Phương Pháp Khử Dạng Vô định - TaiLieu.VN
Có thể bạn quan tâm
- Đề thi toán cao cấp 2
- Đại số tuyến tính
- Toán rời rạc
- Xác suất thống kê
- Phương trình vi phân
-
- Toán cao cấp
- Toán kinh tế
- HOT
- FORM.04: Bộ 240+ Biểu Mẫu Chứng Từ Kế...
- LV.26: Bộ 320 Luận Văn Thạc Sĩ Y...
- FORM.07: Bộ 125+ Biểu Mẫu Báo Cáo...
- CEO.29: Bộ Tài Liệu Hệ Thống Quản Trị...
- TL.01: Bộ Tiểu Luận Triết Học
- LV.11: Bộ Luận Văn Tốt Nghiệp Chuyên...
- CEO.27: Bộ Tài Liệu Dành Cho StartUp...
- FORM.08: Bộ 130+ Biểu Mẫu Thống Kê...
- CMO.03: Bộ Tài Liệu Hệ Thống Quản Trị...
Chia sẻ: Hà Trần | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:0
Thêm vào BST Báo xấu 511 lượt xem 73 download Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủTài liệu tha khảo dành cho giáo viên, sinh viên chuyên môn toán học - Tài liệu toán học cao cấp.
AMBIENT/ Chủ đề:- Toán học
- khử vô định
- luyện thi đại học môn toán
- toán học 12
- bài tập toán 12
- phương pháp giải toán
Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!
Đăng nhập để gửi bình luận! LưuNội dung Text: Phương pháp khử dạng vô định
- WWW.MATHVN.COM Những dạng vô định thường gặp trong bài toán tìm giới hạn của hàm số Giới hạn dạng vô định là những giới hạn mà ta không thể tìm chúng bằng cách áp dụng trực tiếp các định lý về giới hạn và các giới hạn cơ bản trình bày trong Sách giáo khoa. Do đó muốn tính giới hạn dạng vô định của hàm số, ta phải tìm cách khử các dạng vô định để biến đổi thành dạng xác định của giới hạn Trong chƣơng trình toán THPT, các dạng vô định thƣờng gặp là : 0 , , , 0., 1 0 Sau đây là nội dung từng dạng cụ thể. 0 I. GIỚI HẠN DẠNG VÔ ĐỊNH 0 0 Giới hạn dạng vô định là một trong những giới hạn thƣờng gặp nhất 0 đối với bài toán tính giới hạn của hàm số. Để tính các giới hạn dạng này, phƣơng pháp chung là sử dụng các phép biến đổi ( phân tích đa thức thành nhân tử, nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp, thêm bớt, …) để khử các thành phần có giới hạn bằng 0, đƣa về tính giới hạn xác định. Chính các thành phần có giới hạn bằng 0 này gây nên dạng vô định. 0 Để tính giới hạn dạng vô định , trƣớc hết giáo viên cần rèn luyện cho 0 học sinh kỹ năng nhận dạng. 0 1. Nhận dạng giới hạn vô định 0 Để giải bài toán tìm giới hạn của hàm số, học sinh cần xác định giới hạn cần tìm thuộc dạng xác định hay vô định. Nếu giới hạn đó là vô định thì phải xét xem nó thuộc dạng vô định nào để có phƣơng pháp giải thích hợp. Bởi vậy việc rèn luyện kỹ năng nhận dạng cho học sinh có quan trọng, giúp học sinh định hƣớng đƣợc cách giải, tránh những sai xót có thể mắc phải. 0 Đối với dạng vô định , việc nhận dạng không khó khăn lắm vì học sinh 0 thƣờng gặp giới hạn : f(x) lim mà x x f(x) = x x g(x) = 0 lim lim x x 0 g(x) 0 0 www.MATHVN.com 1
- WWW.MATHVN.COM Những dạng vô định thường gặp trong bài toán tìm giới hạn của hàm số f(x) lim Thực tế học sinh hay gặp trƣờng hợp x x mà f(x0 ) = g(x0 ) = 0 . Ngoài ra 0 g(x) trong một số bài toán học sinh phải thực hiện các phép biến đổi để chuyển về 0 dạng vô định , sau đó mới áp dụng các phƣơng pháp khử các thành phần có 0 giới hạn bằng 0. Khi giảng dạy, giáo viên nên đƣa ra một số bài toán để nhấn mạnh cho học sinh việc nhận dạng nhƣ : f(x) mà xlim f(x) 0 hoặc xlim g(x) 0 lim x x 0 g(x) x 0 x 0 Tránh tình trạng học sinh không nhận