SGK Đại Số Và Giải Tích 11 - Bài 2. Phương Trình Lượng Giác Cơ Bản

• Home
• Lớp 1,2,3
  • Lớp 1
  • Giải Toán Lớp 1
  • Tiếng Việt Lớp 1
  • Lớp 2
  • Giải Toán Lớp 2
  • Tiếng Việt Lớp 2
  • Văn Mẫu Lớp 2
  • Lớp 3
  • Giải Toán Lớp 3
  • Tiếng Việt Lớp 3
  • Văn Mẫu Lớp 3
  • Giải Tiếng Anh Lớp 3
• Lớp 4
  • Giải Toán Lớp 4
  • Tiếng Việt Lớp 4
  • Văn Mẫu Lớp 4
  • Giải Tiếng Anh Lớp 4
• Lớp 5
  • Giải Toán Lớp 5
  • Tiếng Việt Lớp 5
  • Văn Mẫu Lớp 5
  • Giải Tiếng Anh Lớp 5
• Lớp 6
  • Soạn Văn 6
  • Giải Toán Lớp 6
  • Giải Vật Lý 6
  • Giải Sinh Học 6
  • Giải Tiếng Anh Lớp 6
  • Giải Lịch Sử 6
  • Giải Địa Lý Lớp 6
  • Giải GDCD Lớp 6
• Lớp 7
  • Soạn Văn 7
  • Giải Bài Tập Toán Lớp 7
  • Giải Vật Lý 7
  • Giải Sinh Học 7
  • Giải Tiếng Anh Lớp 7
  • Giải Lịch Sử 7
  • Giải Địa Lý Lớp 7
  • Giải GDCD Lớp 7
• Lớp 8
  • Soạn Văn 8
  • Giải Bài Tập Toán 8
  • Giải Vật Lý 8
  • Giải Bài Tập Hóa 8
  • Giải Sinh Học 8
  • Giải Tiếng Anh Lớp 8
  • Giải Lịch Sử 8
  • Giải Địa Lý Lớp 8
• Lớp 9
  • Soạn Văn 9
  • Giải Bài Tập Toán 9
  • Giải Vật Lý 9
  • Giải Bài Tập Hóa 9
  • Giải Sinh Học 9
  • Giải Tiếng Anh Lớp 9
  • Giải Lịch Sử 9
  • Giải Địa Lý Lớp 9
• Lớp 10
  • Soạn Văn 10
  • Giải Bài Tập Toán 10
  • Giải Vật Lý 10
  • Giải Bài Tập Hóa 10
  • Giải Sinh Học 10
  • Giải Tiếng Anh Lớp 10
  • Giải Lịch Sử 10
  • Giải Địa Lý Lớp 10
• Lớp 11
  • Soạn Văn 11
  • Giải Bài Tập Toán 11
  • Giải Vật Lý 11
  • Giải Bài Tập Hóa 11
  • Giải Sinh Học 11
  • Giải Tiếng Anh Lớp 11
  • Giải Lịch Sử 11
  • Giải Địa Lý Lớp 11
• Lớp 12
  • Soạn Văn 12
  • Giải Bài Tập Toán 12
  • Giải Vật Lý 12
  • Giải Bài Tập Hóa 12
  • Giải Sinh Học 12
  • Giải Tiếng Anh Lớp 12
  • Giải Lịch Sử 12
  • Giải Địa Lý Lớp 12

Trang Chủ › Lớp 11› Giải Bài Tập Toán 11› Sách Giáo Khoa - Đại Số và Giải Tích 11› Bài 2. Phương trình lượng giác cơ bản SGK Đại Số và Giải Tích 11 - Bài 2. Phương trình lượng giác cơ bản

• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 

Trong thực tế, ta gặp những bài toán dẫn đến việc tìm tất cả các giá trị của X nghiệm đúng những phương trình nào đó, như 3sin2x + 2 = 0 hoặc 2cosx + tan2x -1=0, mà ta gọi là các phương trình lượng giác. Giải phương trình lượng giác là tìm tất cả các giá trị của ẩn số thoả mãn phương trình đã cho. Các giá trị này là sô' đo của các cung (góc) tính bàng radian hoặc bằng độ. Việc giải các phương trình lượng giác thường đưa về việc giải các phương; trình sau, gọi là các phương trình lượng giác cơ bản : sinx = a, cosx = a, tanx = a, cotx = a, trong đó a là một hằng số. 1. Phương trình sinx = ữ / \ Có giá trị nào của X thoả mãn phương trình sinx = -2 không ? Xét phương trình sinx = a. (1) sinj Trường hợp lưl > 1 B Phương trình (1) vô nghiệm, vì Isinxl < 1 M / a M K \ với mọi X. Trường hợp lữl < 1 Vẽ đường tròn lượng giác tâm ơ, trục ẤẬ o / côsin hoành là trục côsin, trục tung là trục sin. Trên trục sin lấy điểm K sao cho OK - a. Từ K kẻ đường vuông góc với trục sin, cắt B' đường tròn lượng giác tại M và Af đối xứng với nhau qua trục sin (nếu |ứ| = 1 „, , thì M trùng với M') (h. 14). Từ đó ta thấy số đo của các cung lượng giác AM và AM' là tất cả các nghiệm của phương trình (1). Gọi a là số đo bang radian của một cung lượng giác AM, ta có sđ AM = a + k2ĩi, k e z ; ... _ sđ AM' - 71 - a + k2ĩi, k e z. Vậy phương trình sinx = a có các nghiệm là X = a + k2n, Iceĩ,; X = TE - a + k2n, k e z. TC . 7t ~ < a < — 2 2 thì ta viết a = arcsin a sina = a (đọc là ac-sin-a, nghĩa là cung có sin bằng ứ). Khi đó, các nghiệm của phương trình sinx = a được viết là X = arcsinư + k2n, k e z và X = ĩĩ - arcsin a + k2n, k e z. Nếu số thực a thoả mãn điều kiện < CHƯ Y Phương trình sinx = sin a, với a là một số cho trước, có các nghiệm là x= a + k2n, k e z và X = 71 - a + k2ĩi, k e z. Tổng quát, sin/(x) = sin g(x) f(x) = g(x) + £2rc, k e z /(x) = 71 - g(x) + k2n, k e z. Phương trình sinx = sin/?° có các nghiệm là X- (3° + £360°, keZ và X = 180° -/?° + £360°, ke z. Trong một công thức về nghiệm của phương trình lượng giác không được dùng đồng thời hai đơn vị độ và radian. Các trường hợp đặc biệt: a = 1 : Phương trình sinx = 1 có các nghiệm là X = -7 + k2n, k e z . 2 a = -l : Phương trình sinx = -1 có các nghiệm là x= - + k2n, k e 2 a = 0 : Phương trình sinx - 0 có các nghiệm là X = kn, k e z . b) sin X = 4 5 Ví dụ 1. Giải các phương trình sau : sinx = — ; Giải , 1 ™ 71 5tí X = -7 + k2n, k e z và X = 7t - -7 + k2n = -- + k2n, k e z. 1 _ . .. . rc Vì — = sin— nên sinx = — sinx = sin--. Vậy phương trình có các nghiệm là 71 6 2 6 2 6 Ta có sinx = j khi X = arcsiiw. Vậy phương trình sinx = -^ có các nghiêm là X =arcsin- + k2n, k e z và X = 7Ĩ - arcsin4 + k2n, k e z . 