Phương Pháp Giải Hệ Phương Trình Mũ Và Logarit | Tăng Giáp

• Home
• Forums New posts Search forums
• Lớp 12 Vật Lí 12
• What's new Featured content New posts New profile posts Latest activity
• Members Current visitors New profile posts Search profile posts

Đăng nhập Có gì mới? Tìm kiếm

Tìm kiếm

Everywhere Threads This forum This thread Chỉ tìm trong tiêu đề Note By: Search Tìm nâng cao…

• New posts
• Search forums

Menu Đăng nhập Install the app Install How to install the app on iOS

Follow along with the video below to see how to install our site as a web app on your home screen.

Note: This feature may not be available in some browsers.

• Home
• Forums
• Toán Học
• Đại Số
• Chủ đề 2. HÀM SỐ MŨ - LOGARIT
• Bài 5. Hệ phương trình mũ và logarit

You are using an out of date browser. It may not display this or other websites correctly.You should upgrade or use an alternative browser. Phương pháp giải hệ phương trình mũ và logarit

• Thread starter Thread starter Doremon
• Ngày gửi Ngày gửi 3/12/14

Doremon

Moderator

Thành viên BQT Dạng 1: Phương pháp biến đổi tương đương Bước 1: Đặt điều kiện cho các biểu thức. Bước 2:Dùng các biến đổi để nhận được được phương trình một ẩn. Bước 3: Giải phương trình một ẩn nhận được từ hệ. Bước 4: Kết luận. Ví dụ 1: $\left\{ \begin{array}{l}x + y = 2\\{\left( {y + 1} \right)^{{x^2} + x + 2}} = 1\end{array} \right.\left( 1 \right)$ Giải​ Spoiler Điều kiện y > - 1 $\left( 1 \right) \leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 2\\\left[ \begin{array}{l}y + 1 = 1\\ \left\{ \begin{array}{l}y + 1 > 0\\{x^2} + x + 2 = 0\end{array} \right.\end{array} \right.\end{array} \right. \leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y + 1 > 0\\y = 0\end{array} \right. \leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 0\end{array} \right.$ Ví dụ 2: $\left\{ \begin{array}{l}{x^{x + y}} = {y^{x - y}}\\{x^2}y = 1\end{array} \right.$ Giải​ Spoiler Điều kiện: x > 0 và y > 0 $\begin{array}{l}\left( 1 \right) \leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^{x + {x^{ - 2}}}} = {x^{ - 2\left( {x - {x^{ - 2}}} \right)}}\,\,\left( 2 \right)\\y = {x^{ - 2}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right)\end{array} \right.\\\left( 2 \right) \leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x + {x^{ - 2}} = - 2\left( {x - {x^{ - 2}}} \right)\end{array} \right. \leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\3 + 3{x^3} = 0\end{array} \right. \leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 1\left( {loai} \right)\end{array} \right.\end{array}$ Thay x = 1 vào (3) ta được cặp nghiệm (1;1) Ví dụ 3: $\left\{ \begin{array}{l}{2^x} + {2^y} = 3\\x + y = 1\end{array} \right.$ Giải​ Spoiler $\left\{ \begin{array}{l}{2^x} + {2^y} = 3\\x + y = 1\end{array} \right. \leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{2^x} + {2^{1 - x}} = 3\\y = 1 - x\end{array} \right. \leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {2^{2x}} - {3.2^x} + 2 = 0\\y = 1 - x\end{array} \right. \leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left[ \begin{array}{l}{2^x} = 1\\{2^x} = 2\end{array} \right.\\y = 1 - x\end{array} \right. \leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l} x = 1\\y = 0\end{array} \right.\end{array} \right.$ Ví du 4: (Học viện Ngân Hàng 1999) $\left\{ \begin{array}{l}{2^x} - {2^y} = 2\\x + y = 1\end{array} \right.$ Giải​ Spoiler $\left\{ \begin{array}{l}{2^x} - {2^y} = 2\\x + y = 1\end{array} \right. \leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{2^{x + y}} = 2\\{2^x} - {2^y} = 2\end{array} \right. \leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {2^x}\left( {{2^x} - 2} \right) = 2\\{2^y} = {2^x} - 2\end{array} \right. \leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{2^x} = 1 + \sqrt 3 \\{2^y} = - 1 + \sqrt 3 \end{array} \right. \leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = {\log _2}\left( {1 + \sqrt 3 } \right)\\x = {\log _2}\left( { - 1 + \sqrt 3 } \right)\end{array} \right.