Phương Trình Bậc Ba - Math Of CaolacVC

Trang chủ » Giải Phương Trình Bậc 3 Hai ẩn » Phương Trình Bậc Ba - Math Of CaolacVC

Có thể bạn quan tâm

  • Home
  • Contact
  • Edit
Math of CaolacVC Math of CaolacVC

tìm kiếm

HomeBài toán hayPhương trình bậc ba Phương trình bậc ba November 08, 2017 DANH MỤC Lịch sử phương trình bậc ba Một số phương pháp giải Phân tích nhân tử Phương pháp Cardano Phương pháp sử dụng số phức Phương pháp của Viet Phương pháp lượng giác hóa

Lịch sử phương trình bậc ba

Công thức nghiệm tổng quát của phương trình bậc hai thì đơn giản dễ hiểu, được trình bày tỉ mỉ trong sách giáo khoa Toán lớp 9, tuy nhiên, để đưa ra một công thức nghiệm tổng quát cho phương trình bậc ba là cả một vấn đề. Nếu muốn giải quyết trọn vẹn phương trình bậc ba thì phải chạm vào một số kiến thức như số phức, các hàm lượng giác chứ không đơn thuần bằng phép biến đổi như phương trong phương trình bậc hai. Điều này được thể hiện qua lịch sử đi tìm lời giải cho phương trình bậc ba cực kỳ hấp dẫn. Các bạn có tìm đọc thêm "Lịch sử đi tìm lời giải cho phương trình bậc ba". Bài viết này Caolac trình bày lại một số phương pháp giải phương trình bậc ba mà các bậc tiền bối đi trước mài công suy nghĩ giải quyết. OK Let's go!

Một số phương pháp giải

Phân tích nhân tử

Đây là phương pháp giải cho một số lớp phương trình bậc ba đặc biệt, ở đó các nghiệm của phương trình bậc ba này được dự đoán trước (thường là các số nguyên nhỏ). Từ đó có thể dễ dàng phân tích thành nhân tử nhờ sử dụng lược đồ Horner. Phương pháp này thường áp dụng cho các kỳ thi phổ thông vì tính đơn giản của nó. Tuy nhiên về mặt ý nghĩa lý thuyết thì nó gần như không có vai trò quan trọng.

Cho phương trình bậc ba: $ax^3+bx^2+cx+d=0 \quad (*)$.

Nếu $x=x_0$ là một nghiệm của phương trình $(*)$ thì ta có thể phân tích $(*)$ thành dạng:

$(x-x_0)(ax^2+px+q)=0$

Với $p=b+ax_0, \, q=c+bx_0 + ax_0 ^2$.

Tới đây thì mọi việc đã sáng tỏ, bài toán giải phương trình bậc ba đã quy về hai bài toán giải phương trình bậc hai và bậc nhất.

Phương pháp Cardano

Cho phương trình bậc ba tổng quát: $a'x^3+b'x^2+c'x+d'=0 \quad (a'\ne 0) \quad (*)$.

Bằng cách chia cho $a'\ne 0$ ta đưa được về dạng:

$x^3+ax^2+bx+c=0 \quad (2.1)$.

Với $a=\dfrac{b'}{a'}; \, b=\dfrac{c'}{a'}; \, c=\dfrac{d'}{a'}$

Ý tưởng giải phương trình bậc hai tổng quát là đưa phương trình $ax^2+bx+c=0 \quad (a\ne 0)$ về dạng phương trình bậc hai $x^2=a^2$ mà ta đã có lời giải bằng cách khử đi phần tử chứa $x$. Để làm điều này người ta sử dụng biến đổi hằng đẳng thức như trong sách giáo khoa lớp 9 hoặc có thể đặt $x=y-\dfrac{b}{2a}$.

Đối với phương trình bậc ba cũng tương tự, để giải phương trình bậc ba người ta đã đưa về dạng khuyết phần tử chứa $x^2$ bằng cách đặt $x=y-\dfrac{a}{3}$. Khi đó thay vào $(2.1)$ ta sẽ được phương trình bậc ba suy biến:

$y^3+py+q=0 \quad (2.2)$

Với $p=-\dfrac{a^2}{3}+b;\quad q=\dfrac{2a^3-9ab+27c}{27}$

Hay nói các khác mọi dạng phương trình bậc ba tổng quát ban đầu $(*)$ đều có thể đưa được về dạng $(2.2)$.

