Phuơng Trình Tiếp Tuyến Của đường Tròn

PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN

A. Lý thuyết

 I. Tiếp tuyến tại một điểm \[{{M}_{0}}\left( {{x}_{0}},\text{ }{{y}_{0}} \right)\] thuộc đường tròn.

Ta dùng công thức tách đôi tọa độ.

- Nếu phương trình đường tròn là:

\[{{x}^{2}}~+\text{ }{{y}^{2}}-~2ax~-~2by\text{ }+\text{ }c\text{ }=\text{ }0\] thì phương trình tiếp tuyến là:  \[x{{x}_{0}}~+\text{ }y{{y}_{0}}-~a\left( x\text{ }+\text{ }{{x}_{0}} \right)~-~b\left( y\text{ }+\text{ }{{y}_{0}} \right)\text{ }+\text{ }c\text{ }=\text{ }0\]

- Nếu phương trình đường tròn là:

\[{{\left( x~-~a \right)}^{2}}~+\text{ }{{\left( y~-~b \right)}^{2}}~=\text{ }{{R}^{2}}\]  thì phương trình tiếp tuyến là:

\[\left( x~-~a \right)\left( {{x}_{0}}-~a \right)\text{ }+\text{ }\left( y~-~b \right)\left( {{y}_{0}}-~b \right)\text{ }=\text{ }{{R}^{2~}}\] (h.73)

 II. Tiếp tuyến vẽ từ một điểm \[I\left( {{x}_{0}},\text{ }{{y}_{0}} \right)~\] cho trước ở ngoài đường tròn.

Viết phương trình của đường   qua \[I\left( {{x}_{0}},\text{ }{{y}_{0}} \right)\]:

\[y~-~{{y}_{0}}~=\text{ }m\left( x~-~{{x}_{0}} \right)~\Leftrightarrow mx~-~y~-~m{{x}_{0}}~+\text{ }{{y}_{0}}~=\text{ }0~\text{ }~~~~~\] (1)

Cho khoảng cách từ tâm I của đường tròn (C) tới  bằng R, ta tính được m; thay m vào (1) ta được phương trình tiếp tuyến.

* Ghi chú: Ta luôn luôn tìm được hai đường tiếp tuyến. (h. 74)

III. Tiếp tuyến  song song với một phương cho sẵn có hệ số góc k.

Phương trình của  có dạng:

\[y\text{ }=\text{ }kx\text{ }+\text{ }m\] (m chưa biết)  \[~\Leftrightarrow ~kx~-~y\text{ }+\text{ }m\text{ }=\text{ }0\]

Cho khoảng cách từ tâm I đến (D) bằng R, ta tìm được m.

* Ghi chú: Ta luôn luôn tìm được hai đường tiếp tuyến (h.75)

B. Bài tập vận dụng

Câu 1: Cho đường tròn $\left( C \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2x-4y=0$ a) Tìm tâm và bán kính của $\left( C \right)$ b) Viết pt tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại điểm $A\left( 1;1 \right)$ c) Viết pt tiếp tuyến của $\left( C \right)$ đi qua điểm $B\left( 4;7 \right)$ d) Viết pt tiếp tuyến của  $\left( C \right)$ biết tiếp tuyến  song song với đường thẳng $3x+4y+1=0$ e) Viết pt tiếp tuyến của $\left( C \right)$ biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng $2x+y-3=0$

Giải:

a) $\left( C \right)$ có tâm $I\left( -1;2 \right);$ bán kính $R=\sqrt{5}$

b) Gọi $\Delta $ là tiếp tuyến cần tìm

$\Delta $ đi qua $A\left( 1;1 \right)$ và nhận $\overrightarrow{IA}=\left( 2;-1 \right)$ làm vtpt

Phương trình của $\Delta $ là: $2\left( x-1 \right)-1\left( y-1 \right)=0\Leftrightarrow 2x-y-1=0$

c) + Gọi $\Delta $ là phương trình tiếp tuyến của đường tròn với vtpt $\vec{n}=\left( a;b \right)$

Phương trình $\Delta :\quad a\left( x-4 \right)+b\left( y-7 \right)=0\quad \left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}\ne 0 \right)$

$\Leftrightarrow ax+by-4a-7b=0$

+ $\left( C \right)$ tiếp xúc với  tức là:

+ Chọn $b=1\Rightarrow \left( * \right)$ trở thành: 

