Phương Pháp Tìm Cực Trị Của Hàm Trị Tuyệt đối - Tự Học 365

Phương pháp tìm cực trị của hàm trị tuyệt đối Bài tập vận dụng!

CỰC TRỊ CỦA HÀM TRỊ TUYỆT ĐỐI – CÁCH GIẢI BÀI TẬP CÓ ĐÁP ÁN

@ Phương pháp giải: Loại 1: Cực trị hàm số $y=\left| f\left( x \right) \right|.$

Ta có: $y=\left| f\left( x \right) \right|\Rightarrow y'=\frac{f'\left( x \right).f\left( x \right)}{\left| f\left( x \right) \right|}$ do đó

Số điểm cực trị của hàm số $y=\left| f\left( x \right) \right|$ là số nghiệm bội lẻ của phương trình $f'\left( x \right).f\left( x \right)=0.$

Như vậy: Nếu gọi m là số điểm cực trị của hàm số $y=f\left( x \right)$và n là số giao điểm của đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$và trục hoành thì $m+n$ là số điểm cực trị của hàm số $y=\left| f\left( x \right) \right|$ (chú ý ta cần bỏ đi các nghiệm bội chẵn).

Bài tập cực đại cực tiểu hàm trị tuyệt đối loại 1 – có đáp án

Bài tập 1: [Đề thi THPT QG năm 2017] Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như sau. Đồ thị của hàm số $y=\left| f\left( x \right) \right|$ có bao nhiêu điểm cực trị? A. 5. B. 3. C. 4. D. 2.

Lời giải chi tiết

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy:

Đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ cắt trục hoành $y=0$ tại 1 điểm nên $m=1.$

Hàm số $y=f\left( x \right)$ có 2 điểm cực trị nên $n=2\Rightarrow $ Hàm số $y=\left| f\left( x \right) \right|$ có 3 điểm cực trị. Chọn B.

Bài tập 2: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như hình vẽ dưới: Số điểm cực trị của hàm số $y=\left| f\left( x \right) \right|$là: A. 3. B. 4. C. 5. D. 6.

Lời giải chi tiết

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy:

Hàm số $y=f\left( x \right)$có 3 điểm cực trị suy ra $m=3.$

Phương trình $f\left( x \right)=0$ có 3 nghiệm (tuy nhiên $x=-1$ là nghiệm kép) suy ra $n=2.$

Do đó hàm số $y=\left| f\left( x \right) \right|$ có $m+n=5$ điểm cực trị. Chọn C.

Bài tập 3: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây. Số điểm cực trị của hàm số $y=\left| f\left( x \right) \right|$là: A. 3. B. 4. C. 5. D. 6.

Lời giải chi tiết

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy:

Hàm số $y=f\left( x \right)$có 3 điểm cực trị suy ra $m=3.$

Đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt (tuy nhiên $x=-1$ là nghiệm kép) nên $n=2.$

Do đó hàm số $y=\left| f\left( x \right) \right|$ có 5 điểm cực trị. Chọn C.

Bài tập 4: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây. Số điểm cực trị của hàm số $y=\left| f\left( x \right)+2 \right|$là: A. 4. B. 6. C. 3. D. 5.

Lời giải chi tiết

Đặt $g\left( x \right)=f\left( x \right)+2\Rightarrow g'\left( x \right)=f'\left( x \right)$

Phương trình $g'\left( x \right)=f'\left( x \right)=0$ có 3 nghiệm phân biệt nên $m=3.$

Phương trình $g\left( x \right)=0\Leftrightarrow f\left( x \right)=-2$ có 3 nghiệm trong đó có 1 nghiệm kép $n=2.$

Do đó hàm số $y=\left| f\left( x \right)+2 \right|$có 5 điểm cực trị. Chọn D.

Bài tập 5: Số điểm cực trị của hàm số $y=\left| {{\left( x-1 \right)}^{3}}\left( x-3 \right)\left( x+2 \right) \right|$ là: A. 4. B. 5. C. 6. D. 7.

