Phương Pháp Giải Hệ Phương Trình Mũ Và Logarit | Tăng Giáp

Hãy đăng ký thành viên để có thể dễ dàng hỏi bài, trao đổi, giao lưu và chia sẻ về kiến thức

Đăng nhập

Tăng Giáp Trang chủ Diễn đàn > TOÁN HỌC > LỚP 12 > Chủ đề 2. HÀM SỐ MŨ - LOGARIT > Bài 5. Hệ phương trình mũ và logarit > Phương pháp giải hệ phương trình mũ và logarit

Thảo luận trong 'Bài 5. Hệ phương trình mũ và logarit' bắt đầu bởi Doremon, 3/12/14.

1. 

   Doremon Moderator Thành viên BQT

   Tham gia ngày: 29/9/14 Bài viết: 1,299 Đã được thích: 210 Điểm thành tích: 63 Giới tính: Nam

   Dạng 1: Phương pháp biến đổi tương đương Bước 1: Đặt điều kiện cho các biểu thức. Bước 2:Dùng các biến đổi để nhận được được phương trình một ẩn. Bước 3: Giải phương trình một ẩn nhận được từ hệ. Bước 4: Kết luận. Ví dụ 1: $\left\{ \begin{array}{l}x + y = 2\\{\left( {y + 1} \right)^{{x^2} + x + 2}} = 1\end{array} \right.\left( 1 \right)$ Giải​ Spoiler Điều kiện y > - 1 $\left( 1 \right) \leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 2\\\left[ \begin{array}{l}y + 1 = 1\\ \left\{ \begin{array}{l}y + 1 > 0\\{x^2} + x + 2 = 0\end{array} \right.\end{array} \right.\end{array} \right. \leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y + 1 > 0\\y = 0\end{array} \right. \leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 0\end{array} \right.$ Ví dụ 2: $\left\{ \begin{array}{l}{x^{x + y}} = {y^{x - y}}\\{x^2}y = 1\end{array} \right.$ Giải​ Spoiler Điều kiện: x > 0 và y > 0 $\begin{array}{l}\left( 1 \right) \leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^{x + {x^{ - 2}}}} = {x^{ - 2\left( {x - {x^{ - 2}}} \right)}}\,\,\left( 2 \right)\\y = {x^{ - 2}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right)\end{array} \right.\\\left( 2 \right) \leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x + {x^{ - 2}} = - 2\left( {x - {x^{ - 2}}} \right)\end{array} \right. \leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\3 + 3{x^3} = 0\end{array} \right. \leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 1\left( {loai} \right)\end{array} \right.\end{array}$ Thay x = 1 vào (3) ta được cặp nghiệm (1;1) Ví dụ 3: $\left\{ \begin{array}{l}{2^x} + {2^y} = 3\\x + y = 1\end{array} \right.$ Giải​ Spoiler $\left\{ \begin{array}{l}{2^x} + {2^y} = 3\\x + y = 1\end{array} \right. \leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{2^x} + {2^{1 - x}} = 3\\y = 1 - x\end{array} \right. \leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {2^{2x}} - {3.2^x} + 2 = 0\\y = 1 - x\end{array} \right. \leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left[ \begin{array}{l}{2^x} = 1\\{2^x} = 2\end{array} \right.\\y = 1 - x\end{array} \right. \leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l} x = 1\\y = 0\end{array} \right.\end{array} \right.$ Ví du 4: (Học viện Ngân Hàng 1999) $\left\{ \begin{array}{l}{2^x} - {2^y} = 2\\x + y = 1\end{array} \right.$ Giải​ Spoiler $\left\{ \begin{array}{l}{2^x} - {2^y} = 2\\x + y = 1\end{array} \right. \leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{2^{x + y}} = 2\\{2^x} - {2^y} = 2\end{array} \right. \leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {2^x}\left( {{2^x} - 2} \right) = 2\\{2^y} = {2^x} - 2\end{array} \right. \leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{2^x} = 1 + \sqrt 3 \\{2^y} = - 1 + \sqrt 3 \end{array} \right. \leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = {\log _2}\left( {1 + \sqrt 3 } \right)\\x = {\log _2}\left( { - 1 + \sqrt 3 } \right)\end{array} \right.$ Ví du 5: (Sư Phạm II 1998) $\left\{ \begin{array}{l}{2^{3x + 1}} + {2^{y - 2}} = 3\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\ \sqrt {3{x^2} + 1 + xy} = \sqrt {x + 1} \,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.