Quan Hệ Giữa đường Vuông Góc Và đường Xiên, đường Xiên Và Hình ...

Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, đường xiên và hình chiếu

I/ Kiến thức cần nhớ

1. Khái niệm về đường vuông góc, đường xiên và hình chiếu của đường xiên

+ Đoạn AH gọi là đoạn vuông góc hay đường vuông góc kẻ từ điểm A đến đường thẳng d;

Điểm H gọi là chân đường vuông góc hay hình chiếu của điểm A trên đường thẳng d.

+ Đoạn AB gọi là đường xiên kẻ từ điểm A đến đường thẳng d

+ Đoạn HB gọi là hình chiếu của đường xiên AB lên đường thẳng d.

2. Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên

Định lý 1: Trong các đường xiên và đường vuông góc kẻ từ một điểm ở ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó, đường vuông góc là đường ngắn nhất.

Ví dụ:

\(AH \bot a\,\, \Rightarrow AH < AB.\)

3. Quan hệ giữa các đường xiên và hình chiếu của chúng

Định lý 2: Trong hai đường xiên kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó;

a) Đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn

Ví dụ: \(AH \bot a,\,\,HD > HC\,\, \Rightarrow AD > AC.\)

b) Đường xiên nào lớn hơn thì có hình chiếu lớn hơn

Ví dụ: \(AH \bot a,\,\,AD > AC\,\, \Rightarrow HD > HC.\)

c) Nếu hai đường xiên bằng nhau thì hai hình chiếu bằng nhau và ngược lại nếu hai hình chiếu bằng nhau thì hai đường xiên bằng nhau.

Ví dụ: \(AB = AC \Leftrightarrow HB = HC.\)

II/ Bài tập vận dụng

1. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Cho đường thẳng d và điểm A không thuộc d. Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai?

(A) Có duy nhất một đường vuông góc kẻ từ điểm A đến đường thẳng d

(B) Có duy nhất một đường kẻ xiên kẻ từ điểm A đến đường thẳng d.

(C) Có vô số đường vuông góc kẻ từ điểm A đến đường thẳng d.

(D) Có vô số đường kẻ xiên kẻ từ điểm A đến đường thẳng d.

Hãy vẽ hình minh họa cho các khẳng định đúng.

Hướng dẫn:

+ Ta biết rằng có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm cho trước, vuông góc vói một đường thẳng cho trước và có vô số đường thẳng đi qua một điểm cho trước cắt một đường cho trước.

Bởi vậy, có duy nhất một đường vuông góc kẻ từ điểm A đến đường thẳng d và có vô số đường xiên kẻ từ điểm A đến đường thẳng d.

Vậy:

A. Đúng                  B. Sai                     C. Sai                   D. Đúng

+ Vẽ hình minh họa:

Trong hình trên, AH là đường vuông góc (duy nhất) và AB, AC, AD, AE, AG là những đường xiên kẻ từ A đến d (có thể kẻ được vô số đường xiên như thế).

Câu 2: Qua điểm A không thuộc đường thẳng d, kẻ đường vuông góc AH  và các đường xiên AB, AC đến đường thẳng d (H, B, C đều thuộc d). Biết rằng HB < HC. Hãy chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

(A) AB > AC               (B) AB = AC

(C) AB > AC               (D) AH > AB

Hướng dẫn:

Theo định lí so sánh giữa hình chiếu và đường xiên ta có:

HB < HC \( \Rightarrow \) AB < AC.

Chọn (C).

Câu 3: Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng, B nằm giữa A và C. Trên đường thẳng vuông góc với AC tại B ta lấy điểm H. Khi đó:

(A) AH < BH               (B) AH < AB

(C) AH > BH               (D) AH = BH

Hướng dẫn:

Vì BH là đường vuông góc và AH là đường xiên nên AH > BH.

Chọn  (C).