+ Với \[a=-\frac{1}{2}\], pttt phải tìm là: $x-2y+10=0$

    Với $a=-2$, pttt phải tìm là: $2x-y-1=0$

d) $\Delta //d:3x+4y+1=0\Rightarrow $phương trình $\Delta $ có dạng: $3x+4y+c=0$

$\Delta $ tiếp xúc với 

Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm là: ${{\Delta }_{1}}:3x+4y+5\sqrt{5}-5=0;{{\Delta }_{2}}:3x+4y-5\sqrt{5}-5=0$

e) $\Delta \bot d:2x+y-3=0\Rightarrow $ phương trình $\Delta $ có dạng: $x-2y+c=0$

$\Delta $ tiếp xúc với 

Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm là: ${{\Delta }_{1}}:x-2y+10=0;{{\Delta }_{2}}:x-2y=0$

Câu 2: Cho đường tròn $\left( C \right):{{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}=20$. Lập phương trình tiếp tuyến của đường tròn $\left( C \right)$ có hệ số góc bằng 2 .

Giải:

+ Đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $I\left( 2;1 \right);bk\text{ }R=2\sqrt{5}$

+ Gọi $\Delta $ là tiếp tuyến của đường tròn

+ Đường thẳng $\Delta $ có hệ số góc bằng 2 nên pt $\Delta $ có dạng: $y=2x+m\Leftrightarrow 2x-y+m=0$

+ Đường thẳng $\Delta $ là tiếp tuyến của đường tròn 

Vậy có 2 tiếp tuyến cần tìm là: ${{\Delta }_{1}}:2x-y+7=0;{{\Delta }_{2}}:2x-y-13=0$

Câu 3: Cho đường tròn $\left( C \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}=10$. Lập pt tiếp tuyến của đường tròn $\left( C \right)$ biết tiếp tuyến tạo với $d:2x+y-4=0$ một góc bằng ${{45}^{0}}$

Giải:

+ Giả sử tiếp tuyến $\Delta $ có phương trình: \[ax+by+c=0\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}\ne 0 \right)\] (1)

$\Delta $ là tiếp tuyến của 

+ $\Delta$ tạo với $d$ một góc ${{45}^{0}}$

Với $c=14b$ thay vào (1) ta được: $-3bx+by+14b=0\Leftrightarrow -3x+y+14=0$

Với $c=-6b$ thay vào (1) ta được: $-3bx+by-6b=0\Leftrightarrow 3x-y+6=0$

+ Với $a=\frac{b}{3}$, giải tương tự

C. Bài tập rèn luyện

Câu 1: Trong các pt sau, pt nào là pt đường tròn, chỉ rõ tâm và bán kính:

a) ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x-4y-4=0$

b) ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-4x+6y+12=0$

c) $-{{x}^{2}}-{{y}^{2}}-2x-y-1=0$

d) $2{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x-2y-2=0$

e) ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x-2y-2=0$

Câu 2: Lập phương trình đường tròn trong các trường hợp sau:

a) Tâm $I\left( 1;-3 \right);$ bán kính $R=1$

b) Đi qua điểm $A\left( 3;4 \right)$ và tâm là gốc tọa độ

c) Đường kính $AB$ với $A\left( 1;1 \right)$ và $B\left( 3;5 \right)$

d) Đi qua điểm $A\left( 3;1 \right);B\left( 5;5 \right)$ và tâm I nằm trên trục tung.

e) Đi qua ba điểm $A\left( 7;1 \right);B\left( -3;-1 \right);C\left( 3;5 \right)$

f) Tâm $I\left( 5;6 \right)$ và tiếp xúc với đường thẳng $d:3x-4y-6=0$

g) Tâm $I\left( 1;3 \right)$ và đi qua điểm $A\left( 3;1 \right)$

h) Tâm $I\left( -2;0 \right)$ và tiếp xúc với đường thẳng $d:2x+y-1=0$

i) Đi qua điểm $M\left( 2;1 \right)$ và tiếp xúc với hai trục tọa độ

j) Đi qua hai điểm $M\left( 1;1 \right);N\left( 1;4 \right)$ và tiếp xúc với trục Ox

k) Đi qua điểm $A\left( 3;1 \right);B\left( 5;5 \right)$ và tâm I nằm trên trục hoành Ox

l) Đi qua điểm $A\left( 0;1 \right);B\left( 1;0 \right)$ và tâm I nằm trên $d:x+y+2=0$

m) Đi qua 3 điểm $A\left( 1;1 \right);B\left( 3;-2 \right);C\left( 4;3 \right)$ (gợi ý: tam giác ABC vuông tại A)

n) Đi qua 3 điểm $A\left( 1;\frac{\sqrt{3}}{3} \right);B\left( 1;-\frac{\sqrt{3}}{3} \right);C\left( 0;0 \right)$ (gợi ý tam giác ABC đều)

o) $\left( C \right)$ đi qua điểm $M\left( 4;2 \right)$ và tiếp xúc với các trục tọa độ.

