{{x}^{3}}+a{{x}^{2}}+4x+3\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\)

Bài 2: Tìm m để các hàm số sau luôn nghịch biến trên mỗi khoảng xác định .

1. \(y=\frac{mx+3-2m}{x+m}\)

2. \(y=\frac{-2{{x}^{2}}+\left( m+2 \right)x-3m+1}{x-1}\)

Bài 3: Tìm m để hàm số:

1. \(y=(m+2)\frac{{{x}^{3}}}{3}-(m+2){{x}^{2}}-(3m-1)x+{{m}^{2}}\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\)

2. \(y=(m-1){{x}^{3}}-3(m-1){{x}^{2}}+3(2m-3)x+m\) nghịch biến trên \(\mathbb{R}\)

3. \(y=\frac{1}{3}\left( {{m}^{2}}-1 \right){{x}^{3}}+\left( m+1 \right){{x}^{2}}+3x\) luôn nghịch biến trên \(\mathbb{R}\)

4. \(\text{y }=mx+\frac{2}{3}{{\left( \sqrt{x-2} \right)}^{3}}+\frac{2}{3}{{\left( \sqrt{x-4} \right)}^{3}}\) đồng biến trên tập xác định của nó.

5. \(y=x+1+m\sqrt{{{x}^{2}}+1}\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\)

Bài 4: Tìm m để hàm số: \(y=\frac{-3{{x}^{2}}+mx-2}{2x-1}\) nghịch biến trên từng khoảng xác định.

HƯỚNG DẪN GIẢI

Bài 1:

Cách 1: Hàm số đã cho đồng biến trên \(\mathbb{R} \Leftrightarrow y'\ge 0, \forall x\in \mathbb{R}\) nghĩa là ta luôn có: \(\Delta '={{a}^{2}}-4\le 0 \Leftrightarrow -2\le a\le 2\)

Cách 2: Tham khảo cách giải sau, bạn đọc đúc kết gì qua 2 lời giải

Bảng xét dấu \(\Delta '\)

+ Nếu \(- 2 < a < 2\)