Phương Trình Schrödinger Cho Các Trạng Thái Tĩnh. Phương Trình ...

Theo truyền thuyết dân gian rất phổ biến trong giới vật lý, sự việc đã xảy ra như thế này: vào năm 1926, một nhà vật lý lý thuyết tên là đã phát biểu tại một hội thảo khoa học tại Đại học Zurich. Ông nói về những ý tưởng mới lạ lơ lửng trong không khí, rằng các vật thể trong mô hình thu nhỏ thường hoạt động giống như sóng hơn là các hạt. Sau đó, một giáo viên lớn tuổi yêu cầu sàn nhà và nói: “Schrödinger, bạn không thấy rằng tất cả những điều này là vô nghĩa sao? Hay tất cả chúng ta đều không biết rằng sóng - chúng là sóng, để được mô tả bằng các phương trình sóng? " Schrödinger coi đây là một sự than phiền cá nhân và bắt đầu phát triển một phương trình sóng để mô tả các hạt trong khuôn khổ cơ học lượng tử - và ông đã đối phó với nhiệm vụ này một cách xuất sắc.

Một lời giải thích cần được thực hiện ở đây. Trong thế giới hàng ngày của chúng ta, năng lượng được truyền theo hai cách: bởi vật chất khi nó di chuyển từ nơi này sang nơi khác (ví dụ, bởi một đầu máy chuyển động hoặc bởi gió) - các hạt tham gia vào quá trình truyền năng lượng này - hoặc bởi sóng (ví dụ, sóng vô tuyến, được truyền bằng máy phát mạnh và bị bắt bởi ăng-ten của ti vi). Có nghĩa là, trong môi trường vĩ mô nơi bạn và tôi đang sống, tất cả các hạt mang năng lượng được chia thành hai loại - vật chất (bao gồm các hạt vật chất) hoặc sóng. Trong trường hợp này, bất kỳ sóng nào được mô tả loại đặc biệt phương trình - phương trình sóng. Không có ngoại lệ, tất cả các sóng - sóng biển, sóng địa chấn của đá, sóng vô tuyến từ các thiên hà xa xôi - đều được mô tả bằng cùng một loại phương trình sóng. Sự giải thích này là cần thiết để rõ ràng rằng nếu chúng ta muốn biểu diễn các hiện tượng của thế giới hạ nguyên tử dưới dạng sóng phân bố xác suất (xem Cơ học lượng tử), thì các sóng này cũng phải được mô tả bằng phương trình sóng tương ứng.

Schrödinger đã áp dụng phương trình vi phân cổ điển của hàm sóng vào khái niệm sóng xác suất và thu được phương trình nổi tiếng mang tên ông. Cũng giống như phương trình thông thường của hàm sóng mô tả sự lan truyền, ví dụ, gợn sóng trên bề mặt nước, phương trình Schrödinger mô tả sự lan truyền của một làn sóng xác suất tìm thấy một hạt trong điểm đặt khoảng trống. Các đỉnh của sóng này (các điểm có xác suất cực đại) cho thấy hạt có nhiều khả năng ở trong không gian nhất. Mặc dù phương trình Schrödinger đề cập đến vùng toán học cao hơn, điều quan trọng đối với việc hiểu vật lý hiện đại đến nỗi tôi sẽ trình bày nó ở đây - ở dạng đơn giản nhất của nó (cái gọi là "phương trình Schrödinger đứng yên một chiều"). Trên hàm sóng phân phối xác suất, được biểu thị bằng chữ cái Hy Lạp ("psi"), là giải pháp cho điều sau phương trình vi phân(không sao cả nếu bạn không hiểu nó; điều chính là hãy tin rằng phương trình này chỉ ra rằng xác suất hoạt động giống như một làn sóng):

đâu là khoảng cách, là hằng số Planck, và, lần lượt là khối lượng, tổng năng lượng và thế năng của hạt.