Câu 4: Trong tam giác ABC có chiều cao AH. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

(A) Nếu BH < HC thì AB < AC

(B) Nếu AB < AC thì BH < HC

(C) Nếu BH = HB thì AB = AC

(D) Cả A, B, C đều đúng.

Hướng dẫn:

Trong tam giác ABC có AH là đường vuông góc và BH; CH là hai hình chiếu.

Khi đó:

+ Nếu BH < HC thì AB < AC

+ Nếu AB < AC thì BH < HC

+ Nếu BH = HB thì AB = AC

Nên cả A, B, C đều đúng.

Chọn (D).

Câu 5: Cho hình vẽ sau:

Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau:

(A) MA > MH               (B) HB < HC

(C) MA = MB               (D) MC < MA

Hướng dẫn:

Chọn (D).

2. Bài tập tự luận

Bài 1: Cho tam giác ABC cân tại A có AB = AC = 10cm, BC = 12cm. Vẽ cung tròn tâm A có bán kính 9cm. Cung đó có cắt đường thẳng BC hay không có cắt cạnh BC hay không? Vì sao?

Lời giải chi tiết:

Do 9cm > 8cm nên cung tròn tâm A bán kính 9cm cắt đường thẳng BC.

Gọi D là giao điểm của cung đó với đường thẳng BC (giả sử D và C nằm cùng phía vói H trên đường thẳng BC).

Đường xiên AD nhỏ hơn đường xiên AC nên hình chiếu HD nhỏ hơn hình chiếu HC. Do đó D nằm giữa H và c. Vậy cung tròn tâm A nói trên cắt cạnh BC.

Bài 2: Cho tam giác ABC, điểm D nằm giữa A và C (BD không vuông góc với AC). Gọi E và F là chân các đường vuông góc kẻ từ A và C đến đường thẳng BD. So sánh AC với tổng AE + CF.

Lời giải chi tiết:

Trong tam giác ADE ta có \(\angle AED = {90^0}\) nên AE < AD            (1)

Trong tam giác CFD ta có \(\angle CFD = {90^0}\) nên  CF  < CD         (2)

Cộng từng vế (1) và (2) ta có: AE + CF  < AD + CD

Mà D nằm giữa A và C nên AD + CD = AC

Vậy AE + CF < AC (đpcm).

Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại A, M là trung điểm của AC. Gọi E và F là chân các đường vuông góc kẻ từ A và C đến đường thẳng BM. Chứng minh rằng  \(AB < \frac{{BE + BF}}{2}.\)

Lời giải chi tiết:

Tam giác ABM vuông góc tại A \( \Rightarrow \) AB < BM.

Mà BM = BE + EM = BF – MF

Do đó:  AB < BE + EM (1) và  AB < BF – MF  (2)

Tam giác MAE = Tam giác MCF (cạnh huyền – góc nhọn)

\( \Rightarrow \) ME = MF. (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra: AB + AB < BE + BF

\( \Rightarrow \) 2AB < BE + BF nên \(AB < \frac{{BE + BF}}{2}\) (đpcm).

Bài 4: Cho hình vẽ sau, trong đó AB > AC. Chứng minh rằng EB > AC.

Lời giải chi tiết:

Ta có: AB > AC nên HB > HC (đường  xiên lớn hơn thì hình  chiếu lớn hơn).

Vì HB > HC nên EB > EC (hình chiếu lớn hơn thì đường xiên lớn hơn).

Bài 5: Cho hình sau. Chứng minh rằng: BD + CE < AB  + AC.

Lời giải chi tiết:

Tam giác ABD vuông tại D suy ra BD < AB.  (1)

Tam giác  ACE vuông tại E suy ra CE < AC. (2)

Từ (1) và (2) suy ra: BD + CE < AB + AC. (đpcm).

Bài 6: Cho tam giác ABC vuông tại A, M là trung điểm của AC. Gọi D, E lần lượt là hình chiếu của A và C xuống đường thẳng BM. So sánh BD + BE và AB.

Lời giải chi tiết: