Sáng Kiến Kinh Nghiệm TAM THUC BAC ml

A. PHẦN MỞ ĐẦU

I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:

Việc giải phương trình, bất phương trình, hệ bất phương trình trong chương trình học lớp 10 nói riêng và lớp 11,12, ôn thi đại học nói chung rất phức tạp, tuy nhiên ta có thể đưa về tam thức bậc hai hoặc sử dụng dấu của tam thức bậc hai để giải bài toán sẽ đơn giản hơn nhiều, vì những lí do đó tôi soạn chuyên đề Tam thức bậc hai và một số ứng dụng.

II. MỤC ĐÍCH VÀ NHIỆM VỤ CỦA ĐỀ TÀI

Mục đích viết chuyên đề này nhằm giúp cho các em học sinh có thể xét dấu được tam thức bậc hai, giải được một số phương trình, bất phương trình, hệ bất phương trình bằng cách sử dụng dấu của tam thức bậc hai hoặc đưa về tam thức bậc hai để giải.

Ưu điểm:

Định lí về dấu của tam thức bậc hai ngắn gọn dễ hiểu dễ nhớ.

Khuyết điểm:

Các dạng toán rất đa dạng nên học sinh dễ nhằm lẫn.

III. PHẠM VI NGHIÊN CỨU:

Đại số và giải tích 10 nâng cao: Chương IV- bài 6, 7, 8

B. PHẦN NỘI DUNG

I. CƠ SỞ LÍ LUẬN:

1/ Định nghĩa tam thức bậc hai:

Tam thức bậc hai (đối với x) là biểu thức dạng ax2+bx+c trong đó a, b, c là những số cho trước với a 0.

2/ Định lí về dấu của tam thức bậc hai:

Cho tam thức bậc hai f(x)=ax2+bx+c (a 0)

-Nếu <0 thì f(x) cùng dấu với a với mọi x thuộc .

-Nếu = 0 thì f(x) cùng dấu với a với mọi x .

-Nếu >0 thì f(x) có hai nghiệm x1 và x2 (x1<x2). Khi đó f(x) trái dấu với hệ số a với mọi x nằm trong khoảng(x1;x2) ( tức là x1 < x < x2) và f(x) cùng dấu với a với mọi x nằm ngoài đoạn ( tức là x < x1 hoặc x < x2).

Với

Ví dụ 1: f(x)= x2-x+1>0 vì tam thức f(x) có = - 3 < 0 và a = 1 > 0

Có thể ghi kết quả trong bảng xét dấu sau:

x	- +
x2-x+1	+

Ví dụ 2: Xét dấu tam thức bậc hai f(x)= -x2-2x+3

Giải

Vì a=-1<0 và tam thức f(x) có hai nghiệm x1=-3 ; x2= 1 ( dễ thấy x1 < x2) nên

f(x) < 0 (cùng dấu với a) khi x và f(x) > 0 (trái dấu với a) khi

x .

Có thể ghi kết quả trong bảng xét dấu sau:

x	- -31+
-x2-2x+3	-0+0-

Ví dụ 3: Xét dấu tam thức bậc hai f(x)= x2-2x+1

Giải

f(x)= x2-2x+1 > 0 vì tam thức f(x) có =0 và nghiệm kép x = 1, a = 1 > 0

Có thể ghi kết quả trong bảng xét dấu sau:

x	- 1+
x2-2x+1	+0+

Bài tập áp dụng:

Xét dấu các tam thức sau:

1/ f(x)= -2x2 - 2x + 1

2/ f(x)= 9x2 - 12x + 4

3/f(x)= x2 - 2x + 5

4/f(x)= - x2 - 4x

5/f(x)= x2 - 3

6/f(x)= - x2 + 1

7/ f(x)= 3x2 + 2x

3/ Một số ứng dụng:

1/ Tìm tham số m để tam thức bậc hai không đổi dấu trên Cách giải: dựa vào nhân xét :

Ví dụ 1: Với những giá trị nào của m thì đa thức f(x) = (2-m)x2 - 2x + 1 luôn dương với mọi x thuộc

Giải

- Với m = 2 thì f(x)= -2x+1 lấy cả những giá trị âm. Do đó m = 2 không thỏa mãn điều kiện đề bài.