Từ đây nếu $(2.2)$ được giải quyết thì $(*)$ cũng được giải quyết. Và Cardano đã đưa ra phương pháp tìm nghiệm cho phương trình $(2.2)$ (Thực ra là Tartaglia đưa ra lời giải nhưng Cardano lại là người công bố. Các bạn có thể đọc thêm "Lịch sử giải phương trình bậc ba")

Ta xét phương trình $(2.2)$ trong trường hợp $p\ne 0, \, q\ne 0$. Vì trong trường hợp $p=0, \, q=0$ thì quá đơn giản.

Để tìm nghiệm của phương trình này Cardano đã làm như sau:

Đặt $y=u+v$. Thay vào $(2.2)$ ta được:

$u^3+v^3+(3uv+p)(u+v)+q=0 \quad (2.3)$

Để đẳng thức $(3)$ xảy ra ta cho $u^3+v^3+q=0$ và $3uv+p=0$.

Tức là tìm $u,v$ thỏa: $\begin{cases}u^3+v^3=-q \\ uv =-\dfrac{p}{3}\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}u^3+v^3=-q\\ u^3v^3=-\dfrac{p^3}{27}\end{cases}\quad (2.4)$

Hay $u^3,v^3$ là nghiệm của phương trình bậc hai: (Theo Viet đảo)

$X^2+qX-\dfrac{p^3}{27}=0 \quad (2.5)$

Có $\Delta = q^2+\dfrac{4p^3}{27}$

+) Nếu $\Delta \ge 0$ thì:

$u^3=\dfrac{-q+\sqrt{\Delta}}{2}=\dfrac{-q+\sqrt{q^2+\dfrac{4p^3}{27}}}{2}=-\dfrac{q}{2}+\sqrt{\dfrac{q^2}{4}+\dfrac{p^3}{27}}$

$v^3=\dfrac{-q-\sqrt{\Delta}}{2}=\dfrac{-q-\sqrt{q^2+\dfrac{4p^3}{27}}}{2}=-\dfrac{q}{2}-\sqrt{\dfrac{q^2}{4}+\dfrac{p^3}{27}}$

Khi đó phương trình $(2.2)$ có nghiệm:

$y=u+v=\sqrt[3]{-\dfrac{q}{2}+\sqrt{\dfrac{q^2}{4}+\dfrac{p^3}{27}}}+\sqrt[3]{-\dfrac{q}{2}-\sqrt{\dfrac{q^2}{4}+\dfrac{p^3}{27}}}$

Đây chính là công thức nghiệm phương trình bậc ba của Cardano trong trường hợp $\Delta \ge 0$.

Trong trường hợp $\Delta \le 0$ thì Cardano đã không giải quyết được vì thời bấy giờ ông chưa biết đến khái niệm số phức.

Phương pháp sử dụng số phức

Để giải quyết trọn vẹn phương trình bậc ba theo hướng mà Cardano đưa ra thì ta phải sử dụng đến số phức.

+) Nếu $\Delta\ge0$ thì khi đó $u^3, v^3$ có ba căn bậc ba:

$\begin{cases} u_1=\sqrt[3]{-\dfrac{q}{2}+\sqrt{\dfrac{q^2}{4}+\dfrac{p^3}{27}}}=A\\ u_2=A\left( -\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right)\\ u_3=A\left( -\dfrac{1}{2}-i\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right) \end{cases}\quad \begin{cases} v_1=\sqrt[3]{-\dfrac{q}{2}-\sqrt{\dfrac{q^2}{4}+\dfrac{p^3}{27}}}=B\\ v_2=B\left( -\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right)\\ v_3=B\left( -\dfrac{1}{2}-i\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right) \end{cases}$

Ta chọn các cặp $u,v$ thỏa mãn hệ phương trình $(2.4)$. Khi đó các cặp thỏa mãn là: $(u_1,v_1),\,(u_2,v_3),\,(u_3,v_2)$

Ta có 3 nghiệm tương ứng với phương trình $(2.2)$

$\begin{cases} y_1=u_1+v_1 \\ y_2=u_2+v_3=u_1\left( -\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)+v_1\left( -\dfrac{1}{2}-i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\\ y_3=u_3+v_2=u_1\left( -\dfrac{1}{2}-i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)+v_1\left( -\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) \end{cases}$