Bức tranh về các sự kiện lượng tử mà phương trình Schrödinger cung cấp cho chúng ta là các electron và các hạt cơ bản khác hoạt động giống như sóng trên bề mặt đại dương. Theo thời gian, đỉnh của sóng (tương ứng với nơi có nhiều khả năng có electron nhất) dịch chuyển trong không gian theo phương trình mô tả sóng này. Đó là, cái mà chúng ta truyền thống coi là một hạt trong thế giới lượng tử hoạt động giống như một làn sóng.

Khi Schrödinger lần đầu tiên công bố kết quả của mình, một cơn bão bùng nổ trong thế giới vật lý lý thuyết trong một tách trà. Thực tế là cùng lúc đó, một tác phẩm của người cùng thời với Schrödinger, Werner Heisenberg, đã xuất hiện (xem Nguyên lý bất định Heisenberg), trong đó tác giả đưa ra khái niệm "cơ học ma trận", nơi các vấn đề tương tự của cơ học lượng tử. đã được giải theo một cách khác, phức tạp hơn từ quan điểm toán học ở dạng ma trận. Sự náo động được gây ra bởi thực tế là các nhà khoa học chỉ đơn giản là sợ rằng hai cách tiếp cận thuyết phục như nhau để mô tả về microworld mâu thuẫn với nhau. Sự phấn khích đã vô ích. Bản thân Schrödinger trong cùng năm đó đã chứng minh sự tương đương hoàn toàn của hai lý thuyết - nghĩa là, phương trình ma trận đi sau từ phương trình sóng, và ngược lại; kết quả là giống hệt nhau. Ngày nay, hầu hết các phiên bản của Schrödinger được sử dụng (đôi khi lý thuyết của ông được gọi là "cơ học sóng"), vì phương trình của ông ít rườm rà và dễ dạy hơn.

Tuy nhiên, không dễ dàng như vậy để hình dung và chấp nhận rằng một thứ giống như một electron hoạt động giống như một làn sóng. V Cuộc sống hàng ngày chúng ta đang đối mặt với hạt hoặc sóng. Quả bóng là một hạt, âm thanh là sóng, và đó là nó. Trong thế giới của cơ học lượng tử, mọi thứ không đơn giản như vậy. Thực tế - và các thí nghiệm đã sớm cho thấy điều này - trong thế giới lượng tử, các thực thể khác với các đối tượng mà chúng ta quen thuộc và có các tính chất khác nhau. Ánh sáng, mà chúng ta thường coi là sóng, đôi khi hoạt động giống như một hạt (gọi là photon), và các hạt như electron và proton có thể hoạt động như sóng (xem Nguyên tắc bổ sung).

Vấn đề này thường được gọi là bản chất hạt kép hoặc sóng kép của các hạt lượng tử, và nó dường như vốn có đối với tất cả các đối tượng của thế giới hạ nguyên tử (xem định lý Bell). Chúng ta phải hiểu rằng trong mô hình thu nhỏ, những ý tưởng trực quan hàng ngày của chúng ta về những dạng vật chất có thể tồn tại và cách nó có thể hoạt động đơn giản là không thể áp dụng được. Việc chúng ta sử dụng phương trình sóng để mô tả chuyển động của thứ mà chúng ta từng nghĩ là các hạt là bằng chứng nổi bật về điều này. Như đã lưu ý trong phần Mở đầu, không có mâu thuẫn cụ thể nào trong việc này. Rốt cuộc, chúng ta không có lý do thuyết phục nào để tin rằng những gì chúng ta quan sát được trong mô hình vĩ mô nên được tái tạo chính xác ở cấp mô hình thu nhỏ. Tuy nhiên, bản chất kép của các hạt cơ bản vẫn là một trong những khía cạnh khó hiểu và đáng lo ngại nhất của cơ học lượng tử đối với nhiều người, và sẽ không ngoa khi nói rằng mọi rắc rối bắt đầu từ Erwin Schrödinger.

James Trefil's Encyclopedia Bản chất của Khoa học. 200 định luật của vũ trụ ”.

James Trefil là giáo sư vật lý tại Đại học George Mason (Mỹ), một trong những tác giả phương Tây nổi tiếng nhất về sách khoa học đại chúng.