Lời giải chi tiết

Ta có: $y=f\left( x \right)$ thì $y'=\frac{f'\left( x \right)f\left( x \right)}{\left| f\left( x \right) \right|}$

Xét $f\left( x \right)={{\left( x-1 \right)}^{3}}\left( x-3 \right)\left( x+2 \right)$

Ta có: $f\left( x \right)=0$ có 3 nghiệm bội lẻ $x=1,x=3,x=-2.$

Lại có: $f\left( x \right)={{\left( x-1 \right)}^{3}}\left( {{x}^{2}}-x-6 \right)\Rightarrow f'\left( x \right)=3{{\left( x-1 \right)}^{2}}\left( {{x}^{2}}-x-6 \right)+{{\left( x-1 \right)}^{3}}\left( 2x-1 \right)$

$={{\left( x-1 \right)}^{2}}\left[ 3{{x}^{2}}-3x-18+\left( x-1 \right)\left( 2x-1 \right) \right]={{\left( x-1 \right)}^{2}}\left( 5{{x}^{2}}-6x-17 \right)=0\Rightarrow f'\left( x \right)=0$ có 2 nghiệm bội lẻ. Do đó hàm số đã cho có 5 điểm cực trị. Chọn B.

Bài tập 6: Số điểm cực trị của hàm số $y=\left| {{x}^{4}}+2{{x}^{3}}-{{x}^{2}}-2x \right|$ là: A. 4. B. 5. C. 6. D. 7.

Lời giải chi tiết

$f\left( x \right)=0\Leftrightarrow {{x}^{4}}+2{{x}^{3}}-{{x}^{2}}-2x=0\Leftrightarrow {{x}^{3}}\left( x+2 \right)-x\left( x+2 \right)=0\Leftrightarrow x\left( {{x}^{2}}-1 \right)\left( x+2 \right)=0$có 4 nghiệm bội lẻ.

Phương trình $f'\left( x \right)=4{{x}^{3}}+4{{x}^{2}}-2x-2=0\Leftrightarrow 2\left( 2{{x}^{2}}-1 \right)\left( x+1 \right)=0$ có 3 nghiệm bội lẻ.

Do đó hàm số đã cho có $4+3=7$ điểm cực trị. Chọn D.

Bài tập 7: Số giá trị nguyên của tham số m để hàm số$y=\left| {{x}^{4}}-4{{x}^{3}}+4{{x}^{2}}+m \right|$ có 7 điểm cực trị là: A. 0. B. 9. C. 8. D. vô số.

Lời giải chi tiết

Xét $f\left( x \right)={{x}^{4}}-4{{x}^{3}}+4{{x}^{2}}+m$

Phương trình $f'\left( x \right)=4{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}+8x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   x=0  \\   x=1  \\   x=2  \\\end{matrix} \right.$ có 3 nghiệm bội lẻ.

Để hàm số $y=\left| {{x}^{4}}-4{{x}^{3}}+4{{x}^{2}}+m \right|$ có 7 điểm cực trị thì phương trình

$f\left( x \right)=0\Leftrightarrow {{x}^{4}}-4{{x}^{3}}+4{{x}^{2}}=-m(*)$ phải có 4 nghiệm phân biệt.

Lập BBT cho hàm số $g\left( x \right)={{x}^{4}}-4{{x}^{3}}+4x$ ta được:

Phương trình (*) có 4 nghiệm phân biệt khi $0<-m<1.$

Vậy không có giá trị nguyên của m nào thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn A.

Bài tập 8: Số giá trị nguyên của tham số m để hàm số$y=\left| {{x}^{4}}-4{{x}^{3}}-8{{x}^{2}}+m \right|$ có 7 điểm cực trị là: A. 129. B. 2. C. 127. D. 3.

Lời giải chi tiết

Phương trình $f'\left( x \right)=4{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}-16x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   x=0\text{ }  \\   x=-1  \\   x=4\text{ }  \\\end{matrix} \right.$ có 3 nghiệm bội lẻ.

Để hàm số $y=\left| {{x}^{4}}-4{{x}^{3}}-8{{x}^{2}}+m \right|$ có 7 điểm cực trị thì phương trình

$f\left( x \right)=0\Leftrightarrow {{x}^{4}}-4{{x}^{3}}-8{{x}^{2}}=-m(*)$ có 4 nghiệm phân biệt. Lập BBT cho hàm số $g\left( x \right)={{x}^{4}}-4{{x}^{3}}-8{{x}^{2}}$ ta được:

Phương trình (*) có 4 nghiệm phân biệt khi $-3<-m<0.$

Vậy có 2 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn B.

Bài tập 9: [Đề thi tham khảo Bộ GD{}ĐT năm 2018] Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số$y=\left| 3{{x}^{4}}-4{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}+m \right|$ có 7 điểm cực trị? A. 3. B. 5. C. 6. D. 4.