Hay

$\begin{cases} y_1=u_1+v_1\\ y_2=-\dfrac{1}{2}(u_1+v_1)+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}(u_1-v_1)\\ y_3=-\dfrac{1}{2}(u_1+v_1)-i\dfrac{\sqrt{3}}{2}(u_1-v_1) \end{cases}$

+) Nếu $\Delta\le 0$ thì:

$\begin{cases} u^3=-\dfrac{q}{2}+i\sqrt{-\dfrac{q^2}{4}-\dfrac{p^3}{27}}\\ v^3=-\dfrac{q}{2}-i\sqrt{-\dfrac{q^2}{4}-\dfrac{p^3}{27}} \end{cases}$

Khi đó khai căn bậc ba của số phức và đưa ra nghiệm cũng giống như trường hợp $\Delta\ge0$. Về mặt ý nghĩa lý thuyết thì ta đã giải quyết được phương trình bậc ba tổng quát bằng các phép toán cộng, trừ, nhân, chia, lũy thừa, khai căn. Tuy nhiên về mặt thực tế thì việc tính 3 căn bậc ba của số phức $u^3,v^3$ như trên là vô cùng khó khăn và phức tạp.

Phương pháp của Viet

Trong luận văn của Viet có trình bày một cách giải rất hay cho phương trình bậc ba tổng quát.

Như phân tích ở trên thì mọi phương trình bậc ba đều có thể đưa về phương trình bậc 3 dạng suy biến: $$x^3+px+q=0\quad(3.1)$$

Đặt $x=y-\dfrac{p}{3y}$ (Gọi là phép thế của Viet). Thay vào $(3.1)$ sẽ dẫn đến phương trình

$y^6+qy^3-\dfrac{p^3}{27}=0 \quad (3.2)$

Đây là phương trình bậc hai đối với ẩn $y^3$. Do đó luôn giải được trên $\mathbb{C}$. Từ đó suy ra nghiệm của phương trình $(3.1)$

Phương pháp này sẽ không thực hiện được khi hai nghiệm của phương trình $(3.2)$ là 0.

Về mặt công thức thì cách tiếp cân của Viet cũng cho ra kết quả tương tự như Cardano (nếu đặt $X=y^3$ thì phương trình $(3.2)$ sẽ có dạng $(2.5)$).

Dĩ nhiên là cách tiếp cận của Viet độc đáo hơn và dễ hình dung hơn.

Phương pháp lượng giác hóa

Updating...

Tags: 1000 Bài toán hay
  • Newer
  • Older
admin

admin

You may like these posts

Post a Comment

0 Comments

Vui lòng đăng nhập google để bình luậnĐể gõ công thức toán, hãy đặt [biểu thức toán] trong dấu $$Ví dụ: $[biểu thức toán]$