- Với m 2, f(x) là tam thức bậc hai với . Do đó:

Vậy với m < 1 thì tam thức luôn dương

Bài tập áp dụng:

Với những giá trị nào của m thì các đa thức sau luôn âm với mọi x thuộc

1/f(x) = (m-1)x2 + (2m+1)x + m + 1

2/f(x) = - x2 + 2m x - 2m2 - 1

3/f(x) = (m-2)x2 - 2(m-3)x + m - 1

Với những giá trị nào của m thì các đa thức sau luôn dương với mọi x thuộc

1/f(x) = (m2+2)x2 - 2(m+1)x + 1

1/f(x) = (m+1)x2 + 2(m+2)x + m + 3

2/Giải bất phương trình bậc hai, bất phương trình tích và bất phương trình chứa ẩn dưới mẫu. Cách giải: - Đối với bất phương trình bậc hai ta xét dấu vế trái và dựa vào dấu bất phương trình kết luận nghiệm - Đối với bất phương trình tích xét dấu các nhân tử rồi nhân các dấu đó lại với nhau, dựa vào dấu của bất phương trình rồi kết luận nghiệm. - Đối với bất phương trình chứa ẩn dưới mẫu ta phải đưa về dạng , rồi mới xét dấu vế trái và dựa vào dấu bất phương trình kết luận nghiệm

Ví dụ 2: Giải các bất phương trình sau:

1/ - x2 + 2x + 3 < 0

2/ x2 + 2x + 1 > 0

3/ - x2 + 2x – 6 > 0

4/

5/ (4 - 2x)(x2 + 7x + 12 ) < 0

Giải

1/ - x2 + 2x + 3 < 0

Ta có: - x2 + 2x + 3 = 0 có hai nghiệm x1=-1, x2=3, a=-1<0

Bảng xét dấu:

x	- -13+
vt	-0+0-

Vậy nghiệm của bất phương trình là: S=

2/ x2 + 2x + 1 > 0

Ta có: x2 + 2x + 1 =0 có nghiệm képx = -1, a=1>0

Bảng xét dấu:

x	- -1+
vt	+0+

Vậy nghiệm của bất phương trình là: S= \{-1}

3/ - x2 + 2x – 6 > 0

Ta có: - x2 + 2x – 6 = 0 vô nghiệm, a=-1<0

Bảng xét dấu:

x	- +
vt	-

Vậy: bất phương trình vô nghiệm S=

4/

Bất phương trình trở thành:

Bảng xét dấu

x	- 2 5+
-2x+7	+|+0-|-
x2-7x+10	+0-|-0+
vt	+||-0+||-

Vậy nghiệm của bất phương trình là: S=

5/ (4 - 2x)(x2 + 7x + 12) < 0

Bảng xét dấu

x	- -4-32+
4-2x	+|+|+0-
x2+7x+12	+0-0+|+
vt	+0-0+0-

Vậy nghiệm của bất phương trình là: S=

Bài tập áp dụng:

Giải các bất phương trình sau:

1/- 3x2 + 2x + 3 < 0

2/ 9x2 + 12x + 4 > 0

3/ - 2x2 + x – 1 > 0

4/- 3x2 + 2x < 0

5/ x2 – 4 > 0

6/ - 2x2 – 1 > 0

7/

8/ (4 + x)(- x2 + 7x + 6) < 0

9/

10/

3/Giải hê bất phương trình . Cách giải: Giải từng bất phương trình sau đó giao nghiệm lại.

