Phương Pháp Giải Phương Trình Bậc Ba, Bậc Bốn đặc Biệt

1. Trang chủ
2. Lý thuyết toán học
3. Toán 10
4. CHƯƠNG 3: PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH
5. Phương pháp giải phương trình bậc ba, bậc bốn đặc biệt

Phương pháp giải phương trình bậc ba, bậc bốn đặc biệt Trang trước Mục Lục Trang sau

1. Phương trình trùng phương

- Là phương trình có dạng \(a{x^4} + b{x^2} + c = 0\left( {a \ne 0} \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( * \right)\)

- Phương pháp:

+) Đặt \(t = {x^2}\left( {t \ge 0} \right)\) thì \(\left( * \right) \Leftrightarrow a{t^2} + bt + c = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {**} \right)\)

+) Để xác định số nghiệm của $( * ),$ ta dựa vào số nghiệm của $( * * )$ và dấu của chúng, cụ thể:

$ \bullet $ Phương trình $( * )$ vô nghiệm \( \Leftrightarrow \left( {**} \right)\) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép âm hoặc có hai nghiệm phân biệt âm.

$ \bullet $ Phương trình $( * )$ có $1$ nghiệm \( \Leftrightarrow \left( {**} \right)\) có nghiệm kép \({t_1} = {t_2} = 0\) hoặc \(\left( {**} \right)\) có \(1\) nghiệm bằng \(0\), nghiệm còn lại âm.

$ \bullet $ Phương trình $( * )$ có $2$ nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \left( {**} \right)\) có nghiệm kép dương hoặc \(\left( {**} \right)\) có \(2\) nghiệm trái dấu.

$ \bullet $ Phương trình $( * )$ có $3$ nghiệm $ \Leftrightarrow ( * * )$ có $1$ nghiệm bằng $0$ và nghiệm còn lại dương.

$ \bullet $ Phương trình $( * )$ có $4$ nghiệm $ \Leftrightarrow ( * * )$ có $2$ nghiệm dương phân biệt.

2. Một số dạng phương trình bậc bốn quy về bậc hai

Loại 1: $a{x^4} + b{x^3} + c{x^2} + dx + e = 0$ với $\dfrac{e}{a} = {\left( {\dfrac{d}{b}} \right)^2} \ne 0$

Phương pháp giải:

- Bước 1: Chia hai vế cho ${x^2} \ne 0$

- Bước 2: Đặt $t = x + \dfrac{\alpha }{x} \Rightarrow {t^2} = {\left( {x + \dfrac{\alpha }{x}} \right)^2}$ với $\alpha = \dfrac{d}{b}$ và thay vào phương trình.

Loại 2: $(x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = e$ với $a + c = b + d$

Phương pháp giải:

- Bước 1: Biến đổi:

$\left[ {(x + a)(x + c)} \right] \cdot \left[ {(x + b)(x + d)} \right] = e \Leftrightarrow \left[ {{x^2} + (a + c)x + ac} \right] \cdot \left[ {{x^2} + (b + d)x + bd} \right] = e$

- Bước 2: Đặt $t = {x^2} + (a + c)x$ và thay vào phương trình.

Loại 3: $(x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = e{x^2}$ với $a.b = c.d.$

Phương pháp giải:

- Bước 1: Đặt $t = {x^2} + ab + \dfrac{{a + b + c + d}}{2} \cdot x$

- Bước 2: Phương trình$ \Leftrightarrow \left( {t + \dfrac{{a + b - c - d}}{2} \cdot x} \right) \cdot \left( {t - \dfrac{{a + b - c - d}}{2} \cdot x} \right) = e{x^2}$ (có dạng đẳng cấp)

Loại 4: ${(x + a)^4} + {(x + b)^4} = c$

Phương pháp giải:

- Bước 1: Đặt $x = t - \dfrac{{a + b}}{2} \Rightarrow {(t + \alpha )^4} + {(t - \alpha )^4} = c$ với $\alpha = \dfrac{{a - b}}{2} \cdot $

- Bước 2: Giải phương trình trên tìm \(t\) rồi suy ra \(x\).