LỚP 10 LỚP 11 LỚP 12 LATEX ĐẠI HỌC CHƯƠNG TRÌNH LỚP 12 CHƯƠNG 1: Khảo sát Hàm Số Bài 1: Tính đơn điệu Bài 2: Cực trị hàm số Bài 3: GTLN - GTNN Bài 4: Đường tiệm cận Bài 5: Khảo sát & Vẽ đồ thị Bài 6: Bài toán thực tiễn --- MỞ RỘNG --- Dáng đồ thị hay gặp Đơn điệu hàm hợp (VDC) Bài tập đơn điệu 8+ Đơn điệu hàm bậc 3 chứa m Tìm m để hàm đơn điệu Công thức giải nhanh bậc 3 Phương pháp cô lập m Dùng đơn điệu CM BĐT Cực trị hàm số (Bản cũ) Cực trị hàm trùng phương Cực trị hàm trị tuyệt đối Tìm Min Max bằng Casio Min Max chứa trị tuyệt đối Tịnh tiến đồ thị Phương pháp ghép trục (8+) CHƯƠNG 2: Toạ độ Không gian Bài 1: Véctơ trong KG Bài 2: Hệ trục & Toạ độ --- MỞ RỘNG --- Toạ độ chân đường cao Tâm tỉ cự CHƯƠNG 3: Mẫu số liệu Bài 1: Khoảng tứ phân vị Bài 2: Phương sai & Độ lệch CHƯƠNG 4: Nguyên Hàm - Tích Phân Bài 1: Nguyên hàm Bài 2: Tích phân Bài 3: Ứng dụng hình học --- MỞ RỘNG --- Nguyên hàm (Lý thuyết) Bài tập NH Hữu tỷ Phương pháp Đổi biến số Phương pháp Từng phần Một số nguyên hàm đặc thù Tích phân hàm ẩn Phương pháp che nguyên hàm Tích phân hàm hữu tỷ (NC) CHƯƠNG 5: PP Toạ độ Oxyz Bài 1: Phương trình mặt phẳng Bài 2: Phương trình đường thẳng Bài 3: Công thức tính góc Bài 4: Phương trình mặt cầu --- MỞ RỘNG --- Bài tập PT Mặt phẳng Khoảng cách điểm đến MP PT Đường thẳng (Lý thuyết) Giao điểm ĐT và MP Các dạng BT viết PTĐT Giao tuyến 2 mặt phẳng Đường vuông góc chung CHƯƠNG 6: Xác suất Bài 1: Xác suất có điều kiện Bài 2: Công thức XS toàn phần Bài 3: Công thức Bayes CHƯƠNG TRÌNH LỚP 11 CHƯƠNG 1: Lượng giác Bài 1: Giá trị lượng giác Bài 2: Công thức lượng giác Bài 3: Hàm số lượng giác Bài 4: PTLG Cơ bản --- MỞ RỘNG --- Tóm tắt công thức LG Min Max Hàm lượng giác PT bậc 2 với hàm LG PT đưa về cơ bản Bài tập PTLG Chu kỳ hàm lượng giác CHƯƠNG 2: Dãy số - Cấp số Bài 1: Dãy số Bài 2: Cấp số cộng Bài 3: Cấp số nhân CHƯƠNG 3: Mẫu số liệu Bài 1: Các số đo xu thế trung tâm CHƯƠNG 4: QH Song song KG Bài 1: Đường thẳng & Mặt phẳng Bài 2: Hai đường thẳng song song Bài 3: ĐT & MP song song Bài 4: Hai mặt phẳng song song Bài 5: Phép chiếu song song --- MỞ RỘNG --- Cách vẽ hình KG (Đang cập nhật) Xác định giao tuyến Xác định thiết diện (Đang cập nhật) Giao điểm ĐT và MP Ba điểm thẳng hàng (Đang cập nhật) Định lí Menelaus (Có lời giải) CHƯƠNG 5: Giới hạn - Liên tục Bài 1: Giới hạn dãy số Bài 2: Giới hạn hàm số Bài 3: Hàm số liên tục --- MỞ RỘNG --- Bài toán CM tồn tại nghiệm CHƯƠNG 6: Mũ & Logarit Bài 1: Luỹ thừa với số mũ thực Bài 2: Logarit Bài 3: Hàm số mũ & Logarit Bài 4.1: Phương trình mũ Bài 4.2: Phương trình Logarit Bài 4.3: Bất PT Mũ, Logarit --- MỞ RỘNG --- Tóm tắt công thức Tìm TXĐ hàm số mũ Tính tổng đặc thù Tìm số chữ số Lũy thừa Logarit (Cũ) Hàm số mũ, log (Cũ) Bất phương trình mũ (Cũ) CHƯƠNG 7: QH Vuông góc KG Bài 1: Hai ĐT vuông góc Bài 2: ĐT vuông góc MP Bài 3: Phép chiếu vuông góc Bài 4: Hai MP vuông góc Bài 5: Khoảng cách Bài 6: Thể tích --- MỞ RỘNG --- CM Đường vuông góc Mặt Góc giữa ĐT và MP Xác định góc giữa 2 MP Khoảng cách từ Điểm đến MP CHƯƠNG 8: Quy tắc xác suất Bài 1: Biến cố hợp, giao, độc lập Bài 2: Công thức cộng XS Bài 3: Công thức nhân XS CHƯƠNG 9: Đạo hàm Bài 1: Định nghĩa đạo hàm Bài 2: Các quy tắc đạo hàm Bài 3: Đạo hàm cấp hai --- MỞ RỘNG --- Phương trình tiếp tuyến CHUYÊN ĐỀ: Phép biến hình Phép tịnh tiến Phép đối xứng trục Phép quay - Đối xứng tâm Phép vị tự Phép đồng dạng CHUYÊN ĐỀ: Lý