dạng mà áp dụng ngay phƣơng pháp giải. Ví dụ áp dụng : (Yêu cầu chung của những bài tập là : “ Tính các giới hạn sau”). x-2 Ví dụ 1 : L1 = lim x 2 x 2 +1 Bài giải : x-2 2-2 0 L1 = lim = x 2 +1 22 1 x 2 x+2 Ví dụ 2 : L2 = x 1 lim x2 - 1 Bài giải : lim(x+2) = 1+2 = 3 = vì x 1 2 x+2 lim(x - 1) = 12 - 1 = 0 L2 = lim x 1 x2 - 1 x 1 1 3 2 Ví dụ 3 : L3 = lim x 1 x 1 x 1 Bài giải : x 2 3x +2 1 3 2 lim L = lim 3 x1 x 1 x 1 x 1 x 2 1 (x-1)(x 2) (x-2) 1-2 1 lim = lim x 1 (x 1)(x+1) x 1 (x+1) 1+1 2 www.MATHVN.com 2
- WWW.MATHVN.COM Những dạng vô định thường gặp trong bài toán tìm giới hạn của hàm số 0 Dạng vô định đƣợc nghiên cứu với các loại cụ thể sau : 0 f(x) 2. Loại 1 : lim mà f(x), g(x) là các đa thức và f(x0) = g(x0) = 0 x x 0 g(x) Phương pháp : Khử dạng vô định bằng cách phân tích cả tử và mẫu thành nhân tử với nhân tử chung là (x – x0). Giả sử : f(x) = (x – x0).f1(x) và g(x) = (x – x0).g1(x). Khi đó : (x - x 0 )f1 (x) f (x) f(x) lim lim 1 lim x x0 g(x) x x0 (x - x )g (x) x x0 g (x) 0 1 1 f1 (x) 0 Nếu giới hạn lim vẫn ở dạng vô định thì ta lặp lại quá trình khử đến x x 0 g1 (x) 0 khi không còn dạng vô định. Ví dụ áp dụng : 2x 2 - 5x +2 Ví dụ 4 : L4 = lim x 2 x 2 +x - 6 Bài giải : Ta phân tích cả tử và mẫu thành nhân tử với nhân tử chung : x - 2 2x 2 - 5x +2 (x - 2)(2x - 1) lim L4 = lim x 2 x +x - 6 x 2 (x - 2)(x + 3) 2 2x - 1 2.2 1 3 = lim 23 5 x 2 x + 3 3 Vậy L4 5 x 2 - 3x +2 Ví dụ 5 : L5 = lim x 2 x 2 - 4x + 4 Bài giải : x 2 - 3x +2 (x - 2)(x - 1) lim L5 = lim x 2 x 2 - 4x + 4 x 2 (x - 2)2 x-1 = lim x 2 x - 2 ( Vì giới hạn của tử bằng 1, giới hạn của mẫu bằng 0) Vậy L4 www.MATHVN.com 3
- WWW.MATHVN.COM Những dạng vô định thường gặp trong bài toán tìm giới hạn của hàm số x+x 2 +x3 +...+x n - n (m, n N* ) Ví dụ 6 : L6 lim x 1 3 m 2 x+x +x +...+x - m Bài giải : Ta sẽ phân tích tử và mẫu thành nhân tử với nhân tử chung : x – 1 bằng cách tách và nhóm nhƣ sau : x + x2 + x3 + ... + xn – n = (x – 1) + (x2 – 1) + (x3 - 1) + ...+ (xn - 1) x + x2 + x3 + ... + xm – m = (x – 1) + (x2 – 1) + (x3 - 1) + ...+ (xm - 1) Khi đó: (x- 1)+(x 2 - 1)+(x3 - 1)+...+(x n - 1) 3 n 2 L6 xim x+x2 +x3 +...+xm - n x1 l lim 1 x+x +x +...+x - m (x- 1)+(x 2 - 1)+(x3 - 1)+...+(x m - 1) (x- 1) 1 + (x + 1) +...+ (x n-1+ x n-2 +...+ x +1) lim 1 + (x + 1) +...+ (x m-1+ +1) x 1 x m-2 +...+ x (x- 1) 1 + (x + 1) +...+ (x n-1+ x n-2 +...+ x +1) lim x 1 1 + (x + 1) +...+ (x m-1 + x m-2 +...+ x +1) 1 + (1 +1) +...+ (1n-1+ 1n-2 +...+ 1 +1) 1 + (1 +1) +...+ (1m-1 + 1m-2 +...+ 1 +1) n(n + 1) 1 2 3 ... n n(n + 1) 2 1 2 3 ... m m(m + 1) m(m + 1) 2 n(n + 1) Vậy L6 m(m + 1) 2x 4 - 5x3 +3x 2 + x - 1 Ví dụ 7 : L7 lim x 1 3x 4 - 8x3 + 6x 2 - 1 Bài giải : 2x - 5x 3 +3x 2 + x - 1 4 (x-1)(2x 3 - 3x 2 +1) = lim L7 = lim 3x 4 - 8x 3 + 6x 2 - 1 x 1 (x-1)(3x 3 - 5x 2 +x+1) x 1 2x 3 - 3x 2 +1 (x-1)(2x 2 - x -1) = lim 3 = lim x 1 3x - 5x 2 + x +1 x 1 (x-1)(3x 2 - 2x -1) 2x 2 - x -1 (x -1)(2x+1) = lim 2 = lim x 1 3x - 2x -1 x 1 (x -1)(3x+1) 2x+1 2.1+1 3 = lim = = x 1 3x+1 3.1+1 4 www.MATHVN.com 4