$ Ví du 5: (Sư Phạm II 1998) $\left\{ \begin{array}{l}{2^{3x + 1}} + {2^{y - 2}} = 3\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\ \sqrt {3{x^2} + 1 + xy} = \sqrt {x + 1} \,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.$ Giải​ Spoiler $\left( 2 \right) \leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 1 \ge 0\\3{x^2} + 1 + xy = x + 1\end{array} \right. \leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge - 1\\x\left( {3x + y - 1} \right) = 0\end{array} \right. \leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\\left\{ \begin{array}{l}x \ge - 1\\y = 1 - 3x\end{array} \right. \end{array} \right.$ với x = 0 ta thay vào (1), ta có cặp nghiệm $\left( {0,{{\log }_2}\left( {\frac{8}{{11}}} \right)} \right)$ với $\left\{ \begin{array}{l}x \ge - 1\\y = 1 - 3x\end{array} \right.,$ thay vào (1), ta có: ${2^{3x + 1}} + {2^{ - 1 - 3x}} = {3.2^{\left( {1 - 3x} \right) + 31}}$​Giải ra ta được cặp nghiệm: $\left( {\frac{1}{3}\left[ {{{\log }_2}\left( {3 + \sqrt 8 } \right) - 1} \right];\,2 - {{\log }_2}\left( {3 + \sqrt 8 } \right)} \right)$ Dạng 2: Phương pháp đặt ẩn phụ Bước 1: Đặt điều kiện cho các biểu thức trong hệ có nghĩa. Bước 2: Lựa chọn ẩn phụ để biến đổi hệ ban đầu về hệ đại số đã biết (hệ đối xứng, hệ đẳng cấp,…) Bước 3: Giải hệ. Bước 4: Kết luận. Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau $\left\{ \begin{array}{l}{3^{2x + 2}} + {2^{2y + 2}} = 17\\{2.3^{x + 1}} + {3.2^y} = 8\end{array} \right.\,\,\left( 1 \right)$ Giải​ Spoiler Đặt: $\left\{ \begin{array}{l}u = {3^x}\\v = {2^y}\end{array} \right.,\,\,u,v > 0\,\,\left( 2 \right),\,$ thay vào (1), ta có: $\left\{ \begin{array}{l}9{u^2} + 4{v^2} = 17\\6u + 3v = 8\end{array} \right.$ Giải hệ phương trình, ta có: $\left\{ \begin{array}{l}u = \frac{1}{3}\\v = 2\end{array} \right. \to \left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = 1\end{array} \right.$ Ví dụ 2: Giải hệ phương trình sau $\left\{ \begin{array}{l}{2^{2\left| x \right| + 1}} - {3.2^{\left| x \right|}} = {y^2} - 2\\2{y^2} - 3.y = {2^{2\left| x \right|}} - 2\end{array} \right.$ Giải​ Spoiler Đặt: $u = {2^{\left| x \right|}},\,u \ge 1$ thay vào hệ ta có: $\left\{ \begin{array}{l}2{u^2} - 3u = {y^2} - 2\\2{y^2} - 3y = {u^2} - 2\end{array} \right.$ Giải hệ ta được y = u = 2 suy ra hệ có cặp nghiệm: (0, 1); (1, 2); (-1, 2). Dạng 3: Giải hệ phương trình bằng phương pháp hàm số Bước 1: Đặt điều kiện cho các biểu thức trong hệ có nghĩa. Bước 2: Rút ra từ hệ một phương trình dạng f(x) = f(y). Bước 3: Sử dụng phương pháp hàm số: Nếu f(x) là hàm số luôn đồng biến hoặc nghịch biến thì từ hệ phương trình f(x) = f(y), ta có: x = y. Bước 4: Sử dụng kết quả trên để giải hệ. Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau $\left\{ \begin{array}{l}{2^x} + 2x = 3 + y\\{2^y} + 2y = 3 + x\end{array} \right.\left( * \right)$ Giải​ Spoiler $\left( * \right) \leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{2^x} + 2x = 3 + y\\{2^y} - {2^y} + 2x - 2y = - x + y \end{array} \right. \leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{2^x} + 2x = 3 + y\left( 1 \right)\\{2^x} + 3x = {2^y} + 3y\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\left( I \right)$ Xét hàm số: $f\left( x \right) = {2^x} + 3x$ là hàm đồng biến trên R nên từ phương trình (2) ta có f(x) = f(y) →x = y $\left\{ \begin{array}{l}{2^x} + 2x = 3 + y\\x = y\end{array} \right. \leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {2^x} + 2x = 3 + x\\x = y\end{array} \right. \leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{2^x} = - x + 3\left( 3 \right)\\x = y\end{array} \right.\,\left( {II} \right)$ Giải phương trình (3): Nhận xét:

• x=1 là nghiệm của (3).
• x > 1: VT(3) > 2, TP(3) < 2 nên phương trình (3) không có nghiệm x > 1.
• x < 1: VT(3) < 2, TP(3) > 2 nên phương trình (3) không có nghiệm x < 1.