thuyết đồ thị (Nội dung đang cập nhật) CHUYÊN ĐỀ: Vẽ kĩ thuật (Nội dung đang cập nhật) CHƯƠNG TRÌNH LỚP 10 CHƯƠNG 1: Mệnh đề - Tập hợp Bài 1: Mệnh đề Bài 2: Tập hợp & Phép toán --- MỞ RỘNG --- Giao hợp chứa tham số m CHƯƠNG 2: BPT Bậc nhất 2 ẩn Bài 1: BPT Bậc nhất 2 ẩn Bài 2: Hệ BPT Bậc nhất 2 ẩn CHƯƠNG 3: Hệ thức lượng Bài 1: GTLG góc 0 đến 180 Bài 2: Hệ thức lượng tam giác --- MỞ RỘNG --- Công thức hệ thức lượng CM Đẳng thức trong tam giác CHƯƠNG 4: Véctơ Bài 1: Véctơ & các khái niệm Bài 2: Tích véctơ và một số Bài 3: Véctơ trong Oxy Bài 4: Tích vô hướng --- MỞ RỘNG --- CM Đẳng thức véctơ Xác định điểm thoả ĐK Phân tích theo 2 véctơ CM Ba điểm thẳng hàng Tìm D để là HBH Tìm trực tâm, chân đường cao Tìm tâm đường tròn ngoại tiếp Tìm chân đường phân giác CHƯƠNG 5: Số đặc trưng (Đơn) Bài 1: Số gần đúng & Sai số Bài 2: Số đo xu thế trung tâm Bài 3: Số đo độ phân tán CHƯƠNG 6: Hàm số - Đồ thị Bài 1: Hàm số Bài 2: Hàm số bậc hai Bài 3: Dấu tam thức bậc 2 Bài 4: PT quy về bậc hai --- MỞ RỘNG --- Tìm tập xác định hàm số Tìm m để BPT vô nghiệm Bài tập xác định Parabol PT chứa ẩn ở mẫu PT chứa trị tuyệt đối CHƯƠNG 7: PP Toạ độ Oxy Bài 1: Phương trình đường thẳng Bài 2: Đường thẳng trong Oxy Bài 3: Phương trình đường tròn Bài 4: Ba đường Conic --- MỞ RỘNG --- Bài tập Viết PT đường thẳng Bài tập Viết PT đường tròn Tiếp tuyến của đường tròn Elip (Lý thuyết) Tìm các thông số Elip Các bài toán toạ độ (HK1) CHƯƠNG 8: Đại số tổ hợp Bài 1: Quy tắc đếm Bài 2: Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp Bài 3: Nhị thức Newton --- MỞ RỘNG --- Phương trình P-A-C CHƯƠNG 9: Xác suất cổ điển Bài 1: Biến cố & Định nghĩa XS Bài 2: Tính xác suất cổ điển HƯỚNG DẪN LATEX TRA CỨU & NHẬP MÔN FULL KÍ TỰ LaTeX (TRA CỨU) LaTeX là gì? Font chữ trong LaTeX Một số lệnh thường dùng Tự định nghĩa lệnh (Newcommand) SOẠN THẢO CƠ BẢN Các môi trường Toán cơ bản Tạo Mục Lục Môi trường Liệt kê (List) Đánh số Định lý, Định nghĩa... Chèn Watermark (Bản quyền) GÕ CÔNG THỨC TOÁN Cách gõ công thức Toán Khoảng cách trong công thức Căn chỉnh vị trí công thức Phân số & Liên phân số Chỉ số trên & Chỉ số dưới Dấu ngoặc (Cơ bản) Dấu ngoặc (Nâng cao) Ma trận & Định thức Viết ký hiệu phần nghìn Ký hiệu Cung AB (Hình học) VẼ HÌNH & BẢNG BIẾN THIÊN Vẽ hình bằng gói TikZ Vẽ bảng biến thiên TOÁN CAO CẤP GIẢI TÍCH Đề GK1 Giải tích 1 - ĐHBK Hà Nội Vô cùng bé (Infinitesimal) Dãy số (Bài tập có lời giải) Nguyên lý Bolzano Weierstrass Khai triển Taylor Maclaurin Chuỗi số Chuỗi số dương Chuỗi số có dấu bất kỳ Chuỗi luỹ thừa Chuỗi hàm Sự hội tụ đều của chuỗi hàm Tích phân bất định hàm hữu tỷ Tích phân bội hai (Đổi thứ tự) Đổi biến số tích phân bội hai Đổi biến sang toạ độ cực GIẢI TÍCH SỐ Công thức hình thang Công thức Simpson Phương pháp chuỗi nguyên Phương pháp xấp xỉ Picard PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Mở đầu về PTVP PTVP Tách biến PTVP Thuần nhất PT đưa về dạng thuần nhất PTVP Tuyến tính cấp 1 (P1) PTVP Tuyến tính cấp 1 (P2) PTVP Đẳng cấp PTVP Toàn phần PT ĐẠO HÀM RIÊNG PT ĐHR Tuyến tính cấp 1 Phương trình Parabolic Phương trình Hyperbolic ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ma trận & Các phép toán Phép nhân hai ma trận Định thức & Tính chất Bài tập Không gian Vector ĐẠI SỐ ĐẠI CƯƠNG Bài tập ĐSĐC (Có lời giải) ĐỘ ĐO - TÍCH PHÂN Tài liệu Độ đo (Sưu tầm) LÝ THUYẾT TOÁN TỬ Bài tập Lý thuyết toán tử TOPO (Đang cập nhật)