Loại 5: ${x^4} = a{x^2} + bx + c\,\,\,\,\,\left( 1 \right)$

Phương pháp giải:

- Bước 1: Tạo ra dạng ${A^2} = {B^2}$ bằng cách thêm hai vế cho một lượng $2k.{x^2} + {k^2}$

- Bước 2: Phương trình (1) tương đương:

${({x^2})^2} + 2k{x^2} + {k^2} = (2k + a){x^2} + bx + c + {k^2} \Leftrightarrow {({x^2} + k)^2} = (2k + a){x^2} + bx + c + {k^2}.$

- Bước 3: Cần vế phải có dạng bình phương $ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2k + a > 0\\{\Delta _{VP}} = {b^2} - 4(2k + a)(c + {k^2}) = 0\end{array} \right. \Rightarrow k = ?$

Loại 6: ${x^4} + a{x^3} = b{x^2} + cx + d\,\,\,\,\,\left( 2 \right)$

Phương pháp giải:

- Bước 1: Tạo ${A^2} = {B^2}$ bằng cách thêm ở vế trái 1 biểu thức để tạo ra dạng bình phương: ${\left( {{x^2} + \dfrac{a}{2}x + k} \right)^2} = {x^4} + a{x^3} + \left( {2k + \dfrac{{{a^2}}}{4}} \right){x^2} + kax + {k^2}.$

Do đó ta sẽ cộng thêm hai vế của phương trình (2) một lượng: $\left( {2k + \dfrac{{{a^2}}}{4}} \right){x^2} + kax + {k^2},$ thì phương trình

$(2) \Leftrightarrow {\left( {{x^2} + \dfrac{a}{2}x + k} \right)^2} = \left( {2k + \dfrac{{{a^2}}}{4} + b} \right){x^2} + (ka + c)x + {k^2} + d.$

- Bước 2: Cần vế phải có dạng bình phương nên phải có số $k$ thỏa:

$\left\{ \begin{array}{l}2k + \dfrac{{{a^2}}}{4} + b > 0\\{\Delta _{VP}} = {(ka + c)^2} - 4\left( {2k + \dfrac{{{a^2}}}{4} + b} \right)({k^2} + d) = 0\end{array} \right. \Rightarrow k = ?$

3. Giải phương trình bậc ba bằng lược đồ Hoocner

Khi gặp bài toán chứa tham số trong phương trình bậc ba, ta thường dùng nguyên tắc nhẩm nghiệm sau đó chia Hoocner.

Nguyên tắc nhẩm nghiệm:

$ \bullet $ Nếu tổng các hệ số bằng $0$ thì phương trình sẽ có $1$ nghiệm $x = 1.$

$ \bullet $ Nếu tổng các hệ số bậc chẵn bằng tổng các hệ số bậc lẻ thì PT có $1$ nghiệm $x = - 1.$

$ \bullet $ Nếu phương trình chứa tham số, ta sẽ chọn nghiệm $x$ sao cho triệt tiêu đi tham số $m$ và thử lại tính đúng sai.

Chia Hoocner: đầu rơi – nhân tới – cộng chéo.

Trang trước Mục Lục Trang sau

Có thể bạn quan tâm:

• Phương pháp giải các bài toán tương giao đồ thị
• Phương pháp giải một số bài toán liên quan đến khảo sát hàm số bậc ba, bậc bốn trùng phương
• Ôn tập chương I
• Phương pháp giải một số bài toán cực trị có tham số đối với một số hàm số cơ bản
• Nhân hai số nguyên và tính chất

Tài liệu

Tạp chí toán học và tuổi trẻ số 493 - tháng 7 2018

Toán 12 - 9 phương pháp giải phương trình mũ và phương trình logarit

12 phương pháp giải và biện luận phương trình chứa căn thức

Toán học và tuổi trẻ số 477 - tháng 3 - 2017

Toán 12: Giải và biện luận phương trình, bất phương trình bằng phương pháp hàm số – Nguyễn Thành Trung