Vậy phương trình (3) có nghiệm duy nhất x = 1, do đó tự hệ phương trình (II) ta có (1, 1) là nghiệm của (1). Ví dụ 2: Giải hệ phương trình sau $\left\{ \begin{array}{l}{3^x} - {3^y} = y - x\\{x^2} + xy + {y^2} = 12\end{array} \right.$ Giải​ Spoiler $\left( * \right) \leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{3^x} + x = {3^y} + y\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\ {x^2} + xy + {y^2} = 12\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.$ Xét hàm số: $f\left( x \right) = {3^x} + x$ là hàm số đồng biến trên R, nên từ phương trình (1) trên R ta có: f(x) = f(y)→ x = y Khi đó hệ (1) và (2) trở thành: $\left\{ \begin{array}{l}x = y\\{x^2} + xy + {y^2} = 12\end{array} \right. \leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = y\\3{x^2} = 12\end{array} \right. \leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = y\\x = \pm 2\end{array} \right.$ Vậy nghiệm của hệ phương trình: (2, 2) và ( -2, -2). Ví dụ 3: Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}{2^x} = 2y\\{2^y} = 2x\end{array} \right.$ Giải​ Spoiler $\left\{ \begin{array}{l}{2^x} = 2y\\{2^y} = 2x\end{array} \right. \leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {2^x} = 2y\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\{2^x} + 2x = {2^y} + 2y\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.$ Xét hàm số: $f\left( x \right) = {2^x} + 2x$ là hàm đồng biến trên R, nên từ (2), ta có: f ( x ) = f ( y )→x = y. Kết hợp (1) ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}x = y\\{2^2} = 2y\end{array} \right. \leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = y\\{2^x} - 2x = 0\end{array} \right. \leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = y\\\left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 2\end{array} \right.\end{array} \right.$ Do hàm số: $f\left( x \right) = {2^x} - 2x$ là hàm nồi, nên phương trình ${2^x} - 2x = 0$ có đúng hai nghiệm. Dạng 4: Giải hệ phương trình bằng phương pháp điều kiện cần và đủ Áp dụng cho các bài toán Bài toán 1: Tìm điều kiện để hệ phương trình có nghiệm duy nhất. Bài toán 2: Tìm điều kiện để hệ phương trình có nghiệm với mọi giá trị của một tham số Các bước Bước 1: Đặt điều kiện cho các biểu thức trong hệ có nghĩa. Bước 2: Tìm điều kiện cần cho hệ dựa vào tính đối xứng hoặc đánh giá. Bước 3: Kiểm tra điều kiện đủ Ví dụ 1: Tìm m để hệ sau có nghiệm duy nhất $\left\{ \begin{array}{l}{2^{\left| x \right|}} - {2^y} = y - \left| x \right|\left( {m + 1} \right)\\ {x^2} + y = {m^2}\end{array} \right.\,\,\,\left( 1 \right)$ Giải​ Spoiler Nhận xét: Nếu x$_0$ là nghiệm của hệ thì – x$¬_0$ cũng là nghiệm của hệ. Do đó để hệ có nghiệm duy nhất thì x$_0$ = - x$_0$ ↔ x$_0$ = 0 Với x = 0, thay vào hệ ta có: $\left\{ \begin{array}{l}1 - {2^y} = y\left( 2 \right)\\y = {m^2} \end{array} \right. \leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 0\\m = 0\end{array} \right.$ (do VP (2) đồng biến, VT (2) nghịch biến) Với m = 0 thay vào (1) ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{2^{\left| x \right|}} - {2^y} = y - \left| x \right|\\y + {x^2} = 0\end{array} \right. \leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{2^{\left| x \right|}} + \left| x \right| = {2^y} + y\left( 3 \right)\\y + {x^2} = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 4 \right)\end{array} \right.$ Xét hàm số: f(t) = 2$^t$ + t là hàm số đồng biến trên R. Nên từ (3) ta có: f ( x ) = f ( y )↔ x = y , kết hợp (4) ta có: $\left\{ \begin{array}{l}\left| x \right| = y\\{x^2} + y = 0\end{array} \right. \leftrightarrow x = y = 0$ Vậy với m = 0 hệ có nghiệm duy nhất. Ví dụ 2: Tìm m để hệ sau có nghiệm duy nhất $\left\{ \begin{array}{l}{2^{\left| x \right|}} + \left| x \right| = y + {x^2} + m\\{x^2} + {y^2} = 1\end{array} \right.\,\,\left( 1 \right)$ Giải​ Spoiler Nhận xét: Nếu x$_0$ là nghiệm của hệ thì - x$_0$ cũng là nghiệm của hệ. Do đó để hệ có nghiệm duy nhất thì x$_0$ = - x$_0$ ↔ x$_0$ = 0. Với x = 0, thay vào hệ ta có: $\left\{ \begin{array}{l}1 = y + m\\{y^2} = 1\end{array} \right. \leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}m = 0\\y = 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}m = 2\\y = - 1\end{array} \right.\end{array} \right.$ Với m = 0 thay vào (1) ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{2^{\left| x \right|}} + \left| x \right| = y + {x^2}}\\{{x^2} + {y^2} = 1}\end{array}} \right.{\mkern 1mu} {\kern 1pt} \to \left\{ \begin{array}{l} 0 \le \left| x \right| \le 1\\ - 1 \le y \le 1\end{array} \right. \to \left\{ \begin{array}{l}\left| x \right| \ge {x^2}\\{2^{\left| x \right|}} \ge 1 \ge y\end{array} \right. \to {2^{\left| x \right|}} + \left| x \right| \ge y + {x^2}$ Do đó: $\left( 2 \right) \leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left| x \right| = {x^2}}\\{{2^{\left| x \right|}} = y = 1}\end{array}} \right.{\mkern 1mu} {\kern 1pt} \to \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 1 \end{array} \right.$ Thảo mãn (3), suy ra m = 0 thỏa mãn Với m = 2 thay vào (1) ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{2^{\left| x \right|}} + \left| x \right| = y + {x^2} + 2}\\{{x^2} + {y^2} = 1}\end{array}} \right.{\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} $ Last edited by a moderator: 6/10/17 T