- WWW.MATHVN.COM Những dạng vô định thường gặp trong bài toán tìm giới hạn của hàm số 3 Vậy L7 = 4 Kết luận: Phƣơng pháp để giải bài tập loại này là phân tích đa thức thành nhân tử với nhân tử chung là x - x0. Yêu cầu đối với học sinh là : Phải nắm vững các phƣơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử, các hằng đẳng thức, công thức phân tích tam thức bậc hai, đa thức bậc ba thành nhân c f(x) = ax 2 + bx + c = (x - x 0 ) ax - , ( f(x0) = 0) tử: x0 Ngoài các hằng đẳng thức đáng nhớ, học sinh cần nhớ các hằng đẳng thức bổ xung là : an - bn = (a - b)(an -1+ an - 2b +…+ abn - 2+ bn - 1), n N* an + bn = (a + b)(an -1- an - 2b +…- abn - 2+ bn - 1), n là số tự nhiên lẻ. Để học sinh dễ nhớ, cần lấy các trƣờng hợp cụ thể nhƣ : n = 2, 3, 4 và trƣờng hợp đặc biệt : xn - 1 = (x - 1)(xn - 1+ xn - 2+…+ x + 1). Tuỳ theo đặc điểm từng bài mà biến đổi một cách linh hoạt để khử dạng vô định. Trong quá trình thực hành, nhiều khi sau các biến đổi đã khử các thành 0 phần có giới hạn bằng 0 ta vẫn gặp giới hạn dạng vô định mới ( thƣờng là 0 “đơn giản” hơn so với giới hạn ban đầu). Tới đây ta tiếp tục quá trình khử đến 0 khi giới hạn cần tìm không còn dạng vô định thì thôi. 0 Bài tập tự luyện (1 x)(1 2x)(1 3x) 1 x 3 3x 2 2) lim 1) lim 4 x 1 x 4x 3 x 0 x x n 1 (n 1) n x100 2x 1 3) lim 50 4) lim 2x 1 (x 1) 2 x 1 x x 1 f(x) 3. Loại 2 : xlim mà f(x), g(x) chứa các căn thức cùng bậc và f(x0)=g(x0)= 0 x 0 g(x) Phương pháp : Nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp tƣơng ứng của biểu thức chứa căn thức (gọi tắt là phương pháp nhân liên hợp hay dùng biểu thức liên hợp) để trục các nhân tử x - x0 ra khỏi các căn thức, nhằm khử các thành phần có giới hạn bằng 0. Biểu thức chứa căn thức có thể là tử, mẫu hay cả www.MATHVN.com 5
- WWW.MATHVN.COM Những dạng vô định thường gặp trong bài toán tìm giới hạn của hàm số tử và mẫu của phân thức cần tìm giới hạn ). Lƣu ý là có thể nhân liên hợp một hay nhiều lần để khử dạng vô định. Các công thức thƣờng đƣợc sử dụng khi nhân liên hợp là : ( A ± B)( A B) = A - B , (A 0, B 0) ( 3 A ± 3 B)( 3 A 2 3 A 3 B+ 3 B2 ) =A ± B Giáo viên cần cho học sinh thấy đƣợc hai công thức này xuất phát từ hai hằng đẳng thức sau để học sinh dễ nhớ : (a - b)(a + b) = a 2 - b2 (a ± b)(a 2 ab + b2 ) = a 3 ± b3 Ví dụ áp dụng: 3x - 2 - x Ví dụ 8 : L8 = x 2 lim x2 - 4 Bài giải : Nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp tƣơng ứng, ta đƣợc : 3x - 2 - x ( 3x - 2 - x)( 3x - 2 + x) lim L8 = lim 2 x 2 x 2 (x 2 - 4)( 3x - 2 + x) x -4 3x - 2 - x 2 (x - 2)(-x + 1) lim 2 lim x 2 (x - 4)( 3x - 2 + x) x 2 (x - 2)(x + 2)( 3x - 2 + x) x+1 2 + 1 1 lim x 2 (x + 2)( 3x - 2 + x) 16 (2 + 2)( 3.2-2+2) Vậy L8 = 1 16 www.MATHVN.com 6
- WWW.MATHVN.COM Những dạng vô định thường gặp trong bài toán tìm giới hạn của hàm số x+2 1 L9 lim Ví dụ 9 : x+5 2 x 1 Bài giải : ( x+2 1)( x+2 1) ( x+5 2) x+2 1 lim L9 lim x+5 2 x 1 ( x+5 2)( x+5 2) ( x+2 1) x 1 (x + 2 - 1)( x+5 2) (x + 1)( x+5 2) xlim1 = xlim1 (x + 5 - 4)( x+2 1) (x + 1)( x+2 1) x+5 2 1 5 2 2 = lim x+2 1 1 2 1 x 1 Vậy L9 = 2 n x -1 Ví dụ 10 : L10 x 1 m , (m, n N* ) lim x -1 Bài giải : n x -1 L10 lim m x 1 x -1 ( n x - 1) ( n x ) n-1 +( n x ) n-2 +...+ n x +1 ( m x ) m-1 +( m x ) m-2 +...+ m x +1 = lim ( x - 1) ( m x ) m-1 +( m x ) m-2 +...+ m x +1 ( n x ) n-1 +( n x ) n-2 +...+ n x +1 x 1 m (x - 1)(m x m-1 +m x m-2 +...+m x +1) = lim x 1 (x - 1)( n x n-1 + n x n-2 +...+ n x +1) m x m-1 +m x m-2 +...+m x +1 m = lim x 1 x + x +...+ n x +1 n n n-1 n n-2 m Vậy L10 = n Kết luận: Phƣơng pháp dùng biểu thức liên hợp là phƣơng pháp chủ yếu đƣợc sử dụng để tính các giới hạn có chứa căn thức cùng bậc. Có thể xem đây là “ thuật toán” cơ bản cho phép tính đƣợc khá nhiều giới hạn của hàm số chứa căn thức, phƣơng hƣớng rõ ràng, dễ hiểu.Việc xác định biểu thức liên hợp là không quá www.MATHVN.com 7
