Phương Pháp Tìm Tiệm Cận Của Hàm Số Hay, Nhanh Nhất - Toán Lớp 12

Công thức xác định đường tiệm cận của đồ thị hàm số (siêu hay)

• HOT Ra mắt Sách tổng ôn 12 (2k8) toán, văn, anh.... (từ 80k/1 cuốn)

Trang trước Trang sau

Công thức xác định đường tiệm cận của đồ thị hàm số Toán 12 sẽ giúp học sinh lớp 12 nắm vững công thức, biết cách làm bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi Toán 12.

Công thức xác định đường tiệm cận của đồ thị hàm số (siêu hay)

Quảng cáo

1. Công thức

a) Đường tiệm cận ngang

Đường thẳng y = y0 được gọi là đường tiệm cận ngang (hay tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu:

limx→+∞fx=y0 hoặc limx→−∞fx=y0.

b) Đường tiệm cận đứng

Đường thẳng x = x0 được gọi là đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:

c) Đường tiệm cận xiên

Đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) được gọi là đường tiệm cận xiên (hay tiệm cận xiên) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu:

limx→+∞fx−ax+b=0 hoặc limx→−∞fx−ax+b=0.

→ Để xác định hệ số a, b của đường tiệm cận xiên y = ax + b của đồ thị hàm số y = f(x), ta có thể áp dụng công thức sau:

Chú ý: Hàm phân thức y=ax+bcx+d có TCN là y=ac và TCĐ là x=−dc.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tìm các tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị mỗi hàm số sau:

a) y=x+1x−2;                                                  

b) y=3−2x3x+1.

Lời giải

a) TXĐ: D = ℝ \ {2}.

Ta có: limx→±∞x+1x−2=1 nên đường thẳng y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.

Do limx→2+x+1x−2=+∞; limx→2−x+1x−2=−∞ nên đường thẳng x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

b) TXĐ: D = ℝ \ −13.

Vì limx→±∞3−2x3x+1=−23 nên đường thẳng y=−23 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.

Vì limx→−13+3−2x3x+1=+∞; limx→−13−3−2x3x+1=−∞ nên đường thẳng x=−13 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

Ví dụ 2. Tìm các tiệm cận đứng và tiệm cận ngang (nếu có) của đồ thị mỗi hàm số sau:

a) y=x2−12x+27x2−4x+5;                           

b) y=2−xx2−4x+3.

Lời giải

a) TXĐ: D = ℝ, do đó đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng.

Vì limx→±∞x2−12x+27x2−4x+5=1 nên đường thẳng y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.

b) TXĐ: D = ℝ \{1; 3}.

Vì limx→±∞2−xx2−4x+3=0 nên đường thẳng y = 0  là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.

Vì limx→1−2−xx2−4x+3=+∞ nên x = 1 là một đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

Vì limx→3+2−xx2−4x+3=−∞ nên x = 3 là một đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

Vậy đồ thị hàm số có TCN là y = 0; TCĐ là x = 1 và x = 3.

Ví dụ 3. Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận xiên của đồ thị mỗi hàm số sau:

a) y=2x2−3x+2x−1;

b) y=x−3+1x2.

Lời giải

a) y=2x2−3x+2x−1

Hàm số đã cho có tập xác định là ℝ \ {1}.

Ta có limx→1−2x2−3x+2x−1=−∞; limx→1+2x2−3x+2x−1=+∞. Do đó đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

a=limx→+∞yx=limx→+∞2x2−3x+2x−1x=2;

b=limx→+∞y−2x=limx→+∞2x2−3x+2x−1−2x=limx→+∞−x+2x−1=−1.

Do đó, đường thẳng y = 2x – 1 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho.

b) y=x−3+1x2

Hàm số đã cho có tập xác định là ℝ \ {0}.

Ta có limx→0−x−3+1x2=+∞; limx→0+x−3+1x2=+∞. Do đó, đường thẳng x = 0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

Ta cũng có limx→+∞y−x−3=limx→+∞1x2=0; limx→−∞y−x−3=limx→−∞1x2=0. Do đó, đường thẳng y = x – 3 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Tìm các đường tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của đồ thị mỗi hàm số sau:

a) y=x3−x;                              

b) y=2x+33−2x;                 

c) y=5x+5−2.