Thùy Linh

Thành viên cấp 1

tai o dau? You must log in or register to reply here. Share: Bluesky LinkedIn Reddit Pinterest Tumblr WhatsApp Email Share Link

Trending content

• Thread 'Dạng toán 1. Xác định miền nghiệm của bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.'
  • Tăng Giáp
  • 8/12/18
  Trả lời: 0
• H Thread 'Cực đại và cực tiểu của hàm số'
  • Huy Hoàng
  • 22/2/16
  Trả lời: 179
• Thread 'Bài tập trắc nghiệm hình chóp'
  • Minh Toán
  • 10/11/17
  Trả lời: 148
• Thread 'SỰ ĐỒNG BIẾN ,NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ'
  • Doremon
  • 4/12/14
  Trả lời: 165
• V Thread 'Bài 3. Chuyển động thẳng biến đổi đều'
  • Vật Lí
  • 19/9/16
  Trả lời: 172
• H Thread 'Ứng dụng tích phân tính diện tích và thể tích'
  • Huy Hoàng
  • 20/2/16
  Trả lời: 170
• Thread 'Mặt cầu, mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện'
  • Doremon
  • 24/1/15
  Trả lời: 95
• V Thread 'Bài 5. CHUYỂN ĐỘNG TRÒN ĐỀU'
  • Vật Lí
  • 19/9/16
  Trả lời: 100
• H Thread 'Chuyên đề mặt nón tròn xoay'
  • Huy Hoàng
  • 22/1/15
  Trả lời: 102
• V Thread 'Bài 2. CHUYỂN ĐỘNG THẲNG ĐỀU'
  • Vật Lí
  • 19/9/16
  Trả lời: 98

Latest posts

• Sóng dừng
  • Latest: Tăng Giáp
  • 2/12/25
  Sóng cơ
• Giao Thoa Sóng Cơ
  • Latest: Tăng Giáp
  • 2/12/25
  Sóng cơ
• Sóng điện từ
  • Latest: Tăng Giáp
  • 2/12/25
  Bài 22: Sóng điện từ
• Sóng ngang. Sóng dọc. Sự truyền năng lượng của sóng cơ
  • Latest: Tăng Giáp
  • 2/12/25
  Sóng cơ
• Mô tả sóng
  • Latest: Tăng Giáp
  • 2/12/25
  Sóng cơ
• Dao động tắt dần - dao động cưỡng bức
  • Latest: Tăng Giáp
  • 2/12/25
  Dao động cơ
• Động năng. Thế năng. Sự chuyển hoá năng lượng trong dao động điều hoà
  • Latest: Tăng Giáp
  • 2/12/25
  Dao động cơ
• Bài 5. Điện thế
  • Latest: Tăng Giáp
  • 25/11/25
  Chương 1. Điện tích - Điện trường
• Bài 6. Tụ Điện
  • Latest: Tăng Giáp
  • 25/11/25
  Chương 1. Điện tích - Điện trường
• Cách giải phương trình bậc 3 tổng quát
  • Latest: Tăng Giáp
  • 22/11/25
  Bài 01. Phương trình

Members online

No members online now. Total: 14 (members: 0, guests: 14)

Share this page

Bluesky LinkedIn Reddit Pinterest Tumblr WhatsApp Email Share Link

• Home
• Forums
• Toán Học
• Đại Số
• Chủ đề 2. HÀM SỐ MŨ - LOGARIT
• Bài 5. Hệ phương trình mũ và logarit

Back Top