- WWW.MATHVN.COM Những dạng vô định thường gặp trong bài toán tìm giới hạn của hàm số khó khăn đối với học sinh. Tuy nhiên giáo viên cần rèn luyện kỹ năng xác định và nhân biểu thức liên hợp khi tính giới hạn. Theo cách này, nhiều bài toán tuy giải đƣợc nhƣng phải qua các phép biến đổi dài dòng với biểu thức cồng kềnh. Nếu dùng các giải khác nhƣ thêm bớt, đổi biến sẽ cho lời giải ngắn gọn hơn. Bài tập tự luyện x3 x 3 x2 4 1) lim 2) lim x 1 x 2 2 3 3x 2 x 1 x 2 3 x2 x 1 xb ab 3 3) lim 4) lim x2 1 x2 a2 x 1 x a 1 ax ax n a n n 5) lim 6) lim x 0 x 0 x x f(x) 4. Loại 3: lim mà f(x) chứa các căn thức không cùng bậc và f(x0)=g(x0)= 0 x x 0 g(x) Phương pháp : Sử dụng thuật toán thêm bớt đối với f(x) để có thể nhân biểu thức liên hợp. Chẳng hạn nhƣ : m u(x) n v(x) f(x) ,(m u(x 0 ) n v(x 0 ) = 0,g(x 0 ) = 0) L= lim = lim x x 0 g(x) x x0 g(x) Ta biến đổi : m u(x) - c + c - n v(x) lim u(x)- n v(x) m L lim x x0 x x0 g(x) g(x) m u(x) - c n v(x) - c lim = lim x x0 x x0 g(x) g(x) m u(x) -c v(x) - c n Tới đây các giới hạn L1 lim , L2 lim đều tính đƣợc x x x x0 g(x) g(x) 0 bằng cách nhân liên hợp. Ví dụ áp dụng : x+3 3 x+7 Ví dụ 11 : L11 x 1 lim x 2 3x+2 www.MATHVN.com 8
- WWW.MATHVN.COM Những dạng vô định thường gặp trong bài toán tìm giới hạn của hàm số Bài giải : x+3 3 x+7 ( x+3 2) + (2 3 x+7) L11 lim lim x 2 3x+2 x 2 3x+2 x 1 x 1 x+3 2 2 3 x+7 lim 2 = lim 2 x 1 x 3x+2 x 1 x 3x+2 (2 3 x+7) 4 2 3 x+7 ( 3 x+7) 2 ( x+3 2)( x+3+2) lim 2 = lim 2 (x 3x+2) 4 2 3 x+7 ( 3 x+7)2 x 1 (x 3x+2)( x+3+2) x 1 x+3 4 8 (x+7) lim 2 = lim (x 3x+2) 4 2 3 x+7 ( 3 x+7) 2 x 1 (x 2 3x+2)( x+3+2) x 1 x 1 1 x lim = lim x 1 (x 1)(x 2)( x+3+2) x 1 (x 1)(x 2) 4 2 3 x+7 ( 3 x+7)2 1 1 lim = lim x 1 (x 2)( (x 2) 4 2 3 x+7 ( 3 x+7)2 x 1 x+3+2) 1 1 = (1 2)( 1+3+2) (1 2) 4 2 3 1+7 ( 3 1+7)2 11 1 = 4 12 6 1 Vậy L11 6 1+2x - 3 1+3x Ví dụ 12 : L12 lim x2 x 0 Bài giải : 1+2x - (x+1) + (x+1) - 3 1+3x lim 1+2x - 3 1+3x L12 lim 2 2 x 0 x 0 x x (x+1) - 3 1+3x 1+2x - (x+1) =lim +lim x0 x0 x2 x2 www.MATHVN.com 9
- WWW.MATHVN.COM Những dạng vô định thường gặp trong bài toán tìm giới hạn của hàm số 1+2x - (x+1) 1+2x +(x+1) = lim 2 x0 x 1+2x +(x+1) (x+1) - 3 1+3x (x+1)2 ( x 1) 3 1+3x ( 3 1+3x )2 +lim x 2 (x+1)2 ( x 1) 3 1+3x ( 3 1+3x )2 x0 (1+2x) - (x+1)2 (x+1)3 - (1+3x) lim lim 2 1+2x +(x+1) x0 x (x+1)2 (x 1) 3 1+3x ( 3 1+3x )2 x 0 2 x -1 x+3 lim lim 1+2x +(x+1) x0 (x+1)2 (x 1) 3 1+3x ( 3 1+3x )2 x 0 -1 0+3 1+2.0 +(0+1) (0+1) (0 1) 1+3.0 ( 3 1+3.0) 2 2 3 1 1 1 2 2 1 Vậy L12 2 Kết luận : Phƣơng pháp chung để tính các giới hạn của biểu thức chứa các căn thức không cùng bậc là thêm, bớt một lƣợng nào đó, tách thành nhiều giới hạn rồi nhân liên hợp. Cần lƣu ý là có thể thêm bớt một hằng số ( thƣờng chọn là u(x0) hoặc v(x0)) hay một biểu thức. Việc thêm bớt dựa trên đặc điểm từng bài và phải thật tinh tế. Thuật toán thêm bớt còn đƣợc áp dụng hiệu quả đối với các dạng vô định khác. Bài tập tự luyện 1 x 1 x x 11 3 8x 43 3 1) lim 2) lim 2x 2 3x 2 x 0 x 2 x 1 ax m 1 bx 2x 1 3 x 2 1 n 3) lim 4) lim x 0 x 0 x sin x x 2 3 x 20 1 4x 3 1 6x 5) lim 6) lim x9 2 x2 x 7 x 0 4 0 5. Giới hạn dạng vô định của hàm số lượng giác 0 www.MATHVN.com 10
