SGK Giải Tích 12 - Bài 4. Hàm Số Mũ - Hàm Số Lôgarit

• Home
• Lớp 1,2,3
  • Lớp 1
  • Giải Toán Lớp 1
  • Tiếng Việt Lớp 1
  • Lớp 2
  • Giải Toán Lớp 2
  • Tiếng Việt Lớp 2
  • Văn Mẫu Lớp 2
  • Lớp 3
  • Giải Toán Lớp 3
  • Tiếng Việt Lớp 3
  • Văn Mẫu Lớp 3
  • Giải Tiếng Anh Lớp 3
• Lớp 4
  • Giải Toán Lớp 4
  • Tiếng Việt Lớp 4
  • Văn Mẫu Lớp 4
  • Giải Tiếng Anh Lớp 4
• Lớp 5
  • Giải Toán Lớp 5
  • Tiếng Việt Lớp 5
  • Văn Mẫu Lớp 5
  • Giải Tiếng Anh Lớp 5
• Lớp 6
  • Soạn Văn 6
  • Giải Toán Lớp 6
  • Giải Vật Lý 6
  • Giải Sinh Học 6
  • Giải Tiếng Anh Lớp 6
  • Giải Lịch Sử 6
  • Giải Địa Lý Lớp 6
  • Giải GDCD Lớp 6
• Lớp 7
  • Soạn Văn 7
  • Giải Bài Tập Toán Lớp 7
  • Giải Vật Lý 7
  • Giải Sinh Học 7
  • Giải Tiếng Anh Lớp 7
  • Giải Lịch Sử 7
  • Giải Địa Lý Lớp 7
  • Giải GDCD Lớp 7
• Lớp 8
  • Soạn Văn 8
  • Giải Bài Tập Toán 8
  • Giải Vật Lý 8
  • Giải Bài Tập Hóa 8
  • Giải Sinh Học 8
  • Giải Tiếng Anh Lớp 8
  • Giải Lịch Sử 8
  • Giải Địa Lý Lớp 8
• Lớp 9
  • Soạn Văn 9
  • Giải Bài Tập Toán 9
  • Giải Vật Lý 9
  • Giải Bài Tập Hóa 9
  • Giải Sinh Học 9
  • Giải Tiếng Anh Lớp 9
  • Giải Lịch Sử 9
  • Giải Địa Lý Lớp 9
• Lớp 10
  • Soạn Văn 10
  • Giải Bài Tập Toán 10
  • Giải Vật Lý 10
  • Giải Bài Tập Hóa 10
  • Giải Sinh Học 10
  • Giải Tiếng Anh Lớp 10
  • Giải Lịch Sử 10
  • Giải Địa Lý Lớp 10
• Lớp 11
  • Soạn Văn 11
  • Giải Bài Tập Toán 11
  • Giải Vật Lý 11
  • Giải Bài Tập Hóa 11
  • Giải Sinh Học 11
  • Giải Tiếng Anh Lớp 11
  • Giải Lịch Sử 11
  • Giải Địa Lý Lớp 11
• Lớp 12
  • Soạn Văn 12
  • Giải Bài Tập Toán 12
  • Giải Vật Lý 12
  • Giải Bài Tập Hóa 12
  • Giải Sinh Học 12
  • Giải Tiếng Anh Lớp 12
  • Giải Lịch Sử 12
  • Giải Địa Lý Lớp 12

Trang Chủ › Lớp 12› Giải Bài Tập Toán 12› Sách Giáo Khoa - Giải Tích 12› Bài 4. Hàm số mũ - Hàm số Lôgarit SGK Giải Tích 12 - Bài 4. Hàm số mũ - Hàm số Lôgarit

• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 

HÀM SỐ MŨ. HÀM SỐ LỒGARIT I - HÀM SỐ MŨ 'Vi dụ 1. Bài toán "lãi kép" Một người gửi số tiền 1 triệu đồng vào một ngân hàng với lãi suất 7%/năm. Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm, số tiền lãi sẽ được nhập vào vốn ban đầu (người ta gọi đó là lãi kép). Hỏi người đó được lĩnh bao nhiêu tiền sau n năm (« e N*), nếu trong khoảng thời gian này không rút tiền ra và lãi suất không thay đổi ? Giải. Giả sử n > 2. Gọi số vốn ban đầu là p, lãi suất là r. Ta có p = 1 (triệu đồng), r• = 0,07. • Sau năm thứ nhất: Tiền lãi là ?! = Pr = 1.0,07 = 0,07 (triệu đồng). Số tiền được lĩnh (còn gọi là vốn tích luỹ) là Pị = p + Tị = p + Pr = P(i + r) = 1,07 (triệu đồng). • Sau năm thứ hai: Tiền lãi là T2 = Pự = 1,07.0,07 = 0,0749 (triệu đồng). Vốn tích luỹ là P2 = Pl+T2=Pỉ + PỴr = ?i(l + r) = P(1 + r)2 = (l,07)2 = 1,1449(triệu đồng). • Tương tự, vốn tích luỹ sau n năm là Pn = P(1 + r)n = (1,07)" (triệu đồng). Vậy sau n năm, người đó được lĩnh (1,07)" triệu đồng. Ví dụ 2. Trong Vật lí, sự phân rã của các chất phóng xạ được biểu diễn bằng công thức m(t) = mQ , trong đó ỈĨĨQ là khối lượng chất phóng xạ ban đầu (tại thời điểm t = 0), m(í) là khối lượng chất phóng xạ tại thời điểm t, T là chu kì bán rã (tức là khoảng thời gian để một nửa số nguyên tử của chất phóng xạ bị biến thành chất khác). Ví dụ 3. Dân số thế giới được ước tính theo công thứcS = Aem, trong đó A là dân số của năm lấy làm mốc tính, 5 là dân số sau n năm, i là tỉ lệ tăng dân số hàng năm. Cho biết năm 2003, Việt Nam có 80 902 400 người và tỉ lệ tăng dân số là 1,47%. Hỏi năm,2010 Việt Nam sẽ có bao nhiêu người, nếu tỉ lệ tăng dân số hàng năm không đổi ? Những bài toán thực tế như trên đưa đến việc xét các hàm số có dạng y = ax. * 1. Định nghĩa Cho số thực dương a khác 1. Hàm số y = ax được gọi là hàm số mũ cơ số a. 2 Trong các hàm sô' sau đây, hàm số nào là hàm sô' mũ ? Với cơ sô' bao nhiêu ? a)y = (V3)x; b)y = 53; c)y = x^; d) y = 4~x. Đạo hàm của hàm số mũ Ta thừa nhận công thức lim——— = 1. (1) t^>0 t ĐỊNH LÍ 1 - Hàm số y = ex có đạo hàm tại mọi X và ,(exy = ex- Chứng minh. Giả sử Ax là số gia của X, ta có Ay = ex+^ -ex =^(^-1). Do đó Ay .A^-l Ar Ax Áp dụng (1), ta có eAv - 1 lim —-—- = 1. Ax—»0 Ax Từ đó suy ra y'= lim ^- = ex. ■ Ax-»OÁX CHÚ Ý Công thức đạo hàm của hàm hợp đối với hàm số elt (w = w(%)) là (e“).' = u'.eu. ĐỊNH Ú 2 ? X ? ? ■> Hàm số y ;= ax (a > 0, a 1) có đạo hàm tại mọi X và (axy = ax ln<2 . 7 / Chứng minh. Ta có X lnứA _ „xlnơ a = e = e . Đặt u(x) = xin ứ, theo Chú ý trên, ta được (axy = (exỉnay = exỉna(xỉnay = axìna. ■ CHÚ Ý Đối với hàm hợp y = au(x\ ta có (auy = ơlílna ■ li'. Ví dụ 4. Hàm số y = 8A~ +A + 1 có đạo hàm là / = 8A'2+A+1(x2 + X + l)Tn8 = 8A'2+A+1(2x + l)ln8. 3. Khảo sát hàm số mũ y = ax (a > 0, a * 1) y = ax, a > 1 y = ax, 0 < a < 1 Tập xác định : R. Sự biến thiên Tập xác định : Sự biến thiên R. / = ax In a > 0, Vx. y' = ax In a < 0, Vx. Giới hạn đặc biệt Giới hạn đặc biệt: lim a* X—>-00 = 0, lim ax = +00. X—>+00 lim ax = +GO, lim ax = 0. X->-00 X—> + 00 Tiệm cận : Trục Ox là tiệm cận ngang. 