5 5 Giải các phương trình sau : b) sin(x + 45°) = a) sinx = 1 Phương trình cosx = a Trường hợp |ữ| > 1 Phương trình COS X = a vô nghiệm vì lcosxl < 1 với mọix. Trường hợp Id < 1 Tương tự trường hợp phương trình sinx = a, ta lấy điểm H trên trục côsin sao cho OH = a. Từ H kẻ đường vuông góc với trục côsin, cắt đường tròn lượng giác tại M và M' đối xứng với nhau qua trục côsin (nếu íd =lthìM = M')(h,15). Từ đó ta thấy số đo của các cung lượng giác AM và AM' là tất cả các nghiệm của phương trình cosx = a. Gọi a là số đo bang radian của một cung lượng giác AM, ta có : ry sâAM = a+ k2n, k e z ; sđ AM' = -a + k2ĩL, k G z . Vậy phương trình cosx = a có các nghiệm là X = ±a + k2ĩt, k e z. CHÚ Ý Phương trình COS X - COS a, với a là một số cho trước, có các nghiệm là x = ± a + k2n, k g z. Tổng quát, COS f(x) - cosg(x) /(x) = ±g(x) + k2n,k e z. Phương trình COS X - COS j3° có các nghiệm là x = ±j3o + k360°, ke z. Nếu số thực a thoả mãn các điều kiện 0 < a < 71 cos a = a thì ta viết a - arccosứ (đọc là ac-côsin-ứ, có nghĩa là cung có côsin bằng ứ). Khi đó, các nghiệm của phương trình COS X = a còn được viết là X = ± arccos a + k2ĩi, k e z. Các trường hợp đặc biệt: • a = ỉ : Phương trình cosx = 1 có các nghiệm là X - k2n, k e z. • a = -1 : Phương trình COSX = -1 có các nghiệm là X = 71 + k2n, k e • a = 0 : Phương trình COSX = 0 có các nghiệm là 7t X = 77 + kít, k e z. a) cosx = COS-7 ; 6 COS 3x = - ; 2 d) COS (x + 60°) = — 2 • Ví dụ 2. Giải các phương trình sau : JX v; _ „„„ 3k Vi = COS— nên Vi = cos 45° nên 2 72 cos(x + 60°) = y ocos(r + 60°) = cos45° o X + 60° = ± 45° + £360° (k e Z). X = -15° + £360c X = -105° + £360° .Giải các phương trình sau : a) cosx = —— ; 2 b) cosx = -| ; Ư3 c) cos(x + 30°) = . Phương trình tanx = a Điều kiện của phương trình là X + kn (k e z). Căn cứ vào đồ thị hàm số y = tan X, ta thấy với mỗi số a, đồ thị hàm số y = tan X Hoành độ của mỗi giao điểm là một nghiệm của phương trình tan X - a. Gọìxị là hoành độ giao điểm (tan Aj = ứ) thoả mãn điều kiện —< Xị < y. Kí hiệu Xj = arctan a (đọc là ac-tang-ữ, nghĩa là cung có tang bằng à). Khi đó, nghiệm của phương trình tanx = a là X = arctan a + kn, k & z. CHÚ Ý Phương trình tan X = tan a, với a là một số cho trước, có các nghiệm là X = a + kn, k e z. Tổng quát, tan /(x) = tan g(x) => j\x) - g(x) + kn, k e z. Phương trình tanx = tan /3 ° có các nghiệm là x = /?° + H80°,£ ẽ z. Ví dụ 3. Giải các phương trình sau : tanx=tany; b)tan2x=-^; c) tan(3x + 15°) =5/3 . Giải tanx = tan 2x ■ 7t tan— 5 _j_ 3 K 2x = arc tan 1 X = — arctan 2 + kĩi + k^, k E z. 2 X = -7 + kn, k e z. 5 Vì 5/3 = tan 60° nên tan(3x + 15°) = V3 tan(3x + 15°) = tan 60° o 3x + 15° = 60° + Ẩ.T8O0 « 3x = 45° + H80° x= 15° + £60°, £ 6 z. ■ c) tanx = 0. Giải các phương trình sau : tanx = 1 ; b) tanx = -1 ; Phương trình cotx = a Điều kiện của phương trình là .V kn, k e z. Căn cứ vào đồ thị hàm số y = cot X, ta thấy với mỗi số a, đường thẳng y = a cắt đồ thị hàm số y = cot X tại các điểm có hoành độ sai khác nhau một bội của 71 (h. 17). Hoành độ của mỗi giao điểm là một nghiệm của phương trình cotx = a. Gọi Xị là hoành độ giao điểm (cotA'i = a) thoả mãn điều kiện 0 < Xj < 7Ĩ. Ị Kí hiệu Xị = arccotữ (đọc là ac-côtang-ữ, nghĩa là cung có cô.tang bằng a). Khi đó, các nghiệm của phương trình cotx = a là X = arccotữ + kn, k e z. CHÚ Ý Phương trình cotx = cot a, với a là một số cho trước, có các nghiệm là X = a + kĩi, 1’ G z. Tổng quát, cot/(x) - cotg(x) => /(%) = g(x) + kiĩ, k e z. Phương trình cotv = cot/?