Phương Pháp Tìm Nguyên Hàm Của Hàm Số
Có thể bạn quan tâm
Các phương pháp tìm nguyên hàm của hàm số
A. Lý thuyết
1. Định nghĩa và tính chất
a) Định nghĩa
Ta thấy ở hai ví dụ trên đều có \[F'\left( x \right)=f\left( x \right)\]. Ta gọi \[F\left( x \right)\] là một nguyên hàm của \[f\left( x \right)\]. Vì với $C$ là một hằng số bất kỳ, ta có \[{{\left( F\left( x \right)+C \right)}^{'}}=F'\left( x \right)=f\left( x \right)\] nên nếu \[F\left( x \right)\] là nguyên hàm của \[f\left( x \right)\] thì \[F\left( x \right)+C\]cũng là một nguyên hàm của \[f\left( x \right)\]. Ta gọi \[F\left( x \right)+C,\,\left( C-const \right)\] là Họ nguyên hàm của \[f\left( x \right)\].
Ký hiệu:\[\int{f\left( x \right)dx=F\left( x \right)+C}\]
VD: \[\int{{{x}^{4}}dx=\frac{1}{5}{{x}^{5}}+C;\,\int{\cos xdx=\sin x+C}}\].
b) Tính chất
• \[{{\left( \int{f\left( x \right)dx} \right)}^{'}}=f\left( x \right)\]
• \[\int{kf\left( x \right)dx=k\int{f\left( x \right)dx}}\], $k$ là hằng số
• \[\int{\left[ f\left( x \right)+g\left( x \right) \right]dx=\int{f\left( x \right)dx+\int{g\left( x \right)dx}}}\]
• \[\int{\left[ f\left( x \right)-g\left( x \right) \right]dx=\int{f\left( x \right)dx-\int{g\left( x \right)dx}}}\]
2. Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp
3. Các phương pháp
Phương pháp 1. Áp dụng công thức nguyên hàm cơ bản
Ví dụ 1. Tìm các nguyên hàm:
• x$I=\int{{{x}^{8}}dx=\frac{1}{9}{{x}^{9}}+C}$
.• $I=\int{\frac{dx}{{{x}^{5}}}=\int{{{x}^{-5}}dx=\frac{1}{-5+1}{{x}^{-5+1}}+C=}}-\frac{1}{4}{{x}^{-4}}+C$
•$I=\int{\frac{dx}{2x}}=\frac{1}{2}\int{\frac{dx}{x}=\frac{1}{2}\ln \left| x \right|+C}$
• $I=\int{\tan 2xdx=\int{\frac{\sin 2x}{\cos 2x}dx=-\frac{1}{2}\int{\frac{d\left( \cos 2x \right)}{\cos 2x}=-\frac{1}{2}\ln \left| \cos 2x \right|+C}}}$
• $I=\int{\sin x.{{\cos }^{4}}xdx=-\int{{{\cos }^{4}}xd\left( \cos x \right)}=-\frac{1}{5}{{\cos }^{5}}x+C}$
• $I=\int{\frac{\sin x+\cos x}{\sin x-\cos x}dx}=\int{\frac{d\left( \sin x-\cos x \right)}{\sin x-\cos x}}=\ln \left| \sin x-\cos x \right|+C$
• $I=\int{\frac{{{e}^{x}}dx}{{{e}^{x}}+1}}=\int{\frac{d\left( {{e}^{x}}+1 \right)}{{{e}^{x}}+1}}=\ln \left| {{e}^{x}}+1 \right|+C$
Phương pháp 2. Phương pháp đổi biến
a) Các dạng đổi biến số thường gặp
b) Ví dụ
• $I=\int{\sqrt{{{x}^{2004}}+1}.{{x}^{2003}}dx}$
Đặt $t={{x}^{2004}}+1\Rightarrow dt=2004{{x}^{2003}}dx\Rightarrow {{x}^{2003}}dx=\frac{1}{2004}dt$. Từ đó ta được:
$I=\frac{1}{2004}\int{\sqrt{t}dt}=\frac{1}{2004}\int{{{t}^{\frac{1}{2}}}dt}=\frac{1}{2004}.\frac{2}{3}{{t}^{\frac{3}{2}}}+C$
