Sinx = 0 - Cách Giải Phương Trình Lượng Giác Cơ Bản

Trang chủ » Giải Pt Sinx » Sinx = 0 - Cách Giải Phương Trình Lượng Giác Cơ Bản

Có thể bạn quan tâm

Giải phương trình lượng giác cơ bản

  • Các phương trình sinx đặc biệt
    • Sin x = 0
    • Sin x = 1
    • Sin x = -1
    • Giải phương trình sin x = a (*)
  • Phương trình lượng giác thường gặp
  • Bài tập

Cách giải phương trình lượng giác cơ bản đưa ra phương pháp và các ví dụ cụ thể, giúp các bạn học sinh THPT ôn tập và củng cố kiến thức về dạng toán hàm số lượng giác 11. Tài liệu bao gồm công thức lượng giác, các bài tập ví dụ minh họa có lời giải và bài tập rèn luyện giúp các bạn bao quát nhiều dạng bài chuyên đề phương trình lượng giác lớp 11. Chúc các bạn học tập hiệu quả!

1. Các phương trình sin x đặc biệt

Sin x = 0

⇒ x = k\pi (k \in \mathbb{Z})

Sin x = 1

⇒x = \frac{\pi }{2} + k2\pi (k \in \mathbb{Z})

Sin x = – 1

⇒ x = \frac{{ - \pi }}{2} + k2\pi (k \in \mathbb{Z})

Giải phương trình sin x = a (*)

• Nếu |a| > 1 thì phương trình vô nghiệm

• Nếu \left| a \right| \leqslant 1 \Rightarrow \exists \beta \in \left[ {\frac{{ - \pi }}{2};\frac{\pi }{2}} \right],\sin \beta = a

(*) \Rightarrow \sin x = \sin \beta \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \beta + k2\pi } \\ {x = \pi - \beta + k2\pi } \end{array}} \right.(k \in \mathbb{Z})

Chú ý: Nếu β thỏa mãn điều kiện thì β = arcsin a

Mở rộng phương trình ta có

Sin f(x) = Sin g(x) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {f(x) = g(x) + k2\pi } \\ {f(x) = \pi - g(x) + k2\pi } \end{array}(k \in \mathbb{Z})} \right.

Ví dụ: Giải phương trình

a. \sin \left( {2x - \frac{\pi }{4}} \right) = 0

b. {\text{sin}}\left( {\frac{\pi }{4} - 3x} \right) = 0

Hướng dẫn giải

a. Ta có:

\begin{matrix} \sin \left( {2x - \dfrac{\pi }{4}} \right) = 0 \hfill \\ \Rightarrow 2x - \dfrac{\pi }{4} = k\pi \hfill \\ \Rightarrow 2x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \hfill \\ \Rightarrow x = \dfrac{\pi }{8} + \dfrac{{k\pi }}{2},\left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \hfill \\ \end{matrix}

b. Ta có:

\begin{matrix} {\text{sin}}\left( {\dfrac{\pi }{4} - 3x} \right) = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \dfrac{\pi }{4} - 3x = k\pi \hfill \\ \Leftrightarrow 3x = \dfrac{\pi }{4} - k\pi \hfill \\ \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{{12}} - \dfrac{{k\pi }}{3} \hfill \\ \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{{12}} + \dfrac{{k'\pi }}{3},\left( {k' \in \mathbb{Z},k' = - k} \right) \hfill \\ \end{matrix}

Ví dụ: Giải phương trình

a. \sin (\pi sinx) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}

b. {\text{sinx}} = \sin \frac{\pi }{3}

Hướng dẫn giải

a. Ta có:

\sin (\pi sinx) = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\pi sinx = \dfrac{\pi }{4} + k2\pi } \\ {\pi sinx = \pi - \dfrac{\pi }{4} + k2\pi } \end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {sinx = \dfrac{1}{4} + 2k} \\ {sinx = \dfrac{3}{4} + 2k} \end{array}} \right.} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)

Do \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1 \leqslant \dfrac{1}{4} + 2k \leqslant 1} \\ { - 1 \leqslant \dfrac{3}{4} + 2k \leqslant 1} \end{array}} \right. \Leftrightarrow k = 0

\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\sin x = \dfrac{1}{4}} \\ {\sin x = \dfrac{3}{4}} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \arcsin \dfrac{1}{4} + k'2\pi } \\ \begin{gathered} x = \pi - \arcsin \dfrac{1}{4} + k'2\pi \hfill \\ x = \arcsin \dfrac{3}{4} + k'2\pi \hfill \\ x = \pi - \arcsin \dfrac{3}{4} + k'2\pi \hfill \\ \end{gathered} \end{array}} \right.(k \in \mathbb{Z})

\operatorname{s} {\text{inx}} = \sin \dfrac{\pi }{3} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \dfrac{\pi }{3} + k2\pi } \\ {x = \pi - \dfrac{\pi }{3} + k2\pi } \end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \dfrac{\pi }{3} + k2\pi } \\ {x = \dfrac{{2\pi }}{3} + k2\pi } \end{array}(k \in \mathbb{Z})} \right.} \right.