- WWW.MATHVN.COM Những dạng vô định thường gặp trong bài toán tìm giới hạn của hàm số Phương pháp : Thực hiện các phép biến đổi đại số và lƣợng giác để sử dụng các kết quả giới hạn cơ bản sau đây : sinx x 1, lim 1 +) lim x 0 x 0 sinx x sinax sinax sinax lim( +) lim .a) =a.lim =a x 0 x 0 x 0 x ax ax sinax sinax bx ax sinax bx ax a lim( . ) lim +) lim . .lim .lim x 0 sinbx x 0 ax sinbx bx x 0 ax x 0 sinbx x 0 bx b tgax sinax a sinax a lim( ) lim a +) lim . .lim x 0 x 0 x 0 ax x 0 cosax x ax cosax Trong quá trình biến đổi, học sinh cần vận dụng linh hoạt các công thức lƣợng giác, thêm bớt, nhân liên hợp … Ví dụ áp dụng 1+sinax - cosax Ví dụ 13 : L13 lim x 0 1- sinbx - cosbx Bài giải : 1+sinax - cosax 1- cosax+sinax L13 lim lim x 0 1- sinbx - cosbx x 0 1- cosbx - sinbx ax ax ax 2sin sin cos ax ax ax 2sin 2 +2sin cos 2 2 2 2 lim 2 2 = lim bx bx bx x 0 x 0 2 bx bx bx 2sin - 2sin cos 2sin sin - cos 2 2 2 2 2 2 ax ax ax sin cos sin 2 a 2 .lim 2 = lim x 0 bx x 0 bx bx b sin sin - cos 2 2 2 a Vậy L13 b 1 cosax Ví dụ 14 : L14 lim x2 x 0 Bài giải : www.MATHVN.com 11
- WWW.MATHVN.COM Những dạng vô định thường gặp trong bài toán tìm giới hạn của hàm số 2 2 ax ax ax sin 2 2 2sin sin a a 1 cosax 2 a2 2 lim 2 2 . lim ax L14 lim lim ax 2 2 2 2 x 0 x 0 x 0 x 0 x x 2 2 2 a2 Vậy L14 2 1 xsinx - cos2x Ví dụ 15 : L15 lim x 0 sin 2 x Bài giải : 1 xsinx - cos2x (1 - cos2x) xsinx L15 x 0 lim lim x 0 2 sin 2 x sin x 2sin 2 x xsinx sinx(2sinx x) 2sinx x lim lim lim x 0 x 0 x 0 2 2 sin x sin x sin x x x 2 1 3 lim 2 2 x 0 lim x 0 sin x sin x Vậy L15 = 3 1- cosx.cos2x...cosnx Ví dụ 16 : L16 x 0 (n N* ) lim x2 Bài giải : 1- cosx.cos2x...cosnx L16 lim x 0 x2 1-cosx+cosx-cosxcos2x+...+cosx.cos2x...cos(n-1)x-cosx.cos2x...cosnx lim x 0 x2 1-cosx+cosx(1- cos2x)+...+cosx.cos2x...cos(n-1)x(1- cosnx) lim x 0 x2 1-cosx cosx(1-cos2x) cosx.cos2x...cos(n-1)x(1- cosnx) lim lim ... lim x 0 x 0 x 0 2 2 x2 x x Theo kết quả bài 14 ta có : 1-cosx 12 lim x 0 x2 2 1-cos2x 22 cosx(1-cos2x) lim cosx. lim lim x 0 x 0 x 0 x2 x2 2 … www.MATHVN.com 12
- WWW.MATHVN.COM Những dạng vô định thường gặp trong bài toán tìm giới hạn của hàm số cosx.cos2x...cos(n-1)x(1- cosnx) lim x 0 x2 1- cosnx n 2 lim cosx. lim cos2x... lim cos(n-1)x. lim x 0 x 0 x 0 x 0 x2 2 n 2 12 22 ... n 2 n(n+1)(2n+1) 12 22 Do đó L16 ... 22 2 2 12 Trong bài tập này ta đã sử dụng thuật thêm bớt : cosx, cosxcos2x,…, cosxcos2x…cos(n - 1)x để biến đổi và tính giới hạn đã cho. Có thể nhận thấy thuật thêm bớt đóng vai trò quan trọng trong kỹ năng biến đổi đối với bài tập này. 1 x 2 cosx Ví dụ 17 : L17 x 0 lim x2 Bài giải : 1 x 2 cosx ( 1 x 2 1) (1 cosx) L17 lim lim x 0 x 0 x2 x2 x 2 2sin 1 x 2 1 1 cosx ( 1 x 2 1)( 1 x 2 1) 2 lim lim lim lim x 0 x 0 x 0 x 0 x2 x2 x2 x ( 1 x 1) 2 2 2 x x 2 2sin sin 2 1 1 x 2 1 1 2 lim lim lim lim . x 0 2 x 0 x 0 1 x 2 1 x 0 x 2 2 x ( 1 x 2 1) x 2 11 1 22 Vậy L17 = 1. Kết luận : Để khử dạng vô định đối với hàm số lƣợng giác, học sinh cần nắm vững và vận dụng linh hoạt các phép biến đổi đại số, lƣợng giác cũng nhƣ áp dụng sinx 1 đƣợc sử dụng trực tiếp, các giới hạn cơ bản. Ở đây chỉ có giới hạn x 0 lim x các kết quả còn lại khi làm bài phải chứng minh lại. www.MATHVN.com 13