$ Giải​ Spoiler $\left( 2 \right) \leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 1 \ge 0\\3{x^2} + 1 + xy = x + 1\end{array} \right. \leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge - 1\\x\left( {3x + y - 1} \right) = 0\end{array} \right. \leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\\left\{ \begin{array}{l}x \ge - 1\\y = 1 - 3x\end{array} \right. \end{array} \right.$ với x = 0 ta thay vào (1), ta có cặp nghiệm $\left( {0,{{\log }_2}\left( {\frac{8}{{11}}} \right)} \right)$ với $\left\{ \begin{array}{l}x \ge - 1\\y = 1 - 3x\end{array} \right.,$ thay vào (1), ta có: ${2^{3x + 1}} + {2^{ - 1 - 3x}} = {3.2^{\left( {1 - 3x} \right) + 31}}$​Giải ra ta được cặp nghiệm: $\left( {\frac{1}{3}\left[ {{{\log }_2}\left( {3 + \sqrt 8 } \right) - 1} \right];\,2 - {{\log }_2}\left( {3 + \sqrt 8 } \right)} \right)$ Dạng 2: Phương pháp đặt ẩn phụ Bước 1: Đặt điều kiện cho các biểu thức trong hệ có nghĩa. Bước 2: Lựa chọn ẩn phụ để biến đổi hệ ban đầu về hệ đại số đã biết (hệ đối xứng, hệ đẳng cấp,…) Bước 3: Giải hệ. Bước 4: Kết luận. Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau $\left\{ \begin{array}{l}{3^{2x + 2}} + {2^{2y + 2}} = 17\\{2.3^{x + 1}} + {3.2^y} = 8\end{array} \right.\,\,\left( 1 \right)$ Giải​ Spoiler Đặt: $\left\{ \begin{array}{l}u = {3^x}\\v = {2^y}\end{array} \right.,\,\,u,v > 0\,\,\left( 2 \right),\,$ thay vào (1), ta có: $\left\{ \begin{array}{l}9{u^2} + 4{v^2} = 17\\6u + 3v = 8\end{array} \right.$ Giải hệ phương trình, ta có: $\left\{ \begin{array}{l}u = \frac{1}{3}\\v = 2\end{array} \right. \to \left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = 1\end{array} \right.$ Ví dụ 2: Giải hệ phương trình sau $\left\{ \begin{array}{l}{2^{2\left| x \right| + 1}} - {3.2^{\left| x \right|}} = {y^2} - 2\\2{y^2} - 3.y = {2^{2\left| x \right|}} - 2\end{array} \right.$ Giải​ Spoiler Đặt: $u = {2^{\left| x \right|}},\,u \ge 1$ thay vào hệ ta có: $\left\{ \begin{array}{l}2{u^2} - 3u = {y^2} - 2\\2{y^2} - 3y = {u^2} - 2\end{array} \right.$ Giải hệ ta được y = u = 2 suy ra hệ có cặp nghiệm: (0, 1); (1, 2); (-1, 2). Dạng 3: Giải hệ phương trình bằng phương pháp hàm số Bước 1: Đặt điều kiện cho các biểu thức trong hệ có nghĩa. Bước 2: Rút ra từ hệ một phương trình dạng f(x) = f(y). Bước 3: Sử dụng phương pháp hàm số: Nếu f(x) là hàm số luôn đồng biến hoặc nghịch biến thì từ hệ phương trình f(x) = f(y), ta có: x = y. Bước 4: Sử dụng kết quả trên để giải hệ. Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau $\left\{ \begin{array}{l}{2^x} + 2x = 3 + y\\{2^y} + 2y = 3 + x\end{array} \right.\left( * \right)$ Giải​ Spoiler $\left( * \right) \leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{2^x} + 2x = 3 + y\\{2^y} - {2^y} + 2x - 2y = - x + y \end{array} \right. \leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{2^x} + 2x = 3 + y\left( 1 \right)\\{2^x} + 3x = {2^y} + 3y\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\left( I \right)$ Xét hàm số: $f\left( x \right) = {2^x} + 3x$ là hàm đồng biến trên R nên từ phương trình (2) ta có f(x) = f(y) →x = y $\left\{ \begin{array}{l}{2^x} + 2x = 3 + y\\x = y\end{array} \right. \leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {2^x} + 2x = 3 + x\\x = y\end{array} \right. \leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{2^x} = - x + 3\left( 3 \right)\\x = y\end{array} \right.\,\left( {II} \right)$ Giải phương trình (3): Nhận xét:

   • x=1 là nghiệm của (3).
   • x > 1: VT(3) > 2, TP(3) < 2 nên phương trình (3) không có nghiệm x > 1.
   • x < 1: VT(3) < 2, TP(3) > 2 nên phương trình (3) không có nghiệm x < 1.