$=\frac{1}{3006}\sqrt{{{t}^{3}}}+C=\frac{1}{3006}\sqrt{{{\left( {{x}^{2004}}+1 \right)}^{3}}}+C$
• $I=\int{{{x}^{2}}{{\left( 1-x \right)}^{10}}dx}$
Đặt $1-x=t\Rightarrow dx=-dt$. Từ đó ta được:
$O=\int{{{\left( 1-t \right)}^{2}}{{t}^{10}}\left( -dt \right)}=-\int{\left( 1-2t+{{t}^{2}} \right).{{t}^{10}}}dt=-\int{{{t}^{10}}dt}+2\int{{{t}^{11}}dt}-\int{{{t}^{12}}}dt$
$\,\,\,\,\,=-\frac{1}{11}{{t}^{11}}+\frac{1}{6}{{t}^{12}}-\frac{1}{13}{{t}^{13}}+C=-\frac{1}{11}{{\left( 1-x \right)}^{11}}+\frac{1}{6}{{\left( 1-x \right)}^{12}}-\frac{1}{13}{{\left( 1-x \right)}^{13}}+C$
• $I=\int{\frac{\sin x.{{\cos }^{3}}x}{1+{{\cos }^{2}}x}dx=\frac{1}{2}\int{\frac{2\sin x\cos x.{{\cos }^{2}}x}{1+{{\cos }^{2}}x}}}dx=\frac{1}{2}\int{\frac{{{\cos }^{2}}x}{1+{{\cos }^{2}}x}.\sin 2xdx}$
Đặt $1+{{\cos }^{2}}x=t\Rightarrow \sin 2xdx=-dt$
$\Rightarrow S=\frac{1}{2}\frac{t-1}{t}\left( -dt \right)=-\frac{1}{2}\int{dt+\frac{1}{2}\int{\frac{dt}{t}}=-\frac{1}{2}t+\frac{1}{2}\ln \left| t \right|+C}$
Phương pháp 3. Phương pháp nguyên hàm từng phần
a) Nội dung phương pháp
Phương pháp này thường được sử dụng khi ta cần tính nguyên hàm của một tích. Giả sử cần tính $I=\int{{{f}_{1}}\left( x \right).{{f}_{2}}\left( x \right)dx}$, ta làm như sau:
b) Chú ý
Thứ tự ưu tiên đặt $u$ trong phương pháp Nguyên hàm từng phần:
Lôgarít $\to $ Đa thức $\to $ Hàm lượng giác $\to $ Hàm mũ
c) Ví dụ
•$I=\int{x\text{sin2}xdx}$
$\Rightarrow I=-\frac{1}{2}x\cos 2x+\frac{1}{2}\int{\cos 2xdx}=-\frac{1}{2}x\cos 2x+\frac{1}{4}\sin 2x+C$
•$I=\int{x{{\cos }^{2}}2xdx}=\int{x.\frac{1+\cos 4x}{2}}dx=\frac{1}{2}\int{xdx}+\int{\frac{1}{2}x\cos 4xdx}=\frac{1}{4}{{x}^{2}}+{{I}_{1}}$
Tính ${{I}_{1}}=\int{\frac{1}{2}x\cos 4xdx}$.
$\Rightarrow {{I}_{1}}=\frac{1}{8}x\sin 4x-\frac{1}{8}\int{\sin 4xdx}=\frac{1}{8}x\sin 4x+\frac{1}{32}\cos 4x+C$
Từ đó: $I=\frac{1}{4}{{x}^{2}}+\frac{1}{8}x\sin 4x+\frac{1}{32}\cos 4x+C$
•$I=\int{\frac{x\ln \left( x+\sqrt{{{x}^{2}}+1} \right)}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}dx}$
Ta được $I=\sqrt{{{x}^{2}}+1}\ln \left( x+\sqrt{{{x}^{2}}+1} \right)-x+C$
•$I=\int{{{\ln }^{2}}\left( x+\sqrt{{{x}^{2}}+1} \right)dx}$
$\Rightarrow I=x.{{\ln }^{2}}\left( x+\sqrt{{{x}^{2}}+1} \right)-2\int{\ln \left( x+\sqrt{{{x}^{2}}+1} \right).\frac{xdx}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}}$
$=x{{\ln }^{2}}\left( x+\sqrt{{{x}^{2}}+1} \right)-2\sqrt{{{x}^{2}}+1}.\ln \left( x+\sqrt{{{x}^{2}}+1} \right)+2x+C$
•$I=\int{{{\left( \frac{\ln x}{x} \right)}^{2}}dx}$. Ta có $I=\int{\frac{{{\ln }^{2}}x}{{{x}^{2}}}dx}$.