3. Bảng biến thiên Tiệm cận : Trục Ox là tiệm cận ngang. 3. Bảng biến thiên X —00 0 1 +00 X —00 0 1 +00 y' + + ■ + y' — — — y 0 ứ^+ũ0 y +00 0 4. ĐỒ thị (H.31) 4. Đồ thị (H.32) y‘ 1 y = ax / («>1) \ y' Ị a L s' 1 ' 1 1 1 1 . r a \y = ax (0 < a < V) 0 ► 1 x o 1 >. 1 X Hình 31 Hình 32 Bảng tóm tắt các tính chất của hàm sô mũ y = ax (a > 0, a 1) Tập xác định (-00 ; +oo). Đạo hàm y' = aỵ lnư. Chiều biến thiên ứ > 1 : hàm số luôn đồng biến ; 0 < a < 1 : hàm số luôn nghịch biến. Tiệm cận trục Ox là tiệm cận ngang. Đổ thị đi qua các điểm (0 ; 1) và (1 ; ứ), nằm phía trên trục hoành (y = ax > 0, Vx e R). II - HÀM SỐ LÔGARIT Định nghĩa Cho số thực dương a khác 1. Hàm số y = logứ X được gọi là hàm số lôgarit cơ số a. Ví dụ 5. Các hàm số y = Iog3 X, y = log! X, y = log 7? X, y = ỉnx, y = logX 4 là những hàm số lôgarit với cơ số lần lượt là 3, -ị, 75, e và 10. 4 Đạo hàm của hàm số lôgarit Ta có định lí sau đây. ĐỊNH LÍ 3 Hàm số y = logữ X (ứ > 0, 0 và (logứ xỴ = -7—• \_ 7 Đặc biệt CHU Y . Đối với hàm hợp y = loga i/(x), ta có (logữ uỴ = win <2 Ví dụ 6. Hàm số y = log2(2x + 1) có đạo hàm là I _ nv _ + 1)' 2 2 (2x + l)ln2 (2x + l)ln2 1 Tìm đạo hàm của hàm số J = ln(x + Vl + X2). 3. Khảo sát hàm số lôgarit y = logflx (« >o,fl^ 1) y = logữ X, a > 1 y = logữ X, 0 < a < 1 1. Tập xác định : (0 ; +oo). 1. Tập xác định : (0 ; +oo). 2. Sự biến thiên 2. Sự biến thiên y' = —-—- >0, Vx > 0. xlna y'= 1 0. xlna Giới hạn đặc biệt: Giới hạn đặc biệt: lim log „ X - -00, X-+Õ+ lim logữ X = +00, X—>0+ lim logữ X - +00. X-++00 lim logữ X = -00. X—» + oo Tiệm cận : Tiệm cận : Trục Oy là tiệm cận đứng. Trục Oy là tiệm cận đứng. 3. Bảng biến thiên 3. Bảng biến thiên X 0 1 a +00 X 0 a 1 +00 y' + + + y' _ _ _ y ■ _^>r+0O y +00-^1 —00 0 —00 Bảng tóm tắt các tính chất của hàm sô y = ỉogax (a > 0, a 1) Tập xác định (0 ; +00). Đạo hàm T - 1 ■ xin ứ Chiểu biến thiên a > 1 : hàm số luôn đồng biến ; 0 < a < 1 : hàm số luôn nghịch biến. Tiệm cận trục Oy là tiệm cận đứng. Đồ thị đi qua các điểm (1 ; 0) và (ứ ; 1); nằm phía bên phải trục tung. Dưới đây là đồ thị của các hàm số : Nêu nhận xét về mối liên hệ giữa đồ thị của các hàm sô' trên Hình 35 và Hình 36. NHẬN XÉT Đồ thị của các hàm số y = ầ và y - loga X (ữ > 0, a * 1) đối xứng với nhau qua đường thẳng y = X. Bảng đạo hàm của các hàm số luỹ thừa, mũ, lôgarit Hàm sơ cấp Hàm hợp (« = «(x» (xay = axa-ỵ («“)' = aua~ỵ.u' m' 1 A'=-4 vxj X2 u M2 GO' = * 2Vx (7^)' = 27m (ex)’ = ex (e“)' = euu' (ưx) ’ = ax In a (ứ“)' = au An a.u' (ln|x|)’ = - X (ln |w|)' = — u (logjxl)’- 1 X In ơ (log>|)'- Min a Bài tập a)y = 4X ; Vẽ đồ thị của các hàm số : X + 1 3X Tính đạo hàm của các hàm số : y = 2xex + 3sin2x ; b)y - 5x2 - 2X cosx ; c)y Tìm tập xác định của các hàm Số : à) y = log2(5 - 2x); b) y = log3(x2 - 2x); c) y = logjCx2 -4x + 3); d)y = logo4 3* + 2 • . 1 - X Vẽ đồ thị của các hàm số : a)y = log X; X Tính đạo hàm của các hàm số : 2 a)y - 3x -lnx + 4sinx;