Lời giải chi tiết

Đặt $f\left( x \right)=3{{x}^{4}}-4{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}+m\xrightarrow{{}}f'\left( x \right)=12{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}-24x;\forall x\in \mathbb{R}.$

Phương trình $f'\left( x \right)=0$ có 3 nghiệm phân biệt.

Để hàm số đã cho có 7 điểm cực trị $\Leftrightarrow f\left( x \right)=0\Leftrightarrow g\left( x \right)=3{{x}^{4}}-4{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}=m$ có 4 nghiệm phân biệt.

Mà $f'\left( x \right)=0$ có 3 nghiệm phân biệt $\Rightarrow f\left( x \right)=-m$ có 4 nghiệm phân biệt.

Dựa vào BBT hàm số $f\left( x \right)$, để (*) có 4 nghiệm phân biệt$\Leftrightarrow -5<-m<0\Leftrightarrow m\in \left( 0;5 \right)$.

Kết hợp với $m\in \mathbb{Z}$ suy ra có tất cả 4 giá trị nguyên cần tìm. Chọn D.

Bài tập 10: Cho hàm số $f\left( x \right)=\left| 2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-12x+m+2 \right|$. Số giá trị nguyên âm của tham số m để hàm số đã cho có 5 điểm cực trị là: A. 26. B. 25. C. 8. D. 9.

Lời giải chi tiết

Dễ thấy hàm số $g\left( x \right)=2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-12x+m+2$ có $y'=6{{x}^{2}}-6x-12=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   x=-1  \\   x=2\text{ }  \\\end{matrix} \right.$

Suy ra hàm số   có 2 điểm cực trị.

Để hàm số $f\left( x \right)=\left| 2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-12x+m+2 \right|$ có 5 điểm cực trị thì phương trình

$2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-12x+m+2\Leftrightarrow h\left( x \right)=2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-12x+2=-m$ có 3 nghiệm phân biệt

Dễ thấy $\left\{ \begin{matrix}   h\left( -1 \right)=9\text{ }  \\   h\left( 2 \right)=-18  \\\end{matrix} \right.\Rightarrow h\left( x \right)=-m$ có 3 nghiệm phân biệt khi $-18<-m<9\Leftrightarrow 18>m>-9$

Vậy có 8 giá trị nguyên cần tìm. Chọn C.

Bài tập 11: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số $f\left( x \right)=\left| 2{{x}^{4}}-4\left( m+8 \right){{x}^{2}}+m-1 \right|$ có 5 điểm cực trị? A. 9. B. 10. C. 8. D. vô số.

Lời giải chi tiết

Xét hàm số $f\left( x \right)=\left| 2{{x}^{4}}-4\left( m+8 \right){{x}^{2}}+m-1 \right|$

TH1: Hàm số $y=f\left( x \right)$ có một điểm cực trị thì đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ cắt trục hoành tại nhiều nhất 2 điểm nên hàm số $y=\left| f\left( x \right) \right|$ không thể có 5 điểm cực trị.

TH2: Hàm số $y=f\left( x \right)$ có 3 điểm cực trị khi $ab<0\Leftrightarrow 2.\left[ -4\left( m+8 \right) \right]<0\Leftrightarrow m>-8.$

Để hàm số $y=\left| f\left( x \right) \right|$ có 5 điểm cực trị thì đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt. Vì hàm số $y=f\left( x \right)$ có $a=2>0$ nên có BTT như hình vẽ.

Đồ thị hàm số cắt trục hoành (đường thẳng $y=0$) tại 2 điểm phân biệt khi $0\ge m-1\Leftrightarrow m\le 1.$

(Trong trường dấu bằng xảy ra $m=1\Rightarrow $ phương trình có 2 nghiệm đơn và một nghiệm kép $x=0$ nên chỉ có điểm cực trị).

Vậy $-8<m\le 1.$ Kết hợp $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow $ có 9 giá trị nguyên của tham số m. Chọn A.

Bài tập 12: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m\in \left[ -10;10 \right]$ để hàm số$y=\left| {{x}^{4}}-2\left( m+4 \right){{x}^{2}}+9 \right|$ có 7 điểm cực trị? A. 9. B. 11. C. 10. D. 4

Lời giải chi tiết

Xét hàm số $f\left( x \right)=2{{x}^{4}}-2\left( m+4 \right){{x}^{2}}+4$

TH1: Hàm số $y=f\left( x \right)$ có một điểm cực trị thì đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ cắt trục hoành tại nhiều nhất 2 điểm nên hàm số $y=\left| f\left( x \right) \right|$ không thể có 7 điểm cực trị.

