Thứ bảy - 06/02/2016 03:24 Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau. Phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau. Cách viết phương trình đường vuông góc chung. Hình 1. Đường vuông góc chungĐường vuông góc chung. Trong không gian cho hai đường thẳng chéo nhau $d_1$ và $d_2$. Khi đó tồn tại đường thẳng $\Delta$ vuông góc và cắt cả hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$. Cách dựng đoạn vuông góc chung.Bước 1. Dựng mặt phẳng $\left( P \right)$ chứa $d_1$ và song song với $d_2$. Bước 2. Dựng mặt phẳng $\left( Q \right)$ chứa $d_1$ và vuông góc với $\left( P \right)$. Bước 3. Tìm giao điểm $B = {d_2} \cap \left( Q \right).$ Đường vuông góc chung $\Delta$ đi qua $B$ và vuông góc với $\left( P \right)$. Viết phương trình đường vuông góc chung trong không gian - Cách 1.Cũng chính là cách dựng. Trong không gian $Oxyz$ giả sử đường thẳng $d_1$, $d_2$ lần lượt có vector chỉ phương là ${{\vec u}_1},{{\vec u}_2}$. Bước 1. Viết phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ chứa $d_1$ và song song với $d_2$. Cặp vector chỉ phương của $\left( P \right)$ là ${{\vec u}_1},{{\vec u}_2}$. Suy ra $${\vec n_P} = \left[ {{{\vec u}_{{d_1}}},{{\vec u}_{{d_2}}}} \right].$$ Bước 2. Viết phương trình mặt phẳng $\left( Q \right)$ chứa $d_1$ và vuông góc với $\left( P \right)$. Cặp vector chỉ phương của $\left( Q \right)$ là ${{{\vec u}_{{d_1}}},{{\vec n}_P}}$. Suy ra $${\vec n_Q} = \left[ {{{\vec u}_{{d_1}}},{{\vec n}_P}} \right].$$ Bước 3. Tìm giao điểm $B = {d_2} \cap \left( Q \right).$ Viết phương trình đường vuông góc chung $\Delta$ đi qua $B$ và vuông góc với $\left( P \right)$.Ví dụ 1. Viết phương trình đường vuông góc chung của $\left( {{d_1}} \right):\left\{ \begin{array}{l} x = t\\ y = 5 - 2t\\ z = 14 - 3t \end{array} \right.$ và $\left( {{d_2}} \right):\left\{ \begin{array}{l} x = 9 - 4\lambda \\ y = 3 + \lambda \\ z = - 1 + 5\lambda \end{array} \right..$ Giải. Gọi mặt phẳng $\left( P \right)$ chứa $d_1$ và song song với $d_2$. Khi đó cặp vector chỉ phương của $\left( P \right)$ là ${{\vec u}_{{d_1}}} = \left( {1; - 2; - 3} \right),\;\;{{\vec u}_{{d_2}}} = \left( { - 4;1;5} \right)$. Suy ra ${\vec n_P} = \left[ {{{\vec u}_{{d_1}}},{{\vec u}_{{d_2}}}} \right] = \left( { - 7;7; - 7} \right) = - 7\left( {1; - 1;1} \right).$ Chọn $M\left( {0;5;14} \right) \in {d_1} \subset \left( P \right).$ Phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ là $$\left( P \right):1 \cdot \left( {x - 0} \right) - 1 \cdot \left( {y - 5} \right) + 1 \cdot \left( {z - 14} \right) = 0 \Leftrightarrow x - y + z - 9 = 0.$$ Gọi $\left( Q \right)$ chứa $d_1$ và vuông góc với $\left( P \right)$. Cặp vector chỉ phương của $\left( Q \right)$ là ${{\vec u}_1} = \left( {1; - 2; - 3} \right),\;{{\vec n}_P} = \left( {1; - 1;1} \right)$. Suy ra ${\vec n_Q} = \left[ {{{\vec u}_{{d_1}}},{{\vec n}_P}} \right] = \left( { - 5; - 4;1} \right).$ Mặt khác $M\left( {0;5;14} \right) \in {d_1} \subset \left( Q \right).$ Phương trình của mặt phẳng $\left( Q \right)$ là $$\left( Q \right): - 5 \cdot \left( {x - 0} \right) - 4 \cdot \left( {y - 5} \right) + 1 \cdot \left( {z - 14} \right) = 0 \Leftrightarrow - 5x - 4y + z + 6 = 0.