Phương Trình Bậc Hai đối Với Một Hàm Số Lượng Giác

Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác Giải phương trình lượng giác lớp 11 Bài trước Tải về Bài sau Lớp: Lớp 11 Môn: Toán Loại File: Word + PDF Phân loại: Tài liệu Tính phí

Nâng cấp gói Pro để trải nghiệm website VnDoc.com KHÔNG quảng cáo, và tải file cực nhanh không chờ đợi.

Tìm hiểu thêm » Mua ngay Từ 79.000đ Hỗ trợ Zalo

Phương trình bậc hai với một hàm số lượng giác lớp 11

• I. Cách giải phương trình lượng giác bậc hai
• II. Bài tập ví dụ minh họa giải phương trình có đáp án chi tiết
• III. Bài tập tự luyện giải phương trình lượng giác 

Bạn đang gặp khó khăn khi giải các phương trình bậc hai có chứa hàm lượng giác như sin, cos, tan? Đây là một dạng toán quan trọng và thường xuyên xuất hiện trong các đề thi THPT Quốc gia cũng như các kỳ kiểm tra Toán lớp 11 và 12. Trong bài viết này, chúng tôi sẽ hướng dẫn bạn cách nhận dạng và giải phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác một cách chi tiết, dễ hiểu nhất. Bài viết đi kèm ví dụ minh họa và lời giải cụ thể, giúp bạn nắm vững phương pháp giải nhanh, chính xác.

Tài liệu do VnDoc.com biên soạn và đăng tải, nghiêm cấm các hành vi sao chép với mục đích thương mại.

Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác

I. Cách giải phương trình lượng giác bậc hai

Phương trình có dạng: \(af{{\left( x \right)}^{2}}+bf\left( x \right)+c=0,\left( a\ne 0 \right)\)

\(f\left( x \right)=\sin m\left( x \right),\cos m\left( x \right),\tan m\left( x \right),\cot m\left( x \right)\)

Phương pháp làm bài: Đặt \(u=f\left( x \right)\), chú ý đối với hàm\(f\left( x \right)=\sin m\left( x \right),\cos m\left( x \right)\)  ta cần thêm điều kiện \(u \in [-1,1]\) 

Khi đó phương trình trở thành: \(a{{u}^{2}}+bu+c=0\)

Giải phương trình bậc hai ta tìm được u, từ đó tìm được x.

II. Bài tập ví dụ minh họa giải phương trình có đáp án chi tiết

Câu 1: Giải phương trình: \(\cos 2x+{{\sin }^{2}}x+2\cos x+1=0\)

Hướng dẫn giải

\(\cos 2x+{{\sin }^{2}}x+2\cos x+1=0\)

\(\Leftrightarrow 2{{\cos }^{2}}x-1+1-{{\cos }^{2}}x+2\cos x+1=0\)

\(\Leftrightarrow {{\cos }^{2}}x+2\cos x+1=0\)

Đặt \(t=\cos x,t\in \left[ -1,1 \right]\). Phương trình trở thành \({{t}^{2}}+2t+1=0\Leftrightarrow {{\left( t+1 \right)}^{2}}=0\Leftrightarrow t=-1\)

\(\Leftrightarrow \cos x=-1\Leftrightarrow x=-\pi +2k\pi ,\left( k\in \mathbb{Z} \right)\)

Câu 2: Cho phương trình: \(4{{\sin }^{2}}2x+8{{\cos }^{2}}x+3m-5=0\)

a. Giải phương trình khi \(m=-\frac{4}{3}\)

b. Tìm m nguyên dương để phương trình có nghiệm

Hướng dẫn giải

Biến đổi phương trình:

\(4{{\sin }^{2}}2x+8{{\cos }^{2}}x+3m-5=0\)

\(\Leftrightarrow 4{{\sin }^{2}}2x+4\left( \cos 2x+1 \right)+3m-5=0\)

\(\Leftrightarrow 4\left( 1-{{\cos }^{2}}2x \right)+4\left( \cos 2x+1 \right)+3m-5=0\)

\(\Leftrightarrow -4{{\cos }^{2}}2x+4\cos 2x+3m+3=0\)

a. Với \(m=-\frac{4}{3}\) phương trình trở thành:

\(\Leftrightarrow -4{{\cos }^{2}}2x+4\cos 2x-1=0\). Đặt \(t=\cos 2x,t\in \left[ -1,1 \right]\)

Phương trình trở thành \(-4{{t}^{2}}+4t-1=0\Leftrightarrow t=\frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow \cos 2x=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow 2x=\pm \dfrac{\pi }{3}+k2\pi \Leftrightarrow x=\pm \dfrac{\pi }{6}+k\pi ,\left( k\in \mathbb{Z} \right)\)

b. Đặt \(t=\cos 2x,t\in \left[ -1,1 \right]\), phương trình trở thành:

\(-4{{t}^{2}}+4t+3m+3=0(*)\)

Để phương trình ban đầu có nghiệm thì phương trình (*) có nghiệm thuộc \(\left[ -1,1 \right]\)