TH2: Hàm số $y=f\left( x \right)$ có 3 điểm cực trị khi $ab<0\Leftrightarrow 1.\left[ -2\left( m+4 \right) \right]<0\Leftrightarrow m>-4.$

Để hàm số $y=\left| f\left( x \right) \right|$ có 7 điểm cực trị thì đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt. Ta có: $f'\left( x \right)=4{{x}^{3}}-4\left( m+4 \right)x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   x=0\text{                }  \\   {{x}^{2}}=m+4=x_{0}^{2}  \\\end{matrix} \right..$

Hàm số có BTT như hình vẽ:

Đồ thị hàm số cắt trục hoành (đường thẳng $y=0$) tại 4 điểm phân biệt khi

$\begin{array}  {} f\left( \pm {{x}_{0}} \right)=f\left( \sqrt{m+4} \right)<0 \\  {} \Leftrightarrow {{\left( m+4 \right)}^{2}}-2{{\left( m+4 \right)}^{2}}+9<0\Leftrightarrow {{\left( m+4 \right)}^{2}}>9\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   m>-1  \\   m<-7  \\\end{matrix} \right. \\\end{array}$

Với $m>-1.$ Kết hợp $\left\{ \begin{matrix}   m\in \mathbb{Z}\text{          }  \\   m\in \left[ -10;10 \right]  \\\end{matrix} \right.\Rightarrow m=\left\{ 0;1;...10 \right\}\Rightarrow $ có 11 giá trị của m. Chọn B.

Bài tập 13: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m\in \left[ -20;20 \right]$ để hàm số$y=\left| {{x}^{4}}-2\left( m+1 \right){{x}^{2}}+8 \right|$ có 7 điểm cực trị? A. 9. B. 11. C. 12. D. 7.

Lời giải chi tiết

Xét hàm số $f\left( x \right)={{x}^{4}}-2\left( m+1 \right){{x}^{2}}+8$

TH1: Hàm số $y=f\left( x \right)$ có một điểm cực trị thì đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ cắt trục hoành tại nhiều nhất 2 điểm nên hàm số $y=\left| f\left( x \right) \right|$ không thể có 7 điểm cực trị.

TH2: Hàm số $y=f\left( x \right)$ có 3 điểm cực trị khi $ab<0\Leftrightarrow 1.\left[ -2\left( m+1 \right) \right]<0\Leftrightarrow m>-1.$

Để hàm số $y=\left| f\left( x \right) \right|$ có 7 điểm cực trị thì đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt. Ta có: $f'\left( x \right)=4{{x}^{3}}-4\left( m+1 \right)x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   x=0\text{                }  \\   {{x}^{2}}=m+1=x_{0}^{2}  \\\end{matrix} \right..$

Hàm số có BTT như hình vẽ:

Đồ thị hàm số cắt trục hoành (đường thẳng $y=0$) tại 4 điểm phân biệt khi

$\begin{array}  {} f\left( \pm {{x}_{0}} \right)=f\left( \sqrt{m+1} \right)<0 \\  {} \Leftrightarrow {{\left( m+1 \right)}^{2}}-2{{\left( m+1 \right)}^{2}}+8<0\Leftrightarrow {{\left( m+1 \right)}^{2}}>8\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   m>-1+2\sqrt{2}  \\   m<-1-2\sqrt{2}  \\\end{matrix} \right. \\ \end{array}$

Với $m>-1-2\sqrt{2}.$ Kết hợp $\left\{ \begin{matrix}   m\in \mathbb{Z}\text{          }  \\   m\in \left[ -20;20 \right]  \\\end{matrix} \right.\Rightarrow m=\left\{ 2;3;...10 \right\}\Rightarrow $  có 9 giá trị của m. Chọn A.

Phương pháp giải: Loại 2: Cực trị hàm số $y=f\left( \left| x \right| \right).$

Ta có: $y=f\left( \left| x \right| \right)\Rightarrow y'=\frac{x}{\left| x \right|}.f'\left( \left| x \right| \right)$ từ đó ta có nhận xét sau:

- Hàm số đạt cực trị tại điểm $x=0.$

- Số điểm cực trị dương của hàm số  $y=f\left( x \right)$là m thì số điểm cực trị của hàm số $y=f\left( \left| x \right| \right)$ là $2m+1$.