Ta được $I=-\frac{1}{x}\ln x-\frac{1}{x}+C$
Phương pháp 4. Phối hợp đổi biến số và phương pháp nguyên hàm từng phần
•$I=\int{\sin \sqrt{x}dx}$
Đặt $\sqrt{x}=t\Rightarrow x={{t}^{2}}\Rightarrow dx=2tdt\Rightarrow I=\int{\sin t.\left( 2tdt \right)}=\int{2t\sin tdt}$
Vậy $I=2\sin \sqrt{x}-2\sqrt{x}\cos \sqrt{x}+C$
•$I=\int{\sin \left( \ln x \right)dx}$.
Từ đó $I=\int{{{e}^{t}}\sin tdt}=\frac{x\left[ \sin \left( \ln x \right)-\cos \left( \ln x \right) \right]}{2}+C$
•$I=\int{{{x}^{8}}{{e}^{{{x}^{3}}}}dx}$.
Từ đó $I=\frac{1}{3}\int{{{t}^{2}}{{e}^{t}}dt=\frac{1}{3}\left( {{x}^{6}}-2{{x}^{3}}+2 \right){{e}^{{{x}^{3}}}}}+C$
•$I=\int{{{e}^{\sqrt{x}}}dx}$.
Phương pháp 5. Tìm nguyên hàm bằng phương pháp dùng nguyên hàm phụ
Giả sử cần tính $I=\int{f\left( x \right)dx}$. Khi đó ta tìm nguyên hàm phụ $J=\int{g\left( x \right)dx}$ sao cho việc tính $I+J$ và $I-J$ đơn giản hơn. Chẳng hạn:
• $I=\int{\frac{\sin x}{\sin x+\cos x}dx}$
Ta có thể xét $J=\int{\frac{\cos x}{\sin x+\cos x}dx}$
Khi đó:
$I+J=\int{\frac{\sin x+\cos x}{\sin x+\cos x}dx}=\int{dx}=x+C$
$I-J=\int{\frac{\sin x-\cos x}{\sin x+\cos x}dx}=-\int{\frac{d\left( \sin x+\cos x \right)}{\sin x+\cos x}}=-\ln \left| \sin x+\cos x \right|+C$
Từ đó suy ra: $2I=x-\ln \left| \sin x+\cos x \right|+C\Rightarrow I=\frac{1}{2}\left( x-\ln \left| \sin x+\cos x \right| \right)+C$
• $I=\int{\frac{4\sin x}{{{\left( \sin x+\cos x \right)}^{3}}}dx}$
Ta có thể xét $J=\int{\frac{4\cos x}{{{\left( \sin x+\cos x \right)}^{3}}}dx}$
Khi đó:
$I+J=4\int{\frac{\sin x+\cos x}{{{\left( \sin x+\cos x \right)}^{3}}}dx}=4\int{\frac{dx}{{{\left( \sin x+\cos x \right)}^{2}}}}=4\int{\frac{dx}{{{\left[ \sqrt{2}\sin \left( x+\frac{\pi }{4} \right) \right]}^{2}}}}$
$=2\int{\frac{d\left( x+\frac{\pi }{4} \right)}{{{\sin }^{2}}\left( x+\frac{\pi }{4} \right)}}=-2\cot \left( x+\frac{\pi }{4} \right)+C$
$I-J=4\int{\frac{\sin x-\cos x}{{{\left( \sin x+\cos x \right)}^{3}}}}dx=-4\int{\frac{d\left( \sin x+\cos x \right)}{{{\left( \sin x+\cos x \right)}^{3}}}}=2{{\left( \sin x+\cos x \right)}^{-2}}+C$
Từ đó suy ra:
$2I=-2\cot \left( x+\frac{\pi }{4} \right)+2{{\left( \sin x+\cos x \right)}^{-2}}+C\Rightarrow I=\frac{1}{{{\left( \sin x+\cos x \right)}^{2}}}-\cot \left( x+\frac{\pi }{4} \right)+C$