   Vậy phương trình (3) có nghiệm duy nhất x = 1, do đó tự hệ phương trình (II) ta có (1, 1) là nghiệm của (1). Ví dụ 2: Giải hệ phương trình sau $\left\{ \begin{array}{l}{3^x} - {3^y} = y - x\\{x^2} + xy + {y^2} = 12\end{array} \right.$ Giải​ Spoiler $\left( * \right) \leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{3^x} + x = {3^y} + y\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\ {x^2} + xy + {y^2} = 12\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.$ Xét hàm số: $f\left( x \right) = {3^x} + x$ là hàm số đồng biến trên R, nên từ phương trình (1) trên R ta có: f(x) = f(y)→ x = y Khi đó hệ (1) và (2) trở thành: $\left\{ \begin{array}{l}x = y\\{x^2} + xy + {y^2} = 12\end{array} \right. \leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = y\\3{x^2} = 12\end{array} \right. \leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = y\\x = \pm 2\end{array} \right.$ Vậy nghiệm của hệ phương trình: (2, 2) và ( -2, -2). Ví dụ 3: Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}{2^x} = 2y\\{2^y} = 2x\end{array} \right.$ Giải​ Spoiler $\left\{ \begin{array}{l}{2^x} = 2y\\{2^y} = 2x\end{array} \right. \leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {2^x} = 2y\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\{2^x} + 2x = {2^y} + 2y\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.$ Xét hàm số: $f\left( x \right) = {2^x} + 2x$ là hàm đồng biến trên R, nên từ (2), ta có: f ( x ) = f ( y )→x = y. Kết hợp (1) ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}x = y\\{2^2} = 2y\end{array} \right. \leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = y\\{2^x} - 2x = 0\end{array} \right. \leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = y\\\left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 2\end{array} \right.\end{array} \right.$ Do hàm số: $f\left( x \right) = {2^x} - 2x$ là hàm nồi, nên phương trình ${2^x} - 2x = 0$ có đúng hai nghiệm. Dạng 4: Giải hệ phương trình bằng phương pháp điều kiện cần và đủ Áp dụng cho các bài toán Bài toán 1: Tìm điều kiện để hệ phương trình có nghiệm duy nhất. Bài toán 2: Tìm điều kiện để hệ phương trình có nghiệm với mọi giá trị của một tham số Các bước Bước 1: Đặt điều kiện cho các biểu thức trong hệ có nghĩa. Bước 2: Tìm điều kiện cần cho hệ dựa vào tính đối xứng hoặc đánh giá. Bước 3: Kiểm tra điều kiện đủ Ví dụ 1: Tìm m để hệ sau có nghiệm duy nhất $\left\{ \begin{array}{l}{2^{\left| x \right|}} - {2^y} = y - \left| x \right|\left( {m + 1} \right)\\ {x^2} + y = {m^2}\end{array} \right.\,\,\,\left( 1 \right)$ Giải​ Spoiler Nhận xét: Nếu x$_0$ là nghiệm của hệ thì – x$¬_0$ cũng là nghiệm của hệ. Do đó để hệ có nghiệm duy nhất thì x$_0$ = - x$_0$ ↔ x$_0$ = 0 Với x = 0, thay vào hệ ta có: $\left\{ \begin{array}{l}1 - {2^y} = y\left( 2 \right)\\y = {m^2} \end{array} \right. \leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 0\\m = 0\end{array} \right.$ (do VP (2) đồng biến, VT (2) nghịch biến) Với m = 0 thay vào (1) ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{2^{\left| x \right|}} - {2^y} = y - \left| x \right|\\y + {x^2} = 0\end{array} \right. \leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{2^{\left| x \right|}} + \left| x \right| = {2^y} + y\left( 3 \right)\\y + {x^2} = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 4 \right)\end{array} \right.$ Xét hàm số: f(t) = 2$^t$ + t là hàm số đồng biến trên R. Nên từ (3) ta có: f ( x ) = f ( y )↔ x = y , kết hợp (4) ta có: $\left\{ \begin{array}{l}\left| x \right| = y\\{x^2} + y = 0\end{array} \right. \leftrightarrow x = y = 0$ Vậy với m = 0 hệ có nghiệm duy nhất. Ví dụ 2: Tìm m để hệ sau có nghiệm duy nhất $\left\{ \begin{array}{l}{2^{\left| x \right|}} + \left| x \right| = y + {x^2} + m\\{x^2} + {y^2} = 1\end{array} \right.\,\,\left( 1 \right)$ Giải​ Spoiler Nhận xét: Nếu x$_0$ là nghiệm của hệ thì - x$_0$ cũng là nghiệm của hệ. Do đó để hệ có nghiệm duy nhất thì x$_0$ = - x$_0$ ↔ x$_0$ = 0. Với x = 0, thay vào hệ ta có: $\left\{ \begin{array}{l}1 = y + m\\{y^2} = 1\end{array} \right. \leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}m = 0\\y = 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}m = 2\\y = - 1\end{array} \right.\end{array} \right.$ Với m = 0 thay vào (1) ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{2^{\left| x \right|}} + \left| x \right| = y + {x^2}}\\{{x^2} + {y^2} = 1}\end{array}} \right.{\mkern 1mu} {\kern 1pt} \to \left\{ \begin{array}{l} 0 \le \left| x \right| \le 1\\ - 1 \le y \le 1\end{array} \right. \to \left\{ \begin{array}{l}\left| x \right| \ge {x^2}\\{2^{\left| x \right|}} \ge 1 \ge y\end{array} \right. \to {2^{\left| x \right|}} + \left| x \right| \ge y + {x^2}$ Do đó: $\left( 2 \right) \leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left| x \right| = {x^2}}\\{{2^{\left| x \right|}} = y = 1}\end{array}} \right.{\mkern 1mu} {\kern 1pt} \to \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 1 \end{array} \right.$ Thảo mãn (3), suy ra m = 0 thỏa mãn Với m = 2 thay vào (1) ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{2^{\left| x \right|}} + \left| x \right| = y + {x^2} + 2}\\{{x^2} + {y^2} = 1}\end{array}} \right.{\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} $