° có các nghiệm là X = J3° + k\M°, k e z. Ví dụ 4. Giải các phương trình sau : 2ĩr cot 4x = cot —7- ; 7 cot 3x = -2 ; cot (2x - 10°) = —L. <3 Giải . . . 'Vĩt . 2ft . ft . ft _ rn Cơt4x = cot-7- ộ>4% = -7 + hox = 77+K7, K e z. 7 7 14 4 cot 3x = -2 3x = arccot(-2) + £ft 1 • ft X = 7 arccot(-2) + k--, k e z. 3 3 C) VI —Ị= =cotou nen V3 Cơtv2x- 10°) = —f= V3 ' — 1 —° - cot(2x - 10°) = cot 60° o2x- 10°= 60°+ ^180° X = 35° + £90°, kE z. ■ SGiải các phương trình sau a)cotx=l; b)cotx = -l; -c)cotx = 0. GHI NHỚ Mỗi phương trình sinx = a (lữl < 1); cosx = a (lữl < 1) ; tanx = a ; cotx - a có vô số nghiệm. Giải các phương trình trên là 7/W tất cả các nghiêm của chúng. BÀI ĐỌC THÊM GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC cơ BẢN BẰNG MÁY TÍNH Bỏ TÚI Có thể sử dụng máy tính bỏ túi (MTBT) để giải các phương trình lượng giác cơ bản. Tuy nhiên, đối với phương trình sin % = a máy chỉ cho kết quả là arcsina với đơn vị là radian hoặc đã được đổi ra độ. Lúc đó, theo công thức nghiệm ta viết các nghiệm là X = arcsinư + k2ĩt, k e z và x= n- arc sin ữ + k2n, k e z. Tương tự, đối với phương trình COSA = a máy chỉ cho kết quả là arccosư, đối với phương trình tan A = a máy chỉ cho kết quả là arc tan ữ. Ví dụ. Dùng MTBT CASIO fx - 500 MS, giải các phương trình sau : a) sin A = 0,5 ; Giải b) COSA = ; c) tàn A = 5/3. MODE a) Nếu muốn có đáp số bằng độ thì bấm ba lần phím màn hình hiện ra chữ D. Sau đó bấm liên tiếp SHIFT rồi bấm phím WB để Dòng thứ nhất trên màn hình hiện ra sin 1 0.5 (có nghĩa là arcsin0,5) và kết quả ỏ dòng thứ hai là 30°0°0 (arcsin0,5 đã được đổi ra độ). Vậy phương trình sin A = 0,5 có các nghiệm là A = 30°+ £360°, keZ và A= 180°-30°+ £360°= 150°+ £360°, b) Bấm liên tiếp OIO Dòng thứ nhất trên màn hình là cos 1 -(1 J 3) (có nghĩa là arccos^—) và kết quả ở dòng thứ hai là 109°28T6.3" (arccos(-|) đã được đổi ra độ). Vậy phương trình cosx = — có các nghiệm là X a ± 109°28'16" + £360°, k G z. SHIFT Bấm liên tiếp dòng thứ nhất trên màn hình là tan-1 73 (có nghĩa là arctan73) và kết quả ở dòng thứ hai là 60°0°0 (arctan73 đã được đổi ra độ). Vậy phương trình tanx = 73 có các nghiệm là x = 60° + £180°, k e z. ■ CHÚ Ý a) Để giải phương trình sin x = 0,5 với kết quả là radian, ta bấm ba màn hình hiện ra chữ R. Sau đó, bấm liên tiếp BBS ỈSH ta được kết quả gần đúng là 0,5236 (arcsin0,5 « 0,5236). Vậy phương trình sinx = 0,5 có các nghiệm là X » 0,5236 + £271, k 6 z và xa 71 - 0,5236 + k2n, k eZ. Để giải phương trình cotx = a bằng MTBT, ta đưa về giải phương trình tanx = —. a Bài tập b) sin 3x = 1 ; 73 d) sin (2x + 20°) = - 2 ■ Giải các phương trình sau a) sin (x + 2) = J ; sin| y-| 1=0; Với những giá trị nào của X thì giá trị của các hàm số y = sin 3x và y = sinx bằng nhau ? Giải các phương trình sau : a) cos(x - 1) = y ; b)Cơs3x = COS 12 ; c)cos 3x 7Ĩ d) cos22x = —. 2COS2r 4. 5. 6. 7. Giải phương trình / - = 0. l-sin2x Giải các phương trình sau : /T a) tan(% - 15°) =^-; b) cot(3x - 1) = -73 ; COS 2x tanx = 0 ; d) sin 3x cotx = 0. Với những giá trị nào của X thì giá trị của các hàm, số y - tan,^ - x j và y - tan 2x bằng nhau ? Giải các phương trình sau : a) sin 3x - COS 5x = 0 ; b) tan 3x tanx = 1.

