Phương Pháp Hàm Số Giải Nhanh Phương Trình, Bất ...

Các định lí cần sử dụng: Nếu $f(x)$ là hàm đơn điệu trên $K$ (với $K$ là khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng) thì phương trình $f(x)=0$ có tối đa một nghiệm trên $K.$

Nếu $f(x)$ là hàm liên tục trên đoạn $[a;b]$ và $f(a)f(b)f(b)\Leftrightarrow a>b;$

+) Nếu $f(x)$ nghịch biến trên $K,\forall a,b\in K\Rightarrow f(a)>f(b)\Leftrightarrow b>a;$

Nếu ${f}'(x)=0$ có tối đa $n$ nghiệm trên $K$ thì phương trình $f(x)=0$ có tối đa $(n+1)$ nghiệm trên $K.$

Ví dụ 1:Giải phương trình ${{3}^{x}}+{{4}^{x}}={{5}^{x}}.$

Giải. Phương trình tương đương với:

Hàm số $f(x)={{\left( \frac{3}{5} \right)}^{x}}+{{\left( \frac{4}{5} \right)}^{x}}-1$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$ và $f(2)=0$ do đó phương trình có nghiệm duy nhất $x=2.$

Ví dụ 2: Giải phương trình ${{3}^{x}}=\left| {{5}^{x}}-2 \right|.$

Giải. Phương trình tương đương với:

Ví dụ 3: Giải phương trình ${{3}^{x}}+{{2}^{x}}=3x+2.$

Giải. Phương trình tương đương với: ${{3}^{x}}+{{2}^{x}}-3x-2=0.$

Xét hàm số $y={{3}^{x}}+{{2}^{x}}-3x-2$ ta có ${y}'={{3}^{x}}\ln 3+{{3}^{x}}\ln 2-3;{y}''={{3}^{x}}{{\ln }^{2}}3+{{2}^{x}}{{\ln }^{2}}2>0,\forall x.$

Do đó ${y}'=0$ có tối đa một nghiệm và vì vậy $y=0$ có tối đa hai nghiệm.

Nhận thấy $x=0;x=1$ là nghiệm, do đó phương trình chỉ có hai nghiệm là $x=0;x=1.$

Ví dụ 4: Giải phương trình ${{3}^{2x+1}}=6{{x}^{2}}+7x+2+(3x+1){{3}^{x}}.$

Giải. Phương trình tương đương với:

Ví dụ 5: Giải phương trình ${{4}^{x}}=\dfrac{5x+3}{5x-3}.$

Giải. Phương trình tương đương với: ${{4}^{x}}-\dfrac{5x+3}{5x-3}=0.$

Xét hàm số $y={{4}^{x}}-\dfrac{5x+3}{5x-3},$ ta có ${y}'={{4}^{x}}\ln 4+\dfrac{30}{{{(5x-3)}^{2}}}>0,\forall x\ne \dfrac{3}{5}.$

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng $\left( -\infty ;\dfrac{3}{5} \right);\left( \dfrac{3}{5};+\infty \right).$ Do đó trên mỗi khoảng này phương trình có tối đa một nghiệm. Nhận thấy $x=-1;x=1$ thoả mãn. Vậy phương trình chỉ có hai nghiệm là $x=-1;x=1.$

Ví dụ 6: Giải phương trình $(2-x)(1+{{3}^{x}})=4.$

Giải. Phương trình tương đương với: $2-x=\frac{4}{1+{{3}^{x}}}\Leftrightarrow x+\frac{4}{{{3}^{x}}+1}-2=0.$

Xét hàm số $y=x+\frac{4}{{{3}^{x}}+1}-2,$ ta có

Do đó ${y}'=0$ có hai nghiệm, do đó $y=0$ có tối đa ba nghiệm.

Nhận thấy $x=0;x=-1;x=1$ thoả mãn. Vậy phương trình chỉ có ba nghiệm $x=0;x=-1;x=1.$

Ví dụ 7: Giải phương trình ${{\log }_{5}}\left| {{x}^{2}}-\sqrt{3}x \right|={{\log }_{7}}({{x}^{2}}-\sqrt{3}x+2).$

Giải. Phương trình tương đương với:

Vậy

Ví dụ 8: Giải phương trình $\ln \left( \frac{{{x}^{2}}+1}{2{{x}^{2}}-3x-1} \right)=4{{x}^{2}}-12x-8.$

Giải. Phương trình tương đương với:

Ví dụ 9: Giải phương trình \[{{5}^{x}}=20{{\log }_{5}}(20x-15)-15.\]

Giải. Đặt $t={{\log }_{5}}(20x-15)\Leftrightarrow 20x-15={{5}^{t}}\Leftrightarrow -15={{5}^{t}}-20x,$ phương trình trở thành:

${{5}^{x}}=20t+({{5}^{t}}-20x)\Leftrightarrow {{5}^{x}}+20={{5}^{t}}+20t\Leftrightarrow t=x.$

Do đó ${{5}^{x}}-20x+15=0\Leftrightarrow x=1;x=2.$

Ví dụ 10: Giải phương trình ${{3}^{x}}=2{{x}^{2}}+1.$

Giải. Phương trình tương đương với \[{{3}^{x}}-2{{x}^{2}}-1=0.\]

Xét hàm số $y={{3}^{x}}-2{{x}^{2}}-1$ ta có ${y}'={{3}^{x}}\ln 3-4x;{y}''={{3}^{x}}{{\ln }^{2}}3-4.$ Do đó ${y}''=0$ có một nghiệm nên ${y}'=0$ có tối đa 2 nghiệm và do đó $y=0$ có tối đa ba nghiệm.

Nhận thấy $x=0;x=1;x=2$ thoả mãn nên phương trình chỉ có ba nghiệm $x=0;x=1;x=2.$

Ví dụ 11: Giải phương trình ${{\log }_{2}}\left( \frac{1}{\sin x} \right)={{\log }_{\frac{\sqrt{3}}{2}}}(\cos x).$

Giải. Phương trình tương đương với:  

Bài viết gợi ý:

1. Một số dạng toán về chứng minh số phức

2. Tổng Hợp các đề thi thử Toán tháng 10 năm 2019

3. Khối đa diện lồi và khối đa diện đều

4. Các dạng bài toán lãi suất

5. Dạng lượng giác của số phức

6. Dạng đại số của số phức

7. Full công thức tính nhanh tỷ số thể tích khối đa diện