$$ Gọi $B = {d_2} \cap \left( Q \right)$. Từ phương trình của $d_2$ và $\left( Q \right)$ ta được $ - 5\left( {9 - 4\lambda } \right) - 4\left( {3 + \lambda } \right) - 1 + 5\lambda - 9 = 0 \Leftrightarrow \lambda = \frac{{52}}{{21}}$. Thay $\lambda = \frac{{52}}{{21}}$ vào phương trình $d_2$ ta được $x = - \frac{{19}}{21};y = \frac{{115}}{{21}};z = \frac{{239}}{{21}} \Rightarrow B\left( { - \frac{{19}}{21};\frac{{115}}{{21}};\frac{{239}}{{21}}} \right).$ Đường thẳng $\Delta$ và vuông góc với $\left( P \right)$ nên ${{\vec u}_\Delta } = {{\vec n}_P} = \left( {1; - 1;1} \right)$ , và đi qua $B$ nên có phương trình là $$\left\{ \begin{array}{l} x = - \frac{{19}}{21} + t\\ y = \frac{{115}}{{21}} - t\\ z = \frac{{239}}{{21}} + t \end{array} \right.$$Viết phương trình đường vuông góc chung trong không gian - Cách 2. Dùng quang hệ vuông góc. Bước 1. Viết phương trình đường thẳng $d_1$ và $d_2$ dưới dạng tham số. $$\left( {{d_1}} \right):\left\{ \begin{array}{l} x = {x_1} + {a_1}t\\ y = {y_1} + {b_1}t\\ z = {z_1} + {c_1}t \end{array} \right.{\rm{ }}\left( {{d_2}} \right):\left\{ \begin{array}{l} x = {x_2} + {a_2}\lambda \\ y = {y_2} + {b_2}\lambda \\ z = {z_2} + {c_2}\lambda \end{array} \right.{\rm{ }}$$ Bước 2. Giả sử $A = {d_1} \cap \Delta ,{\rm{ }}B = {d_2} \cap \Delta .$ $$\begin{array}{l} A \in {d_1} \Rightarrow A\left( {{x_1} + {a_1}t,{y_1} + {b_1}t,{z_1} + {c_1}t{\rm{ }}} \right),\\ B \in {d_2} \Rightarrow B\left( {{x_2} + {a_2}\lambda ,{y_2} + {b_2}\lambda ,{z_2} + {c_2}\lambda } \right). \end{array}$$ Bước 3. Dùng quan hệ vuông góc để tìm $A$ và $B$ $$\left\{ \begin{array}{l} AB \bot {d_1}\\ AB \bot {d_2} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow {AB} \bot {{\vec u}_{{d_1}}}\\ \overrightarrow {AB} \bot {{\vec u}_{{d_2}}} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow {AB} \cdot {{\vec u}_{{d_1}}} = 0\\ \overrightarrow {AB} \cdot {{\vec u}_{{d_2}}} = 0 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} t,A\\ \lambda ,B \end{array} \right..$$Ví dụ 2. Viết phương trình đường vuông góc chung của $\left( {{d_1}} \right):\left\{ \begin{array}{l} x = t\\ y = 5 - 2t\\ z = 14 - 3t \end{array} \right.$ và $\left( {{d_2}} \right):\left\{ \begin{array}{l} x = 9 - 4\lambda \\ y = 3 + \lambda \\ z = - 1 + 5\lambda \end{array} \right..$Giải. Gọi $\Delta$ là đường vuông góc chung của $d_1$ và $d_2$. Giả sử $A = {d_1} \cap \Delta ,{\rm{ }}B = {d_2} \cap \Delta .$ Ta có $A \in {d_1} \Rightarrow A\left( {t;5 - 2t;14 - 3t{\rm{ }}} \right),B \in {d_2} \Rightarrow B\left( {9 - 4\lambda ;3 + \lambda ; - 1 + 5\lambda } \right).$ Suy ra $\overrightarrow {AB} = \left( {9 - 4\lambda - t; - 2 + \lambda + 2t; - 15 + 5\lambda + 3t} \right)$. Vì $\overrightarrow {AB} \bot {d_1},\overrightarrow {AB} \bot {d_1}$ nên ta có $$\left\{ \begin{gathered} \overrightarrow {AB} \cdot {{\vec u}_{{d_1}}} = 0 \hfill \\ \overrightarrow {AB} \cdot {{\vec u}_{{d_2}}} = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 1\left( {9 - 4\lambda - t} \right) - 2\left( { - 2 + \lambda + 2t} \right) - 3\left( { - 15 + 5\lambda + 3t} \right) = 0 \hfill \\ - 4\left( {9 - 4\lambda - t} \right) + \left( { - 2 + \lambda + 2t} \right) + 5\left( { - 15 + 5\lambda + 3t} \right) = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \lambda = \frac{{52}}{{21}} \hfill \\ t = \frac{{3}}{7} \hfill \\ \end{gathered} \right..