Tổng lượt truy cập

Tags

  • 1000
  • Lớp 12
  • Lớp 11
  • Lớp 10
  • Đại học
  • LaTeX
  • Giải tích
  • Mũ-Logarit
  • Blogspot
  • Oxyz
  • bt
  • Bài toán hay
  • Lớp 9
  • etc
  • HK1 LỚP 10
  • Nguyên Hàm - Tích Phân
  • Phương trình vi phân
  • Skills Giải Toán
  • Tình Yêu Toán
  • office
  • Oxyz VDC
  • Số phức
  • Bài tập
  • Giải tích số
  • Software
  • Đại Số Tuyến Tính
  • 10.000
  • 5000
  • HHKG
  • Lượng Giác
  • Phiếu BTTN
  • Phương trình đạo hàm riêng
  • Tích Phân Bội
  • BTTN
  • Casio
  • Công Thức Tính Nhanh
  • Hỏi - Đáp
  • Nuôi Dạy Con
  • Rèn Luyện Tư Duy
  • Số Phức VDC
  • Toán Tiếng Anh
  • Đề Thi THPT
  • Đề thi
  • Động Lực Trong Cuộc Sống
  • Ứng dụng đạo hàm VDC
  • 11 GK1
  • Chuyên Đề
  • Code Cũ
  • Giữa HK2 lớp 10
  • HK1 LỚP 11
  • HK2 Lớp 11
  • Hoá Hữu Cơ
  • Ký Hiệu Hoá Học
  • Kỷ Niệm
  • Luận Văn
  • My Style
  • Mũ-Loga VDC
  • Nón Trụ Cầu
  • Sự Thật
  • Thần chú Toán
  • Trick
  • Tích Phân VDC
  • VB.NET
  • XS CÓ ĐK
  • Xác suất - thống kê
  • Xác suất có điều kiện
  • Ôn vào 10
  • Đơn Điệu VCD
  • Đại số đại cương
FULL KÍ TỰ LATEX

FULL KÍ TỰ LATEX

November 04, 2018 WATERMARK TRONG LATEX

WATERMARK TRONG LATEX

November 02, 2018 MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH THÚ VỊ

MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH THÚ VỊ

December 17, 2018 CÁCH VẼ VÀ TỊNH TIẾN ĐỒ THỊ ĐẶC BIỆT

CÁCH VẼ VÀ TỊNH TIẾN ĐỒ THỊ ĐẶC BIỆT

May 02, 2020 DẤU NGOẶC TRONG LATEX

DẤU NGOẶC TRONG LATEX

June 23, 2017

CaolacVC

Khi làm bất cứ việc gì, đừng bao giờ mâu thuẫn nội tại

05/10/2022: Đạt 500.000 lượt truy cập

11/11/2022: Lần đầu tiên trong 1 ngày đạt 2000 lượt truy cập

30/11/2022: Lần đầu tiên trong 1 ngày đạt 3400 lượt truy cập

5/1/2026: Đạt 2.238.000 lượt truy cập

Menu Footer Widget

  • Home
  • About
  • Contact Us
Created By | Distributed By Blogger Themes

Từ khóa » Giải Phương Trình Bậc 3 Hai ẩn