Bình luận: 0

Max Planck - một trong những người sáng lập ra cơ học lượng tử - đã đưa ra ý tưởng lượng tử hóa năng lượng, cố gắng giải thích về mặt lý thuyết quá trình tương tác giữa các sóng điện từ và các nguyên tử, và do đó, để giải quyết vấn đề bức xạ vật đen. Ông nhận ra rằng để giải thích phổ phát xạ quan sát được của nguyên tử, người ta phải coi đó là điều hiển nhiên rằng nguyên tử phát ra và hấp thụ năng lượng theo từng phần (mà nhà khoa học gọi là lượng tử) và chỉ ở các tần số sóng riêng biệt.

Chắc chắn rồi thân đen, hấp thụ hoàn toàn bức xạ điện từ có tần số bất kỳ, khi bị đốt nóng sẽ phát ra năng lượng dưới dạng sóng phân bố đều trên toàn bộ phổ tần số.

Từ "quantum" bắt nguồn từ tiếng Latin quantum ("bao nhiêu, bao nhiêu") và lượng tử tiếng Anh ("số lượng, phần, lượng tử"). Từ lâu, người ta thường gọi khoa học về chuyển động của vật chất là "cơ học". Theo đó, thuật ngữ "cơ học lượng tử" có nghĩa là khoa học về chuyển động của vật chất theo từng phần (hay nói theo ngôn ngữ khoa học hiện đại là khoa học về chuyển động lượng tử hóa vật chất). Thuật ngữ "lượng tử" được đặt ra bởi nhà vật lý người Đức Max Planck để mô tả sự tương tác của ánh sáng với các nguyên tử.

Một trong những sự thật của thế giới hạ nguyên tử là các đối tượng của nó - chẳng hạn như electron hoặc photon - hoàn toàn không giống các đối tượng thông thường của macrocosm. Chúng hoạt động không giống như các hạt, và không giống như sóng, mà giống như những hình dạng hoàn toàn đặc biệt, thể hiện cả tính chất sóng và tiểu thể, tùy thuộc vào hoàn cảnh. Đó là một điều cần tuyên bố, và một điều khác là gắn kết các khía cạnh sóng và phân tử lại với nhau trong hành vi của các hạt lượng tử, mô tả chúng bằng một phương trình chính xác. Đây chính xác là những gì đã được thực hiện trong mối quan hệ de Broglie.

Trong cuộc sống hàng ngày, có hai cách để truyền năng lượng trong không gian - thông qua các hạt hoặc sóng. Trong cuộc sống hàng ngày, không có sự mâu thuẫn rõ ràng giữa hai cơ chế truyền năng lượng. Vì vậy, bóng rổ là một hạt, và âm thanh là sóng, và mọi thứ đều rõ ràng. Tuy nhiên, mọi thứ không đơn giản như vậy trong cơ học lượng tử. Ngay cả từ những thí nghiệm đơn giản nhất với các vật thể lượng tử, chúng ta sẽ sớm nhận ra rằng các nguyên tắc và định luật của mô hình vũ trụ vĩ mô quen thuộc với chúng ta không hoạt động trong mô hình vũ trụ vi mô. Ánh sáng, mà chúng ta thường nghĩ là sóng, đôi khi hoạt động như thể nó bao gồm một dòng hạt (photon), và các hạt cơ bản, chẳng hạn như electron hoặc thậm chí là một proton khối lượng lớn, thường thể hiện các đặc tính của sóng.

Trên hết, Einstein phản đối sự cần thiết phải mô tả các hiện tượng của microworld dưới dạng xác suất và hàm sóng, chứ không phải từ vị trí thông thường của tọa độ và vận tốc của các hạt. Đó là ý của anh ấy khi gọi "xúc xắc". Ông nhận ra rằng việc mô tả chuyển động của các electron theo vận tốc và tọa độ của chúng mâu thuẫn với nguyên lý bất định. Tuy nhiên, Einstein lập luận, phải có một số biến số hoặc tham số khác, có tính đến việc bức tranh cơ học lượng tử của microworld sẽ trở lại con đường toàn vẹn và thuyết xác định. Đó là, ông nhấn mạnh, đối với chúng ta dường như chỉ có Chúa đang chơi trò xúc xắc với chúng ta, bởi vì chúng ta không hiểu mọi thứ. Do đó, ông là người đầu tiên đưa ra giả thuyết về một biến ẩn trong các phương trình của cơ học lượng tử. Nó bao gồm thực tế là trên thực tế, các electron có tọa độ và vận tốc cố định, giống như quả bóng bi-a Newton, và nguyên lý bất định và cách tiếp cận xác suất để xác định chúng trong khuôn khổ cơ học lượng tử là kết quả của sự không hoàn thiện của chính lý thuyết, đó là tại sao nó không cho phép họ xác định nhất định.

