Phương Trình Tiếp Tuyến Của Elip

Phương trình tiếp tuyến của elip $\frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1$ tại điểm $({{x}_{0}};{{y}_{0}})$ là $\frac{{{x}_{0}}x}{{{a}^{2}}}+\frac{{{y}_{0}}y}{{{b}^{2}}}=1.$ Chứng minh. Phương trình tiếp tuyến của elip tại điểm $({{x}_{0}};{{y}_{0}})$ là $y={y}'({{x}_{0}})(x-{{x}_{0}})+{{y}_{0}}.$

Từ $\frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1.$ Đạo hàm hai vế theo biến $x$ ta được $\frac{2x}{{{a}^{2}}}+\frac{2y.{y}'}{{{b}^{2}}}=0\Leftrightarrow {y}'=-\frac{{{b}^{2}}x}{{{a}^{2}}y}\Rightarrow {y}'({{x}_{0}})=-\frac{{{b}^{2}}{{x}_{0}}}{{{a}^{2}}{{y}_{0}}}.$

Vậy phương trình tiếp tuyến là

$y=-\frac{{{b}^{2}}{{x}_{0}}}{{{a}^{2}}{{y}_{0}}}(x-{{x}_{0}})+{{y}_{0}}\Leftrightarrow {{a}^{2}}y_{0}^{2}+{{b}^{2}}x_{0}^{2}-{{b}^{2}}x{{x}_{0}}={{a}^{2}}y{{y}_{0}}\Leftrightarrow \frac{x{{x}_{0}}}{{{a}^{2}}}+\frac{y{{y}_{0}}}{{{b}^{2}}}=\frac{x_{0}^{2}}{{{a}^{2}}}+\frac{y_{0}^{2}}{{{b}^{2}}}\Leftrightarrow \frac{x{{x}_{0}}}{{{a}^{2}}}+\frac{y{{y}_{0}}}{{{b}^{2}}}=1.$

Tóm lại phương trình tiếp tuyến cần tìm là $\frac{x{{x}_{0}}}{{{a}^{2}}}+\frac{y{{y}_{0}}}{{{b}^{2}}}=1.$ Ta có điều phải chứng minh.

Bài tập áp dụng: Cho elip $(E):\frac{{{x}^{2}}}{16}+\frac{{{y}^{2}}}{9}=1.$ Xét điểm $M$ trên tia $Ox,$ điểm $N$ trên tia $Oy$ sao cho đường thẳng $MN$ tiếp xúc với elip $(E).$ Đoạn thẳng $MN$ có độ dài ngắn nhất bằng A. $6.$ B. $7.$ C. $8.$ D. $9.$

 

Bài viết gợi ý:

1. Sai số. Số gần đúng

2. Chuyên đề: Áp dụng mệnh đề vào suy luận toán học

3. Chuyên đề: Mệnh đề và mệnh đề chứa biến

4. Phương trình tương đương và phương trình hệ quả

5. Phương trình và hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn

6. Phương trình quy về phương trình bậc nhất, phương trình bậc hai

7. Hệ trục tọa độ