- WWW.MATHVN.COM Những dạng vô định thường gặp trong bài toán tìm giới hạn của hàm số sinx 1 , cần đƣa hàm số cần tính giới hạn về Để vận dụng giới hạn lim x 0 x sin f (x) f (x) tgf (x) với lim f (x) 0 bằng cách dạng : lim , lim , lim x x0 f (x) x x0 sin f (x) x x 0 f (x) x x0 thêm, bớt, đổi biến hay nhân, chia đồng thời với một lƣợng thích hợp nào đó. Trong khi giải bài tập, học sinh có thể gặp khó khăn, lúng túng để đƣa về các dạng trên. Giáo viên cần khắc phục bằng cách cho học sinh làm các bài tập nhƣ : sin(x 1) sinx 2 lim , lim 2 , ... x 0 1 cosx x 1 x 3x+2 Bài tập tự luyện Tính các giới hạn sau : 1+sinx 1 sinx (a+x)sin(a+x) asina 1) x 0 2) lim lim x 0 tgx x 2sin 2 x+sinx 1 1 cosxcos2xco3x 3) lim 4) x 0 lim 1 cosx 2sin 2 x 3sinx+1 x 0 1 cotg3x 1 cosx cos2x 3 cos3x 5) lim 6) lim 1 cos2x x 2 cotgx cotg x x 0 π 3 4 0 6. Giới hạn dạng vô định của hàm số mũ và lôgarit. 0 Phương pháp : Thực hiện các phép biến đổi và sử dụng các giới hạn cơ bản sau đây : ex 1 1 +) x 0 lim x ln(1 x) 1 +) x 0 lim x Các giới hạn trên đều đƣợc thừa nhận hoặc đã chứng minh trong Sách giáo khoa. Ngoài ra giáo viên cần đƣa ra cho học sinh hai giới hạn sau : www.MATHVN.com 14
- WWW.MATHVN.COM Những dạng vô định thường gặp trong bài toán tìm giới hạn của hàm số exlna 1 a x 1 exlna 1 x 0 .ln a lna ( Vì lim 1) +) lim lim x 0 x x 0 xlna x.lna loga (1 x) ln(1 x) 1 ln(1 x) lim ln a +) lim . lim x 0 x 0 x.lna ln a x 0 x x Ví dụ áp dụng : eax ebx Ví dụ 18 : L18 lim x 0 x Bài giải : (eax 1) (ebx 1) L18 x 0 e e x 0 ax bx lim lim x x (eax 1) (ebx 1) lim lim x 0 x 0 x x (eax 1) (ebx 1) a. lim b. lim x 0 x 0 ax bx a b Vậy L18 = a - b. Trong bài tập này để sử dụng giới hạn cơ bản ta đã thực hiện thêm bớt 1 và tách thành hai giới hạn. Cần nhấn mạnh cho học sinh khi x 0 thì ax 0 , (eax 1) ( ebx 1) 1, lim 1 . do vậy lim x 0 x 0 ax bx esin2x esinx Ví dụ 19 : L19 lim x 0 sinx Bài giải : (esin2x 1) (esinx 1) esin2x esinx L19 lim lim x 0 x 0 sinx sinx esin2x 1 esinx 1 lim lim x 0 sinx x 0 sinx esin2x 1 esinx 1 lim .2cosx lim x 0 sin2x x 0 sinx esin2x 1 esinx 1 lim . lim (2cosx) lim x 0 sin2x x 0 x 0 sinx 2 1 1 www.MATHVN.com 15
- WWW.MATHVN.COM Những dạng vô định thường gặp trong bài toán tìm giới hạn của hàm số Vậy L19 = 1. 2x x 2 Ví dụ 20 : L20 lim x 2 x 2 Bài giải : 2x x 2 (2x 4) (x 2 4) L20 lim lim x 2 x 2 x 2 x 2 4(2x 2 1) (x 2)(x+2) 2x 4 x2 4 lim lim lim lim x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 2x 2 1 lim (x+2) 4ln 2 4 4 lim x 2 x 2 x 2 Vậy L20 = 4ln2 - 4 1 x 2 e2x 2 3 Ví dụ 21 : L21 x 0 lim ln(1+x 2 ) Bài giải : ( 3 1 x 2 1) (e2x 1) 1 x 2 e2x 2 2 3 L21 lim lim x 0 x 0 ln(1+x 2 ) ln(1+x 2 ) ( 3 1 x 2 1) (e2x 1) e2x 1 1 x 2 1 2 2 3 lim lim lim x 0 x 0 ln(1+x 2 ) x 0 ln(1+x 2 ) ln(1+x 2 ) e2x 1 2x 2 1 x 2 1)( 3 (1 x 2 )2 3 1 x 2 1) 2 3 ( lim lim . x 0 2x 2 ln(1+x 2 ) x 0 ( (1 x ) 1 x 1)ln(1+x ) 2 3 22 2 3 e2x 1 2x 2 2 x2 lim lim . lim ( (1 x 2 )2 3 1 x 2 1)ln(1+x 2 ) x 0 2x x 0 ln(1+x ) x 0 3 2 2 e2x 1 2x 2 2 x2 1 lim lim . lim . lim x 0 ln(1+x 2 ) x 0 2x 2 x 0 ln(1+x 2 ) x 0 3 (1 x 2 ) 2 1 x 2 1 3 1 7 .1 1.(2) 3 3 7 Vậy L21 3 Kết luận : www.MATHVN.com 16