Các bài học tiếp theo

• Bài 3. Một số phương trình lượng giác thường gặp
• Ôn tập chương I
• Bài 1. Quy tắc đếm
• Bài 2. Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp
• Bài 3. Nhị thức Niu - tơn
• Bài 4. Phép thử và biến cố
• Bài 5. Xác suất của biến cố
• Ôn tập chương II
• Bài 1. Phương pháp quy nạp toán học
• Bài 2. Dãy số

Các bài học trước

• Bài 1. Hàm lượng giác

Tham Khảo Thêm

• Sách Giáo Khoa - Đại Số và Giải Tích 11(Đang xem)
• Sách Giáo Khoa - Hình Học 11
• Giải Bài Tập Toán 11 Đại Số
• Giải Bài Tập Toán 11 Hình Học
• Giải Toán 11 Đại Số và Giải Tích
• Giải Toán 11 Hình Học
• Giải bài tập Đại số và Giải tích 11
• Giải bài tập Hình học 11

Sách Giáo Khoa - Đại Số và Giải Tích 11

• Chương I. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
• Bài 1. Hàm lượng giác
• Bài 2. Phương trình lượng giác cơ bản(Đang xem)
• Bài 3. Một số phương trình lượng giác thường gặp
• Ôn tập chương I
• Chương II. TỔ HỢP - XÁC SUẤT
• Bài 1. Quy tắc đếm
• Bài 2. Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp
• Bài 3. Nhị thức Niu - tơn
• Bài 4. Phép thử và biến cố
• Bài 5. Xác suất của biến cố
• Ôn tập chương II
• Chương III. DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN
• Bài 1. Phương pháp quy nạp toán học
• Bài 2. Dãy số
• Bài 3. Cấp số cộng
• Bài 4. Cấp số nhân
• Ôn tập chương III
• Chương IV. GIỚI HẠN
• Bài 1. Giới hạn của dãy số
• Bài 2. Giới hạn của hàm số
• Bài 3. Hàm số liên tục
• Ôn tập chương IV
• Chương V. ĐẠO HÀM
• Bài 1. Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm
• Bài 2. Quy tắc tính đạo hàm
• Bài 3. Đạo hàm của hàm số lượng giác
• Bài 4. Vi phân
• Bài 5. Đạo hàm cấp hai
• Ôn tập chương V
• Ôn tập cuối năm