Các bài học tiếp theo

• Bài 5. Phương trình mũ và phương trình lôgarit
• Bài 6. Bất phương trình mũ và bất phương trình lôgarit
• Ôn tập chương II
• Bài 1. Nguyên hàm
• Bài 2. Tích phân - Bạn có biết: Niu - ton (I. Newwton)
• Bài 3. Ứng dụng của tích phân trong hình học - Bạn có biết: Lịch sử phép tích phân - Bài đọc thêm: Tính diện tích bằng giới hạn
• Ôn tập chương III
• Bài 1. Số phức - Bạn có biết: Các - đa - nô (G. CARDANO)
• Bài 2. Cộng, trừ và nhân số phức
• Bài 3. Phép chia số phức

Các bài học trước

• Bài 3. Lôgarit - Bạn có biết: Ai đã phát minh ra lôgarit
• Bài 2. Hàm số lũy thừa
• Bài 1. Lũy thừa
• Ôn tập chương I
• Bài 5. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
• Bài 4. Đường tiệm cận
• Bài 3. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số - Bài đọc thêm: Cung lồi, cung lõm và điểm uốn
• Bài 2. Cực trị của hàm số
• Bài 1. Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số - Bài đọc thêm: Tính chất đơn điệu của hàm số - Bạn có biết: La - garăng (J. L. Lagrange)

Tham Khảo Thêm

• Sách Giáo Khoa - Giải Tích 12(Đang xem)
• Sách Giáo Khoa - Hình Học 12
• Giải Bài Tập Toán 12 Giải Tích
• Giải Bài Tập Toán 12 Hình Học
• Giải Toán 12 Giải Tích
• Giải Toán 12 Hình Học
• Giải Bài Tập Giải Tích 12
• Giải Bài Tập Hình Học 12

Sách Giáo Khoa - Giải Tích 12

• Chương I. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
• Bài 1. Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số - Bài đọc thêm: Tính chất đơn điệu của hàm số - Bạn có biết: La - garăng (J. L. Lagrange)
• Bài 2. Cực trị của hàm số
• Bài 3. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số - Bài đọc thêm: Cung lồi, cung lõm và điểm uốn
• Bài 4. Đường tiệm cận
• Bài 5. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
• Ôn tập chương I
• Chương II. HÀM SỐ LŨY THỪA - HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT
• Bài 1. Lũy thừa
• Bài 2. Hàm số lũy thừa
• Bài 3. Lôgarit - Bạn có biết: Ai đã phát minh ra lôgarit
• Bài 4. Hàm số mũ - Hàm số Lôgarit(Đang xem)
• Bài 5. Phương trình mũ và phương trình lôgarit
• Bài 6. Bất phương trình mũ và bất phương trình lôgarit
• Ôn tập chương II
• Chương III. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
• Bài 1. Nguyên hàm
• Bài 2. Tích phân - Bạn có biết: Niu - ton (I. Newwton)
• Bài 3. Ứng dụng của tích phân trong hình học - Bạn có biết: Lịch sử phép tích phân - Bài đọc thêm: Tính diện tích bằng giới hạn
• Ôn tập chương III
• Chương IV. SỐ PHỨC
• Bài 1. Số phức - Bạn có biết: Các - đa - nô (G. CARDANO)
• Bài 2. Cộng, trừ và nhân số phức
• Bài 3. Phép chia số phức
• Bài 4. Phương trình bậc hai với hệ số thực - Bài đọc thêm: Phương trình đại số
• Ôn tập Chương IV
• Bài tập cuối năm
• Đáp số - Hướng dẫn