Bài tập 1: Cho hàm số $f\left( x \right)=6{{x}^{5}}-15{{x}^{4}}-10{{x}^{3}}+30{{x}^{2}}+1,$ số điểm cực trị của hàm số $y=f\left( \left| x \right| \right)$ là: A. 4. B. 5. C. 6. D. 7.

Lời giải chi tiết

Ta có: $f'\left( x \right)=30{{x}^{4}}-60{{x}^{3}}-30{{x}^{2}}+60x=0$

$\Leftrightarrow x\left( {{x}^{3}}-2{{x}^{2}}-x-2 \right)=x\left( x-1 \right)\left( x+1 \right)\left( x-2 \right)$

Lại có: $y=f\left( \left| x \right| \right)\Rightarrow y'=\frac{x}{\left| x \right|}.\left| x \right|\left( \left| x \right|-1 \right)\left( \left| x \right|+1 \right)\left( \left| x \right|-2 \right)$đổi dấu qua 5 điểm $x=0;x=\pm 1;x=\pm 2$ nên hàm số $y=f\left( \left| x \right| \right)$có 5 điểm cực trị. Chọn B.

Bài tập 2: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ xác định trên $\mathbb{R}$ và có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây. Số điểm cực trị của hàm số $y=f\left( \left| x \right| \right)$là: A. 2. B. 3. C. 4. D. 5.

Lời giải chi tiết

Hàm số $y=f\left( x \right)$ có 2 điểm cực trị có hoành độ dương là $\left( 2;-1 \right)$ và $\left( 5;0 \right)$

Do đó hàm số $y=f\left( \left| x \right| \right)$ có $2.2+1=5$ điểm cực trị. Chọn D.

Bài tập 3: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như hình vẽ dưới Số điểm cực trị của hàm số $y=f\left( \left| x \right|+1 \right)$là A. 4. B. 6. C. 5. D. 3.

Lời giải chi tiết

Ta có: $y'=\left( \left| x \right|+1 \right)'.f'\left( \left| x \right|+1 \right)=\frac{x}{\left| x \right|}.f'\left( \left| x \right|+1 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   x=0\text{              }  \\   f'\left( \left| x \right|+1 \right)=0  \\\end{matrix} \right.(*)$

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy $f'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   x=-1  \\   x=0\text{   }  \\   x=2\text{   }  \\\end{matrix} \right.$

Suy ra $f'\left( \left| x \right|+1 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   \left| x \right|+1=-1  \\   \left| x \right|+1=0\text{  }  \\   \left| x \right|+1=2\text{  }  \\\end{matrix} \right.$hệ có 2 nghiệm.

Do đó (*) có 3 nghiệm phân biệt nên hàm số có 3 điểm cực trị. Chọn D.

 

Ví dụ 4: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ xác định trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị hình vẽ bên. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m>-20$ để hàm số$y=f\left( \left| x \right|+m \right)$ có 5 điểm cực trị A. 15. B. 19. C. 16. D. 18.

Lời giải

Ta có: $y'=\left( \left| x \right|+m \right)'.f'\left( \left| x \right|+m \right)=\frac{x}{\left| x \right|}.f'\left( \left| x \right|+m \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   x=0\text{              }  \\   f'\left( \left| x \right|+m \right)=0  \\\end{matrix} \right.$

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy $f'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   x=-3  \\   x=-1  \\\end{matrix} \right.$

Do đó $f'\left( \left| x \right|+m \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   \left| x \right|+m=-3  \\   \left| x \right|+m=-1  \\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   \left| x \right|=-3-m  \\   \left| x \right|=-1-m  \\\end{matrix} \right.$(*)

Hàm số có 5 điểm cực trị khi (*) có 4 nghiệm phân biệt khác 0 $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   -3-m>0  \\   -1-m>0  \\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow m<-1.$

Kết hợp $\left\{ \begin{matrix}   m\in \mathbb{Z}\text{  }  \\   m>-20  \\\end{matrix} \right.\Rightarrow $  có 18 giá trị nguyên của m. Chọn D.

Ví dụ 5: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ xác định trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị hình vẽ bên. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m\in \left[ -10;10 \right]$ để hàm số$y=f\left( \left| x \right|+m \right)$ có 7 điểm cực trị A. 8. B. 9. C. 12. D. 13.