$$ Lần lượt thay $t = \frac{{3}}{7},\lambda = \frac{{52}}{{21}}$ vào phương trình của $d_1$ và $d_2$ ta được $A\left( { \frac{{3}}{7};\frac{{29}}{7};\frac{{89}}{7}} \right)$ và $B\left( { - \frac{{19}}{{21}};\frac{{115}}{{21}};\frac{{239}}{{21}}} \right).$ Đường thẳng $\Delta$ qua $A$ và $B$ nên ${{\vec u}_\Delta } = \overrightarrow {AB} = \left( {-\frac{{4}}{{3}}; \frac{{4}}{{3}}; - \frac{4}{{3}}} \right)$ $= - \frac{4}{3}\left( {1; - 1;1} \right).$ Vì $\Delta$ qua $B$ nên có phương trình $$\left\{ \begin{array}{l} x = - \frac{{19}}{21} + t\\ y = \frac{{115}}{{21}} - t\\ z = \frac{{239}}{{21}} + t \end{array} \right.$$Bài tập(nhiều bài tập hơn khi đăng ký học tại Trung tâm Cùng học toán)
Tác giả bài viết: Cùng Học Toán
Tổng số điểm của bài viết là: 15 trong 3 đánh giá
Xếp hạng: 5 - 3 phiếu bầu Click để đánh giá bài viết Tweet
Góp ý hoặc một bài toán của Quý học viên hoặc Quý Phụ Huynh
Sắp xếp theo bình luận mới Sắp xếp theo bình luận cũ Sắp xếp theo số lượt thích Mã an toàn
Những tin mới hơn
Công thức toạ độ của tích vô hướng hai vector (27/08/2016)
Toạ độ trọng tâm của tam giác trong không gian (27/08/2016)
Toạ độ trung điểm của đoạn thẳng trong không gian (27/08/2016)
Toạ độ của một vector theo toạ độ điểm đầu và điểm cuối (27/08/2016)
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau (06/02/2016)
Bài viết cùng chuyên mục
Hình chiếu vuông góc của đường thẳng lên mặt phẳng (06/02/2016)
Hình chiếu vuông góc của một điểm lên đường thẳng (06/02/2016)
Đối xứng của một điểm qua mặt phẳng (05/02/2016)
Hình chiếu vuông góc của điểm lên mặt phẳng (05/02/2016)
Góc giữa hai đường thẳng trong không gian (05/02/2016)
Hai đường thẳng chéo nhau (05/02/2016)
Hai đường thẳng song song (05/02/2016)
Hai đường thẳng cắt nhau (05/02/2016)
Phương trình đường thẳng trong không gian (05/02/2016)
Vector chỉ phương của đường thẳng (05/02/2016)
Chương trình
Đại số tổ hợp & Xác suất
Hình học giải tích không gian
Bất đẳng thức
Lượng giác
Tích phân
Hàm mũ & logarit
Khảo sát hàm số
Hình học không gian
Dãy số - Giới hạn của dãy số - Đạo hàm
Phép biến hình trong mặt phẳng
Hình học giải tích phẳng
Số phức
Toán chuyên đề
Đại số
Thư viện trực tuyến
Đề thi - Đáp án đại học
Sách giáo khoa toán
Tạp chí Toán học & Tuổi trẻ
Đề thi thử THPT Quốc Gia 2016
Kiến thức mới
06 02.2016
Hình chiếu vuông góc của đường thẳng lên mặt phẳng
Hình chiếu vuông góc của đường thẳng lên mặt phẳng trong...
25 08.2016
Phương trình tiếp tuyến song song với một đường thẳng
Viết phương trình tiếp tuyến song song với một đường thẳng...
06 02.2016
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Công thức tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau....
05 02.2016
Hình chiếu vuông góc của điểm lên mặt phẳng
Hình chiếu vuông góc của điểm lên mặt phẳng. Tìm toạ độ hình...
05 02.2016
Đối xứng của một điểm qua mặt phẳng
Đối xứng một điểm qua một mặt. Tìm toạ điểm đối xứng của một...
Thư viện trực tuyến
28 02.2016
Đề thi và đáp án tuyển sinh đại học, cao đẳng năm 2007
Đề thi và đáp án tuyển sinh đại học, cao đẳng năm 2007
28 02.2016
Đề thi và đáp án tuyển sinh đại học, cao đẳng năm 2006
Đề thi và đáp án tuyển sinh đại học, cao đẳng năm 2006
10 03.2016
Sách giáo khoa toán lớp 12
Sách giáo khoa môn toán lớp 12. Sách bài tập môn toán lớp...
09 03.2016
Sách giáo khoa toán lớp 11
Sách giáo khoa toán lớp 11. Sách bài tập toán lớp 11.
09 03.2016
Sách giáo khoa toán lớp 6
Sách giáo khoa toán lớp 6. Sách bài tập toán lớp 6.