Ví dụ 3: Giải hệ bất phương trình sau

Giải

Bất phương trình thứ nhất có tập nghiệm là S1=

Bất phương trình thứ hai có tập nghiệm là S2=

Tập nghiệm của hệ là

Ví dụ 4: Tìm các giá trị của m để bất phương trình sau vô nghiệm

(m-2)x2+2(m+1)x+2m > 0

Giải

Đặt f(x)=(m-2)x2+2(m+1)x+2m

Để bất phương trình vô nghiệm khi và chỉ khi f(x) 0

Với m = 2 ta có f(x)=6x+4. Khi đó f(x) nhận cả các giá trị dương

Giá trị m=2 không thỏa mãn điều kiện đòi hỏi

Với 2 ta có:

Vậy bất phương trình vô nghiệm khi và chỉ khi

Bài tập áp dụng

Bài 1: Giải các hệ bất phương trình sau

a/

b/

c/

Bài 2:Tìm các giá trị của m để phương trình sau có nghiệm

a/ (m-5)x2 - 4mx + m – 2 = 0

b/ (m+1)x2 + 2(m-1)x + 2m – 3 = 0

c/ x2 + (m-2)x - 2m + 3 = 0

Bài 3Chứng minh rằng các phương trình sau vô nghiệm dù m lấy bất kì giá trị nào

a/ x2 - 2(m+1)x + 2m2 + m + 3 = 0

b/ (m2 + 1)x2 + 2(m+2)mx + 6 = 0

Bài 4:Tìm các giá trị của m để bất phương trình

(m-1)x2 - 2(m+1)x + 3(m-2)> 0 nghiệm đúng

Bài 5: Tìm các giá trị của m để hệ bất phương trình sau có nghiệm

4/Giải một số phương trình và bất phương trình quy về bậc hai a/ Phương trình và bất phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối Dạng 1: |f(x)|=g(x) Dạng 2: |f(x)|>g(x) Dạng 3: |f(x)|<g(x) b/ Phương trình và bất phương trình chứa ẩn trong dấu căn bậchai Dạng 4: Dạng 5: Dạng 6:

Ví dụ 5: Giải các phương trình sau:

1/ | x2 - 8x + 15| = x - 3

2/

Giải

1/ | x2 - 8x + 15| = x - 3

Ví dụ 6: Giải các bất phương trình sau:

1/ | x2 + 3x - 4| > x - 8

2/

3/

Giải

1/ | x2 + 3x - 4| > x - 8

2/

3/

Bài tập áp dụng

Bài 1:Giải các phương trình và bất phương trình sau:

1/ | x2 + x - 5| = |x - 1|

2/ | x - 1| = 2x - 1

3/ | x2 + 2x - 1| > x2 - 1

4/ | - x2 + 2x + 4| < 2x2 - 3x + 1

5/

6/

7/

Bài 2:Tìm tập xác định của mỗi hàm số sau:

Bài 3:Tìm m sao cho phương trình: x4 + (1-2m)x2 + m2 – 1 = 0

a/ Vô nghiệm

b/ Có hai nghiệm phân biệt

c/ Có bốn nghiệm phân biệt

Bài 4: Tìm các giá trị của a sao cho phương trình: (a-1)x4 - ax2 + a2 – 1 = 0 có ba nghiệm phân biệt.

Bài 5: Cho phương trình x4 + 4x3 + (3m+4)x2 + 2(3m+4)x + 6(m+1) = 0

a/Tìm m để phương trình vô nghiệm

b/ Tìm m để phương trình có bốn nghiệm phân biệt

c/ Tìm m để phương trình có đúng ba nghiệm phân biệt

d/Tìm m để phương trình có đúng hai nghiệm phân biệt

e/Tìm m để phương trình có đúng một nghiệm .

