Phương Pháp Giải Mặt Cầu Ngoại Tiếp - Nội Tiếp Hình Chóp Chi Tiết Nhất

Xin chào các bạn, sau khi đã hoàn thành bài Dạng toán mặt cầu ngoại tiếp nội tiếp lăng trụ – hướng dẫn giải và bài tập. Hôm nay HocThatGioi sẽ đem đến cho các bạn phương pháp giải mặt cầu ngoại tiếp – nội tiếp hình chóp chi tiết nhất. Hãy cùng HocThatGioi theo dõi hết bài viết hôm nay nhé.

1. Phương pháp giải mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

Cho hình chóp S.A_{1}A_{2}A_{3}...A_{n} (thoả mãn điều kiện tồn tại mặt cầu ngoại tiếp). Thông thường, để xác định mặt cầu ngoại tiếp hình chóp ta thực hiện theo hai bước :

• Bước 1: Xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy. Dựng \Delta: trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.
• Bước 2: Lập mặt phẳng trung trực (\alpha ) của một cạnh bên.

Lúc đó:

• Tâm O của mặt cầu: \Delta \frown (\alpha ) = O
• Bán kính: R = OA = OS (tuỳ vào từng trường hợp)

Kỹ năng xác định trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.

• Trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy : là đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp đáy và vuông góc với mặt phẳng đáy.

• Tính chất : \forall M \in \Delta: MA = MB = MC. Suy ra MA = MB = MC \Leftrightarrow M \in \Delta

• Các bước xác định trục :
  • Bước 1: Xác định tâm H của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.
  • Bước 2: Qua H dựng \Delta vuông góc với mặt phẳng đáy

Lưu ý: \exists M, S, (M \neq S): \left\{\begin{matrix} MA = MB = MC \\SA = SB = SC \end{matrix}\right. => SM là trục đường tròn ngoại tiếp \Delta ABC

Ví dụ minh hoạ:

Tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc, OA = OB = OC = 1. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC. Gọi M là trung điểm BC, qua M dựng d // OA. Gọi K là trung điểm OA, qua K dựng \Delta // OM => \Delta \frown d = {I} là tâm mặt cầu. Vậy R = OI = \sqrt{\frac{OA^{2}}{4} + OM^{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2} Cho hình chóp đều S.ABCD có tam giác SAC đều cạnh a. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. Ta có SO = \frac{a\sqrt{3}}{2}. Xét hai tam giác SMI và SOC đồng dạng suy ra : \frac{SI}{SC} = \frac{SM}{SO} => SI = \frac{SM.SC}{SO} = \frac{a\sqrt3{}}{3} = R. Nhận xét: I là trọng tâm \Delta SAC => R = SI = \frac{2}{3} SO = \frac{a\sqrt{3}}{3}

2. Phương pháp giải mặt cầu nội tiếp hình chóp

• Mặt cầu nội tiếp hình chóp là mặt cầu nằm bên trong hình chóp và tiếp xúc với tất cả các mặt của hình chóp.

• Điều kiền tồn tài mặt cầu nội tiếp được khối chóp: Nếu trên đáy của một hình chóp tồn tại một điểm cách đều tất cả các mặt xung quanh của hình chóp thì hình chóp đó có một hình cầu nội tiếp.

• Tâm hình cầu nội tiếp cách đều tất cả các mặt của hình chóp vào nằm trên phân giác của góc nhị diện tạo bởi hai mặt kề nhau của hình chóp.

Công thức tính bán kính hình cầu nội tiếp hình chóp r = \frac{3V}{S_{tp}} Trong đó: V: thể tích khối đa diện S_{tp}: diện tích toàn phần khối đa diện. r : bán kính hình cầu nội tiếp hình chóp

Ví dụ minh hoạ:

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Tính bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Gọi O là tâm hình vuông ABCD. => O cách đều các mặt bên của hình chóp tứ giác đều S. ABCD. Suy ra mọi điểm thuộc SO cách đều các mặt bên của hình chóp tứ giác đều S.ABCD. (1) Gọi M, N lần lượt là trung điểm AB, CD. Khi đó tam giác SMN cân tại S nên SO cũng là phân giác của góc MSN. Trong tam giác SMN, kẻ phân giác góc SMN cắt SO tại I. Suy ra IO= IH hay I cách đều mặt đáy và mặt bên (SAB). (2) Từ (1) và (2) suy ra I cách đều các mặt của hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Vậy I là tâm mặt cầu nội tiếp hình chóp tứ giác S.ABCD Bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp S.ABCD bằng bán kính đường tròn nội tiếp tam giác SMN nên: r = \frac{S_{SMN}}{p}, với p = \frac{SM + SN + MN}{2} = \frac{2SM + MN}{2} = \frac{a\sqrt{3} + a}{2}. S_{SMN} = \frac{1}{2} SO.MN = \frac{a^{2}\sqrt{2}}{4} Vậy r = \frac{S_{SMN}}{p} = \frac{\sqrt{6} – \sqrt{2}}{4} a

Trên đây là bài viếtvề Phương pháp giải mặt cầu ngoại tiếp – nội tiếp hình chóp chi tiết nhất mà HocThatGioi đã đem đến cho các bạn. Qua bài viết này, Các bạn cùng theo dõi các bài viết tiếp theo về chương Mặt tròn xoay để có một nền tảng thật vững chắc nhé. Cảm ơn các bạn đã theo dõi bài viết của HocThatGioi. Hãy đồng hành cùng HocThatGioi để tiếp thu thêm các kiến thức hay, bổ ích nhé. Chúc các bạn học tốt.

Bài viết khác liên quan đến Lớp 12 – Toán – Mặt cầu

• Lý thuyết về mặt cầu – mặt cầu ngoại tiếp khối chóp
• 20 câu trắc nghiệm tính diện tích và thể tích mặt cầu có lời giải chi tiết
• Dạng toán xác định mặt cầu – hướng dẫn giải và bài tập
• Dạng toán mặt cầu ngoại tiếp nội tiếp lăng trụ – hướng dẫn giải và bài tập
• Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng với mặt cầu trong không gian Oxyz