   Bài viết mới nhất

   • Các bài toán phương trình mũ và phương trình logarit trong đề thi Đại học15/11/2017
   • Chuyên đề hàm mũ: Phương trình - bất phương trình - logarit - hệ bất phương trình31/07/2015
   • Phương pháp giải hệ phương trình mũ và logarit03/12/2014
   Last edited by a moderator: 6/10/17 Doremon, 3/12/14 #1 Siêu Nhân thích bài này.
2. 

   Thùy Linh Thành viên cấp 1

   Tham gia ngày: 11/10/14 Bài viết: 500 Đã được thích: 9 Điểm thành tích: 18 Giới tính: Nữ

   tai o dau?

   Thùy Linh, 23/3/16 #2

(Bạn phải Đăng nhập hoặc Đăng ký để trả lời bài viết.) Show Ignored Content

Chia sẻ trang này

Tên tài khoản hoặc địa chỉ Email: Mật khẩu: Bạn đã quên mật khẩu? Duy trì đăng nhập Đăng nhập

Thống kê diễn đàn

Đề tài thảo luận: 6,074 Bài viết: 12,738 Thành viên: 18,036 Thành viên mới nhất: DuyChien

Chủ đề mới nhất

• Giải chi tiết gần 300 bài tập... Tăng Giáp posted 30/1/26 lúc 15:51
• 82 Bài Tập Khí Lý Tưởng Vật Lí... Tăng Giáp posted 26/4/25
• [HOT] Đề Toán Thi Thử 2025... Tăng Giáp posted 10/4/25
• [8+] Phân tích bài thơ Đất nước... Tăng Giáp posted 6/8/20
• Hướng dẫn viết dàn ý bài thơ... Tăng Giáp posted 6/8/20

Đang tải... Tăng Giáp Trang chủ Diễn đàn > TOÁN HỌC > LỚP 12 > Chủ đề 2. HÀM SỐ MŨ - LOGARIT > Bài 5. Hệ phương trình mũ và logarit >