II.THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ:

Khi học sinh học ứng dụng dấu của tam thức bậc hai để giải phương trình, bất phương trình , hệ bất phương trình nhiều em học sinh đã lúng túng hoặc xét dấu sai các tam thức bậc hai, hoặc kết luận nghiệm của bất phương trình sai.

III. ĐỀ XUẤT GIẢI PHÁP:

Để các em học sinh dễ hiểu, dễ nhớ ứng dụng được dấu của tam thức bậchai một cách thành thạo khi dạy phần này tôi sẽ đua ra các lỗi thường mắc phải của các em thường thì minh họa ví dụ. Cụ thể như sau:

1- Đối với các bất phương trình có vế trái là tam thức bậc hai vô nghiệm, các em thường kết luận sai nghiệm.

VD:Giải bất phương trình x2+x+4>0 Sai:x2+x+4>0

Ta có x2+x+4=0 vô nghiệm nên bất phương trình vô nghiệm S=

Đúng Ta có x2+x+4=0 vô nghiệm và a=1>0 nên x2+x+4>0 với mọi x thuộc

Vậy bất phương trình vô số nghiệm S=

Hướng khắc phục:Sau khi tìm nghiệm vế trái các em lập bảng xét dấu và so sánh với dấu của bất phương trình nếu giống nhau thì kết luận vô số nghiệm, còn nếu khác nhau thì bất phương trình mới vô nghiệm.

2. Đối với các bất phương trình chứa ẩn dưới mẫu các em thường xét dấu khi chưa đưa bất phương trình về dạng .

Bảng xét dấu

x	- -1234+
x2-3x-4	+0-|-|-0+
x2-5x+6	+|+0-0+|+
vt	+0-||+||-0+

Vậy nghiệm của bất phương trình là S = (-1;2) (3;4)

Đúng

Bảng xét dấu

x	- 2 35+
2x-10	-|-|-0+
x2-5x+6	+0-0+|+
vt	- ||+|| -0+

Vậy nghiệm của bất phương trình là S = (3;5)

Hướng khắc phục: Các bất phương trình chứa ẩn ở mẫu số ta phải chuyển vế sao cho vế phải bằng 0 tức là có dạng rồi mới xét dấu vế trái.

3- Khi giải các phương trình chứa ẩn trong dấu căn bậc hai các em thường đặt sai điều kiện.

Ví dụ: Giải phương trình:

Hướng khắc phục : Các em học thuộc công thức, nếu lở không nhớ điều kiện thi ta giải bằng phương trình hệ quả, sau khi tìm được nghiệm ta phải thử lại phương trình ban đầu rồi mới kết luận nghiệm.

C. PHẦN KẾT LUẬN

Kết quả thu được: thông qua kiểm tra bài cũ,thông qua kiểm tra 15 phút, 45 phút như sau:

Lớp	Trên trung bình	Dưới trung bình
10T1	90,6%	9,4%
10T2	93,75%	6,25%

Tôi vừa trình bày chuyên đề Dấu của tam thức bậc hai và một số ứng dụng, tuy nhiên do tính chất đa dạng của môn học nên khó tránh khỏi những thiếu sót, mong quý đồng nghiệp góp ý để chuyên đề của tôi ngày càng hoàn thiện hơn.

Tân An, Ngày 10 tháng 11 năm 2012

Người thực hiện

VÕ THỊ MỘNG HẰNG

Mục lụcTrang

Lí do chọn đề tài

Mục đích và nhiệm vụ của đề tài1

Phạm vi nghiên cứu1

Cơ sở lí luận1

Thực trạng vấn đề9

Đề xuất giải pháp9

Kết luận10

Tài liệu nghiên cứu

SGK đại số 10 nâng cao

SGV đại số 10 nâng cao

Phương pháp giải toán tam thức bậc haitác giả: Ths. Lê Hồng Đức( chủ biên)

NGƯT. Đào Thiện Khải

Lê Bích Ngọc

Lê Hữu Trí

Nhà xuất bản: ĐH sư phạm