- WWW.MATHVN.COM Những dạng vô định thường gặp trong bài toán tìm giới hạn của hàm số Để tính các giới hạn dạng vô định của hàm số mũ và lôgarit, học sinh thực hiện các phép biến đổi để áp dụng các giới hạn cơ bản. Yêu cầu học sinh phải thành thạo các phép toán về luỹ thừa và lôgarit. Để sử dụng các giới hạn cơ bản, bằng cách thêm, bớt, nhân liên hợp, … học sinh phải biến đổi hàm số cần tìm giới hạn về một trong các dạng : ln 1+f(x) loga 1+f(x) ef(x) 1 a f(x) 1 với lim f (x) 0 lim , lim , lim , lim x x0 x x0 f(x) x x 0 f(x) x x0 x x0 f(x) f(x) Bài tập tự luyện Tính các giới hạn sau : 9x 5x 2) lim 1) 3x x 0 4x 2 3x cosx (1 ex )(1 cosx) 3) lim 4) x 0 lim 2x3 3x 4 x2 x 0 1 1 x esin2x esinx 5) lim .ln 6) x 0 lim x 0 x 1 x 5x + tg 2 x II. GIỚI HẠN DẠNG VÔ ĐỊNH Giới hạn dạng vô định có dạng là : f(x) L lim trong đó : lim f(x) lim g(x) x x x x x x0 g(x) 0 0 (x ) (x ) (x ) Để khử dạng vô định này, phƣơng pháp thông thƣờng là chia cả tử và mẫu f(x) cho luỹ thừa bậc cao nhất của tử và mẫu của phân thức . Cụ thể nhƣ sau : g(x) 1) Nếu f(x), g(x) là các đa thức có bậc tƣơng ứng là m, n thì ta chia cả f(x), g(x) cho xk với k = max{m, n} a m x m +a m1x m1 +...+a1x+a 0 với a m ,bn 0, m,n N* L lim n 1 x b x n +b n 1x +...+b1x+b0 n Khi đó xảy ra một trong ba trƣờng hợp sau : www.MATHVN.com 17
- WWW.MATHVN.COM Những dạng vô định thường gặp trong bài toán tìm giới hạn của hàm số +) m = n (bậc của tử và mẫu bằng nhau), chia cả tử và mẫu cho xn ta a a a a m + m1 +...+ n1 1 + 0 x n lim a m a m L xlim x x đƣợc: x b b b b bn bn + n 1 +...+ n1 1 + 0 n n x x x +) m > n (bậc của tử lớn hơn bậc của mẫu, k = m), chia cả tử và mẫu cho m x ta đƣợc : a0 a m1 a am + +...+ m11 + m L xlim x lim a m x x b b b0 x b n bn 1 n+ +...+ 1 + m x mn x mn x mn+1 xx +) m < n (bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu, k = n), tƣơng tự nhƣ trên ta có : a0 a m1 am n m n m+1 ... n L xlim x x 0 x b b bn n 1 ... 0 xn x Học sinh cần vận dụng kết quả : 1 1 lim f (x) lim 0, lim f (x) 0 lim x x x x f (x) x x x x f (x) 0 0 0 0 Sau khi xét ba trƣờng hợp này, học sinh cần tự rút ra nhận xét kết quả giới hạn cần tìm dựa vào bậc của tử và mẫu. Lƣu ý là có thể chia tử và mẫu cho xh với h min{m, n}. 2) Nếu f(x), g(x) là các biểu thức có chứa căn thức thì ta quy ƣớc lấy giá m t rị ( trong đó k là bậc của căn thức, m là số mũ cao nhất của các số hạng k trong căn thức) là bậc của căn thức đó. Bậc của tử ( mẫu) đƣợc xác định là bậc cao nhất các biểu thức trên tử ( dƣới mẫu). Sau đó ta áp dụng phƣơng pháp khử nhƣ với trƣờng hợp f(x), g(x) là các đa thức. Qua đó học sinh có thể dễ dàng phán đoán kết quả giới hạn dạng cần tìm. Ví dụ áp dụng : 2x3 3x 2 1 Ví dụ 22 : L22 xlim 5x3 6 www.MATHVN.com 18
- WWW.MATHVN.COM Những dạng vô định thường gặp trong bài toán tìm giới hạn của hàm số Bài giải : Chia cả tử và mẫu cho x3 ta đƣợc : 31 2 3 2 2x 3x 1 3 2 L22 xlim x x lim 5x 6 x 3 6 5 5 3 x 2 Vậy L22 . Ta có thể trình bày theo cách sau : 5 3 1 x3 2 3 31 2 3 2 2x 3x 1 3 2 x x L22 xlim x x lim lim 5x 6 x x 6 3 6 5 5 3 x3 5 3 x x 3x 2 (2x 1)(3x 2 x+2) Ví dụ 23 : L23 xlim 4x 2 2x+1 Bài giải : L23 xlim 3x (2x 1)(3x2 x+2) xlim 12x (2x+1)(3x x+2) 2 2 4 2 2 2x+1 4x 4x (2x+1) 512 4 2 3 4x 5x x+2 3 2 x x x 4 1 lim lim 8x 4x x x 3 2 4 8 2 8+ x 1 Vậy L23 2 (x 1)(x 2)(x 3)(x 4)(x 5) Ví dụ 24 : L24 xlim (5x 1)5 Bài giải : (x 1)(x 2)(x 3)(x 4)(x 5) L24 lim (5x 1)5 x 1 2 3 4 5 1 1 1 1 1 x x x x x 1 lim x 5 55 1 5 x 1 Vậy L24 55 www.MATHVN.com 19