Ví dụ: Giải phương trình lượng giác sau: sin (3x + 1) = sin (x – 2)

Hướng dẫn giải

sin (3x + 1) = sin (x – 2)

⇔ 3x + 1 = x – 2 + k2π (k ∈ Z)

⇔ 2x = – 3 + k2π (k ∈ Z)

⇔ x = 3/2 + kπ (k ∈ Z)

Vậy phương trình có nghiệm là x = 3/2 + kπ (k ∈ Z)

Ví dụ: Giải phương trình lượng giác \sin x = \sin \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right)

Hướng dẫn giải

Ta có:

\begin{matrix} \sin x = \sin \left( {2x + \dfrac{\pi }{4}} \right) \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 2x + \dfrac{\pi }{4} + k2\pi } \\ {x = \pi - 2x - \dfrac{\pi }{4} + k2\pi } \end{array}} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = - \dfrac{\pi }{4} - k2\pi } \\ {x = \dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{k2\pi }}{3}} \end{array}} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \hfill \\ \end{matrix}

Vậy phương trình có nghiệm x = - \frac{\pi }{4} - k2\pi ,x = \frac{\pi }{4} + \frac{{k2\pi }}{3},\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)

Phương trình lượng giác thường gặp

Ví dụ: Giải phương trình cot 3x . sin x = 0

Hướng dẫn giải

Điều kiện xác định: sin 3x ≠ 0

cot 3x . sin x = 0

⇔ cot 3x = 0 hoặc sin x = 0, Loại (Do sin x = 0 thì sin 3x = 0)

⇔ cot 3x = 0

⇔ cos 3x = 0

⇔ 3x = π/2 + kπ, k nguyên

⇔ x = π/6 + kπ/3, k nguyên (thỏa mãn)

Ví dụ: Giải phương trình: sin2 x – sin x = 0

Hướng dẫn giải

sin2 x – sin x = 0

⇔ sin x (sin x – 1) = 0

⇔ Sin x = 1 hoặc sin x = 0

•) Trường hợp 1: Sin x = 1

⇔ x = π/2 + k2π (k ∈ Z)

Hoặc x = π – π/2 + k2π (k ∈ Z)

⇔ x = π/2 + k2π (k∈ Z)

•) Trường hợp 2: sin x = 0

⇔ x = kπ (k ∈ Z)

Hoặc x = π – kπ (k ∈ Z)

Vậy phương trình có nghiệm.....

Ví dụ: Phương trình sin x = 0 tương đương với phương trình nào sau đây?

A. sin x = 1B. cos x = 1C. sin 2x = 1D. cos2 x = 1

Hướng dẫn giải

Ta có: cos2 x = 1

⇔ 1 – sin2 x = 1

⇔ 1 – 02 = 1 (luôn đúng)

Chọn đáp án D

Bài tập

Giải các phương trình sau:

1) cos 2x + 3sin x – 2 = 0

2) sin (πcos 2x) = 1

3) sin (x + α) + cos (x – α) = 1 + sin α

4) 9sin x + 6cos x – 3sin 2x + cos 2x = 8.

Tham khảo một số phương trình khác:

  • sin 2x + cos 2x = 1
  • Sin 2x + cos 2x = 0
  • Cos x = 0
  • Tan x = 0
  • Sin x = cos x

----------------------------------------------------

Một số tài liệu liên quan:

  • Xét tính chẵn lẻ của hàm số lượng giác
  • Phương trình lượng giác cơ bản
  • Phương trình sin x = – 1/2 có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng (– pi; pi)?
  • Phương trình căn 3 sin x cos x = 1 tương đương với phương trình nào sau đây?
  • Phương trình sin x = – 1/2 có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng (– pi; pi)?
  • Phương trình căn 3 sin x cos x = 1 tương đương với phương trình nào sau đây?
  • Tìm tập xác định của hàm số lượng giác

Từ khóa » Giải Pt Sinx