B. Bài tập tự luyện
Câu 1: Tìm $\int{({{x}^{3}}-2x)dx}$
A. \[3{{x}^{2}}-2+C\] B. \[\frac{{{x}^{4}}}{4}-{{x}^{2}}+C\]
C. \[\frac{{{x}^{4}}}{4}+2x+C\] D. \[\frac{{{x}^{4}}}{4}-{{x}^{2}}+C\]
Câu 2: Tìm $\int{(\sin x+\cos 3x})\,dx$
A. \[\cos x-\frac{1}{3}\sin 3x+C\] B. \[\cos x-3\sin 3x+C\]
C. \[-\cos x-\frac{1}{3}\sin 3x+C\] D. \[-\cos x+\frac{1}{3}\sin 3x+C\]
Câu 3: Tìm $\int{\left( 5{{e}^{3x}}-\frac{1}{6x+7} \right)}\,dx$
A. \[\frac{5}{3}{{e}^{3x}}-\frac{1}{6}\ln \left| 6x+7 \right|+C\] B. \[5{{e}^{3x}}-\ln \left| 6x+7 \right|+C\]
C. \[\frac{5}{3}{{e}^{3x}}+\frac{1}{6}\ln \left| 6x+7 \right|+C\] D. \[5{{e}^{3x}}-\frac{1}{6}\ln \left| 6x+7 \right|+C\]
Câu 4: Tìm $\int{\sqrt{x}dx}$
A. \[\frac{2}{3}\sqrt{x}+C\] B. \[-\frac{1}{2}\sqrt{x}+C\]
C. $\frac{3}{2}x\sqrt{x}+C$ D. \[\frac{2}{3}x\sqrt{x}+C\]
Câu 5: Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x)={{\sin }^{2}}x$
A. $\int{f(x)dx=\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}\sin \,2x+C}$ B. \[\int{f(x)dx=}\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}\sin \,2x+C\]
C. \[\int{f(x)dx=\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}\sin \,2x+C}\] D. \[\int{f(x)dx=\sin \,2x+C}\]
Câu 6: Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x)=\cos x.\cos 3x$
A. $\int{f(x)dx=-\frac{1}{8}\sin \,4x-\frac{1}{4}\sin \,2x+C}$ B. \[\int{f(x)dx=}\frac{1}{8}\sin \,4x+\frac{1}{4}\sin \,2x+C\]
C. \[\int{f(x)dx=\frac{1}{8}\cos \,4x+\frac{1}{4}\cos \,2x+C}\] D. \[\int{f(x)dx=-2\sin \,4x-\sin \,2x+C}\]
Câu 7: Cho \[\int{{{e}^{2\sin x+1}}}\cos xdx\] . Đặt t=2sinx+1, khi đó
A. \[\int{{{e}^{2\sin x+1}}}\cos xdx=\int{{{e}^{t}}}dt\] B. \[\int{{{e}^{2\sin x+1}}}\cos xdx=\frac{1}{2}\int{{{e}^{t}}}dt\]
C. \[\int{{{e}^{2\sin x+1}}}\cos xdx=-\frac{1}{2}\int{{{e}^{t}}}dt\] D. \[\int{{{e}^{2\sin x+1}}}\cos xdx=2\int{{{e}^{t}}}dt\]
Câu 8: Tìm $\int{(x+1){{e}^{{{x}^{2}}+2x}}dx}$
A. \[2(x+1){{e}^{{{x}^{2}}+2x}}+C\] B. \[\frac{1}{2}{{e}^{{{x}^{2}}+2x}}+C\]
C. \[{{e}^{{{x}^{2}}+2x}}+C\] D. \[\frac{1}{2}(x+1){{e}^{{{x}^{2}}+2x}}+C\]
Câu 9: Khẳng định nào sau đây sai ?
A. \[\int{{f}'(x)dx=f(x)+C}\] B. \[\int{[f(x)+g(x)]dx=\int{f(x)dx+\int{g(x)dx}}}\]
C. \[\int{kf(x)dx=k\int{f(x)dx}}\] D. \[\int{[f(x)-g(x)]dx=}\int{f(x)dx+\int{g(x)dx}}\]
Câu 10: Khẳng định nào sau đây đúng?
A. \[\int{f(x)dx={f}'(x)+C}\] B. \[\int{[f(x)\pm g(x)]dx=}\int{f(x)dx\pm \int{g(x)dx}}\]
C. \[\int{\frac{f(x)}{g(x)}}\,dx=\frac{\int{f(x)dx}}{\int{g(x)dx}} D. \[\int{f(x).g(x)dx=\int{f(x)dx.\int{g(x)dx}}}\]
Câu 11: Tìm nguyên hàm của hàm số $y=f(x)=\frac{3}{{{\cos }^{2}}(2x-1)}$
A. \[\frac{3}{2}\tan (2x-1)+C\] B. \[3\tan (2x-1)+C\]
C. \[-3\tan (2x-1)+C\] D. \[-\frac{3}{2}\cot (2x-1)+C\]
Câu 12: $\int{2{{e}^{x}}{{\left( {{e}^{x}}-1 \right)}^{4}}dx}=\frac{m}{n}{{({{e}^{x}}-1)}^{k}}+C$. Khi đó
A. m + n + k = 5 B. m + n + k = 7
C. m + n + k =12 D. m + n + k = 16
Câu 13: $\int{x\sin 2xdx}=\frac{m}{2}x\cos 2x+\frac{\sin 2x}{n}+C$. Khi đó
A. 2m + n = 0 B. 2m + n = 2 C. 2m + n =6 D. 2m + n = 8
Câu 14: $\int{\left( x+3 \right){{e}^{-2x}}dx}=\frac{-1}{m}{{e}^{-2x}}(2x+n)+C$. Khi đó
A. \[{{m}^{2}}+{{n}^{2}}=5\] B. \[{{m}^{2}}+{{n}^{2}}=10\]
C. \[{{m}^{2}}+{{n}^{2}}=41\] D. \[{{m}^{2}}+{{n}^{2}}=65\]
Câu 15: Nguyên hàm của hàm số $f(x)=x\cos x$là:
A. \[x\cos x+\sin x+C\] B. \[x\sin x+\cos x+C\]
C. \[-x\sin x+\cos x+C\] D. \[x\sin x-\cos x+C\]
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
D | D | A | C | B | A | C | A | D | B |
11 | 12 | 13 | 14 | 15 | |||||
A | C | C | D | B | . |
Bài viết gợi ý:
1. phương pháp tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau trong không gian
2. Mặt trụ, hình trụ, khối trụ
3. Phương pháp giải phương trình đường thẳng nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm đa thức bậc ba
4. Công thức tính đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm phân thức bậc hai trên bậc nhất và hàm phân thức bậc hai trên bậc hai
5. Tổng hợp các công thức tính nhanh số phức
6. tóm tắt phương pháp giải liên quan đến đơn điệu của hàm phân thức bậc hai trên bậc nhất
7. Công thức tính nhanh thể tích của các khối đa diện đều, tứ diện đều, khối lập phương, bát diện đều, khối 12 mặt đều, khối 20 mặt đều
Từ khóa » Nguyên Hàm X Cosx^2
-
Tìm Nguyên Hàm Xcos(x^2) | Mathway
-
[LỜI GIẢI] Một Nguyên Hàm Của F( X ) = X Over Cos ^2x Là: - Tự Học 365
-
Tìm Nguyên Hàm Của X/cos^2 X? - Nguyễn Quyên
-
Tính Tích Phân Sau: A = X Dx / Cos^2 X
-
Nguyên Hàm Của Hàm Số (y = Xcos X ) Là:
-
Họ Các Nguyên Hàm Của Hàm Số (f( X ) = (cos ^2)x ) Là:
-
Nguyên Hàm Của Cosx 2 - Tìm Nguyên Hàm Cos(X)^2
-
Tìm Nguyên Hàm Của Hàm Số F(x) = Xcosx... - Vietjack.online
-
Tổng Hợp Lý Thuyết Công Thức Nguyên Hàm Của Hàm Số Lượng Giác
-
Tìm Nguyên Hàm F(x) Của Hàm Số F(x)=sinx+cosx Thỏa Mãn F(π/2)=2
-
Tìm Nguyên Hàm Của Hàm Số Sau: ∫sxdx - Selfomy Hỏi Đáp
-
Cho Hàm Số Fx Có F0=0 Và F'x=cosx. Cos22x,∀x∈ℝ . Khi đó ∫0πfxdx ...