Yulia Zotova

Bạn sẽ học: Những công nghệ nào được gọi là lượng tử và tại sao. Ưu điểm của công nghệ lượng tử so với công nghệ cổ điển là gì. Điều mà một máy tính lượng tử có thể và không thể. Cách các nhà vật lý tạo ra một máy tính lượng tử. Khi nào nó sẽ được tạo ra.

Nhà vật lý người Pháp Pierre Simon Laplace đã đặt ra một câu hỏi quan trọng, liệu mọi thứ trên thế giới có được xác định trước bởi trạng thái trước đó của thế giới hay không, hay liệu nguyên nhân có thể gây ra một số hậu quả. Như được truyền thống triết học cho rằng, bản thân Laplace trong cuốn sách "Trình bày hệ thống của thế giới" đã không đặt bất kỳ câu hỏi nào, mà nói một câu trả lời có sẵn rằng có, tuy nhiên, mọi thứ trên thế giới đều được định trước. xảy ra trong triết học, bức tranh về thế giới do Laplace đề xuất đã không thuyết phục được tất cả mọi người và do đó câu trả lời của ông đã làm nảy sinh một cuộc thảo luận xung quanh vấn đề vẫn tiếp tục cho đến ngày nay. Mặc dù ý kiến ​​của một số nhà triết học rằng cơ học lượng tử đã giải quyết vấn đề này theo hướng tiếp cận xác suất, tuy nhiên, lý thuyết về sự xác định trước hoàn toàn của Laplace, hay còn được gọi là lý thuyết về thuyết xác định của Laplace, vẫn đang được thảo luận ngày nay.

Gordey Lesovik

Cách đây một thời gian, một nhóm đồng tác giả và tôi đã bắt đầu tìm ra định luật thứ hai của nhiệt động lực học từ quan điểm của cơ học lượng tử. Ví dụ, trong một công thức của ông, nói rằng entropi của một hệ kín không giảm, thường tăng, và đôi khi không đổi nếu hệ bị cô lập về mặt năng lượng. Sử dụng các kết quả nổi tiếng của lý thuyết thông tin lượng tử, chúng tôi đã suy ra một số điều kiện mà theo đó tuyên bố này là đúng. Người ta bất ngờ phát hiện ra rằng những điều kiện này không trùng với điều kiện về sự cô lập năng lượng của các hệ thống.

Giáo sư vật lý Jim Al-Khalili khám phá điều chính xác nhất và một trong những điều khó hiểu nhất lý thuyết khoa học- vật lý lượng tử. Vào đầu thế kỷ 20, các nhà khoa học đã thâm nhập vào tầng sâu tiềm ẩn của vật chất, vào hạ nguyên tử khu nhà thế giới xung quanh ta. Họ phát hiện ra những hiện tượng khác với bất cứ thứ gì họ từng thấy trước đây. Một thế giới mà mọi thứ có thể ở nhiều nơi cùng một lúc, nơi mà thực tế chỉ thực sự tồn tại khi chúng ta quan sát nó. Albert Einstein chỉ chống lại ý kiến ​​cho rằng bản chất của tự nhiên là dựa trên cơ hội. Vật lý lượng tử ngụ ý rằng các hạt hạ nguyên tử có thể tương tác tốc độ nhanh hơnánh sáng, và điều này mâu thuẫn với thuyết tương đối của ông.

№1 Phương trình Schrödinger đứng yên có dạng. Phương trình này được viết cho….

