Radian Là Gì? - Vườn Toán

Trang chủ » đơn Vị đo Góc Radian » Radian Là Gì? - Vườn Toán

Có thể bạn quan tâm

Trang

  • Trang nhà
  • Kỹ năng mềm
  • Giới thiệu

Radian là gì?

Nhân dịp ngày số $\pi$, chúng ta sẽ tìm hiểu một chút về khái niệm radian. Radian Bình thường trong đời sống hằng ngày, khi nói về góc, chúng ta thường dùng đơn vị độ. Ví dụ góc vuông là 90 độ, góc tam giác đều là 60 độ, góc bẹt là 180 độ. Tuy nhiên, trong toán học, tất cả các hàm số, ví dụ sin(x), cos(x), v.v..., thì góc $x$ luôn luôn được dùng với đơn vị radian. Vậy đơn vị radian là gì? Muốn dùng đơn vị radian, chúng ra vẽ hình tròn đơn vị. Hình tròn đơn vị là hình tròn có bán kính bằng 1. Chúng ta cũng đã biết rằng, theo định nghĩa, thì số $\pi$ chính là độ dài của một nửa đường tròn đơn vị. Độ lớn của một góc theo đơn vị radian chính là độ dài của cung chắn góc đó.
Theo đơn vị radian thì $x$ chính là độ dài cung chắn góc
Ví dụ, góc vuông chắn một phần tư đường tròn. Một phần tư đường tròn có độ dài là $\frac{\pi}{2}$. Do đó theo đơn vị radian thì góc vuông là $\frac{\pi}{2}$ (radian). Góc bẹt (180 độ) chắn một nửa đường tròn. Một nửa đường tròn có độ dài là $\pi$. Vậy theo đơn vị radian thì góc bẹt là $\pi$. Như vậy, các bạn có thể dễ dàng ghi nhớ sự chuyển đổi giữa đơn vị độ và radian bằng sự liên tưởng sau
góc bẹt 180 độ $\to$ nửa đường tròn đơn vị $\to ~~ \pi$
Những góc mà chúng ta thường dùng là $$180^{o} ~~\to ~~ \pi$$ $$360^{o} ~~\to ~~ 2\pi$$ $$90^{o} ~~\to ~~ \frac{\pi}{2}$$ $$45^{o} ~~\to ~~ \frac{\pi}{4}$$ $$60^{o} ~~\to ~~ \frac{\pi}{3}$$ $$30^{o} ~~\to ~~ \frac{\pi}{6}$$ Chúng ta tạm dừng ở đây. Kỳ sau chúng ta sẽ quay trở về với chuổi bài hằng đẳng thức. Bài tập về nhà: Ở phần bài tập về nhà, chúng ta sẽ chứng minh đẳng thức Viét về số $\pi$ mà chúng ta đã biết đến từ kỳ trước $$ \frac{2}{\pi} = \sqrt{\frac{1}{2}} \cdot \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{\frac{1}{2}}} \cdot \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{\frac{1}{2}}}} \cdots $$ Nhìn hình vẽ sau, chúng ta thấy $ZA = sin(x)$ là đoạn thẳng nên sẽ nhỏ hơn đường cong $ZI = x$ $$ sin(x) < x $$ Đặc biệt, nếu góc $x$ càng nhỏ thì $sin(x)$ càng xấp xỉ bằng $x$. Chúng ta sẽ sử dụng điều này để chứng minh đẳng thức Viét về số $\pi$. 1. Dùng công thức lượng giác cos cho góc gấp đôi $$cos(2x) = 2 cos^2(x) - 1$$ để chứng minh rằng $$ cos \frac{\pi}{4} = \sqrt{\frac{1}{2}} $$ $$ cos \frac{\pi}{8} = \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{\frac{1}{2}}} $$ $$ cos \frac{\pi}{16} = \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{\frac{1}{2}}}} $$ Từ đó suy ra $$ \sqrt{\frac{1}{2}} \cdot \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{\frac{1}{2}}} \cdot \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{\frac{1}{2}}}} = cos \frac{\pi}{4} \cdot cos \frac{\pi}{8} \cdot cos \frac{\pi}{16} $$ 2. Dùng công thức lượng giác sin cho góc gấp đôi $$sin(2x) = 2 sin(x) ~ cos(x)$$ để chứng minh rằng $$ cos \frac{\pi}{4} \cdot cos \frac{\pi}{8} \cdot cos \frac{\pi}{16} = \frac{\frac{1}{8}}{sin \frac{\pi}{16} } = \frac{2}{\pi} \cdot \frac{\frac{\pi}{16}}{sin \frac{\pi}{16} } $$ 3. Như ở trên chúng ta đã nói, vì góc $\frac{\pi}{16}$ rất nhỏ nên suy ra $$ sin \frac{\pi}{16} \approx \frac{\pi}{16}$$ và $$ cos \frac{\pi}{4} \cdot cos \frac{\pi}{8} \cdot cos \frac{\pi}{16} \approx \frac{2}{\pi} $$ 4. Một cách tổng quát, chứng minh rằng $$ cos \frac{\pi}{4} \cdot cos \frac{\pi}{8} \cdots cos \frac{\pi}{2^n} = \frac{2}{\pi} \cdot \frac{\frac{\pi}{2^n}}{sin \frac{\pi}{2^n} } $$ và $$ \lim_{n \to \infty} cos \frac{\pi}{4} \cdot cos \frac{\pi}{8} \cdots cos \frac{\pi}{2^n} = \frac{2}{\pi} $$ Đây chính là đẳng thức Viét về số $\pi$ $$\sqrt{\frac{1}{2}} \cdot \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{\frac{1}{2}}} \cdot \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{\frac{1}{2}}}} \cdots = \frac{2}{\pi}$$ Labels: công thức Viét, lượng giác, pi, radian, Vieta Bài đăng Mới hơn Bài đăng Cũ hơn Trang chủ

Ủng hộ Vườn Toán trên facebook

Facebook

Lưu trữ Blog

  • ▼  2016 (7)
    • ▼  tháng 3 (2)
      • Radian là gì?
      • Ngày số Pi

English Version

English Version

Bài toán kết nối facebook

Phép nhân thời đồ đá

Mắt Biếc Hồ Thu

Lục giác kỳ diệu

Định lý Pitago

1 = 2012 = 2013

Dãy số Fibonacci và một bài toán xếp hình

James vẽ hình

Câu hỏi của James

Hình vuông số chính phương kỳ diệu của Vianney!

Câu đố mẹo về đo lường

Công thức lượng giác Gauss cho 17-giác đều

Chào năm mới 2014

Chào năm mới 2015

Chào năm mới 2016

Không gian 4 chiều là gì?

Dựng hình đa giác đều

Dựng đa giác đều 15 cạnh

Ngày số Pi (2015)

Ngày số Pi (2016)

0.9999999... có bằng 1 không? (2015)

Hình tam giác

Bàn cờ vua và kim tự tháp

Dãy số

Dãy số - Phần 1

Dãy số - Phần 2

Dãy số - Phần 3

Dãy số - Phần 4

Dãy số - Phần 5

Dãy số - Phần 6

Dãy số - Phần 7

Dãy số - Phần 8

Dãy số - Phần 9

Đại số

Tam giác Pascal

Quy nạp

Quy nạp II

Quy nạp III

Nhị thức Newton

1 = 2012 = 2013

Đa thức nội suy Newton

Đa thức nội suy Lagrange

Chứng minh Định lý Wilson bằng công thức nội suy

Tổng luỹ thừa

Số phức

Số phức

Công thức Moivre

Lượng giác

Công thức lượng giác cho góc bội

Công thức lượng giác Gauss cho 17-giác đều

Ngày số Pi (2016)

Radian là gì?

Số học

modulo - Phần 1

modulo - Phần 2

modulo - Phần 3

modulo - Phần 4

modulo - Phần 5

modulo - Phần 6

Số nguyên tố

Định lý Euclid về số nguyên tố

Một vài bài toán về số nguyên tố

Định lý Wilson

Bộ số Pitago

Modulo cho số hữu tỷ

Modulo cho số hữu tỷ II

Chứng minh lại định lý Wilson

Bổ đề Bezout

Thuật toán Euclid

Tổng luỹ thừa

Tổng luỹ thừa và định lý Wolstenholme

Câu đố mẹo về đo lường

Dựng đa giác đều 15 cạnh

Bò đi con bọ cạp!

Liên phân số Fibonacci

Hằng đẳng thức Pitago

Hình vuông số kỳ diệu của Euler

Tổ hợp

Bài toán kết nối facebook

Dãy số Fibonacci và một bài toán xếp hình

Hằng đẳng thức về dãy số Fibonacci

Dãy số Fibonacci và tam giác Pascal

Hình học

Định lý Pitago

Định lý đường cao tam giác vuông

Định lý Morley

Phương tích

Trục đẳng phương và tâm đẳng phương

Định lý Ceva và Định lý Menelaus

Lục giác kỳ diệu

Định lý Pascal

Định lý Pappus

Cánh bướm Pascal

Bài toán con bướm

Định lý Ngôi Sao Do Thái

Hãy xem xét trường hợp đặc biệt

Bài toán về tìm khoảng cách ngắn nhất và một tính chất của hình elíp

Điểm Fermat của hình tam giác

Điểm Fermat của hình tam giác II

Dựng hình

Dựng hình bằng thước và compa

Bài toán chia hình tứ giác

Dựng hình ngũ giác đều

Dựng hình đa giác đều

Dựng đa giác đều 15 cạnh

Định lý đường cao tam giác vuông

Thuật toán dựng hình

Công thức lượng giác Gauss cho 17-giác đều

Dựng hình chỉ bằng compa

Dùng compa chia đều đoạn thẳng

Giải tích

Ngày số Pi 2015

Chuỗi Taylor

Tổng nghịch đảo bình phương

Giúp bé thông minh

Xì-tin năng động

BBC - Học tiếng Anh Du học Hoa kỳ Học Bổng Hoa Kỳ VOA - Học tiếng Anh

Tạp chí toán học

Kỹ năng mềm

Tạo lập tài khoản google

Cách tạo blog toán học

Học toán trên Wolfram

Dịch tài liệu toán học

Viết văn bản toán học PDF trực tuyến bằng LaTeX

Chia xẻ tài liệu toán học trên Google Drive

Từ khóa » đơn Vị đo Góc Radian