Bài 2. Tìm các tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị mỗi hàm số sau:

a) y=x2+3xx2−4;               

b) y=x2−3x+2x2−4x+5;          

c) y=x+2x−2.

Bài 3. Tìm tiệm cận đứng, tiệm cận ngang, tiệm cận xiên (nếu có) của đồ thị mỗi hàm số sau:

a) y=4x+5x2−4;

b) y=−x2+63x2+7;

c) y=2x2+3x1−x.

Bài 4. Đồ thị hàm số y=xx2−3x−4+x có bao nhiêu đường tiệm cận?

Bài 5. Tìm m để đồ thị hàm số y=x2−mx+2x2−1 có đúng 2 đường tiệm cận.

Bài 6. Tổng chi phí để sản xuất x sản phẩm của một nhà máy được tính theo công thức

T = 30x + 200 000 (nghìn đồng).

a) Viết công thức tính chi phí trung bình C(x) của 1 sản phẩm khi sản xuất được x sản phẩm.

b) Xem y = C(x) là một hàm số xác định trên khoảng (0; +∞), hãy tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.

c) Nêu nhận xét về chi phí để tạo ra 1 sản phẩm khi x càng lớn.

Xem thêm các Công thức Toán lớp 12 quan trọng hay khác:

• Phương pháp biện luận số nghiệm của phương trình dựa vào đồ thị

• Phương pháp tìm tiếp tuyến với đồ thị hàm số

• Qui tắc xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số

• Phương pháp tính cực trị của hàm số

• Phương pháp tính GTNN - GTLN của hàm số

👉 Giải bài nhanh với AI Hay:

• HOT 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT, ĐGNL các trường ĐH fle word có đáp án (2025).

Sách VietJack thi THPT quốc gia 2026 cho 2k8:

• Sổ tay toán, lý, hóa, văn, sử, địa 12 (29k/ 1 cuốn)
• Tổng ôn tốt nghiệp 12 toán, sử, địa, kinh tế pháp luật.... (80k/1 cuốn)
• 30 đề Đánh giá năng lực đại học quốc gia Hà Nội, tp. Hồ Chí Minh 2026 (cho 2k8)

TÀI LIỆU FILE WORD DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 12

+ Bộ giáo án, đề thi tốt nghiệp THPT, DGNL các trường các trường có lời giải chi tiết 2025 tại https://tailieugiaovien.com.vn/

+ Hỗ trợ zalo: VietJack Official

+ Tổng đài hỗ trợ đăng ký : 084 283 45 85

500+ đề thi thử tốt nghiệp THPT Quốc gia form 2025

( 128 tài liệu )

100+ đề thi ĐGNL ĐHQG Hà Nội, Tp.Hồ Chí Minh...

( 84 tài liệu )

Đề thi giữa kì, cuối kì 12

( 143 tài liệu )

Bài giảng Powerpoint Văn, Sử, Địa 12....

( 31 tài liệu )

Chuyên đề dạy thêm Toán, Lí, Hóa ...12

( 104 tài liệu )

Đề thi HSG 12

( 4 tài liệu )

xem tất cả

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS. Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.

Trang trước Trang sau Đề thi, giáo án các lớp các môn học

• Đề thi lớp 1 (các môn học)
• Đề thi lớp 2 (các môn học)
• Đề thi lớp 3 (các môn học)
• Đề thi lớp 4 (các môn học)
• Đề thi lớp 5 (các môn học)
• Đề thi lớp 6 (các môn học)
• Đề thi lớp 7 (các môn học)
• Đề thi lớp 8 (các môn học)
• Đề thi lớp 9 (các môn học)
• Đề thi lớp 10 (các môn học)
• Đề thi lớp 11 (các môn học)
• Đề thi lớp 12 (các môn học)
• Giáo án lớp 1 (các môn học)
• Giáo án lớp 2 (các môn học)
• Giáo án lớp 3 (các môn học)
• Giáo án lớp 4 (các môn học)
• Giáo án lớp 5 (các môn học)
• Giáo án lớp 6 (các môn học)
• Giáo án lớp 7 (các môn học)
• Giáo án lớp 8 (các môn học)
• Giáo án lớp 9 (các môn học)
• Giáo án lớp 10 (các môn học)
• Giáo án lớp 11 (các môn học)
• Giáo án lớp 12 (các môn học)