Trong trường hợp tổng quát, phương trình Schrödinger đứng yên có dạng

, thế năng của vi hạt ở đâu. Đối với trường hợp một chiều. Ngoài ra, một hạt không thể được định vị bên trong hộp tiềm năng và bên ngoài hộp, bởi vì tường của nó cao vô tận. Do đó, phương trình Schrödinger này được viết cho một hạt trong hộp một chiều có thành cao vô hạn.

Dao động điều hòa tuyến tính

ü Các hạt trong hộp thế một chiều có thành cao vô hạn

Các hạt trong một hộp tiềm năng ba chiều với các bức tường cao vô tận

Một electron trong nguyên tử hydro

Thiết lập sự tương ứng giữa các bài toán cơ lượng tử và phương trình Schrödinger cho chúng.

Hình thức chung phương trình tĩnh Schrödinger là:

Thế năng của một hạt

Toán tử Laplace. Đối với trường hợp đồng thời

Biểu thức của thế năng của một vật dao động điều hòa, tức là một hạt thực hiện chuyển động một chiều dưới tác dụng của lực tựa đàn hồi, có dạng U =.

Giá trị thế năng của êlectron trong hộp thế có thành cao vô hạn là U = 0. Một êlectron trong nguyên tử hiđrô có thế năng Đối với nguyên tử hiđrô là Z = 1.

Do đó, đối với một electron trong hộp thế một chiều, ur-e của Schrödinger có dạng:

Với sự trợ giúp của hàm sóng, một nghiệm cho phương trình Schrödinger, có thể xác định được….

Tùy chọn trả lời: (Vui lòng nhập ít nhất hai tùy chọn trả lời)

Giá trị trung bình của các đại lượng vật lý đặc trưng cho một hạt

Xác suất để một hạt ở trong một vùng không gian cụ thể

Quỹ đạo hạt

Vị trí hạt

Đại lượng có ý nghĩa là mật độ xác suất (xác suất trên một đơn vị thể tích), nghĩa là nó xác định xác suất của hạt ở vị trí tương ứng trong không gian. Khi đó, xác suất W để phát hiện ra hạt trong một vùng không gian nhất định là

Phương trình Schrödinger (các tình huống cụ thể)

Số 1 Các chức năng riêng của một electron trong hộp thế một chiều có thành cao vô hạn có dạng đâu là chiều rộng của cái hộp, một số lượng tử có ý nghĩa là một con số mức năng lượng... Nếu số nút của hàm trên đoạn và, thì bằng ...

Số lượng nút, tức là số điểm mà tại đó hàm sóng trên một đoạn biến mất liên quan đến số mức năng lượng theo quan hệ. sau đó , và theo điều kiện tỷ lệ này bằng 1,5. Giải phương trình kết quả cho, chúng ta thu được

Phản ứng hạt nhân.

№1 V phản ứng hạt nhân chữ cái biểu thị một hạt ...

Từ các định luật bảo toàn số khối và số điện tích, ta thấy rằng điện tích hạt bằng không, và số khối bằng 1. Do đó, chữ cái biểu thị một nơtron.

ü Nơtron

Hạt dương Tử

Điện tử

Đồ thị theo thang đo nửa chu kỳ biểu thị sự phụ thuộc của sự thay đổi số lượng hạt nhân đồng vị phóng xạ vào thời gian. phân rã phóng xạ bằng ... (làm tròn câu trả lời thành các số nguyên)

Số hạt nhân phóng xạ thay đổi theo thời gian theo quy luật - số hạt nhân ban đầu, - hằng số phân rã phóng xạ.

ln .Kể từ đây, =0,07

Định luật bảo toàn trong phản ứng hạt nhân.

Phản ứng không thể xảy ra do vi phạm định luật bảo toàn ...