Lời giải

Ta có: $y'=\left( \left| x \right|+m \right)'.f'\left( \left| x \right|+m \right)=\frac{x}{\left| x \right|}.f'\left( \left| x \right|+m \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   x=0\text{              }  \\   f'\left( \left| x \right|+m \right)=0  \\\end{matrix} \right.$

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy $f'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   x=-2  \\   \begin{array}  {} x=-2 \\  {} x=5\text{  } \\ \end{array}  \\\end{matrix} \right.$

Do đó $f'\left( \left| x \right|+m \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   \left| x \right|+m=-2  \\   \begin{array}  {} \left| x \right|+m=2\text{  } \\  {} \left| x \right|+m=5 \\ \end{array}  \\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   \left| x \right|=-2-m  \\   \begin{array}  {} \left| x \right|=2-m\text{  } \\  {} \left| x \right|=5-m \\ \end{array}  \\\end{matrix} \right.(*)$

Hàm số có 7 điểm cực trị khi (*) có 6 nghiệm phân biệt khác 0 $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   -2-m>0  \\   \begin{array}  {} 2-m>0\text{  } \\  {} 5-m>0 \\ \end{array}  \\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow m<-2.$

Kết hợp $\left\{ \begin{matrix}   m\in \mathbb{Z}\text{          }  \\   m\in \left[ -10;10 \right]  \\\end{matrix} \right.\Rightarrow $  có 8 giá trị nguyên của m. Chọn A.

Ví dụ 6: Cho hàm số $y={{x}^{3}}-3\left( m-1 \right){{x}^{2}}+6mx+2.$ Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ thuộc đoạn $\left[ -100;100 \right]$ để hàm số$f\left( \left| x \right| \right)$ có 5 điểm cực trị? A. 100. B. 99. C. 97. D. 96.

Lời giải

Để hàm số $f\left( \left| x \right| \right)$ có 5 điểm cực trị thì hàm số $y=f\left( x \right)$phải có 2 điểm cực trị có hoành độ dương.

Ta có: $f'\left( x \right)=3{{x}^{2}}-6\left( m-1 \right)x+6m=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2\left( m-1 \right)x+2m\text{ }(*)$

Giả thiết bài toán $\Leftrightarrow \left( * \right)$ có 2 nghiệm dương phân biệt $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}   \Delta '={{\left( m-1 \right)}^{2}}-2m>0  \\   S=2\left( m-1 \right)>0\text{         }  \\   P=2m>0\text{                 }  \\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow m>2+\sqrt{3}.$

Kết hợp $\left\{ \begin{matrix}   m\in \mathbb{Z}\text{              }  \\   m\in \left[ -100;100 \right]  \\\end{matrix} \right.\Rightarrow $  có 97 giá trị nguyên của m. Chọn C.

Ví dụ 7: Cho hàm số $y=f\left( x \right)=2{{x}^{3}}-3\left( m+1 \right){{x}^{2}}+6\left( {{m}^{2}}-9 \right)x+4.$ Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ thuộc đoạn $\left[ -100;100 \right]$ để hàm số$f\left( \left| x \right| \right)$ có đúng 3 điểm cực trị? A. 6. B. 7. C. 8. D. 9.

Lời giải

Để hàm số $f\left( \left| x \right| \right)$ có đúng 3 điểm cực trị thì hàm số $y=f\left( x \right)$phải có đúng 1 điểm cực trị có hoành độ dương.

Ta có: $f'\left( x \right)=6{{x}^{2}}-6\left( m+1 \right)x+6\left( {{m}^{2}}-9 \right)=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-\left( m+1 \right)x+{{m}^{2}}-9=0\text{ }(*)$

Giả thiết bài toán thỏa mãn khi (*) có 2 nghiệm trái dấu hoặc (*) có 1 nghiệm bằng 0 và 1 nghiệm dương. TH1: (*) có 2 nghiệm trái dấu $\Leftrightarrow {{m}^{2}}-9<0\Leftrightarrow -3<m<3.$

TH2: (*) có 1 nghiệm bằng 0 và 1 nghiệm dương $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}   {{m}^{2}}-9=0  \\   m+1>0\text{  }  \\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow m=3.$

Kết hợp hai trường hợp này và điều kiện $\left\{ \begin{matrix}   m\in \mathbb{Z}\text{              }  \\   m\in \left[ -100;100 \right]  \\\end{matrix} \right.\Rightarrow $  có 6 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn A.

Ví dụ 8: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ xác định và có đạo hàm $f'\left( x \right)={{x}^{3}}-\left( m+3 \right){{x}^{2}}+2x+4m$ trên$\mathbb{R}$. Số giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn $\left[ -100;100 \right]$ để hàm số$f\left( \left| x \right| \right)$ có 7 điểm cực trị là: A. 100. B. 101. C. 198. D. 197.

Lời giải

Để hàm số $f\left( \left| x \right| \right)$ có 7 điểm cực trị thì hàm số $y=f\left( x \right)$ có 3 điểm cực trị có hoành độ dương.

$\Leftrightarrow f'\left( x \right)=0$ có 3 nghiệm dương phân biệt.

Ta có: $f'\left( x \right)={{x}^{3}}-\left( m+3 \right){{x}^{2}}+2x+4m=0\Leftrightarrow {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+2x+m\left( 4-{{x}^{2}} \right)=0$

$\Leftrightarrow x\left( x-1 \right)\left( x-2 \right)-m\left( x-2 \right)\left( x+2 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   x=2\text{                                       }  \\   g\left( x \right)={{x}^{2}}-\left( m+1 \right)x-2m=0  \\\end{matrix} \right.$

Giả thiết bài toán thỏa mãn $\Leftrightarrow g\left( x \right)$  có 2 nghiệm dương phân biệt khác 2

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}   \Delta >0\text{                   }  \\   S=m+1>0\text{         }  \\   \begin{array}  {} P=2m>0 \\  {} g\left( 2 \right)\ne 0\text{               } \\ \end{array}  \\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}   {{m}^{2}}+10m+1>0  \\   m>0\text{                 }  \\   2\ne 0\text{                 }  \\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow m>0.$

Kết hợp $\left\{ \begin{matrix}   m\in \mathbb{Z}\text{          }  \\   m\in \left[ -100;100 \right]  \\\end{matrix} \right.\Rightarrow $  có 100 giá trị nguyên của m. Chọn A.

Ví dụ 9: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ xác định trên$\mathbb{R}$và có đồ thị hình vẽ dưới. Số điểm cực trị của hàm số  $f\left( \left| x \right|+1 \right)$ là: A. 4. B. 6. C. 5. D. 3.

Lời giải

Ta có: $y'=\left( \left| x \right|+1 \right)'.f'\left( \left| x \right|+1 \right)=\frac{x}{\left| x \right|}.f'\left( \left| x \right|+1 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   x=0\text{              }  \\   f'\left( \left| x \right|+1 \right)=0  \\\end{matrix} \right.(*)$

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy $f'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   x={{x}_{1}}\in \left( -1;0 \right)  \\   \begin{array}  {} x={{x}_{2}}\in \left( 0;1 \right)\text{  } \\  {} x={{x}_{3}}\in \left( 1;2 \right) \\  {} x=2\text{  } \\ \end{array}  \\\end{matrix} \right.$

Suy ra $f'\left( \left| x \right|+1 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   \left| x \right|+1={{x}_{1}}\in \left( -1;0 \right)  \\   \begin{array}  {} \left| x \right|+1={{x}_{2}}\in \left( 0;1 \right)\text{  } \\  {} \left| x \right|+1={{x}_{3}}\in \left( 1;2 \right) \\  {} \left| x \right|+1=2 \\ \end{array}  \\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   \left| x \right|+1={{x}_{3}}\in \left( 1;2 \right)  \\   \left| x \right|+1=2\text{            }  \\\end{matrix} \right.\Rightarrow $hệ có 4 nghiệm.

Do đó (*) có 5 nghiệm phân biệt nên hàm số có 5 điểm cực trị. Chọn C.

Luyện bài tập vận dụng tại đây!

Báo lỗi

TOÁN LỚP 12

CHUYÊN ĐỀ 1: HÀM SỐ

• A.1. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
• A.2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
• A.3. GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ
• A.4. TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
• A.5. NHẬN DIỆN ĐỒ THỊ HÀM SỐ
• A.6. BÀI TOÁN BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH BẰNG ĐỒ THỊ
• A.7. BÀI TOÁN TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ
• A.8. BÀI TOÁN TIẾP TUYẾN
• A.9. BÀI TOÁN TÌM ĐIỂM TRÊN ĐỒ THỊ HÀM SỐ