Câu 3: Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}=4$ trong mỗi trường hợp sau:

a) Tiếp tuyến song song với $d:3x-y+17=0$

b) Tiếp tuyến vuông góc với $d:x+2y-5=0$

c) Tiếp tuyến đi qua điểm $A\left( 2;-2 \right)$

Câu 4:Cho điểm $M\left( 2;3 \right)$. Lập pt tiếp tuyến của đường tròn $\left( C \right)$ đi qua điểm M

a) $\left( C \right):{{\left( x-3 \right)}^{2}}+\left( y-1 \right)=5$

b) $\left( C \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-4x+2y-11=0$

Câu 5:  Kiểm lại rằng điểm \[{{M}_{0}}\left( 1;-2 \right)\]ở trên đường (C) có phương trình:

\[{{x}^{2}}~+\text{ }{{y}^{2}}-~10x\text{ }+\text{ }4y\text{ }+\text{ }13\text{ }=\text{ }0\] . Tìm phương trình tiếp tuyến với (C) tại M0.

Câu 6: Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn (C): \[{{x}^{2}}~+\text{ }{{y}^{2}}-~4x~-~3y\text{ }=\text{ }0\] phát xuất từ \[A\left( -3;-1 \right).\]

Câu 7: Cho đường tròn (C) có phương trình: \[{{x}^{2}}~+\text{ }{{y}^{2}}-~6x\text{ }+\text{ }2y\text{ }+\text{ }5\text{ }=\text{ }0\] . Tìm phương trình tiếp tuyến với (C) có hệ số góc là -2; định rõ tọa độ các tiếp điểm.

Câu 8: Cho đường tròn (C), điểm A và đường thẳng d.

\[\left( C \right):\text{ }{{x}^{2}}~+\text{ }{{y}^{2}}~+\text{ }4x\text{ }\text{ }8y\text{ }+\text{ }10\text{ }=\text{ }0,~\text{ }A\left( 2;\text{ }2 \right),~~~\text{ }d:\text{ }x\text{ }+\text{ }2y\text{ }\text{ }6\text{ }=\text{ }0\]

a. Chứng tỏ điểm A ở ngoài (C).

b. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) kẻ từ A.

c. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với d.

d. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) song song với d.

Đáp số gợi ý

Câu 2:

a. ${{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+3 \right)}^{2}}=1$

b. ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}=25$

c. ${{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}=5$

d. ${{x}^{2}}+{{\left( y-5 \right)}^{2}}=25$

e. ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-4x-22=0$

f. ${{\left( x-5 \right)}^{2}}+{{\left( y-6 \right)}^{2}}=9$

g. ${{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}=8$

h. ${{\left( x+2 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}=5$

i. ${{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}=\frac{25}{4};{{\left( x-5 \right)}^{2}}+{{\left( y-5 \right)}^{2}}=25$

j. ${{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y-\frac{5}{2} \right)}^{2}}=\frac{25}{4};{{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y-\frac{5}{2} \right)}^{2}}=\frac{25}{4}$

k.${{\left( x-10 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}=50$

l. ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2x+2y-3=0$

m.${{\left( x-\frac{7}{2} \right)}^{2}}+{{\left( y-\frac{1}{2} \right)}^{2}}=\frac{13}{2}$

n.${{\left( x-\frac{2}{3} \right)}^{2}}+{{y}^{2}}=\frac{4}{9}$

o.${{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}=4;{{\left( x-10 \right)}^{2}}+{{\left( y-10 \right)}^{2}}=100$

Câu 3:

a) $3x-y+2\sqrt{10}=0;3x-y-2\sqrt{10}=0$

b) $2x-y+2\sqrt{5}=0;2x-y-2\sqrt{5}=0$

c) $y+2=0;x-2=0$

Câu 4:

a) $x-2y+8=0$;                                            b) $y-3=0$

 

 

Bài viết gợi ý:

1. Các tập hợp số

2. Phương trình elip

3. hệ thức lượng trong tam giác

4. Hypebol

5. Elip

6. Vị trí tương đối của đường thẳng với đường tròn

7. Phương trình đường tròn