Trong tất cả các tương tác cơ bản, các định luật bảo toàn được thực hiện: năng lượng, động lượng, mômen động lượng (spin) và mọi điện tích (điện, baryonic và lepton). Các định luật bảo toàn này không chỉ hạn chế hậu quả của các tương tác khác nhau, mà còn xác định tất cả các khả năng của những hệ quả này. Để chọn câu trả lời đúng, cần kiểm tra định luật bảo toàn nào bị cấm và định luật nào cho phép phản ứng chuyển hóa lẫn nhau của các hạt cơ bản đã cho. Theo định luật bảo toàn điện tích lepton trong một hệ thống kín đối với bất kỳ quá trình nào, sự khác biệt giữa số lepton và antilepton được bảo toàn. Chúng tôi đã đồng ý tính cho lepton:. điện tích lepton và đối với antilepton:. phí lepton. Đối với tất cả các hạt cơ bản khác, điện tích lepton được coi là bằng không. Phản ứng không thể tiến hành do vi phạm định luật bảo toàn điện tích lepton, vì

ü Phí Lepton

Phí Baryon

Mômen động lượng quay

Sạc điện

Phản ứng không thể xảy ra do vi phạm định luật bảo toàn ...

Trong tất cả các tương tác cơ bản, các định luật bảo toàn được đáp ứng: năng lượng, động lượng, mômen động lượng (spin) và mọi điện tích (điện Q, baryonic B và lepton L.) Các định luật bảo toàn này không chỉ hạn chế hậu quả của các tương tác khác nhau mà còn xác định tất cả khả năng xảy ra những hậu quả này. Theo định luật bảo toàn điện tích baryon B, đối với tất cả các quá trình liên quan đến baryon và kháng thể, tổng điện tích baryon được bảo toàn. Baryon (nucleon n, p và hyperon) được gán điện tích baryon

B = -1, và tất cả các hạt khác có điện tích baryon-B = 0. Phản ứng không thể tiến hành do vi phạm định luật điện tích baryon B, vì (+1) + (+ 1)

Các phương án trả lời:, điện tích lepton, mômen động lượng quay, điện tích. Q = 0, phản proton (

Phương trình Schrödinger tổng quát. Phương trình Schrödinger cho các trạng thái tĩnh

Sự giải thích thống kê của sóng de Broglie (xem § 216) và quan hệ độ không đảm bảo đo Heisenberg (xem 5 215) dẫn đến kết luận rằng phương trình chuyển động trong cơ học lượng tử, mô tả chuyển động của các vi hạt theo nhiều cách khác nhau. trường lực, phải có một phương trình mà từ đó thực nghiệm quan sát được tính chất sóng vật rất nhỏ. Phương trình chính phải là phương trình cho hàm sóng Ψ (x, y, z, t), vì nó là she, hay chính xác hơn là đại lượng | Ψ | 2, xác định xác suất của một hạt ở tại thời điểm t trong thể tích dV, tức là, trong vùng có tọa độ x và x + dx, y và y + dy, z và z + dz. Vì phương trình cần tìm phải tính đến tính chất sóng của các hạt nên nó phải là phương trình sóng, tương tự như phương trình mô tả sóng điện từ.

Phương trình cơ bản của cơ học lượng tử không tương quan được xây dựng vào năm 1926 bởi E. Schrödinger. Phương trình Schrödinger, giống như tất cả các phương trình vật lý cơ bản (ví dụ, phương trình Newton trong cơ học cổ điển và phương trình Maxwell cho trường điện từ) không được suy luận, nhưng được mặc định. Tính đúng đắn của phương trình này được xác nhận bởi sự phù hợp với kinh nghiệm của các kết quả thu được với sự trợ giúp của nó, do đó, nó mang lại cho nó đặc tính của một quy luật tự nhiên. Phương trình Schrödinger có dạng

trong đó h = h / (2π), m là khối lượng của hạt, ∆ là toán tử Laplace ( ),

i - đơn vị ảo, U (x, y, z, t) - thế năng của một hạt trong trường lực mà nó chuyển động, Ψ (x, y, z, t ) - hàm sóng mong muốn của hạt.

Phương trình (217.1) có giá trị đối với bất kỳ hạt nào (với spin bằng 0; xem § 225) chuyển động với tốc độ nhỏ (so với tốc độ ánh sáng), tức là với tốc độ υ