Phương Pháp Xét Tính đơn điệu Của Hàm Số | Mathoflife

Có thể bạn quan tâm

1. Định nghĩa

Cho $K$ là một khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng. Giả sử hàm số $y=f(x)$ xác định trên $K$

$\bullet$ Hàm số $y=f(x)$ đồng biến (tăng) trên $K$ nếu với mọi cặp $x_{1},x_{2}$ thuộc $K$ mà $x_{1}$ nhỏ hơn $x_{2}$ thì $f(x_{1})$ nhỏ hơn $f(x_{2})$ , tức là

$x_{1}<x_{2}\Rightarrow f(x_{1})<f(x_{2})$

$\bullet$ Hàm số $y=f(x)$ nghịch biến (giảm) trên $K$ nếu với mọi cặp $x_{1},x_{2}$ thuộc $K$ mà $x_{1}$ nhỏ hơn $x_{2}$ thì $f(x_{1})$ lớn hơn $f(x_{2})$ , tức là

$x_{1}<x_{2}\Rightarrow f(x_{1})>f(x_{2})$

$\bullet$ Hàm số $y=f(x)$ đồng biến hoặc nghịch biến trên $K$ được gọi chung là đơn điệu trên $K$

2. Tính đơn điệu và dấu của đạo hàm

Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm trên $K$

a. Nếu $f'(x)\geqslant 0,\forall x\in K$ và $f'(x)=0$ chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số $f(x)$ đồng biến trên $K$

b. Nếu $f'(x)\leqslant 0,\forall x\in K$ và $f'(x)=0$ chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số $f(x)$ nghịch biến trên $K$

c. Nếu $f'(x)=0,\forall x\in K$ thì hàm số $f(x)$ không đổi trên $K$

3. Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số

$\bigstar$ Tìm tập xác định của hàm số $y=f(x)$

$\bigstar$ Tính đạo hàm $f'(x)$ .

$\bigstar$ Tìm các điểm $x_{i} (i=1,2,3,...,n)$ mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định

$\bigstar$ Sắp xếp các điểm $x_{i}$ theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên

$\bigstar$ Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số

4. Ví dụ

4.1. Xét tính đơn điệu của hàm số $y=-x^4+2x^2$

Tập xác định : $D=\mathbb{R}$

Giới hạn :

$\lim\limits_{x \to +\infty }y=-\infty$ , $\lim\limits_{x \to -\infty }y=-\infty$

Đạo hàm :

$y'=f'(x)=-4x^3+4x$

$y'=0 \Leftrightarrow -4x^3+4x=0$ $\Leftrightarrow \left[\begin{matrix}x=-1\\\\x=0 \\\\x=1 \end{matrix}\right.$ $\Rightarrow \left[\begin{matrix}y=1\\\\y=0\\\\y=1\end{matrix}\right.$