CHUYÊN ĐỀ 2: LOGARIT

• B.1. CÔNG THỨC LŨY THỪA
• B.2. CÔNG THỨC LOGARITH
• B.3. HÀM SỐ LŨY THỪA MŨ VÀ LOGARITH
• B.4. PHƯƠNG TRÌNH MŨ
• B.5. PHƯƠNG TRÌNH LOGA
• B.6. BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ
• B.7. BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARITH
• B.8. BÀI TOÁN VỀ LÃI SUẤT TĂNG TRƯỞNG
• B.9. BÀI TOÁN VỀ MIN-MAX LOGA

CHUYÊN ĐỀ 3: TÍCH PHÂN

• C.1. MỞ ĐẦU VỀ NGUYÊN HÀM
• C.2. PHƯƠNG PHÁP VI PHÂN TÌM NGUYÊN HÀM
• C.3. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ TÌM NGUYÊN HÀM
• C.4. PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN TÌM NGUYÊN HÀM
• C.5. NGUYÊN HÀM CỦA HÀM PHÂN THỨC HỮU TỈ
• C.6. NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
• C.7. CÁC CÔNG THỨC CƠ BẢN VỀ TÍCH PHÂN
• C.8. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ TÍNH TÍCH PHÂN
• C.9. PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN TÍNH TÍCH PHÂN
• C.10. TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỈ VÀ LƯỢNG GIÁC
• C.11. MỘT SỐ DẠNG TÍCH PHÂN ĐẶC BIỆT VÀ NÂNG CAO
• C.12. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
• C.13. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TÍNH THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY
• C.14. MỘT SỐ ỨNG DỤNG KHÁC CỦA TÍCH PHÂN
• C.15. MỘT SỐ BÀI TOÁN CHỌN LỌC VÀ NÂNG CAO VỀ TÍCH PHÂN

CHUYÊN ĐỀ 4: SỐ PHỨC

• D.1. CÁCH TÍNH TOÁN CƠ BẢN VỚI SỐ PHỨC
• D.2. PHƯƠNG TRÌNH PHỨC
• D.3. QUỸ TÍCH PHỨC
• D.4. CỰC TRỊ SỐ PHỨC (NÂNG CAO)

CHUYÊN ĐỀ 5: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

• E.1. ĐẠI CƯƠNG VỀ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
• E.2. QUAN HỆ SONG SONG
• E.3. VECTO TRONG KHÔNG GIAN
• E.4. QUAN HỆ VUÔNG GÓC
• E.5. BÀI TOÁN VỀ GÓC
• E.6. BÀI TOÁN VỀ KHOẢNG CÁCH
• E.7. THỂ TÍCH KHỐI CHÓP
• E.8. TỈ SỐ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
• E.9. MẶT CẦU HÌNH CẦU KHỐI CẦU
• E.10. MẶT TRỤ HÌNH TRỤ KHỐI TRỤ
• E.11. MẶT NÓN HÌNH NÓN KHỐI NÓN
• E.12. BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH KHÔNG GIAN
• E.13. BÀI TOÁN THỰC TẾ HÌNH KHÔNG GIAN

CHUYÊN ĐỀ 6: HÌNH HỌC TỌA ĐỘ

• F.1. TỌA ĐỘ ĐIỂM VECTOR
• F.2. TÍCH CÓ HƯỚNG CỦA HAI VECTOR
• F.3. PT MẶT PHẲNG ĐƯỜNG THẲNG MẶT CẦU
• F.4. BÀI TOÁN VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GÓC KHOẢNG CÁCH
• F.5. CÁC DẠNG VIẾT PT MẶT PHẲNG
• F.6. CÁC DẠNG VIẾT PT ĐƯỜNG THẲNG
• F.7. BÀI TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU
• F.8. BÀI TOÁN TÌM ĐIỂM TRONG TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN
• F.9. BÀI TOÁN VỀ CỰC TRỊ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

× Close

báo lỗi

Vấn đề em gặp phải là gì? Sai nội dung Lý thuyết khó hiểu Nội dung chưa phù hợp (VD: Đã giảm tải, ...) Lỗi khác

Hãy viết chi tiết giúp Tự Học 365

Gửi Hủy bỏ

×

Đăng ký

Năm sinh 20012002200320042005200620072008200920102011201220132014201520162017201820192020 hoặc Đăng nhập nhanh bằng: (*) Khi bấm vào đăng ký tài khoản, bạn chắc chắn đã đoc và đồng ý với Chính sách bảo mật và Điều khoản dịch vụ của Tự Học 365.