- WWW.MATHVN.COM Những dạng vô định thường gặp trong bài toán tìm giới hạn của hàm số x+3 Ví dụ 25 : L25 lim x x 2 1 Bài giải : Chia cả tử và mẫu cho x ta đƣợc : 1+ 3 x+3 L25 xlim x lim x x 1 x 1 2 2 x Vì phải đƣa x vào trong căn bậc hai nên ta xét hai trƣờng hợp : *) x x > 0 x x2 1+ 3 1+ 3 1+ 3 x lim x lim x 1 Khi đó : lim x + x + x + x 1 x 1 2 2 1 12 x x x2 *) x x < 0 x x 2 1+ 3 1+ 3 1+ 3 x lim x lim x 1 Khi đó, ta có : lim x x x x 1 x 1 2 2 1 2 1 x x x2 x+3 1, lim x+3 1 nên không tồn tại lim x+3 Vì lim x x x x 2 1 x 2 1 x 2 1 9x 2 1 3 x 2 4 Ví dụ 26 : L26 xlim 16x 4 3 5 x 4 7 4 Bài giải : Chia cả tử và mẫu cho x ta đƣợc : 9x 2 1 3 x 2 4 9x 1 x 4 3 2 2 L26 lim x x lim x 4 x 4 16x 3 x 7 16x 3 x 7 54 54 4 4 x x 9x 2 1 3 1 4 x x3 x lim x 4 16x 4 3 5 1 7 x x5 x Tƣơng tự Bài 25, ta xét hai trƣờng hợp : www.MATHVN.com 20
CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD
-
Ứng dụng vô cùng bé tương đương tính giới hạn hàm số
5 p | 770 | 10
-
Nghiên cứu tính toán trạng thái ứng suất biến dạng của vỏ chống công trình ngầm tiết diện nhỏ trên cơ sở hệ tương tác “vỏ chống - khối đất”
9 p | 18 | 6
-
Xây dựng chương trình khai thác và hiển thị số liệu định vị sét kết hợp số liệu thám không vô tuyến tại Phòng dự báo Đài khí tượng thủy văn khu vực Nam Bộ
9 p | 30 | 3
-
Bước đầu nghiên cứu xác định hàm lượng cacbon (DOC, POC) và đánh giá về sự chuyển tải trong môi trường nước vùng cửa sông Bạch Đằng (Hải Phòng)
7 p | 34 | 3
-
Xác định đồng thời hàm lượng vết Cd(II), Pb(II) và Cu(II) trong một số mẫu đất khu vực thành phố Thái Nguyên bằng phương pháp Von-Ampe hòa tan Anốt
5 p | 91 | 1
-
Nghiên cứu xác định hàm lượng As (III), As (V) trong bụi đường khu vực nhà máy phối trộn bê tông tại thành phố Hồ Chí Minh bằng phương pháp chiết lỏng – lỏng dựa trên cơ chế tạo phức với thuốc thử APDC
11 p | 9 | 1
- Hãy cho chúng tôi biết lý do bạn muốn thông báo. Chúng tôi sẽ khắc phục vấn đề này trong thời gian ngắn nhất.
- Không hoạt động
- Có nội dung khiêu dâm
- Có nội dung chính trị, phản động.
- Spam
- Vi phạm bản quyền.
- Nội dung không đúng tiêu đề.
- Về chúng tôi
- Quy định bảo mật
- Thỏa thuận sử dụng
- Quy chế hoạt động
- Hướng dẫn sử dụng
- Upload tài liệu
- Hỏi và đáp
- Liên hệ
- Hỗ trợ trực tuyến
- Liên hệ quảng cáo
Chịu trách nhiệm nội dung:
Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA
LIÊN HỆ
Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM
Hotline: 093 303 0098
Email: support@tailieu.vn
Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.
Đang xử lý... Đồng bộ tài khoản Login thành công! AMBIENTTừ khóa » Cách Khử Các Dạng Vô định Toán Cao Cấp
-
Những Dạng Vô định Thường Gặp Trong Bài Toán Tìm Giới Hạn Của ...
-
Các Dạng Vô định Toán Cao Cấp
-
Các Dạng Vô định Của Giới Hạn Toan Cao Cap - 123doc
-
[PDF] TOÁN CAO CẤP C - AGU Staff Zone
-
Phương Pháp Khử Dạng Vô định
-
Giải Tích Chương 1 P1/20 Giới Hạn Hàm Số: Các Dạng Vô định Cơ Bản
-
Hỏi đáp P1. Dạng Vô Cùng Chia Vô Cùng Và Chia Cho Lũy Thừa Cao ...
-
Giải Tích 1 ĐH Bách Khoa HCM Phương Pháp Khử Dạng Vô định.pdf
-
Phương Pháp Khử Dạng Vô định Trong Giới Hạn Hàm Số (Lý Thuyết, Ví ...
-
Chương 1. Giới Hạn Hàm Số - P1: Các Dạng Vô định Cơ Bản
-
[Toán Cao Cấp] Giới Hạn Hàm Số | Khử Dạng Vô định ∞/∞ | P1
-
Cách Giải Bài Tập Toán Cao Cấp A1 – Phần 1 – Giới Hạn Hàm Số
-
Các Dạng Bài Tìm Giới Hạn Hàm Số Dạng Vô định Có đáp án
-
Các Dạng Vô định - Lý Thuyết Toán